Vetor
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eles possuem o 
mesmo comprimento, a mesma direção e 
o mesmo sentido. 
 
Figura 4 - Segmentos Equipolentes 
 
1.2 Vetores 
Chama-se de vetor ao segmento de 
reta orientado que possui sua origem em 
um ponto e extremidade em outro. Na 
figura 5, o segmento AB é chamado de 
vetor AB e indicado por AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd. 
 
Figura 5- Vetor AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd 
Sempre que designarmos um vetor 
este terá em sua designação uma seta, 
orientada para a direita, sobre o símbolo 
de sua designação. 
Dois vetores AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e CD\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd são iguais se e 
somente se, os dois segmentos 
orientados que os representam forem 
equipolentes. 
 
Figura 6- Vetores iguais (AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd = CD\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd) 
5 
 
Prof. José Carlos Morilla 
Dado um vetor v \ufffd\ufffd\ufffd= AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, o vetor BA\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd é 
chamado de oposto de AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e se indica por 
-AB\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd ou por - v \ufffd\ufffd\ufffd. 
 
Figura 7- Vetores Opostos 
 
1.2.1 Soma de um ponto com um 
vetor 
Dado um ponto A e um vetor v \ufffd\ufffd\ufffd, 
existe um único ponto B tal que 
B-A=v\ufffd\ufffd. O ponto B é chamado de 
soma do ponto A com o vetor v \ufffd\ufffd\ufffd e se 
indica por A+ v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd. 
As propriedades abaixo são 
imediatas: 
\u2022 A+0\ufffd\ufffd=A 
\u2022 (A-v\ufffd\ufffd)+v\ufffd\ufffd=A 
\u2022 Se A+ v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd=B+v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd então A=B 
\u2022 Se A+ u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd=A+v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd então u\ufffd\ufffd=v\ufffd\ufffd 
\u2022 A+(B-A)=B 
 
1.2.2 Adição de vetores 
Consideremos dois vetores u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd e 
um ponto qualquer A. Quando se toma o 
ponto A, e a ele se soma o vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd 
obtemos um segundo ponto, que aqui 
vamos chamar de B. Quando se soma ao 
ponto B o vetor v \ufffd\ufffd\ufffd, encontramos um 
terceiro ponto, que chamaremos de C. 
Podemos dizer que existe um terceiro 
vetor w \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd que ao ser somado ao ponto A 
encontramos o ponto C. 
 
Figura 8\u2013 Soma de vetores 
Podemos dizer, então que o vetor 
w \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd é soma do vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd com o vetor v \ufffd\ufffd\ufffd. 
Podemos escrever então que: 
u\ufffd\ufffd+v\ufffd\ufffd=w\ufffd\ufffd\ufffd 
Graficamente, podemos usar a 
regra do paralelogramo: 
 
Figura 9\u2013 Regra do Paralelogramo 
 Na figura 10, o vetor AD 
representa a soma entre os vetores 
u\ufffd\ufffd; v\ufffd\ufffd e w\ufffd\ufffd\ufffd. 
 
Figura 10\u2013 Soma entre vetores 
 
A 
D 
C 
B 
6 
 
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1.2.3 Diferença de vetores 
Consideremos dois vetores u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd, 
como os mostrados na figura 11, o vetor 
k\ufffd\ufffd\ufffd u\ufffd\ufffd+\ufffd-v\ufffd\ufffd\ufffd é chamado de diferença entre 
u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd. 
Na figura 11, quando se toma o 
ponto A e a ele se soma o vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, 
obtemos o ponto B. Quando se soma ao 
ponto A o vetor v \ufffd\ufffd\ufffd, encontramos um 
terceiro ponto, que chamaremos de D. 
 
Figura 11\u2013 Diferença entre vetores 
Observa-se, então, que existe um 
vetor k\ufffd\ufffd que somado ao vetor v \ufffd\ufffd\ufffd fornece o 
vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd. Podemos, então, escrever 
v\ufffd\ufffd+k\ufffd\ufffd=u\ufffd\ufffd \ufffd k\ufffd\ufffd=u\ufffd\ufffd-v\ufffd\ufffd 
Assim, podemos dizer que o vetor 
k\ufffd\ufffd é a diferença entre o vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e o vetor 
v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd. 
OBS:- A diferença entre o vetor v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd 
e o vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, será igual a -k\ufffd\ufffd. 
 v\ufffd\ufffd - u\ufffd\ufffd = -k\ufffd\ufffd 
 
1.2.4 Módulo, Direção e Sentido 
Dado um vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, todos os seus 
representantes têm o mesmo 
comprimento; assim, o comprimento de 
qualquer representante de u\ufffd\ufffd é chamado 
de módulo do vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e é indicado por |u\ufffd\ufffd|. O módulo de um vetor depende da 
unidade de comprimento utilizada. 
O módulo de um vetor, também, é 
chamado de Norma do vetor. 
Dizemos que um vetor é unitário 
quando seu módulo for igual a um. 
|u\ufffd\ufffd|=1 
De maneira análoga, a direção e o 
sentido do vetor u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd são, por definição, a 
direção e o sentido de qualquer dos 
representantes de u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd. 
Chama-se versor de um vetor não 
nulo v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, o vetor unitário de mesmo sentido 
v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd. 
Dois vetores são ditos paralelos 
quando estes possuem a mesma direção. 
 
1.2.5 Produto de um número real por 
um vetor. 
Chamamos de produto de um 
número real, diferente de zero, por vetor 
v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd 	 0, ao vetor s\ufffd\ufffd tal que: 
\u2022 |s\ufffd |=|a|×|v\ufffd\ufffd| 
\u2022 A direção s\ufffd\ufffd é paralela à de 
v\ufffd\ufffd 
\u2022 Se a>0, o sentido de s\ufffd\ufffd é 
mesmo de v\ufffd\ufffd 
\u2022 Se a<0, o sentido de s\ufffd\ufffd é 
oposto ao de v\ufffd\ufffd 
\u2022 Se a = 0 ou v\ufffd\ufffd for nulo, o 
resultado é um vetor nulo. 
O produto de a por v\ufffd\ufffdse indica por 
av \ufffd\ufffd\ufffd. O produto (1/a) v\ufffd\ufffd se indica 
simplesmente por v\ufffd\ufffd/a. 
 
Figura 12\u2013 Produto de um número real por um 
vetor 
7 
 
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1.2.6 Espaço vetorial. 
Chama-se espaço vetorial ao 
conjunto de vetores munidos de pelo 
menos duas operações que respeitam as 
propriedades da adição e do produto de 
um número real por um vetor. Os 
espaços vetoriais são estudados na 
Álgebra Linear. 
 
OBS:- É comum se usar o termo escalar 
para designar um número real, em 
contraposição a um vetor. Assim, quando 
se multiplica um vetor por um número 
real é comum ser dito que este vetor será 
multiplicado por um escalar. Não se deve 
confundir este produto com Produto 
Escalar que será visto mais à frente. 
 
1.2.7 Exercícios. 
1. Para a figura 13, onde DC\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd = 2AD\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, 
exprimir D \u2013 B em função de A \u2013 B 
e C \u2013 B. 
A D C
B
 
Figura 13 
2. Para a figura 14, AD é a bissetriz 
do ângulo A. Exprimir D \u2013 A em 
função de B \u2013 A e C \u2013 A. 
B
D C
A
 
Figura 14 
3. Dados os vetores u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd, conforme 
a figura 15, determine o vetor x\ufffd\ufffd tal 
que u\ufffd\ufffd+v\ufffd\ufffd+x\ufffd\ufffd=0. 
 
Figura 15 
4. Determine a soma dos vetores 
indicados na figura 16. 
BA
C
D
(a)
BA
C
D
(b)
BA
C
E
(c)
F
D
(d) 
Figura 16 
 
8 
 
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5. Dados os vetores u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd, da figura 
17, determinar: 
O vetor resultante da soma entre 
u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd; 
O vetor resultante da diferença 
entre u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd e v \ufffd\ufffd\ufffd; 
O vetor resultante do produto de 
u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd por um escalar igual a -5/3. 
 
Figura 17 
6. Se (A, B) é representante de 
u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd 	 0 e (C, D) um representante 
de v \ufffd\ufffd\ufffd 	 0, prove que se AB // CD, 
existe um número real \u3bb tal que 
u \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd \ufffdv\ufffd\ufffd·. 
 
7. Determine x\ufffd\ufffd 
 
2x\ufffd\ufffd-3u\ufffd\ufffd=10
x\ufffd\ufffd+v\ufffd\ufffd\ufffd 
 
8. No sistema a seguir, resolva o 
sistema nas incógnitas x\ufffd\ufffd e y\ufffd\ufffd 
\ufffd x\ufffd\ufffd+2y\ufffd\ufffd=u\ufffd\ufffd
3x\ufffd\ufffd-y\ufffd\ufffd=2u\ufffd\ufffd+v\ufffd\ufffd\ufffd 
9. Seja v\ufffd\ufffd 	 0. Mostre que v\ufffd\ufffd|v\ufffd\ufffd| é um 
vetor unitário (versor de v\ufffd\ufffd) 
 
 
 
 
 
1.3 Dependência e Independência 
Linear. 
Sejam n vetores v\ufffd\ufffd1, v\ufffd\ufffd2,......., v\ufffd\ufffdn 
(n\u22651) e a1,a2,........,an números reais. 
Chama-se combinação linear dos 
vetores v\ufffd\ufffd1, v\ufffd\ufffd2,......., v\ufffd\ufffdn ao vetor: 
 a1v1\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd+a2v2\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd+\u2026+anvn\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd = u\ufffd\ufffd 
Se u\ufffd\ufffd é combinação linear dos 
vetores v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd1, v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd2,......., v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffdn, diz-se, também, 
que u\ufffd\ufffd é gerado por estes vetores. 
Dados n vetores v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd1, v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd2,......., v \ufffd\ufffd\ufffd\ufffdn 
(n\u22651), dizemos que eles são linearmente 
dependentes (LD) se existem escalares 
a1,a2,........,an, não todos nulos, tais que: 
\ufffd aivi\ufffd\ufffd\ufffd=0\ufffd\ufffdn
i=1
 
ou seja, 
 a1v1\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd a\ufffdv2\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd anvn\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 0\ufffd\ufffd 
 Quando os vetores v\ufffd\ufffd1, v\ufffd\ufffd2,......., v\ufffd\ufffdn 
não são linearmente dependentes, 
dizemos que eles são linearmente 
independentes (LI). 
 Pode-se, então, verificar que os 
vetores v\ufffd\ufffd1, v\ufffd\ufffd2,......., v\ufffd\ufffdn, são linearmente 
dependentes quando o vetor resultante 
de sua combinação linear for nulo. 
 Pode-se dizer, ainda que; dados 
os vetores v\ufffd\ufffd1, v\ufffd\ufffd2,......., v\ufffd\ufffdn, se um deles é 
combinação linear dos outros, então eles 
são linearmente dependentes. 
 
1.3.1 Definições 
I. Um único vetor v\ufffd\ufffd é linearmente 
dependente se v\ufffd\ufffd \ufffd 0. 
 
II. Dois vetores u\ufffd\ufffd e v\ufffd\ufffd são linearmente 
dependentes se eles forem 
paralelos a uma mesma reta. 
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Se u\ufffd\ufffd e v\ufffd\ufffd são linearmente 
dependentes, então, existe escalares a e 
b tais que: 
au\ufffd\ufffd+bv\ufffd\ufffd= 0\ufffd\ufffd \ufffd u\ufffd\ufffd = \ufffd- b
a
\ufffd v\ufffd\ufffd 
Desta forma, os dois vetores possuem 
a mesma direção, ou seja, eles são 
paralelos. 
 
III. Três vetores u\ufffd\ufffd; v\ufffd\ufffd e w\ufffd\ufffd\ufffd são 
linearmente dependentes se eles 
forem paralelos a um mesmo 
plano. 
Se u\ufffd\ufffd; v\ufffd\ufffd e w\ufffd\ufffd\ufffd