Estatistica aplicada
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Estatistica aplicada


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a distribuição de Poisson com média igual a 3. Calcule,
(a) a probabilidade de que, durante um mês, se avariem sete ou mais teares,
(b) a capacidade mínima que deve ter a oficina de reparação, de modo que, a pro-
babilidade de não haver teares aguardando reparação seja pelo menos 0.9.
3. Na inspecção de um tecido produzido em rolos, o número de defeitos encontrados
por 10 jardas é uma variável aleatória, cujo valor médio é igual a 2.8. Calcule a
probabilidade de encontrar, em 10 jardas de tecido, 3 defeitos.
4. As chamadas telefónicas chegam a uma Central Telefónica aleatoriamente a uma
média de 4 por minuto. Determine a probabilidade de que num intervalo de 15
segundos ocorram 3 ou mais chamadas.
5. Os clientes de um supermercado chegam a uma fila de espera, em que o tempo médio
entre sucessivas chegadas é de 2 minutos. Qual a probabilidade do tempo de espera
entre clientes ser menor do que 6 minutos?
6. Pequenos defeitos ocorrem na produção de uma fita de seda, à média de um por
300m. Supondo que o número de defeitos num dado comprimento de fita segue a
distribuição de Poisson, qual a probabilidade de que
(a) um rolo com 720m tenha quando muito 2 defeitos?
(b) um rolo com 360m não tenha defeitos?
7. Somente 3% dos estudantes de uma cidade têm C.I. igual ou superior a 130. Com
uma amostra aleatória de tamanho 50, use a aproximação de Poisson à distribuição
binomial para calcular
Pr[X = 2] e Pr[X \u2265 3] .
Nota: A variável X representa o número de estudantes com C.I. (coeficiente de
inteligência) igual ou superior a 130.
106 CAPÍTULO 6. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
8. As classificações, de um exame de admissão a um colégio, seguem uma distribui-
ção normal com média 500 e desvio padrão 100. Determine a probabilidade de um
estudante ter classificação
(a) superior a 650,
(b) inferior a 250,
(c) entre 325 e 675.
9. Os eixos, produzidos por uma máquina, consideram-se não defeituosos, se o desvio
do diâmetro em relação a uma dimensão especificada não é superior a 2 mm. A
experiência mostra que, o desvio é uma variável aleatória X, que segue a distribuição
normal com média zero e desvio padrão igual a 1.6 mm.
Qual a percentagem de eixos não defeituosos produzidos?
10. Uma empresa tem uma produção constante de 90 toneladas por mês e a procura
desse produto é uma variável aleatória X que segue a distribuição normal com média
80 e desvio padrão 10.
Qual a probabilidade de haver procura excedentária?
11. De um questionário conduzido há 5 anos, concluiu-se que 30% dos adultos de uma
cidade bebiam regularmente alcool. Se esta for ainda a percentagem, qual a proba-
bilidade de, numa amostra aleatória de 1 000 adultos, o número de pessoas que bebe
alcool, ser
(a) menor que 280,
(b) maior ou igual a 316.
12. A duração, em milhares de horas, de um componente de um tipo de aparelho de
radar, é uma variável aleatória X cuja f.d.p. é
f(x) =
{
0.1 exp(\u22120.1x) para x > 0
0 para x \u2264 0
Determine a probabilidade de um componente, escolhido ao acaso, durar
(a) menos de 4× 103 horas
(b) entre 5× 103 e 10× 103 horas.
13. Uma fábrica de sapatos tem uma máquina que corta peças, de borracha comprimida,
para serem usadas em solas. A espessura dessas solas é uma variável aleatória nor-
malmente distribuída com \u3c3 = 2mm. O valor médio da espessura é µ = 25mm.
Para se tentar corrigir estas medidas, reajustando a máquina, é conveniente verificar
6.5. EXERCÍCIOS 107
a qualidade do produto, medindo a espessura das solas de uma amostra aleatória
tirada periodicamente da máquina. As espessuras das solas, de uma amostra de 5
elementos, foram registadas e a média aritmética X foi calculada. Se X < 24.8 ou
X > 25.2 diz-se que a máquina não está controlada. A máquina é então parada e
reajustada.
(a) Com a média µ = 25mm, qual a probabilidade de a amostra indicar que a
máquina não está controlada?
(b) Se a média mudar para µ = 25.3mm, qual a probabilidade de a amostra indicar
que a máquina não está controlada?
14. Duas amostras aleatórias independentes foram retiradas de uma população normal
com média 150 e variância 28.6. As amostras têm, respectivamente, tamanhos 10 e
25 e médias aritméticas X1 e X2. Determine
(a) var[X1 \u2212X2]
(b) Prob(|X1 \u2212X2| > 4)
15. Para estudar o crescimento das árvores de pinheiro, um trabalhador registou 40
medições das alturas de árvores de 1 ano de idade. Os valores obtidos foram,
2.6 1.9 1.8 1.6 1.4 2.2 1.2 1.6
1.6 1.5 1.4 1.6 2.3 1.5 1.1 1.6
2.0 1.5 1.7 1.5 1.6 2.1 2.8 1.0
1.2 1.2 1.8 1.7 0.8 1.5 2.0 2.2
1.5 1.6 2.2 2.1 3.1 1.7 1.7 1.2
Dê uma estimativa pontual da média das alturas da população dos pinheiros e diga,
com 95.4% de certeza, qual o limite do erro cometido.
16. Determine uma condição que os coeficientes ai devem verificar de modo que a com-
binação linear
\u2211n
i=1 aiXi defina um estimador não tendencioso para a média da po-
pulação µ.
17. Um clube de compras pelo correio, oferece mensalmente produtos que podem ser
adquiridos pelos sócios. É feito um teste de aceitação do produto, mandando o
produto para 250 sócios, escolhidos ao acaso dentre os 9 000 membros. Baseada
nesta amostra, somente 70 sócios decidiram comprar o produto. Dê uma estimativa
pontual da proporção de sócios que se espera comprem o produto. Calcule com 95.4%
de certeza, um limite do erro cometido.
18. Um engenheiro pretende estimar a média do resultado de um processo químico, ba-
seada em três medições, X1, X2 e X3, resultantes de 3 experiências.
108 CAPÍTULO 6. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Considere os seguintes estimadores para a média µ,
T1 =
X1 + X2 + X3
3
e T2 =
X1 + 2X2 + X3
4
Qual dos dois estimadores deve preferir?
19. Suponha que é necessário que a resistência à ruptura de um certo tipo de fita seja
de 83.9 Kg e que 5 peças aleatoriamente seleccionadas de diferentes rolos têm uma
resistência média de 83.05 Kg com um desvio padrão de 3.72 Kg. Assumindo que os
dados provêm de uma amostra aleatória de uma população normal, teste a hipótese
nula µ = 83.9 contra a hipótese alternativa µ < 83.9 a um nível de significância de
\u3b1 = 0.05.
20. Represente as funções de verosimilhança, baseadas em amostras aleatórias de tama-
nho n, das seguintes distribuições,
(a) exponencial, e(\u3b2)
(b) Poisson, P (\u3bb).
21. Se X1, X2..., Xn representam os elementos de uma amostra aleatória de uma distri-
buição com f.d.p.,
f(x; \u3b8) =
{
\u3b8x\u3b8\u22121 para 0 < x < 1 e 0 < \u3b8 <\u221e
0 nos outros casos
determine a \u2019estatística\u2019 de máxima verosimilhança para o parâmetro \u3b8.
22. Se X1, X2, ..., Xn são os elementos de uma amostra aleatória tirada da distribuição
N(\u3b81, \u3b82) em que \u2212\u221e < \u3b81 <\u221e e 0 < \u3b82 <\u221e, determine as \u2019estatísticas\u2019 de máxima
verosimilhança para os parâmetros \u3b81 e \u3b82.
23. Suponha que X segue uma distribuição de Weibull, com f.d.p.
f(x; \u3b8) = \u3b8\u3b1x\u3b1\u22121e\u2212\u3b8x
\u3b1
para x > 0 .
(sendo \u3b1 conhecido). Determine uma \u2019estatística\u2019 de máxima verosimilhança para
estimar o parâmetro da distribuição, baseada numa amostra de tamanho n.
24. A função densidade de probabilidade da v.a. X é
f(x; \u3b81, \u3b82) =
1
\u3b82
exp[\u2212(x \u2212 \u3b81)
\u3b82
] para
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\u3b81 \u2264 x <\u221e
\u2212\u221e < \u3b81 <\u221e
0 < \u3b82 <\u221e
.
(a) Calcule estimadores de máxima verosimilhança para \u3b81 e \u3b82.
6.5. EXERCÍCIOS 109
(b) Calcule a média da distribuição.
(c) A partir dos estimadores já obtidos em a), determine um estimador para a média
da distribuição.
25. Seja X uma variável aleatória, cuja f.d.p. f(x) é a seguinte:
f(x; \u3b81, \u3b82) =
{
1
\u3b82\u2212\u3b81 se \u3b81 < x < \u3b82
0 nos outros casos
.
Determine estimadores de máxima verosimilhança para \u3b81 e \u3b82.
26. Um relojoeiro pretende conhecer as variações do produto que fabrica. Para construir
um intervalo de confiança para \u3c3 baseou-se numa amostra aleatória de 10 relógios
escolhidos dentre os relógios que passaram o último teste de qualidade. Os valores
dos desvios dos 10 relógios, em relação a um relógio \u201dpadrão\u201d,