Estatistica aplicada
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Estatistica aplicada


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e a variância
\u3c32 = \u3bb.
A notação simplificada para representar uma v.a. X que segue esta distribuição de Poisson
é X \u223c P (\u3bb).
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.8: Histograma da distribuição de Poisson com \u3bb = 2.8 [5]
A tabela A.4 do Apêndice A apresenta uma selecção de valores da distribuição de
probabilidades de Poisson.
Exemplo 5.3.1 Considere um processo em que a média da razão de ocorrência do acon-
tecimento é 2.8; assim, a média e a variância desta distribuição são 2.8.
A figura 5.8 mostra o histograma relativo a este processo.
5.3.5 Aproximação de Poisson à distribuição binomial
A distribuição de Poisson pode também ser usada para aproximar probabilidades binomiais
quando a distribuição é nitidamente não simétrica.
Considere um processo de Poisson caracterizado pelo parâmetro \u3bb, que representa o
número médio de acontecimentos, por unidade de tempo. Seja Y uma variável aleatória que
representa o número de chegadas num intervalo (0, t) e divida-se este intervalo em n partes
iguais, de comprimento h = t/n. Considere n tentativas de Bernoulli correspondentes aos
n subintervalos - "o sucesso"corresponde à ocorrência de um acontecimento no subintervalo
e "a falha"corresponde à não ocorrência.
Quando n aumenta indefinidamente, o h aproxima-se de 0; e assim, para pequenos
valores de h é aproximadamente verdadeiro que um ou nenhum acontecimento ocorre no
intervalo de comprimento h, com probabilidades respectivamente iguais a:
p = P [ 1 acontecimento em h] = \u3bbh
1\u2212 p = P [ nenhum acontecimento em h] = 1\u2212 \u3bbh.
5.4. FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS 75
Haverá k chegadas no intervalo (0, t) se ocorrer uma em cada um dos k subintervalos. A
probabilidade desta ocorrência é binomial:
P [ k \u201dsucessos\u201d em n tentativas] =
(
n
k
)
pk(1\u2212 p)n\u2212k.
Substituindo p = \u3bbh por \u3bbt/n, temos
P [ k acontecimentos em (0, t)] =
(
n
k
)
(
\u3bbt
n
)k(1\u2212 \u3bbt
n
)n\u2212k
que, quando n tende para infinito, tende para
P [Y = k] = P [ k acontecimentos em (0, t)] =
(\u3bbt)k
k!
exp(\u2212\u3bbt).
Assim, para valores grandes de n e pequenos de p, podemos aproximar a probabilidade
binomial caracterizada pelos parâmetros n e p, pela probabilidade de Poisson , em que
m = \u3bbt = np é a média das duas distribuições.
5.4 Funções de distribuição contínuas
Existem várias distribuições contínuas que surgem de processos físicos e que nos interessam
do ponto de vista experimental. Estas são as distribuições uniforme, exponencial, gama e
normal.
Outras distribuições contínuas de interesse prioritário na análise de resultados de ex-
periências, pelo facto de estarem envolvidas com certas \u2019estatísticas\u2019 no processo de amos-
tragem, são: Qui-quadrado, t de Student e F de Fisher/Snedecor.
5.4.1 Distribuição uniforme
Considere uma v.a. X que pode tomar qualquer valor do intervalo a \u2264 X \u2264 b, com igual
probabilidade. Neste caso diz-se que a variável segue a distribuição uniforme dada por
f(x) =
1
(b\u2212 a) , se a \u2264 x \u2264 b
com \u2212\u221e < a < b <\u221e.
Os parâmetros que caracterizam esta distribuição são: a e b; a sua média é
µ =
(a + b)
2
e a variância
\u3c32 =
(b\u2212 a)2
12
.
76 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
A notação simplificada para representar uma v.a. X que segue esta distribuição uniforme
é X \u223c u(a, b).
A figura 5.9 ilustra esta função densidade de probabilidade.
Para abreviar, usaremos f.d.p. para designar função densidade de probabilidade de uma
variável.
Do ponto de vista da experimentação, a distribuição uniforme no intervalo 0 \u2264 X \u2264 1
tem um interesse especial. Ela define um conjunto de números aleatórios que são impor-
tantes na simulação de Monte Carlo.
Figura 5.9: Distribuição uniforme com a = 1 e b = 5
5.4.2 Distribuição exponencial
Vimos como uma v.a. discreta que definia o número de ocorrências de um acontecimento,
num intervalo de tempo, seguia uma distribuição de Poisson com parâmetro \u3bb. Se con-
siderarmos, agora, uma v.a. X, definida pelo tempo entre sucessivas ocorrências desse
acontecimento, então, esta variável segue a distribuição exponencial, dada por
f(x) =
1
\u3b2
exp(\u2212x
\u3b2
), para x \u2265 0
em que \u3b2 > 0.
A figura 5.10 mostra a f.d.p. para a distribuição exponencial.
A função distribuição acumulada desta variável X, é
F (x) = 1\u2212 exp(\u2212x
\u3b2
).
A quantidade \u3b2 é o parâmetro que caracteriza esta distribuição; a sua média é
µ = \u3b2
5.4. FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS 77
e a variância
\u3c32 = \u3b22.
A notação simplificada para representar uma v.a. X que segue esta distribuição exponencial
é X \u223c e(\u3b2).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.10: Distribuição exponencial com \u3b2 = 1
A Tabela A.5 do Apêndice apresenta valores de exp(x) e exp(\u2212x).
A distribuição exponencial é muito importante na teoria da fiabilidade, uma vez que
descreve as características da \u2019vida\u2019 de componentes electrónicos. Um aspecto muito im-
portante desta distribuição deve-se ao facto de ela \u2019não ter memória\u2019, isto é, a probabilidade
de que um componente terá um tempo de vida X vezes maior do que outro, é independente
da sua idade. Por outras palavras, um componente novo não é melhor do que outro que já
esteja a funcionar há 1000 horas
5.4.3 Distribuição gama
Uma v.a. X cuja f.d.p. é dada por
f(x) =
1
\u393(\u3b1)\u3b2\u3b1
x(\u3b1\u22121) exp(\u2212x
\u3b2
), para x \u2265 0
diz-se que segue a distribuição gama, em que \u3b1 e \u3b2 são constantes positivas. Os parâ-
metros que caracterizam esta distribuição são: \u3b1 e \u3b2. A média é
µ = \u3b1\u3b2
e a variância
\u3c32 = \u3b1\u3b22.
78 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
A notação simplificada para representar uma v.a. X que segue esta distribuição gama é
X \u223c G(\u3b1, \u3b2).
A importância desta distribuição deve-se ao facto de ela descrever a distribuição de uma
v.a. X, definida como sendo a soma de \u3b1 variáveis aleatórias independentes e igualmente
distribuídas (i.i.d.) segundo a exponencial com parâmetro \u3b2.
O termo \u393(\u3b1) é a função gama e é definida por
\u393(\u3b1) =
\u222b \u221e
0
t\u3b1\u22121 exp(\u2212t)dt, \u3b1 > 0
e se \u3b1 é um inteiro, a integração por partes do integral dá
\u393(\u3b1) = (\u3b1\u2212 1)!
Uma distribuição gama com o parâmetro \u3b1 inteiro, chama-se distribuição Erlang.
Um gráfico de distribuições gama típicas está representado na figura 5.11.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.11: Distribuições gama com \u3b2 = 1 e \u3b1 = 1, 2.5, 5, e 10
5.4.4 Distribuição normal
A distribuição de probabilidade contínua mais importante sob o ponto de vista da análise
estatística de dados experimentais é provavelmente a distribuição normal.
A função densidade de probabilidade de uma v.a. X normal é definida por
f(x) =
1\u221a
2\u3c0\u3c3
exp(
\u2212(x\u2212 µ)2
2\u3c32
)
para \u2212\u221e < x <\u221e.
5.4. FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS 79
A distribuição normal tem média µ e variância \u3c32, positiva. A figura 5.12 representa
uma função de probabilidade normal típica. A figura revela uma função simétrica em
relação à média µ e com a forma de um sino. A notação simplificada para representar uma
v.a. X que segue esta distribuição normal é X \u223c N(µ, \u3c32).
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-6 -4 -2 0 2 4 6
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.12: Distribuição normal
É possível obter uma forma da distribuição normal mais conveniente, usando os seus
parâmetros µ e \u3c3 (o desvio padrão) para transformar a v.a. X noutra Z de acordo com a
seguinte relação:
z =
x\u2212 µ
\u3c3
.
Esta nova distribuição tem média
µ = 0
e variância
\u3c32 = 1,
e é conhecida por distribuição normal padrão ou estandardizada e tem como f.d.p.:
f(z) =
1\u221a
2\u3c0
exp(
\u2212z2
2
).
A notação simplificada para representar uma v.a. Z que segue esta distribuição normal
padrão é Z \u223c N(0, 1).
A função distribuição acumulada é
F (z) =
1\u221a
2\u3c0