Apostila-sacha
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Apostila-sacha


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x\u2212e0
x
limx\u21920 sen x\u2212sen0x
\u2261 (e
x)\u2032|x=0
(sen x)\u2032|x=0 =
1
1
= 1 .
A idéia do exemplo anterior pode ser generalizada:
Teorema 5.6 (Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital, Primeira versão). Sejam f , g duas funções de-
riváveis no ponto a, que se anulam em a, f (a) = g(a) = 0, e tais que f
\u2032(a)
g \u2032(a) existe. Então
lim
x\u2192a
f (x)
g(x)
=
f \u2032(a)
g \u2032(a) . (5.30)
Demonstração. Como antes,
lim
x\u2192a
f (x)
g(x)
= lim
x\u2192a
f (x)\u2212 f (a)
g(x)\u2212 g(a) = limx\u2192a
f (x)\u2212 f (a)
x\u2212a
g(x)\u2212g(a)
x\u2212a
=
f \u2032(a)
g \u2032(a) .
Exercício 5.68. Calcule os limites:
lim
s\u21920
log(1+ s)
e2s \u2212 1 , limt\u2192pi
cos t + 1
pi\u2212 t , lim\u3b1\u21920
1\u2212 cos(\u3b1)
sen(\u3b1+ pi
2
)
, lim
x\u21920
sen x
x2+ 3x
.
O resultado acima pode ser generalizado a situações em que f
\u2032(a)
g \u2032(a) não existe, ou em que f
e g nem são definidas em a:
4Johann Bernoulli, Basileia (Suiça) 1667-1748. Guillaume François Antoine, marquis de L\u2019Hôpital (1661 -
1704).
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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5.12. A Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital CAPÍTULO 5. DERIVADA
Teorema 5.7 (Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital, Segunda versão).
1. Limites x \u2192 a+: Sejam f , g duas funções deriváveis em (a, b), com g(x) 6= 0,
g \u2032(x) 6= 0 para todo x \u2208 (a, b). Suponha que f e g são tais que limx\u2192a+ f (x) = ±\u3b1 e
limx\u2192a+ g(x) =±\u3b1, com \u3b1 \u2208 {0,\u221e}. Se limx\u2192a+ f \u2032(x)g \u2032(x) existir, ou se for ±\u221e, então
lim
x\u2192a+
f (x)
g(x)
= lim
x\u2192a+
f \u2032(x)
g \u2032(x) . (5.31)
(Uma afirmação equivalente pode ser formulada para x \u2192 b\u2212.)
2. Limites x \u2192\u221e: Sejam f , g duas funções deriváveis em todo x suficientemente grande,
e tais que limx\u2192\u221e f (x) = ±\u3b1, limx\u2192\u221e g(x) = ±\u3b1, com \u3b1 \u2208 {0,\u221e}. Se limx\u2192\u221e f \u2032(x)g \u2032(x)
existir ou se for ±\u221e, então
lim
x\u2192\u221e
f (x)
g(x)
= lim
x\u2192\u221e
f \u2032(x)
g \u2032(x) . (5.32)
(Uma afirmação equivalente pode ser formulada para limites x \u2192\u2212\u221e.)
Demonstração. Provemos somente o primeiro item. Fixe z \u2208 (a, b). Podemos definir
f (a):=0, g(a):=0, de modo tal que a função F(x):=( f (z)\u2212 f (a))g(x)\u2212(g(z)\u2212 g(a)) f (x)
seja contínua em [a, z] e derivável em (a, z). Como F(z) = F(a), o Teorema de Rolle 5.2
garante a existência de um cz \u2208 (a, z) tal que F \u2032(cz) = 0, isto é, ( f (z)\u2212 f (a))g \u2032(cz)\u2212(g(z)\u2212
g(a)) f \u2032(cz) = 0, que pode ser escrito
f (z)\u2212 f (a)
g(z)\u2212 g(a) =
f \u2032(cz)
g \u2032(cz)
.
Observe que se z\u2192 a+, então cz \u2192 a+. Logo, com a mudança de variável y:=cz,
lim
z\u2192a+
f (z)
g(z)
= lim
z\u2192a+
f (z)\u2212 f (a)
g(z)\u2212 g(a) = limz\u2192a+
f \u2032(cz)
g \u2032(cz)
\u2261 lim
y\u2192a+
f \u2032(y)
g \u2032(y) ,
o que prova a afirmação.
Exemplo 5.47. Considere limx\u21921 x
2\u22121
x\u22121 . No Capítulo 4, calculamos esse limite da seguinte
maneira:
lim
x\u21921
x2\u2212 1
x \u2212 1 = limx\u21921
(x \u2212 1)(x + 1)
x \u2212 1 = limx\u21921(x + 1) = 2 .
Vejamos agora como esse mesmo limite pode ser calculado também usando a Regra de
Bernoulli-l\u2019Hôpital. Como o limite é da forma limx\u21921
f (x)
g(x)
, com f (x) = x2\u22121 e g(x) = x\u22121
ambas deriváveis em (1,2), que g e g \u2032 não se anulam nesse intervalo, e como limx\u21921+
f \u2032(x)
g \u2032(x) =
limx\u21921+ 2x1 = 2, o Teorema 5.7 implica limx\u21921+
x2\u22121
x\u22121 = 2. Do mesmo jeito, limx\u21921\u2212
x2\u22121
x\u22121 = 2,
o que implica limx\u21921 x
2\u22121
x\u22121 = 2.
Observação 5.10. A Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital (que será às vezes abreviada "regra de
B.H.") fornece uma ferramenta poderosa para calcular alguns limites, mas é importante
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 5. DERIVADA 5.12. A Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital
sempre verificar se as hipóteses do teorema são satisfeitas, e não querer a usar para calcular
qualquer limite! Também, ela pode às vezes se aplicar mas não ser de nenhuma utilidade
(ver o Exercício 5.69).
Às vezes, é preciso usar a regra de B.H. mais de uma vez para calcular um limite:
Exemplo 5.48. Considere o limite limx\u21920 1\u2212cos xx2 , já encontrado no Exercício 4.19. Como
1\u2212 cos x e x2 ambas tendem a zero e são deriváveis na vizinhança de zero, as hipóteses do
Teorema (5.7) são satisfeitas:
lim
x\u21920+
1\u2212 cos x
x2
= lim
x\u21920+
(1\u2212 cos x)\u2032
(x2)\u2032 = limx\u21920+
sen x
2x
.
Já sabemos que limx\u21920 sen xx = 1. Mesmo assim, sendo também da forma
0
0
, esse limite pode
ser calculado aplicando a regra de B.-H. uma segunda vez: limx\u21920+ sen xx = limx\u21920+
cos x
1
= 1.
Logo, limx\u21920+ 1\u2212cos xx2 =
1
2
. Como a função é par, o limite lateral x \u2192 0\u2212 é igual ao limite
lateral x \u2192 0+, logo limx\u21920 1\u2212cos xx2 = 12 .
Vejamos agora um exemplo de limite x \u2192 \u221e em que a regra de B.H. tem um papel
fundamental:
Exemplo 5.49. Considere limx\u2192\u221e ln xx . Observe que
ln x
x
\u2261 f (x)
g(x)
é um quociente de duas
funções deriváveis para todo x > 0, e que limx\u2192\u221e f (x) = \u221e, limx\u2192\u221e g(x) = \u221e. Além
disso, limx\u2192\u221e
f \u2032(x)
g \u2032(x) = limx\u2192\u221e
1/x
1
= 0, o que implica, pelo segundo item do Teorema 5.7,
lim
x\u2192\u221e
ln x
x
= 0 . (5.33)
Vejamos em seguida um exemplo em que é necessário tomar um limite lateral:
Exemplo 5.50. Considere limx\u21920+ x ln x . Aqui, consideremos f (x) = ln x e g(x) = 1x ,
ambas deriváveis no intervalo (0, 1). Além disso, g(x) 6= 0 e g \u2032(x) 6= 0 para todo x \u2208 (0,1).
O limite pode ser escrito na forma de um quociente, escrevendo x ln x = ln x
1/x
. Logo,
lim
x\u21920+ x ln x = limx\u21920+
ln x
1/x
= lim
x\u21920+
1/x
\u22121/x2 =\u2212 limx\u21920+ x = 0 ,
onde B.H. foi usada na segunda igualdade.
Um outro jeito de calcular o limite acima é de fazer uma mudança de variável: se y:=1/x ,
então x \u2192 0+ implica y \u2192+\u221e. Logo,
lim
x\u21920+ x ln x = limy\u2192\u221e
1
y
ln 1
y
=\u2212 lim
y\u2192\u221e
ln y
y
,
e já vimos no último exemplo que esse limite vale 0.
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5.12. A Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital CAPÍTULO 5. DERIVADA
Exercício 5.69. Calcule os limites abaixo. Se for usar a Regra de Bernoulli-l\u2019Hôpital, verifique
que as hipóteses sejam satisfeitas.
1. limx\u21920+ x3
2. limx\u21922 x
2\u2212x\u22122
3x2\u22125x\u22122
3. limx\u21921+ x
2\u22122x+2
x2+x\u22122
4. limx\u21920 (sen x)
2
x2
5. limx\u21920
ln 1
1+x
sen x
6. limx\u21920 1+sen x\u2212cos xtan x
7. limx\u21920 x\u2212sen x1\u2212cos x
8. limx\u21920+ x\u2212sen xx sen x
9. limx\u21920 sen x\u2212xx3
10. limx\u21920 tan x\u2212xx3
11. limx\u21920 x sen x1+cos(x\u2212pi)
12. limx\u21920+
p
x
ln x
13. limx\u21920+ x(ln x)2
14. limx\u2192\u221e (ln x)
2
x
15. limx\u2192\u221e xex
16. limx\u21920+ e
ln x
x
17. limx\u2192\u221e
p
x+1p
x\u22121
18. limx\u2192\u221e x
100\u2212x99
20x\u22123x100
19. limx\u21920 ln(1+x)\u2212ln(1\u2212x)sen x
20. limx\u21920 sen
2 x
1\u2212x2
21. limx\u2192\u221e x+sen xx
22. limx\u21920+ x
2\u2212sen2 x
x2 sen2 x
23. limx\u21920+
x2 sen 1x
x
24. limx\u21920 e
tan x\u2212ex
x3
25. limx\u21920+
\ufffd 1
x
\u2212 1
ex\u22121
\ufffd
26. limx\u21920+
arctan( 1x )\u2212
pi
2
x
Vários outros tipos de limites podem ser calculados usando o Teorema 5.7. Por exemplo,
usando exponenciação:
Exemplo 5.51. Para calcular limx\u2192\u221e( xx\u2212a )
x , comecemos exponenciando\ufffd x
x \u2212 a
\ufffdx
= exp
\ufffd
x ln
x
x \u2212 a
\ufffd
.
Como x 7\u2192 ex é contínua, limx\u2192\u221e( xx\u2212a )x = exp(limx\u2192\u221e x ln xx\u2212a ) (lembre da Seção 4.9).
Ora, o limite limx\u2192\u221e x ln xx\u2212a pode ser escrito na forma de um quociente:
lim
x\u2192\u221e x ln
x
x \u2212 a = limx\u2192\u221e
ln x
x\u2212a
1
x
= lim
x\u2192\u221e
1
x
\u2212 1
x\u2212a
\u2212 1
x2
= lim
x\u2192\u221e
ax2
x(x \u2212 a) = a .
A segunda igualdade é justificada pela regra de B.-H. (as funções são deriváveis em todo x
suficientemente grande), a última por uma conta fácil de limite, colocando x2 em evidência.
Portanto,
lim
x\u2192\u221e
\ufffd x
x \u2212 a
\ufffdx
= exp
\ufffd
lim
x\u2192\u221e x ln
x
x \u2212 a
\ufffd
= ea .
Exemplo 5.52. Considere limx\u21920(cos x)1/x
2
= exp(limx\u21920 ln(cos x)x2 ). Como ln(cos x) e x
2 são
ambas deriváveis na vizinhança de zero, e como
lim
x\u21920
(ln(cos x))\u2032
(x2)\u2032 = limx\u21920
\u2212 tan x
2x
=\u22121
2
lim
x\u21920
sen x
x
1
cos x
=\u22121
2
,
temos
lim
x\u21920(cos x)
1/x2 = e\u2212
1
2 =
1p
e
.