Apostila-sacha
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Apostila-sacha


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Demonstração. Lembre que
\u222b b
a
f (t) d t = I(b), onde I(x) é a função área. Ora, sabemos
pelo Teorema 6.2 que I(x) é primitiva de f . Assim, I(x) = F(x) + C , onde F(x) é uma
primitiva qualquer de f , e onde se trata de achar o valor de C . Mas I(a) = 0 implica
F(a)+C = 0, logo C =\u2212F(a), e I(x) = F(x)\u2212F(a). Em particular, I(b) = F(b)\u2212F(a).
Exemplo 6.5. Considere I =
\u222b 1
0
x2d x , que representa a área debaixo do gráfico da parábola
y = f (x) = x2, entre x = 0 e x = 1. Como F(x) = x
3
3
é primitiva de f , temos\u222b 1
0
x2 d x =
x3
3
\ufffd\ufffd\ufffd1
0
=
13
3
\u2212 0
3
3
=
1
3
.
Podemos também calcular a integral da introdução, dessa vez usando o Teorema Funda-
mental: \u222b 1
0
(1\u2212 x2) d x =
\u222b 1
0
1 d x \u2212
\u222b 1
0
x2 d x = 1\u2212 1
3
= 2
3
.
Exercício 6.8. Mostre que
\u222b 2
0
(x \u2212 1) d x = 0. Como interpretar esse resultado geometrica-
mente?
Exercício 6.9. A seguinte conta está certa? Justifique.\u222b 2
\u22121
1
x2
d x =
\ufffd\u22121
x
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd2\u22121 =\u221232 .
O Teorema Fundamental mostra que se uma primitiva de f é conhecida, então a integral
de f em qualquer intervalo [c, d] pode ser obtida, calculando simplesmente F(d)\u2212 F(c).
Isto é, o problema de calcular integral é reduzido ao de achar uma primitiva de f . Ora, cal-
cular uma primitiva é uma operação mais complexa do que calcular uma derivada. De fato,
calcular uma derivada significa simplesmente aplicar mecanicamente as regras de derivação
descritas no Capítulo 5, enquanto uma certa ingeniosidade pode ser necessária para achar
uma primitiva, mesmo de uma função simples como
p
1+ x2 ou ln x .
Portanto, estudaremos técnicas para calcular primitivas, ao longo do capítulo. Por en-
quanto, vejamos primeiro como usar integrais para calcular áreas mais gerais do plano.
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL 6.4. Áreas de regiões do plano
6.4 Áreas de regiões do plano
Sejam f e g duas funções definidas no mesmo intervalo [a, b], tais que g(x) \u2264 f (x) para
todo x \u2208 [a, b]. Como calcular a área da região R contida entre os gráficos das duas
funções, delimitada lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b?
f
g
pa pb
Por uma translação vertical, sempre podemos supor que 0 \u2264 g \u2264 f . Logo, a área de R
pode ser obtida calculando primeiro a área debaixo do gráfico de f , que vale
\u222b b
a
f d x , da
qual se subtrai a área debaixo do gráfico de g, que vale
\u222b b
a
g d x .
área(R) =
\u222b b
a
f d x \u2212
\u222b b
a
g d x \u2261
\u222b b
a
( f \u2212 g) d x . (6.12)
Exemplo 6.6. Considere a região finita R delimitada pela parábola y = 2\u2212 x2 e pela reta
y =\u2212x:
y = 2\u2212 x2y =\u2212x
p\u22121 p
2R
Pode ser verificado que os pontos de interseção entre as duas curvas são x = \u22121 e x = 2.
Observe também que no intervalo [\u22121, 2], a parábola está sempre acima da reta. Logo, por
(6.12), a área de R é dada pela integral\u222b 2
\u22121
\ufffd
(2\u2212 x2)\u2212 (\u2212x)\ufffd d x = \u222b 2
\u22121
\ufffd\u2212x2+ x + 2\ufffd d x = \ufffd\u2212 x3
3
+
x2
2
+ 2x
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd2\u22121 = 92 .
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6.5. Primitivas CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Exercício 6.10. Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
1. y =\u22122, x = 2, x = 4, y = 1
2
x \u2212 1.
2. y =\u22122, x = 2, x = 4, y = 1
2
(x \u2212 2)2.
3. y = x2, y =\u2212(x + 1)2+ 1.
4. y = 0, x = 1, x = e, y = 1
x
.
5. y =\u22122, y = 4+ x \u2212 x2.
Exemplo 6.7. Considere a área da região finita delimitada pelas curvas x = 1 \u2212 y2 e
x = 5\u2212 5y2.
-\u22121
-
1
x=1\u2212y2 x=5\u22125y
2
Neste caso, é mais natural expressar a área procurada como um integral com respeito a y .
Como função de y , as curvas são parábolas: x = f (y) com f (y) = 5\u2212 5y2 e x = g(y)
com f (y) = 1\u2212 y2, e o gráfico de f (y) está sempre acima do gráfico de g(y). Logo, a área
procurada é dada por
\u222b b
a
[ f (y)\u2212 g(y)]d y , que vale\u222b 1
\u22121
\ufffd
(5\u2212 5y2)\u2212 (1\u2212 y2)	d y = \u222b 1
\u22121
\ufffd
4\u2212 4y2	d y = \ufffd4y \u2212 4
3
y3
	\ufffd\ufffd\ufffd1\u22121 = 163 .
Exercício 6.11. (3a prova, primeiro semestre de 2011) Calcule a área da região finita delim-
itada pelo gráfico da função y = ln x e pelas retas y =\u22121, y = 2, x = 0.
Exercício 6.12. Fixe \u3b1 > 0. Considere f\u3b1(x):=\u3b1\u22122e\u2212\u3b1(\u3b12 \u2212 x2). Esboce x 7\u2192 f\u3b1(x) para
diferentes valores de \u3b1 (em particular para \u3b1 pequeno e grande). Determine o valor de \u3b1 que
maximize a área delimitada pelo gráfico de f\u3b1 e pelo eixo x.
Exercício 6.13. Se a > 0, calcule In =
\u222b a
0
x1/nd x. Calcule limn\u2192\u221e In, e dê a interpretação
geométrica da solução. (Dica: lembre dos esboços das funções x 7\u2192 x1/p, no Capítulo ??.)
6.5 Primitivas
Nesta seção apresentaremos os principais métodos de integração: por substituição, e por
partes. Outros métodos de integração serão encontrados mais longe no texto. Antes de
começar, faremos um comentário sobre as notações usadas para denotar primitivas.
Para uma dada função f , queremos achar uma primitiva F , isto é uma função cuja derivada
F \u2032 é igual a f . Essa operação, inversa da derivada 5, será chamada de integrar f . Por isso, é
5Às vezes, essa operação é naturalmente chamada de antiderivada.
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL 6.5. Primitivas
útil introduzir uma notação que mostra que F é o resultado de uma transformação aplicada
a f :
F(x) =
\u222b
f (x)d x + C ,
em que C é uma constante arbitrária. Ao invés da integral definida
\u222b b
a
f (x) d x , a integral
indefinida
\u222b
f (x) d x é uma função de x , que por definição satisfaz\ufffd\u222b
f (x) d x
\ufffd\u2032
= f (x) .
Como a operação \u201cintegrar com respeito a x\u201d é a operação inversa da derivada, temos\u222b
f \u2032(x) d x = f (x) + C . (6.13)
Além disso, as seguintes propriedades são satisfeitas (\u3bb \u2208 R é uma constante):\u222b
\u3bb f (x) d x = \u3bb
\u222b
f (x) d x ,
\u222b
( f (x) + g(x))d x =
\u222b
f (x) d x +
\u222b
g(x) d x .
As seguintes primitivas fundamentais foram calculadas no Exercício 6.6:
1.
\u222b
k d x = kx + C
2.
\u222b
x d x = x
2
2
+ C
3.
\u222b
x p d x = x
p+1
p+1
+ C (p 6=\u22121)
4.
\u222b
cos x d x = sen x + C
5.
\u222b
sen x d x =\u2212 cos x + C
6.
\u222b
ex d x = ex + C
7.
\u222b
d x
1+x2
= arctan x + C
8.
\u222b
d xp
1\u2212x2 = arcsen x + C
O caso p = \u22121 em (3) corresponde a \u222b 1
x
d x , que obviamente é definida somente para
x 6= 0. Ora, se x > 0, temos (ln(x))\u2032 = 1
x
, e se x < 0, temos (ln(\u2212x))\u2032 = \u22121\u2212x = 1x . Logo,\u222b
1
x
d x = ln |x |+ C (x 6= 0).
Exercício 6.14. Calcule as primitivas das seguintes funções.
1. (1\u2212 x)(1+ x)2
2. 1
x3
\u2212 cos(2x)
3. x+5x
7
x9
4. 2+ 2 tan2(x)
6.5.1 Integração por Substituição
Exemplo 6.8. Suponha que se queira calcular\u222b
x cos(x2) d x .
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6.5. Primitivas CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Apesar da função x cos(x2) não ser a derivada de uma função elementar, ela possui uma
estrutura particular: o \u201cx\u201d que multiplica o cosseno é um polinômio cujo grau é um a menos
do que o polinômio \u201cx2\u201d contido dentro do cosseno. Ora, sabemos que a derivada diminui o
grau de um polinômio. No nosso caso: (x2)\u2032 = 2x . Logo, ao multiplicar e dividir a primitiva
por 2, podemos escrever\u222b
x cos(x2) d x = 1
2
\u222b
(2x) cos(x2) d x = 1
2
\u222b
(x2)\u2032 cos(x2) d x .
Agora, reconhecemos em (x2)\u2032 cos(x2) uma derivada. De fato, pela regra da cadeia, (sen(x2))\u2032 =
cos(x2) · (x2)\u2032. Logo, usando (6.13),\u222b
(x2)\u2032 cos(x2) d x =
\u222b
(sen(x2))\u2032 d x = sen(x2) + C .
Portanto, \u222b
x cos(x2) d x = 1
2
sen(x2) + C .
Do mesmo jeito,\u222b
x2 cos(x3) d x = 1
3
\u222b
3x2 cos(x3) d x = 1
3
\u222b
(x3)\u2032 cos(x3) d x = 1
3
sen(x3) + C .
A ideia apresentada nesse último exemplo consiste em conseguir escrever a função in-
tegrada na forma da derivada de uma função composta; é a base do método de integração