Apostila de Estatística - Gazola
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Apostila de Estatística - Gazola


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de falhar para três pessoas? 
Qual a probabilidade de não falhar? 
 
09) Supomos que a média da altura dos alunos do Curso de Ciências Biológicas \u2013 Ensino a 
Distância, é de 1,70 metros e o desvio-padrão é de 0,20 metros. Sabendo-se que a 
distribuição das alturas é normal, calcule a probabilidade de um aluno ter: 
a) Altura inferior a 1,60 metros. 
b) Altura superior a 1,60 metros. 
c) Altura entre 1,65 e 1,75 metros. 
 
10) Na prova de Bioestatística de certa turma, supomos que a média foi de 7,0 e o desvio-
padrão 0,7. Se as notas têm distribuição normal, calcule a probabilidade de um aluno obter: 
a) Nota inferior a 5,0. 
b) Nota superior a 9,0. 
c) Nota entre 6,0 e 8,0. 
 
11) Supomos que o peso médio dos alunos do Curso de Ciências Biológicas \u2013 Ensino a 
Distância é de 67,0 kg e o desvio-padrão é de 8,0 kg e que tem distribuição 
aproximadamente normal. Se 20 estudantes têm peso acima de 80 kg, quantos estudantes 
têm no curso? 
 
12) Supomos que o tempo de vida (em dias) de um animal de laboratório tem distribuição 
N(50, 36). Qual a probabilidade de um animal durar mais de 55 dias? Qual a probabilidade 
de um animal durar no máximo 50 dias? 25% dos animais duram mais de quantos dias? 
 
 
 63
Capítulo 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
E 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 64
Quando estamos interessados em estudar certas características de uma população, 
lançamos mão de uma amostra extraída dessa população, estudamos seus elementos e 
procuramos, através dessa amostra, estimar o parâmetro populacional. Lembremos que o 
parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população e uma 
estatística é uma combinação dos elementos da amostra usada para estimar um parâmetro, 
também chamada de estimador. Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores, 
denominamos de estimativas. 
 
Quadro 6.1 Exemplos de parâmetros e estatísticas. 
PARÂMETROS ESTATÍSTICAS 
µ = média da população X = média da amostra 
\u3c32 = variância da população S2 = variância da amostra 
\u3c3 = desvio padrão da população S = desvio padrão da amostra 
p = proporção da população p\u2c6 = proporção da amostra 
 
A estatística obtida de uma amostra aleatória é uma variável aleatória e sua 
distribuição de probabilidade é chamada de distribuição amostral. 
 
 
6.1 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
O problema da Inferência Estatística é fazermos afirmações sobre parâmetros da 
população através da amostra. Suponhamos que tal afirmação deva ser feita sobre um 
parâmetro \u3b8 da população (média, variância ou qualquer outra medida). Vamos supor que 
escolhemos uma amostra casual simples ( , ,..., )X X Xn1 2 , com reposição, sorteados na 
população, com Xi (i=1, ..., n), identicamente distribuídos. Faremos nossa decisão, 
baseados na estatística T, que será uma função da amostra ( , ,..., )X X Xn1 2 , e, portanto 
uma variável aleatória. Colhida uma amostra, temos um particular valor de T, digamos t 0 , 
e baseado nesse valor é que a afirmação sobre \u3b8 deve ser feita. 
 
A validade de nossa resposta será melhor compreendida se soubermos o que 
acontece com a estatística T quando retiramos todas as amostras da população, segundo o 
plano amostral adotado. Isto é, se soubermos qual a distribuição de probabilidade da 
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estatística T. Esta distribuição é chamada distribuição amostral da estatística T e 
desempenha papel fundamental na teoria de Inferência Estatística. Assim, definimos: 
 
Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidade que indica até 
que ponto uma estatística amostral tende a variar devido a variações casuais na 
amostragem aleatória. 
 
Uma vez que a estatística amostral é uma variável aleatória, estaremos interessados 
não apenas no seu modelo probabilístico, mas também na sua média ou valor esperado e 
sua variância. 
 
6.1.1 Distribuição Amostral da Média 
Consideremos uma população X com parâmetros µ e \u3c3. Se tirarmos uma amostra 
aleatória de tamanho n e calcularmos a sua média, temos um valor x1. Tirando uma 
segunda amostra temos uma nova média, x2 , em geral diferente de x1, e assim, para cada 
diferente amostra de tamanho n temos um diferente valor da média amostral, X . Temos, 
portanto, que a média amostral, é uma variável que muda de valor, de amostra em amostra. 
Tem, portanto, sentido falar da "distribuição de médias amostrais", uma vez que X é uma 
variável aleatória. 
 
Para facilitar o entendimento dos resultados que serão apresentados, iniciamos com 
um exemplo. 
 
Exemplo 6.1 Seja uma população constituída por 5 funcionários de uma pequena 
lanchonete e consideremos o conjunto {2 , 3 , 4 , 4 , 5} dos salários (dados em salários 
mínimos) de cada um. Defina a variável X: salário do funcionário da lanchonete. 
a) Encontre a distribuição da v.a. X. 
b) Calcule a média (µ), a variância (\u3c32) e o desvio padrão (\u3c3) da v.a. X. 
c) Determine todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, da população 
dos salários. 
d) Encontre a distribuição da v.a. média amostral, X 
e) Calcule a média (E( X )), a variância (Var( X )) e o desvio padrão (DP( X )) da v.a. média 
amostral. 
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f) Construa o gráfico da distribuição da v.a. X e compare com o gráfico da distribuição 
normal. O que podemos concluir? 
 
Consideremos então a variável X com valores: 2, 3, 4, 5. 
a) A distribuição de probabilidade de X é: 
X 2 3 4 5 \u2211 
p(x) 1/5 1/5 2/5 1/5 1 
b) µ = 3,6 ; \u3c32 = 1,04 ; \u3c3 = 1,02 
c) Amostras: (X1 , X2) = {(2 , 2) ; (2 , 3) ; (2 , 4) ; (2 , 4) ; (2 , 5) ; (3 , 2) ; (3 , 3) ; (3 , 4) ; 
(3 , 4) ; (3 , 5) ; (4 , 2) ; (4 , 3) ; (4 , 4) ; (4 , 4) ; (4 , 5) ; (4 , 2) ; (4 , 3) ; (4 , 4) ; (4 , 4); (4 , 
5) ; (5 , 2) ; (5 , 3) ; (5 , 4) ; (5 , 4) ; (5 , 5)}. 
d) Valores da v.a. X : { x 1=2; x 2=2,5; x 3=3; x 4=3; x 5=3,5; x 6=2,5; x 7=3; x 8=3,5; 
x 9=3,5; x 10=4; x 11=3; x 12=3,5; x 13=4; x 14=4; x 15=4,5; x 16=3; x 17=3,5; x 18=4; x 19=4; 
x 20=4,5; x 21=3,5; x 22=4; x 23=4,5; x 24=4,5; x 25=5} 
 
Distribuição de probabilidade de X : 
X 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 \u2211 
p( x ) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1 
 
e) E( X ) = 3,6 ; Var( X ) = 0,52 ; DP( X ) = 0,72. 
Assim, E( X )=µ=3,6 e Var( X )= 2
n
1
\u3c3 =1,4/2=0,52 
f) O gráfico da distribuição da v.a. X é apresentado na Figura 6.1. 
 
Figura 6.1 Gráfico da distribuição da v.a. X . 
 
 67
Podemos concluir que X \u223c N(µ , 
n
2\u3c3 ) 
 
Generalizando, seja uma população infinita identificada pela v.a. X com média µ e 
variância conhecida \u3c32, e seja (X1, X2, ..., Xn ) uma amostra casual simples de tamanho n. 
Então, se 
 
n
X...XXX n21 +++= , temos: 
 
Valor esperado da média amostral: E( X )=µµµµ 
Variância da média amostral: V( X ) = 
n
2\u3c3
. 
O desvio padrão da média amostral: DP( X ) = 
n
\u3c3
. 
 
Para amostragem sem reposição e população finita, N<20.n, usamos: 
V( X ) = 
1N
nN
.
n
\u3c3 2
\u2212
\u2212
, 
onde N é o número de elementos da população e o fator N n
N
\u2212
\u22121
 é chamado de fator de 
correção para população finita. Uma regra prática é que a correção é insignificante e pode 
ser omitida sempre que o tamanho da amostra for menor que 5% do tamanho da população. 
 
A forma da distribuição amostral de X , é dada por um importante teorema de 
probabilidade. 
 
Teorema do Limite Central: Seja {Xn} uma sucessão de n variáveis aleatórias 
igualmente distribuídas e independentes, com valor médio µ e variância \u3c32 (finita). A 
variável aleatória X =\u3a3(Xi)/n tem distribuição assintoticamente normal, com parâmetros µ 
e \u3c32/n. Ou seja, para um valor de n suficientemente grande, a distribuição de X é N(µ , 
\u3c32/n), e escreve-se 
X ~ N(µ , \u3c32/n). 
 
 68
Teorema: Seja {Xn} uma sucessão