Apostila-sacha
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Apostila-sacha


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chamado integração por substituição. Lembremos a regra da cadeia:\ufffd
f (g(x))
\ufffd\u2032 = f \u2032(g(x))g \u2032(x) .
Integrando ambos lados dessa identidade com respeito a x e usando de novo (6.13) obte-
mos f (g(x)) =
\u222b
f \u2032(g(x))g \u2032(x) d x+constante, que é equivalente à fórmula de integração
por substituição: \u222b
f \u2032(g(x))g \u2032(x) d x = f (g(x)) + C . (6.14)
Existem vários jeitos de escrever a mesma fórmula. Por exemplo, se H é primitiva de h,\u222b
h(g(x))g \u2032(x) d x = H(g(x)) + C . (6.15)
Senão, a função g(x) pode ser considerada como uma nova váriavel: u:=g(x). Derivando
com respeito a x , du
d x
= g \u2032(x), que pode ser simbolicamente escrita como du = g \u2032(x)d x .
Assim, a primitiva inicial pode ser escrita somente em termos da variável u, substituindo
g(x) por u: \u222b
h(g(x))g \u2032(x) d x =
\u222b
h(u) du . (6.16)
Em seguida, se trata de calcular uma primitiva de h, e no final voltar para a variável x .
O objetivo é sempre tornar
\u222b
h(u) du o mais próximo possível de uma primitiva elementar
como as descritas no início da seção.
Cálculo 1, Versão 1.01 (3 de agosto de 2014). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL 6.5. Primitivas
Exemplo 6.9. Considere
\u222b
cos x
sen2 x
d x . Aqui queremos usar o fato do cos x ser a derivada
da função sen x . Façamos então a substituição u = sen x , que implica du = (sen x)\u2032d x =
cos x d x , o que implica \u222b
cos x
sen2 x
d x =
\u222b
1
u2
du\u2261
\u222b
h(u) du .
Mas h(u) = 1
u2
, é a derivada (com respeito a u!) de H(u) =\u22121
u
. Logo,\u222b
cos x
sen2 x
d x =
\u222b
h(u) du= H(u) + C =\u2212 1
sen x
+ C .
Exemplo 6.10. Para calcular
\u222b
x
1+x
d x , definemos u:=1+ x . Logo, du = d x e x = u\u2212 1.
Assim,\u222b
x
1+ x
d x =
u\u2212 1
u
du=
\u222b \ufffd
1\u2212 1
u
	
du=
\u222b
du\u2212
\u222b
1
u
du
= u\u2212 ln u+ C = 1+ x \u2212 ln(1+ x) + C .
Exemplo 6.11. Calculemos agora
\u222b
x+1p
1\u2212x2 d x . Para começar, separemos a primitiva em
dois termos: \u222b
x + 1p
1\u2212 x2
d x =
\u222b
xp
1\u2212 x2
d x +
\u222b
1p
1\u2212 x2
d x .
Para o primeiro termo, vemos que com u = g(x):=1\u2212 x2, cuja derivada é g \u2032(x) = \u22122x ,
temos du=\u22122x d x , e\u222b
xp
1\u2212 x2
d x =\u2212
\u222b
1
2
p
u
du=\u2212pu+ C =\u2212
p
1\u2212 x2+ C .
No segundo termo reconhecemos a derivada da função arcseno. Logo, somando,\u222b
x + 1p
1\u2212 x2
d x =\u2212
p
1\u2212 x2+ arcsen x + C . (6.17)
Observação 6.4. Lembra que um cálculo de primitiva pode sempre ser verificado, derivando
o resultado obtido! Por exemplo, não perca a oportunidade de verificar que derivando o
lado direito de (6.17), obtém-se x+1p
1\u2212x2 !
Às vezes, é preciso transformar a função integrada antes de fazer uma substituição útil,
como visto nos três próximos exemplos.
Exemplo 6.12. Para calcular
\u222b
1
9+x2
d x podemos colocar 9 em evidência no denominador,
e em seguida fazer a substituição u= x
3
:\u222b
1
9+ x2
d x = 1
9
\u222b
1
1+ ( x
3
)2
d x = 1
9
\u222b
3
1+ u2
d x
= 1
3
\u222b
1
1+ u2
du= 1
3
arctan u+ C = 1
3
arctan( x
3
) + C .
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6.5. Primitivas CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Exemplo 6.13. Para calcular
\u222b
1
x2+2x+2
d x comecemos completando o quadrado: x2+2x+
2= {(x + 1)2\u2212 1}+ 2= 1+ (x + 1)2. Logo, usando u:=x + 1,\u222b
1
x2+ 2x + 2
d x =
\u222b
1
1+ (x + 1)2
d x
=
\u222b
1
1+ u2
du= arctan u+ C = arctan(x + 1) + C .
Exemplo 6.14. Considere
\u222b
sen2 x d x . Lembrando a identidade trigonométrica sen2 x =
1\u2212cos(2x)
2
, \u222b
sen2 x d x = 1
2
\u222b
d x \u2212 1
2
\u222b
cos(2x) d x = x
2
\u2212 1
2
\u222b
cos(2x) d x .
Agora com u= 2x obtemos
\u222b
cos(2x) d x = 1
2
\u222b
cos(u) du= 1
2
sen u+ constante. Logo,\u222b
sen2 x d x = x
2
\u2212 1
4
sen(2x) + C .
Exercício 6.15. Calcule as primitivas das seguintes funções.
1. (x + 1)7
2. 1
(2x+1)2
3. 1
(1\u22124x)3
4. x sen(x2)
5. sen x cos x
6. 1p
x
cos(
p
x)
7. cos2(t)
8. x
1+x2
9. cos x
p
1+ sen x
10. tan x
11. 3x+5
1+x2
12. 1
x2+2x+3
13. ex tan(ex)
14. y
(1+y)3
15. x
p
1+ x2
16. x
(1+x2)2
17. cos
3 t
sen4 t
18. sen3 x cos3 x
A fórmula (6.16) mostra que a primitiva (ou integral indefinida) de uma função da forma
h(g(x))g \u2032(x) se reduz a achar uma primitiva de h. Aquela fórmula pode também ser usada
para integrais definidas: se h(g(x))g \u2032(x) é integrada com x percorrendo o intervalo [a, b],
então u= g(x) percorre o intervalo [g(a), g(b)], logo\u222b b
a
h(g(x))g \u2032(x) d x =
\u222b g(b)
g(a)
h(u) du . (6.18)
Exercício 6.16. Calcule as primitivas
1.
\u222b
2x3d xp
1\u2212x2 d x
2.
\u222b
d xp
x\u2212x2
3.
\u222b
ln x
x
d x
4.
\u222b
ee
x
ex d x
5.
\u222b p
x
1+
p
x
d x
6.
\u222b
tan2 x d x
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CAPÍTULO 6. INTEGRAL 6.5. Primitivas
6.5.2 Integração por Partes
Vimos que o método de integração por substituição decorreu da regra da cadeia. Vejamos
agora qual método pode ser obtido a partir da regra de derivação de um produto.
Exemplo 6.15. Suponha que se queira calcular a primitiva\u222b
x cos x d x .
Aqui não vemos (e na verdade: não há) uma substituição que seja útil para transformar
essa primitiva. O que pode ser útil é escrever x cos x = x(sen x)\u2032, e de interpretar x(sen x)\u2032
como o segundo termo da derivada
(x sen x)\u2032 = (x)\u2032 sen x + x(sen x)\u2032 = sen x + x(sen x)\u2032 .
Assim, \u222b
x cos x d x =
\u222b \ufffd
(x sen x)\u2032\u2212 sen x	 d x = x sen x \u2212 \u222b sen x d x
= x sen x + cos x + C
A ideia usada no último exemplo pode ser generalizada da seguinte maneira. Pela regra
de Leibniz,
( f (x)g(x))\u2032 = f \u2032(x)g(x) + f (x)g \u2032(x) .
Integrando com respeito a x em ambos lados,
f (x)g(x) =
\u222b
f \u2032(x)g(x) d x +
\u222b
f (x)g \u2032(x) d x .
Essa última expressão pode ser reescrita como\u222b
f \u2032(x)g(x) d x = f (x)g(x)\u2212
\u222b
f (x)g \u2032(x) d x , (6.19)
(ou a mesma trocando os papéis de f e g) chamada fórmula de integração por partes.
Ela possui uma forma definida também:
\u222b b
a
f \u2032(x)g(x) d x = f (x)g(x)
\ufffd\ufffdb
a \u2212
\u222b b
a
f (x)g \u2032(x) d x . (6.20)
A fórmula (6.19) acima será usada com o intuito de transformar a integral
\u222b
f \u2032(x)g(x) d x
numa integral (mais simples, espera-se)
\u222b
f (x)g \u2032(x) d x .
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6.5. Primitivas CAPÍTULO 6. INTEGRAL
Exemplo 6.16. Considere
\u222b
x ln x d x . Aqui definamos f e g da seguinte maneira: f \u2032(x) =
x , g(x) = ln x . Assim, f (x) = x
2
2
, g \u2032(x) = (ln x)\u2032 = 1
x
. Usando (6.19),\u222b
x ln x d x \u2261
\u222b
f \u2032(x)g(x) d x
= f (x)g(x)\u2212
\u222b
f (x)g \u2032(x) d x
\u2261 ( x2
2
)(ln x)\u2212
\u222b
( x
2
2
)( 1
x
) d x = x
2
2
ln x \u2212 1
2
\u222b
x d x = x
2
2
ln x \u2212 x2
4
+ C
Exercício 6.17. Calcule as primitivas das funções abaixo. (Obs: às vezes, pode precisar inte-
grar por partes duas vezes.)
1. x sen x
2. x cos(5x)
3. x2 cos x
4. xex
5. x2e\u22123x
6. x3 cos(x2)
Às vezes, escrevendo \u201c1\u201d como 1 = (x)\u2032, integração por partes pode ser usada mesmo
quando não tem duas partes:
Exemplo 6.17. Considere
\u222b
ln x d x . Escrevendo ln x = 1 · ln x = (x)\u2032 ln x ,\u222b
ln x d x =
\u222b
(x)\u2032 ln x d x = x ln x \u2212
\u222b
x(ln x)\u2032 d x = x ln x \u2212
\u222b
x · 1
x
d x = x ln x \u2212 x + C .
Exercício 6.18. Calcule
1.
\u222b
arctan x d x
2.
\u222b
(ln x)2 d x
3.
\u222b
arcsen x d x
4.
\u222b
x arctan x d x
Consideremos agora um mecanismo particular que pode aparecer quando se aplica inte-
gração por partes:
Exemplo 6.18. Considere
\u222b
sen(x) cos(3x) d x . Integrando duas vezes por partes:\u222b
sen(x) cos(3x)d x = (\u2212 cos x) cos 3x \u2212
\u222b
(\u2212 cos x)(\u22123sen 3x)d x
=\u2212 cos x cos3x \u2212 3
\u222b
cos x sen3x d x
=\u2212 cos x cos3x \u2212 3
n
sen x sen3x \u2212
\u222b
sen x(3 cos3x) d x
o
=\u2212 cos x cos3x \u2212 3sen x sen3x + 9