Apostila-sacha
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Apostila-sacha


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a equação
x2 =\u22124
não possui nenhuma solução real: S =\u2205. Finalmente,
x2 = 0
possui uma única solução: S = {0}.
Um outro jeito de entender (1.2) é de escrevê-la x2\u22129= 0 e de fatorar o polinômio x2\u22129,
obtendo um produto de dois fatores:
(x \u2212 3)(x + 3) = 0 .
1Ao longo da apostila, o símbolo \u201c:=\u201d será usado para definir um objeto. Por exemplo, A:={x \u2208 R : x2 > 1}
significa que A é definido como o conjunto dos números reais cujo quadrado é maior que 1.
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.1. Números reais
Para o produto de dois fatores (aqui, x \u2212 3 e x + 3) ser zero, é necessário que pelo menos
um deles seja nulo. Se for o primeiro, x \u2212 3= 0, então x = 3. Se for o segundo, x + 3= 0,
logo x =\u22123. De modo geral, para x ser solução de uma equação da forma
(x \u2212\u3b1)(x \u2212 \u3b2) = 0 , (1.3)
pelo menos um dos fatores, (x \u2212\u3b1) ou (x \u2212 \u3b2), deve ser igual a zero, o que implica x = \u3b1
ou x = \u3b2 . Portanto, o conjunto das soluções de (1.3) é dado por S = {\u3b1,\u3b2}.
Olhemos agora para a equação do segundo grau da forma geral
ax2+ bx + c = 0 . (1.4)
Se a = 0, essa equação é do primeiro grau,
bx + c = 0 ,
e a sua única solução é dada por x = \u2212 c
b
(supondo b 6= 0). Isto é, S = {\u2212 c
b
}. Por outro
lado, se a 6= 0, então dividindo (1.4) por a, e completando o quadrado obtemos:
0= x2+ b
a
x + c
a
= (x + b
2a
)2\u2212 ( b
2a
)2+ c
a
.
Portanto,
(x + b
2a
)2 = ( b
2a
)2\u2212 c
a
= b
2\u22124ac
4a2
.
Defina \u2206:=b2\u2212 4ac. Se \u2206< 0, não tem soluções: S =\u2205. Se \u2206\u2265 0, podemos tomar a raiz
quadrada em ambos lados dessa última expressão, e obter
x + b
2a
=±p\u2206
2a
.
Isto é,
x = \u2212b±
p
\u2206
2a
. (1.5)
Resumindo: quando a 6= 0, o conjunto das soluções de (1.4) é dado por
S =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3\u2205 se \u2206< 0 (zero soluções){\u2212b2a } se \u2206= 0 (uma solução){\u2212b±p\u2206
2a
} se \u2206> 0 (duas soluções) .
Exercício 1.1. Resolva as seguintes equações.
1. 1\u2212 x = 1
2. x2 = 1
3. 1
x
= x + 1
4. (x + 1)(x \u2212 7) = 0
5. x = x
6. x = x2
7. 1= 0
8. 6x3\u2212 1= 3x(1+ 2x2)
9. (x + 6)(x + 1) = 1
Exercício 1.2. Existe um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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1.1. Números reais CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
1.1.2 Ordem e intervalos
Existe em R uma relação de ordem: dois reais x , y podem ser comparados usando os
seguintes símbolos:
\u2022 x = y: \u201cx é igual a y\u201d,
\u2022 x 6= y: \u201cx é diferente de y\u201d,
\u2022 x \u2265 y: \u201cx é maior ou igual a y\u201d,
\u2022 x > y: \u201cx é estritamente maior que y\u201d,
\u2022 x \u2264 y: \u201cx é menor ou igual a y\u201d,
\u2022 x < y: \u201cx é estritamente menor que y\u201d.
A ordem permite definir subconjuntos elementares de R. Por exemplo, os reais não-
negativos R+ são definidos por
R+:={x \u2208 R : x \u2265 0} ,
(leia-se: \u201co conjunto dos números reais x \u2208 R tais que x seja \u2265 0) e os reais positivos por
R\u2217+:={x \u2208 R : x > 0} .
Podem também ser definidos conjuntos particulares chamados intervalos. Começaremos
com os intervalos limitados. Se a < b são dois números reais, o intervalo fechado é
definido como
[a, b]:={x \u2208 R : a \u2264 x \u2264 b} .
Leia-se: \u201c[a, b] é definido como o conjunto dos números reais x tais que x seja maior ou
igual a a, e menor ou igual a b\u201d. O intervalo aberto é definido como
(a, b):={x \u2208 R : a < x < b} .
Observe que (a, b) pode ser considerado como obtido a partir de [a, b] retirando as ex-
tremidades: (a, b) = [a, b]\{a, b}. Definam-se também os intervalos semi-abertos (ou
semi-fechados)
[a, b):={x \u2208 R : a \u2264 x < b} , (a, b]:={x \u2208 R : a < x \u2264 b} .
Graficamente, representaremos esses intervalos da seguinte maneira:
Rap bp
[a, b)
cp dp
[c, d]
ep
f
p
(e, f ]
Introduziremos também intervalos não-limitados: os semi-infinitos fechados
(\u2212\u221e, a]:={x \u2208 R : x \u2264 a} , [c,+\u221e):={x \u2208 R : x \u2265 c} ,
e os semi-infinitos abertos
(\u2212\u221e, a):={x \u2208 R : x < a} , (c,+\u221e):={x \u2208 R : x > c} .
Por exemplo,
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.1. Números reais
Rpa
(\u2212\u221e, a]
. . . pc
(c,+\u221e)
. . .
Observe que \u201c+\u221e\u201d e \u201c\u2212\u221e\u201d não são números reais propriamente ditos; +\u221e (respectivamente
\u2212\u221e) é somente um símbolo usado para representar a idéia (meio abstrata) de um número
maior (respectivamente menor) do que qualquer real x .
Exercício 1.3. Simplifique as expressões, usando as notações introduzidas acima.
1. A= {x \u2208 R : x2 \u2264 4}
2. B = {x : x \u2265 0} \u2229 {x : x < 1}
3. C = {x : x \u2264 1} \u2229 {x : x < 0}
4. D = {x : x \u2265 1} \u2229 {x : x \u2264\u22121}
5. E = {x : x \u2264 2} \u222a [0,+\u221e)
6. F = [1,2]\u2229 (\u2212\u221e; 1]
7. G = [0,1]\u2229 [0, 1
2
]\u2229 [0, 1
3
]\u2229 [0, 1
4
]\u2229 . . .
8. H = [0,1]\u222a [1,2]\u222a [2,3]\u222a [3,4]\u222a . . .
1.1.3 Valor absoluto
Informalmente, o valor absoluto de um número real x , denotado por |x |, representa o seu
\u201cvalor equivalente positivo\u201d. Por exemplo, |5|= 5, | \u2212 3|= 3, e |0|= 0. Formalmente,
|x |:=
\uf8f1\uf8f2\uf8f3x se x > 00 se x = 0\u2212x se x < 0 . (1.6)
Por exemplo, com essa definição, já que \u22123 < 0, temos | \u2212 3| = \u2212(\u22123) = 3. Observe que
por definição,
|x | \u2264 a\u21d0\u21d2\u2212a \u2264 x \u2264 a\u21d0\u21d2 x \u2208 [\u2212a, a] . (1.7)
Exercício 1.4. Quais das expressões abaixo são verdadeiras (para qualquer x)? Justifique.p
x2 = x ,
p
x
2 = x ,
p
x2 = |x | .
Usaremos o valor absoluto para definir a distância entre dois números reais:
d(x , y):=|x \u2212 y| .
Exercício 1.5. Mostre que se \u3b3 e \u3b2 forem dois números positivos satisfazendo
2\u3b3\u2212 \u3b3
2
2
+
\u3b22
2
= 2 ,
então ou \u3b3+ \u3b2 = 2, ou \u3b3\u2212 \u3b2 = 2.
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1.1. Números reais CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
1.1.4 Inequações e sinal
Considere a inequação do primeiro grau:
2\u2212 2x \u2265 1 . (1.8)
Como antes, \u201cresolver\u201d essa inequação significa achar todos os valores de x para os quais
a expressão em (1.8) se torne verdadeira. Por exemplo, x = 0 é solução, pois o lado
esquerdo vale 2\u2212 2 · 0 = 2, que é \u2265 1. Mas em geral uma inequação pode possuir mais de
uma solução, às vezes possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções, também
denotado por S, pode ser calculado da seguinte maneira. Primeiro, o conjunto S das soluções
não é modificado ao adicionarmos (ou subtrairmos) expressões iguais em ambos lados de uma
inequação. Assim, adicionando 2x em cada lado de (1.8), obtemos
2\u2265 1+ 2x .
Podemos em seguida subtrair 1 em ambos lados:
1\u2265 2x .
Agora, o conjunto S das soluções não é modificado ao multiplicarmos (ou dividirmos) ambos
lados de uma inequação por um número positivo. Assim, dividindo ambos lados da inequação
1\u2265 2x por 2 obtemos 1
2
\u2265 x , isto é x \u2264 1
2
. Assim, qualquer real x menor ou igual a 1
2
torna
a desigualdade em (1.8) verdadeira. Logo, S = (\u2212\u221e, 1
2
].
Observe que (1.8) pode também ser resolvida subtraindo 2 em ambos lados,
\u2212 2x \u2265\u22121 . (1.9)
Passando \u22122x para o lado direito e \u22121 para o lado esquerdo obtemos 1 \u2265 2x , o que
equivale a
2x \u2264 1 . (1.10)
Vemos que (1.10) é obtida a partir de (1.9) trocando os sinais (i.é. multiplicando ambos
lados por \u22121), e trocando o sentido da desigualdade.
Exemplo 1.1. Resolvamos agora uma inequação do segundo grau:
x2\u2212 3x + 2> 0 . (1.11)
Primeiro, o polinômio do lado esquerdo da desigualdade em (1.11) pode ser fatorado:
x2\u2212 3x + 2= (x \u2212 1)(x \u2212 2). Assim, (1.11) é equivalente a
(x \u2212 1)(x \u2212 2)> 0 . (1.12)
Observe agora que para o produto de dois números ser > 0, eles têm que ser ambos não-
nulos e ter o mesmo sinal. Portanto, a resolução de (1.12) passa pelo estudo do sinal de
x\u22121 e x\u22122. Isso pode ser feito como em (1.8). Por um lado, x\u22121< 0 se x < 1, x\u22121= 0
se x = 1, e x \u2212 1 > 0 se x > 1. Por outro lado, x \u2212 2 < 0 se x < 2, x \u2212 2 = 0 se x = 2, e
x \u2212 2> 0 se x > 2. Isso pode ser resumido nas duas primeiras linhas da seguinte tabela:
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: