Estatistica aplicada
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Estatistica aplicada


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Como os blocos são homogéneos, isto é, as unidades experimentais dentro de cada bloco
têm as mesmas características, as comparações relativas aos efeitos dos tratamentos são
feitas entre os resultados do mesmo bloco.
7.4. TESTE ÀS MÉDIAS DE K DISTRIBUIÇÕES 123
A aleatoriedade é ainda um dos princípios fundamentais neste tipo de planeamento.
Do 1obloco selecciona-se ao acaso 1 unidade experimental para receber o tratamento 1,
uma das restantes k \u2212 1 unidades é seleccionada ao acaso para receber tratamento 2, etc.
Repete-se o mesmo processo nos outros blocos utilizando, contudo, sequências de números
aleatórios diferentes em cada bloco. É vantajosa a selecção casual da ordem de execução
das experiências de bloco para bloco.
Os resultados obtidos das experiências podem ser apresentados numa tabela do tipo,
tratamento 1 tratamento 2 ... tratamento k média
do bloco
bloco 1 y11 y12 ... y1k y1.
bloco 2 y21 y22 ... y2k y2.
.
. . . ... .
.
bloco b yb1 yb2 ... ybk yb.
média do
tratamento y.1 y.2 ... y.k Y
em que yij é resultado de aplicar tratamento j no bloco i. As médias são dadas por
yi. =
1
k
k\u2211
j=1
yij para i = 1, ..., b
y.j =
1
b
b\u2211
i=1
yij para j = 1, ..., k
A análise da variância:
As observações de uma tabela de duas entradas incluem variações devidas aos trata-
mentos e variações devidas aos blocos. A decomposição total é neste caso,
yij \u2212 Y = (y.j \u2212 Y ) + (yi. \u2212 Y ) + (yij \u2212 yi. \u2212 y.j + Y )
observação- variação variação resíduo (variação
-grande devida ao devida ao devida aos erros)
média tratamento bloco
A soma dos quadrados dos tratamentos (SQT), a variação total devi- da às dife-
renças nas médias dos tratamentos é
SQT =
b\u2211
i=1
k\u2211
j=1
(y.j \u2212 Y )2
= b
k\u2211
j=1
(y.j \u2212 Y )2 . (7.10)
124 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
A soma dos quadrados dos blocos (SQB), a variação total devida às diferenças nas
médias das observações dentro dos blocos é dada por
SQB =
b\u2211
i=1
k\u2211
j=1
(yi. \u2212 Y )2
= k
b\u2211
i=1
(yi. \u2212 Y )2 . (7.11)
A soma dos quadrados dos resíduos (SQR), a variação total devida aos erros casuais
é dada por
SQR =
b\u2211
i=1
k\u2211
j=1
(yij \u2212 yi. \u2212 y.j + Y )2 . (7.12)
Finalmente, a variação total das observações em relação à grande média, a soma total
dos quadrados (STQ) é dada
STQ =
b\u2211
i=1
k\u2211
j=1
(yij \u2212 Y )2 (7.13)
e é igual a
b
k\u2211
j=1
(y.j \u2212 Y )2 + k
b\u2211
i=1
(yi. \u2212 Y )2 +
b\u2211
i=1
k\u2211
j=1
(yij \u2212 yi. \u2212 y.j + Y )2 .
Assim,
Q = Q4 + Q2 + Q5 .
Se considerarmos as variáveis yij normalmente distribuídas com variância \u3c32 desconhe-
cida, então SQT
\u3c32
= Q4
\u3c32
é uma v.a. distribuída segundo o Qui-quadrado com k \u2212 1 graus de
liberdade e SQB
\u3c32
= Q2
\u3c32
é \u3c72(bk \u2212 1). Aplicando o Teorema das Formas Quadráticas tira-se
que Q5
\u3c32
ou SQR
\u3c32
é \u3c72 com (b \u2212 1)(k \u2212 1) graus de liberdade e que as variáveis Q4, Q2 e Q5
são estocasticamente independentes. Assim podemos formar a tabela ANOVA com,
fonte soma dos graus de média dos v.a. F
quadrados liberdade quadrados
tratamentos SQT k \u2212 1 MQT = SQTk\u22121 F1 = MQTMQR
blocos SQB b\u2212 1 MQB = SQBb\u22121 F2 = MQBMQR
erros SQR (b\u2212 1)(k \u2212 1) MQR = SQR(b\u22121)(k\u22121)
TOTAL STQ bk \u2212 1
Modelo populacional e inferências do planeamento:
7.4. TESTE ÀS MÉDIAS DE K DISTRIBUIÇÕES 125
Para testar a hipótese de que não existem diferenças significativas entre tratamentos,
neste planeamento, usamos o modelo,
yij = µ + \u3b1i + \u3b2j + eij para i = 1, ..., b e
j = 1, ..., k .
com µ a média total da distribuição, \u3b1i representa o efeito devido ao bloco i, \u3b2j o efeito
devido ao tratamento j e eij é o erro casual com distribuição normal com média 0 e desvio
padrão \u3c3.
Para o teste, a hipótese nula de que não existem diferenças significativas entre os tra-
tamentos é
H01 : \u3b21 = \u3b22 = ... = \u3b2k = 0
contra a hipótese alternativa H11: de que existem efeitos devidos aos tratamentos.
Para testar esta hipótese baseamo-nos no seguinte:
Comparamos a média dos quadrados dos tratamentos com a média dos quadrados dos
resíduos. Quando o numerador tiver valores elevados, ou a razão
MQT
MQR
= F1 > c, rejeita-se H0
pois, nestas condições, as diferenças das médias y.j, em relação à grande média Y são gran-
des, significando que existem diferenças entre os tratamentos. A constante c é determinada
da condição
Pr[rejeitar H01;H01] = \u3b1
Pr[F1,((k\u22121),(b\u22121)(k\u22121)) > c;H01] = \u3b1 ,
sendo \u3b1 o nível de significância escolhido para o teste. A variável F1 segue a distribuição
F - Fisher com k \u2212 1 e (b\u2212 1)(k \u2212 1) graus de liberdade (Tabela A.9).
Pode também testar-se a hipótese de que não existem diferenças significativas entre os
efeitos dos blocos, com
H02 : \u3b11 = \u3b12 = ... = \u3b1k = 0
contra a hipótese alternativa H12: de que existem diferenças entre os efeitos dos blocos. O
teste baseia-se na \u2019estatística\u2018
F2 =
MQB
MQR
que tem uma distribuição de F - Fisher com (b \u2212 1) e (b \u2212 1)(k \u2212 1) graus de liberdade.
Assim,
rejeita-se H02 se F2 > c
com c determinado da condição de
\u3b1 = Pr[F2 > c;H0] .
126 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Intervalos de confiança para diferenças entre pares de médias de tratamen-
tos:
Quando o teste baseado em F1 leva à rejeição da hipótese nula H01, significando pois
que existem diferenças significativas entre tratamentos, podemos construir intervalos de
confiança, para comparar pares de médias de tratamentos.
A diferença
\u3b2j1 \u2212 \u3b2j2
das duas médias, dos resultados da aplicação dos tratamentos j1 e j2, pode ser estimada
por y.j1\u2212y.j2. Esta \u2019estatística\u2019 é normalmente distribuída com média \u3b2j1\u2212\u3b2j2 e variância
\u3c32(2
b
). Assim, a variável
T =
y.j1 \u2212 y.j2 \u2212 (\u3b2j1 \u2212 \u3b2j2)\u221a
MQR(2
b
)
(7.14)
é distribuída segundo t - Student com (b\u2212 1)(k\u2212 1) graus de liberdade (Tabela A.8). Este
resultado pode ser usado para calcular intervalos de confiança para a diferença \u3b2j1 \u2212 \u3b2j2
entre as média dos tratamentos j1 e j2.
7.4.4 Amostras relacionadas. Planeamento com blocos incomple-
tos
As propriedades mais simples e importantes dos planeamentos com blocos incompletos, são
as seguintes:
1. Cada bloco tem o mesmo número de unidades experimentais;
2. Cada tratamento é testado o mesmo número de vezes;
3. Se considerarmos dois tratamentos e contarmos o número de vezes que são testados
no mesmo bloco, esse número é igual para qualquer par de tratamentos seleccionados.
Qualquer planeamento que satisfaça estas três propriedades chama-se planeamento
ajustado com blocos incompletos.
Num planeamento deste tipo, interessa analisar as seguintes quantidades:
i) número de tratamentos, k ;
ii) número de vezes que cada tratamento aparece (replicação), r ;
iii) número de blocos, b ; e
iv) número de unidades experimentais por bloco, t .
7.4. TESTE ÀS MÉDIAS DE K DISTRIBUIÇÕES 127
Nesta situação, o número total de unidades experimentais usadas na experiência é igual
a n, sendo
n = kr = bt (7.15)
Um exemplo de planeamento ajustado com blocos incompletos é o seguinte:
- Tendo sido definidos 4 tratamentos A, B, C e D e existindo 4 blocos (1,2,3 e 4), cada
um deles com 3 unidades, temos
tratamento
A B C D
bloco bloco
1 A B C \u21d4 1 y1A y1B y1C \u2013
2 A B D 2 y2A y2B \u2013 y2D
3 A C D 3 y3A \u2013 y3C y3D
4 B C D 4 \u2013 y4B y4C y4D
Neste caso, k = 4, b = 4, r = 3, t = 3 e n = 12.
128 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Análise da variância e cálculo das médias ajustadas dos tratamentos:
O modelo probabilístico das observações para este tipo de planeamento é
yij = µ + \u3b1i + \u3b2j + eij ,
em que µ é a média, \u3b1i o efeito devido ao bloco i (i = 1, ..., b), \u3b2j o efeito devido ao
tratamento j (j = 1, ..., k) e eij são os erros aleatórios de observação, independentes e
normalmente distribuídos com média zero e variância comum \u3c32.
Uma vez que, nem todos os tratamentos aparecem em todos os blocos, ter-se-á que