Estatistica aplicada
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Estatistica aplicada


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1. Até agora, a percentagem de empregados de uma firma que usavam transporte pú-
blico, para se deslocarem para o emprego e do emprego para casa, era de 20%.
Foi feita uma campanha para a utilização dos transportes públicos. Pretende-se
saber se a campanha foi eficaz. Para isso, considerou-se uma amostra aleatória de 25
empregados e o número de empregados que passou a utilizar os transportes públicos
é dado por X.
(a) Formule a hipótese nula, em termos de p, proporção da população de empregados
da firma que utiliza os transportes públicos.
(b) Qual seria a região de rejeição, se \u3b1, nível de significância do teste, deve ser
controlado para um valor menor que 0.1?
2. Quando o resultado de um processo de produção é estável a um nível aceitável, diz-se
que está controlado.
Suponha que o processo tem estado controlado desde algum tempo e que a proporção
de produtos defeituosos é de 0.05.
Para automatizar o processo, o chefe de produção decide considerar o processo não
controlado se mais do que 2 produtos defeituosos forem encontrados, numa amostra
aleatória de 15 produtos.
(a) Determine \u3b1, a probabilidade de aparecer não controlado, quando p = 0.05.
(b) Determine o gráfico da curva potência, para este esquema de controle, quando
p = 0.05, 0.1, 0.3 e 0.4.
3. Numa fábrica, o chefe de produção afirma que, 40% das máquinas de escrever vendi-
das naquela região, são produtos da sua fábrica.
Considerando p = 0.4 como a hipótese nula, o chefe decide considerar a sua afirmação
como aceitável, a não ser que dentre 19 máquinas se verificar que X \u2264 3 ou X \u2265 12,
sendo X o número de máquinas de escrever vendidas pela sua fábrica.
(a) Determine o nível de significância deste teste.
(b) Determine a potência do teste para vários valores de p, desde 0.1 a 0.9.
4. Dentre as 60 lâminas testadas, somente 7 lâminas do rotor de uma turbina a gás,
falharam.
Até agora e em testes idênticos, costumavam falhar 20% das lâminas.
Serão agora as lâminas testadas significativamente melhores que as usadas anterior-
mente?
172 CAPÍTULO 8. TESTES ÀS PROPORÇÕES
5. Pretende-se testar dois métodos diferentes de ensino.
Usaram-se dois grupos diferentes de estudantes. Cada grupo tem 100 alunos e dentro
de cada grupo o nível de ensino é o mesmo. No final do semestre é atribuída uma
classificação que vai de A a E. Os resultados obtidos foram,
Classificação A B C D E
Grupo 1
(com método 1) 15 25 32 17 11 100
Grupo 2
(com método 2) 9 18 29 28 16 100
Se considerarmos estes valores como sendo observações tiradas de duas distribuições
multinomiais independentes, teste a hipótese de que as duas distribuições são iguais,
isto é, que os dois métodos de ensino são igualmente eficazes.
6. Foi feito um inquérito às populações rural e urbana do concelho de Vila Boa, para
determinar as preferências relativas aos programas de televisão do canal 3. A amostra
conseguida apresenta os seguintes resultados:
Tipos de programas preferidos
Zona Comédia Musical Desportivo Policial
Urbana 100 60 100 80
Rural 70 40 50 70
Teste a hipótese de que não exitem diferenças nas preferências de programas entre
os residentes das zonas urbana e rural.
7. Foi escolhido ao acaso, um cavalo para correr em 80 corridas. Em cada corrida o
cavalo foi classificado de acordo com a posição no início da corrida e a posição em
que ficou no final da corrida. A tabela das frequências observadas é a seguinte
Posição no início Posição no final da corrida
da corrida
1 2 3 outras
1 - 4 8 6 8 16
5 - 9 3 6 5 28
Verifique se os dados são consistentes com a afirmação de que a posição do cavalo no
final da corrida não depende da posição dada no início da corrida.
8. Vai ser proposta uma nova Regulamentação para os dormitórios de um Colégio de
estudantes. Pedida a opinião, sobre a proposta, a um grupo de 350 estudantes,
8.4. EXERCÍCIOS 173
registaram-se as seguintes frequências,
Estudantes a favor contra indiferente
Sexo masculino 93 21 72
Sexo feminino 55 30 79
Verifique se estes dados são consistentes com a afirmação de que a opinião sobre a
proposta é a mesma, quer o estudante seja do sexo masculino ou feminino.
9. Foi feita uma pesquisa de mercado a várias empresas de negócios de diversos tama-
nhos. Para cada grupo de empresas, foram enviados 200 questionários. As empresas
foram classificadas de acordo com o volume de negócios como: pequena empresa,
média empresa, grande empresa. Os resultados foram resumidos no quadro:
Tamanho da empresa
pequena média grande
responderam ao
questionário 125 82 40
não responderam
ao questionário 75 118 160
Interessa-nos saber se as proporções das respostas ao questionário recebidas variam
com o tamanho da empresa de negócios.
174 CAPÍTULO 8. TESTES ÀS PROPORÇÕES
Capítulo 9
Testes de ajuste de distribuições
9.1 Teste do Qui-Quadrado para grandes amostras
Considere os dois exemplos seguintes:
Exemplo 9.1.1 Uma máquina de lavar roupa pode ser vendida em 5 cores diferentes.
Pretende-se estudar a popularidade das diferentes cores. Assim, de uma amostra aleatória
de 300 máquinas já vendidas, registou-se o número de máquinas vendidas, de cada uma
das cores,
cor de pera castanha encarnada azul branca TOTAL
frequência 88 65 52 40 55 300
Considere, para este caso, a hipótese nula de que todas as cores são igualmente popu-
lares.
Exemplo 9.1.2 Pretende-se estudar a distribuição da frequência dos pedidos feitos às
companhias de seguros, para o pagamento de tratamentos em hospitais. O estudo foi base-
ado em famílias com dois filhos, cujos pais não tenham mais do que 50 anos de idade.
De uma amostra aleatória de 200 dessas famílias, registou-se o número desses pedidos,
num período de 4 anos.
node pedidos 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL
frequência 22 53 58 39 20 5 2 1 200
Face a estes valores, acha que a distribuição de Poisson se ajusta à frequência desses
pedidos?
Em ambos os exemplos, a análise consiste em verificar se o modelo dado pela hipótese
nula se ajusta aos valores observados. A este tipo de análise estatística é costume dar o
nome de teste do \u2019bom\u2019 ajuste.
Em testes deste tipo, a hipótese nula especifica a estrutura para as probabilidades
desconhecidas das classes. Podem considerar-se dois casos: no primeiro (em 9.1.1) as pro-
babilidades vêm completamente especificadas na H0 e no segundo (em 9.1.2) a distribuição
não vem completamente caracterizada na H0.
175
176 CAPÍTULO 9. TESTES DE AJUSTE DE DISTRIBUIÇÕES
9.1.1 Distribuição completamente especificada na hipótese nula
Quando as probabilidades são completamente especificadas pela hipótese nula H0, temos
H0 : p1 = p10, p2 = p20, ..., pk = pk0
com p10, p20, ... e pk0 valores numéricos dados, que satisfazem p10 + p20 + ... + pk0 = 1.
Como exemplo deste caso, tem-se o exemplo 9.1.1, no qual, segundo a hipótes nula,
p10 = p20 = p30 = p40 = p50 =
1
5
.
As frequências esperadas (teóricas) podem ser calculadas directamente, multiplicando
as probabilidades pi0 por n.
O teste do \u2019bom\u2019 ajuste permite verificar se existem diferenças significativas entre as
frequências observadas Xi e as frequências esperadas npi0 (i = 1, ..., k), de acordo com a
hipótese nula. A quantidade mais adequada para medir essas diferenças é a \u2019estatística\u2019
Qk\u22121 =
k\u2211
i=1
(Xi \u2212 npi0)2
npi0
(9.1)
que tem distribuição assimptótica \u3c72(k\u22121). Se a \u2019estatística\u2019 tiver um valor numérico apre-
ciável, isto indica a existência de diferenças significativas entre os valores observados e
o modelo descrito pela hipótese nula e o extremo do lado direito da distribuição do \u3c72
representa a região de rejeição.
O teste consiste em
rejeita-se H0 se Q > c
em que c é determinado de tal modo que
\u3b1 = Pr[Qk\u22121 > c;H0]
é o nível de significância escolhido para o teste.
9.1.2 Distribuição não totalmente especificada. Estimação de pa-
râmetros
No segundo tipo de problemas, as probabilidades