Apostila de Estatística - Gazola
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Apostila de Estatística - Gazola


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Para variância populacional, \u3c32, desconhecida: Se a variância populacional \u3c32 for 
desconhecida e supondo população com distribuição Normal, a estatística do teste é: 
X-µT=
s/ n
 \u223c t(n-1) 
 
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Em um teste estatístico admitimos sempre que H0 é verdadeira, para a partir daí, 
desenvolver o critério de decisão para rejeitar ou não tal hipótese. Assim, sob H0, e com as 
informações obtidas na amostra, o valor da estatística do teste é dado por: 
0
calc
x-µ
z =
\u3c3/ n
 ou 0calc
x-µ
t =
s/ n
 
 
3) Região crítica ou de rejeição: 
A decisão de rejeitar ou não H0, ou seja, decidir se a diferença ( 0µx \u2212 ) é ou não 
significativa, é tomada com base na região crítica RC (ou região de rejeição de H0) que é 
construída de modo que P( X \u2208RC/H0 é verdadeira) = \u3b1 , onde \u3b1 é o nível de significância 
do teste. A construção da RC depende também do tipo de teste que estamos realizando e 
está relacionada com a hipótese definida no item 1. A figura a seguir apresenta as regiões 
críticas, que são as áreas hachuradas, para cada tipo de teste. Os valores de ±E\u3b1 e ±E\u3b1/2 são 
obtidos das tabelas das distribuições de probabilidade da estatística do teste, que pode ser Z 
ou T, para o nível de significância \u3b1 considerado. 
 
 
4) Decisão: Se o valor da estatística do teste zcal ou tcal pertencer à região crítica RC, 
rejeitamos a hipótese H0 ao nível \u3b1 de significância. Caso contrário, não podemos rejeitá-
la. 
 
Uma outra forma de realizar o teste é fazendo uso da Probabilidade de 
Significância. A probabilidade de significância (ou p-valor), denotada por p, é a 
probabilidade da estatística do teste fornecer um valor além (mais distante) do valor 
fornecido pela amostra. A Figura a seguir retrata a situação. 
 
 
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Ecal é o valor da estatística do teste, calculado usando os dados amostrais. Nesta 
situação, o valor da probabilidade de significância p é \u201ca probabilidade da estatística do 
teste dar um valor além do valor Ecal\u201d e representada pelas áreas hachuradas na figura. 
Observemos que o valor de p varia de acordo com as hipóteses previamente 
definidas, podendo ser: 
a) A área da direita mais a da esquerda (p=P(x<-Ecal) + P(x>Ecal), ou ainda como existe 
simetria, p=2.P(x<-Ecal)). 
b) Somente a área da direita (p=P(x>Ecal). 
c) Somente a área da esquerda (p=P(x<-Ecal)). 
 
Decisão: Se o valor de p<\u3b1 rejeitamos a hipótese H0 ao nível \u3b1 de significância. Caso 
contrário, não podemos rejeitá-la. 
 
Exemplo 7.1 Estamos desconfiados de que a média dos alunos do Curso de Ciências 
Biológicas - Ensino a Distância, na disciplina de Bioestatística é 7,0. Tomamos uma 
amostra aleatória de 25 alunos que forneceu média 6,5 e desvio padrão 1,6. Se as notas dos 
alunos têm distribuição normal, vamos testar ao nível de significância de 5% se a 
verdadeira nota dos alunos é 7,0. 
 
Solução: 
Dados: µ=7,0, n=25, x =6,5 s=1,6 e \u3b1=5% 
 
1) Definição das hipóteses: 
0
1
H :µ=7,0 (a nota dos alunos nao difere de 7,0)
 
H :µ 7,0 (a nota dos alunos difere de 7,0)
\uf8f1
\uf8f2
\u2260\uf8f3
 
2) Identificação da estatística do teste adequada: Como \u3c32 é desconhecido e a população 
tem distribuição normal, a estatística, com (n-1) graus de liberdade, é: 
X-µT=
s/ n
. 
Com base nos dados amostrais, e sob H0 verdadeira o valor da estatística é: 
0
cal
x-µ 6,5-7,0
t = 1,56
s/ n 1,6/ 25
= = \u2212 
 
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3) Obtenção da Região Crítica: Da tabela T com \u3b1=5% e gl=(n-1)=24, temos, t0,025=2,06. 
 
 
4) Decisão: Como tcal=-1,56 não pertence à região crítica, não rejeitamos a hipótese H0. 
Logo, pelos dados amostrais, não existe evidência de que a nota média dos alunos é 
diferente de 7,0, a um nível de significância de 5%. 
 
Fazendo uso da Probabilidade p de Significância, temos: 
 
 
Como o teste é bilateral, p=2.P(x<-tcal))=2.0,066=0,132. 
 
Decisão: Como p-valor=13,2% > \u3b1=5%, o teste é não significativo. Não rejeitamos a 
hipótese H0. Logo, pelos dados amostrais, não existe evidência de que a nota média dos 
alunos é diferente de 7,0, a um nível de significância de 5%. 
 
 
7.2 CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO 
POPULACIONAL 
 
Se p é a proporção populacional e p\u2c6 é a proporção amostral, sabemos que, se np\u22655, 
podemos aproximar a distribuição amostral de p\u2c6 pela distribuição normal, ou seja, p\u2c6 \u223cN(p 
, pq/n). Isso nos permite realizar testes para a proporção populacional de forma análoga aos 
testes para média. 
 
1) Definição das hipóteses: 
 
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0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
H : p p H : p p H : p p
a ) b ) c ) 
H : p p H : p p H : p p
= = =\uf8f1 \uf8f1 \uf8f1
\uf8f2 \uf8f2 \uf8f2
> \u2260 <\uf8f3 \uf8f3 \uf8f3
 
 
2) Estatística do teste: 
Se np\u22655 temos que p\u2c6 \u223cN(p , pq/n). Nestas condições, a estatística do teste será: 
p\u2c6-pZ= N(0,1)
p(1-p)
n
\u223c 
 
O valor da estatística do teste será dado por: 
 
0
cal
0 0
p\u2c6-p
z =
p (1-p )
n
 
 
3) Região crítica ou de rejeição corresponde às áreas hachuradas da figura abaixo para cada 
tipo de teste: 
 
 
4) Decisão: Se o valor da estatística do teste zcal pertencer à região crítica RC, rejeitamos a 
hipótese H0 ao nível \u3b1 de significância. Caso contrário, não podemos rejeitá-la. 
 
 
Exemplo 7.2 Um produtor afirma que a proporção de pés de laranja contaminados com 
certa doença em sua propriedade é de apenas 12%. Em um estudo com uma amostra com 
100 elementos, selecionados aleatoriamente, 18 apresentaram a doença. Existe evidência 
amostral para contestar a afirmação do produtor, ao nível de significância de 5%?. 
Solução: 
Dados: 
Proporção de plantas doentes na população, p=0,12 e proporção de plantas doentes na 
amostra, p\u2c6 =0,18. Tamanho da amostra, n=100 e \u3b1=5% 
1) Hipóteses: 
 89
0
1
H :p=0,12 
 
H :p>0,12 
\uf8f1
\uf8f2
\uf8f3
 
2) A estatística do teste adequada é: 
p\u2c6-pZ= N(0,1)
p(1-p)
n
\u223c 
Com base nos dados amostrais, e sob H0 verdadeira o valor da estatística é: 
calz =1,85 
3) Obtenção da Região Crítica: Da tabela N(0;1) com \u3b1=5% temos: 
 
4) Decisão: Como zcal=1,85 pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese H0. Logo, pelos 
dados amostrais, existe evidência amostral para contestar a afirmação do produtor, ao nível 
de significância de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
01) Supomos que a verdadeira proporção de estudantes que não estudam nos finais de 
semana seja de 75%. Em um inquérito realizado entre 100 estudantes de certa 
Universidade, verificamos que 65% não estudam nos finais de semana. Teste a hipótese ao 
nível de significância de 1%. 
 
02) Um fabricante afirma que 5% dos copos que ele fornece apresentam defeitos. Em 120 
copos selecionados aleatoriamente, encontramos 7 copos com defeitos. Ao nível de 
significância de 5% podemos concluir que a proporção de copos com defeitos é superior a 
que o fabricante afirma? 
 
03) Uma amostra aleatória de 29 copos de certo suco mostrou um conteúdo médio do 
líquido de 195 ml, com desvio padrão de 9 ml. Supondo população normal, teste a hipótese 
de que a média µ é inferior a 200 ml, ao nível de 5% de significância. 
 
04) Ao fazer uma promoção de ração para animais, uma loja de produtos agropecuários 
anotou a venda diária durante 10 dias, cujos valores, em reais foram: 8500, 8300, 7500, 
7100, 7200, 8000, 8800, 7600, 7000 e 7400. Supondo distribuição normal e se a venda 
média diária da loja é de 7500 reais, verifique ao nível de significância de 5%, se a 
promoção foi válida ou não. 
 
05) Desconfiamos que o peso dos pacotes de certa marca de café está abaixo do 
especificado na embalagem que é de 500 g. Uma amostra de 15 pacotes apresentou média 
de 496 g. Supondo distribuição normal com