Estatistica aplicada
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Estatistica aplicada


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(espaço da amostra) contínua, uma vez que não é possível definir um conjunto
finito de resultados. Existe, agora, um conjunto infinito de valores, de um modo con-
tínuo, normalmente limitado inferiormente por Xmin e superiormente por Xmax, isto é:
Xmin \u2264 xi \u2264 Xmax.
Em vez de falarmos na probabilidade de um valor, teremos, neste caso, a probabilidade
do resultado de uma experiência estar compreendido entre dois valores r \u2264 xi \u2264 s.
58 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
5.1.3 Operações com acontecimentos
Um outro conceito fundamental em probabilidade é o de acontecimento.
\u2022 Um acontecimento é um conjunto de resultados (do espaço) de uma experiência que
tem uma certa característica.
Por exemplo, se tivermos dois dados, o conjunto E é definido por:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (2, 1), (2, 2), (2, 3), ..., (3, 1), (3, 2), ...,
(4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), (5, 2), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
ao todo 36 resultados distintos, se considerarmos que temos um dado verde e um
encarnado, e por isso, o resultado (3, 1) é diferente do (1, 3). Como cada um destes
resultados é igualmente provável, essa probabilidade é igual a 1
36
.
Se estivermos interessados no acontecimento A, em que só um 3 aparece no conjunto
dos dois dados, então
A = {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
e a probabilidade de ocorrência do acontecimento A pode ser calculada da seguinte
maneira:
p(A) = p((1, 3)) + p((2, 3)) + p((3, 1)) + ... + p((5, 3)) + p((6, 3))
=
1
36
+
1
36
+
1
36
+ ... +
1
36
+
1
36
=
10
36
isto é, somamos as probabilidades dos resultados, do espaço amostra, que originam
o acontecimento A.
- Se a dos n resultados no espaço da amostra E dão origem ao acontecimento A,
então a probabilidade do acontecimento A é dada por
p(A) =
a\u2211
i=1
p(xi).
\u2022 Num espaço amostral contínuo, definimos acontecimento como sendo a ocorrência
de um resultado dentro de um certo intervalo de interesse, r \u2264 xi \u2264 s.
Por exemplo, se quisermos calcular a probabilidade de que um circuito eléctrico
funcione quanto muito 200 horas, então o acontecimento é 0 \u2264 t(tempo) \u2264 200 e a
probabilidade seria:
p(0 \u2264 t \u2264 200) =
\u222b 200
0
f(t)dt
precisando para isso de conhecer a distribuição ou função de probabilidade f(t), que
descreve este processo.
5.1. TEORIA DAS PROBABILIDADES 59
Existem duas operações que envolvem acontecimentos e que são de interesse fundamen-
tal na teoria das probabilidades: a união e a intersecção.
A operação união é representada por A+B e significa que pelo menos um dos acon-
tecimentos A ou B ocorre.
A operação intersecção é representada porAB e significa que ambos os acontecimentos
A e B ocorrem.
Para calcular a probabilidade p(A + B), suponha que a dos n resultados do espaço
E formam o acontecimento A; b dos n resultados definem o acontecimento B; e c dos
resultados originam A e B.
A probabilidade da intersecção é
p(AB) =
c\u2211
i=1
p(xi)
e
p(A + B) =
a\u2211
j=1
p(xj) +
b\u2211
k=1
p(xk)\u2212
c\u2211
i=1
p(xi)
ou seja
p(A + B) = p(A) + p(B)\u2212 p(AB)
que é a lei aditiva da probabilidade.
Suponha que o acontecimento A não pode ocorrer se o acontecimento B ocorrer, ou
vice-versa. Estes acontecimentos dizem-se mutuamente exclusivos, isto é, nunca podem
ocorrer simultaneamente os dois acontecimentos e p(AB) = 0. Assim, neste caso, temos
p(A + B) = p(A) + p(B).
Em relação ao acontecimento composto AB, se, a ocorrência do acontecimento A não vai
afectar de maneira nenhuma a ocorrência de B e vice versa, os acontecimentos dizem-se
independentes. Para acontecimentos independentes
p(AB) = p(A)p(B).
Esta propriedade pode ser generalizada para qualquer número de acontecimentos indepen-
dentes.
Por vezes, é necessário calcular a probabilidade de ocorrência do acontecimento B, dado
que o acontecimento A ocorreu. Esta situação pressupõe que a ocorrência de A irá afectar,
de alguma maneira, a ocorrência de B; isto é, os acontecimentos A e B são dependentes.
Neste caso
p(AB) = p(A)p(B/A).
A quantidade p(B/A) corresponde à probabilidade condicional do acontecimento
B, dado que ocorreu o acontecimento A. Esta probabilidade pode ser calculada a
partir de
p(B/A) =
p(AB)
p(A)
desde que p(A) \ufffd= 0.
60 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Teorema 1 (Teorema de Bayes): Suponha que uma experiência aleatória tem n resulta-
dos possíveis mutuamente exclusivos A1, A2, ..., An e que existe um acontecimento B, para
o qual p(B) \ufffd= 0. Então a probabilidade condicional da ocorrência de Ai, dado que o
acontecimento B ocorreu, é dada por
p(Ai/B) =
p(B/Ai)p(Ai)\u2211n
j=1 p(B/Aj)p(Aj)
.
5.1.4 Funções de probabilidade
Para uma variável aleatória discreta X, que pode tomar os valores x1, x2, x3, ..., xn,
as probabilidades p(xi) (ou f(xi)) formam a distribuição das probabilidades de X.
Como já foi referido na secção 5.1.2., estas probabilidades satisfazem as leis básicas de
probabilidade:
0 \u2264 f(xi) \u2264 1, i = 1, 2, ..., n
e
n\u2211
i=1
f(xi) = 1.
Esta função f(x) é conhecida por função de probabilidade da v.a. X.
Considere o exemplo de um sistema com três linhas de comunicação e a experiência
aleatória que consiste em verificar quais as linhas que estão a funcionar em certos instantes
seleccionados aleatoriamente. O espaço amostral é
E = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}
e se as probabilidades associadas a cada um dos resultados em E forem
P = {0.25, 0.15, 0.15, 0.15, 0.09, 0.09, 0.09, 0.03},
a v.a. X (= número de canais a funcionar) tem a distribuição de probabilidades repre-
sentada na tabela 5.2. Na 1a coluna estão os possíveis valores de X(= yj), a 2a tem as
probabilidades calculadas para cada valor da variável e a última coluna tem as probabili-
dades acumuladas.
A figura 5.1 apresenta o gráfico da função das probabilidades.
Por vezes, interessa-nos conhecer a probabilidade de uma v.a. X tomar um valor menor
ou igual a uma certa quantidade, xi. Designando esta probabilidade por F (xi), temos
P (X \u2264 xi) = F (xi) =
i\u2211
k=1
f(xk)
e é conhecida por função de probabilidade acumulada associada a xi.
Considerando ainda, o exemplo anterior das três linhas de comunicação, se quiséssemos
calcular a probabilidade de ter dois ou menos canais a funcionar, então
P (X \u2264 2) = F (2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.97.
5.1. TEORIA DAS PROBABILIDADES 61
Probabilidades acumuladas FX(xi)
Probabilidades
Valor possível Probabilidade acumuladas
xi fX(xi) FX(xi)
0 0.25 0.25
1 0.45 0.70
2 0.27 0.97
3 0.03 1.00
Figura 5.1: Probabilidades [5]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.2: Gráfico da função das probabilidades [5]
62 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Ou, se quiséssemos a probabilidade de ter mais do que um canal a funcionar, então
P (X > 1) = 1\u2212 P (X \u2264 1) = 1\u2212 [f(0) + f(1)] = 0.30.
A figura 5.3 mostra o gráfico das probabilidades acumuladas.
Se a v.a. X for contínua, a probabilidade de X tomar um valor específico é igual a
zero, em virtude de
P (a \u2264 x \u2264 a) =
\u222b a
a
f(t)dt = 0
sendo f(t) a função de probabilidade, que quando X é uma v.a. contínua se chama função
densidade de probabilidade.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3
V alo r d e x
F
(x
)
Figura 5.3: Gráfico das probabilidades acumuladas [5]
A função distribuição acumulada de uma v.a. contínua é definida por
P (X \u2264 s) = F (s) =
\u222b s
\u2212\u221e
f(x)dx
e
P (r \u2264 X \u2264 s) = F (s)\u2212 F (r)
=
\u222b s
r
f(x)dx.
Daqui se tira que
f(x) =
dF (x)
dx
.
Na figura 5.4 apresentamos um exemplo de uma função distribuição acumulada de uma
variável contínua.
A função distribuição acumulada goza das seguintes propriedades:
5.1. TEORIA DAS PROBABILIDADES 63
0
0,2