Gabarito - Lista Facó - sistemas
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Gabarito \u2013 Sistemas Lineares 
 
Exercício 1: 
 
(a) 
Linhas. das Critério o satisfaz não Logo
máx 
2
1
a
aaa
 . :Linha Quarta
 1
a
aaa
 . :Linha Terceira
 1 2
a
aaa
 . :Linha Segunda
 1 3
a
aaa
 . :Linha Primeira
k4k1
44
434241
4
33
343231
3
22
242321
2
11
141312
1
,
13)( >==
=
++
=
=
++
=
>=
++
=
>=
++
=
\u2264\u2264
\u3b1\u3b1
 
 
(b) 
1 3
a
aa\ufffda\ufffd
 \ufffd :Linha Terceira
 1 6
a
aaa\ufffd
 \ufffd :Linha Segunda
 1 3
a
aaa
 \ufffd :Linha Primeira
33
34322311
3
22
2423211
2
11
141312
1
>=
++
=
>=
++
=
>=
++
=
 
2
3
a
a\ufffda\ufffda\ufffd
 \ufffd :Linha Quarta
44
433422411
4 =
++
=
 
 
d Sassenfelde Critério o satisfaz não Logo,
16)(máx k4k1 >== \u2264\u2264 \u3b2\u3b2
 
(c) Como este sistema não satisfaz o Critério das Linhas, então não podemos ter garantia 
de convergência em nenhum dos métodos. 
 
OBS.: O Critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o Critério das Linhas não o 
seja. 
 
(d) 
 
7/16\ufffd 7/8;\ufffd 3/4;\ufffd 1/2;\ufffd
:temos d, Sassenfelde Critério Pelo
12xx- 
1 x2xx - 
1 x2xx 
1 x 2x
:temos sistema,do equações primeiras duas as se-Permutando
4321
43
432
321
21
====
\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=+
=\u2212+
=\u2212+
=\u2212
 
 
d Sassenfelde Critério o satisfaz sistemao Logo,
17/8\ufffdmáx k4k1 <=\u2264\u2264
 
 
(e) 
 
Resolvendo por Gauss-Seidel, fazemos as seguintes iterações: 
 
2
x1
x
2
xx1
x
2
xx1
x
2
x1
x
(k)
3(k)
4
1)(k
4
(k)
2(k)
3
1)(k
3
(k)
1(k)
2
1)(k
2(k)
1
+
=
++
=
+\u2212
=
+
=
\u2212
\u2212
\u2212
 
 
Partindo de (0,0,0,0)X (0) = , achamos na 9a iteração uma aproximação com precisão 
menor ou igual a 0,001. 
 
1.2724) 1.5478, 0.8177, 0.9085,X ()9( = 
Lembrando que a cada iteração, temos que verificar sempre se 0.001 xxMáx kikii \u2264\u2212
\u2212
\u2264\u2264
)1()(
41
 
 
Exercício 2: 
 
(a) 
 
 Com pivoteamento parcial: 
 
(a-1) Ver quem tem o maior módulo na primeira coluna da matriz aumentada (matriz dos 
coeficientes mais os termos independentes): 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212\u2190=
\u2212\u2190=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212\u2212\u2212
88/1029/1011/10-
2/1011/10-131/10-
3021
810110
2)-(a
Assim,
LmLL 1/10;m
LmLL 1/10;m
: serãoetapa desta doresmultiplica Os
L
L
L
L
83101
11-13-1
30210
810110
:pivô do linha a e linha primeira a Permutar (ii)
)pivô! o servai (este 10 1} 10, 0, {1, Máx(i)
83101
810110
30210
11131
4441
3331
0
0
0
141
131
4
3
2
1
 
 
pivô. do linha a e linha segundaa Permutar (ii)
)coluna! segundana pivô o servai (-31/10 31/10 1/10} 31/10, {1, Máxi =)(
 
 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
88/1029/1011/10-
02-1
2/10-11/10-31/10-
810110
0
0
0
3
1
 
 
principal.
 diagonal à pertence já ele porque nada permutar precisar vamos (não 52/31 32/31} 31,(i)Máx{52/
273/3191/3132/31
91/3111/31-52/31-
2/10-11/10-131/10-
810110
a
Assim
LmLL 1/31;m
LmLL 10/31;m
: serãoetapa desta doresmultiplica os E
442
332
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212\u2190=
\u2212\u2190\u2212=
00
00
0
)(
,
3
2424
2323
 
E o multiplicador desta etapa é: 
 
3434443 LmLL 32/52;m \u2212\u2190= 
 
E finalmente, temos a matriz reduzida: 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
71271/403
91/3111/31-52/31-
2/10-11/10-131/10-
810110
000
00
0
 
 
Solução do sistema: (-0.8780, -1.4390, -2.2195, 2.2195) 
 
(b) 
 
No pivoteamento parcial, PA = LU, onde P é a matriz permutação das linhas da matriz 
identidade. 
 
Então, 
 
PbLUxPbPAx =\u21d2= 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
1271/403
11/31-52/31-
11/10-131/10-
10110
U
 
132/521/311/10
110/311/10
10
1
 
1mmm
1mm
10
1
L
434241
3231
000
00
0
0
00
000
0
00
000
 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
=
8
8-
3
1-
b ; 
2.2195
2.2195
1.4390
0.8780
x 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
=
1000
0010
0001
0100
 P Então,
identidadematriz da 3 e 1 linhas das troca a representa 
1000
0001
0010
0100
P
 identidadematriz da 3 e 2 linhas das troca a representa 
1000
0010
0100
0001
P
onde
PPP
(0)
(1)
)()( 01
 
E devemos escrever o sistema linear LUx = Pb substituindo as matrizes acima nesta 
expressão. 
 
 
 
 
Determinação da matriz inversa: 
 
PLUA 111 \u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212 =\u21d2=\u21d2=\u21d2=\u21d2=\u21d2= 1111 LUPA(LU) (PA) LU PA Pb LUx Pb PAx -1-1
 
411
422
433
-1
(1/10)LLL
(11/31)LLL
(11/52)LLL
:operações
 seguintesdas através anulados serãoquais os 1/10, e 11/31 11/52, :1 de acima temos coluna, última Na
 segunda.a até coluna última da partir a s1' dos acima elementos os anular que temos Agora
L
L
L
L
403/12710001
031/52-001
0010/31-010/31-1
0001/1001/101
10001271/403000
010011/3152/3100
001011/1010
0001/101/1001/101
10001271/403000
010011/3152/3100
001011/10131/100
0001101
:Linhas por Reduzida Escada Forma Usando
U de açãoDeter
\u2212\u2190
\u2212\u2190
\u2212\u2190
\u2212\u2212
\u2212\u2212
\u2212\u2212
\u2212\u2212
,
000
52/1100
31/110
10/1
10/31
10
:min
4
3
2
1
 
Assim, temos: 
 
4
3
2
1
0
0
0
L
L
L
L
403/12711
4433/66092-31/52-1
4433/39401-0110/31-1
403/12710-001/1001/101
000000
0000
00
 
 
Agora, temos que anular o -10/31 acima do 1 na terceira coluna. Assim, temos: 
 
 
4
3
2
1
0
0
0
L
L
L
L
403/12711
4433/66092-31/52-1
0.134-10/52-101
403/12710-001/1001/101
000000
0000
00
 
 
E finalmente, eliminamos 1/10 na segunda coluna: 
 
4
3
2
1
0
0
0
L
L
L
L
403/12711
0.067-31/52-1
0.134-10/52-101
0.018-1/5201/10001
000000
0000
00
 
 
 
Portanto, 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212\u2212
\u2212
=
\u2212
403/1271000
0.06731/5200
0.13410/5210
0.0181/5201/10
U 1 
 
Para determinar 1\u2212L , basta apenas trocar o sinal dos multiplicadores da matriz L: 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212\u2212
\u2212
=
\u2212
132/521/311/10
0110/311/10
0010
0001
L 1 
 
Agora, para determinar a matriz inversa, basta substituir as matrizes achadas acima na 
fórmula PLUA 111 \u2212\u2212\u2212 = . 
 
 
(c) 
 
Como o Critério das Linhas não é satisfeito, não temos garantia de convergência para o 
Método de Gauss-Seidel, seja qual for a aproximação inicial. 
 
 
Exercício 3: 
 
(a) A aproximação tx1 é a melhor porque suas ordenadas se aproximam mais de zero 
(Observe que Ax = b é o mesmo que Ax \u2013 b = 0) 
(b) Usar método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial 
 
Resposta: .16438)(0.39685,0x t = 
 
(c) A matriz A do sistema está próxima de uma matriz singular (não possui inversa). 
 Portanto, o sistema é mal condicionado. 
 
 
Exercício 4: 
 
Fonte \u2013 Pág. 176 do livro \u201cCálculo Numérico \u2013 Aspectos numéricos e computacionais\u201d \u2013 
Makron Books. 
 
Exercício 5: 
 
(a) Observe que os coeficientes da terceira linha não satisfazem o Critério das Linhas. 
 
Logo, precisamos permutar a segunda e a terceira linhas e temos agora o sistema 
equivalente: 
 
1
3
1
a
aa
 
2x6xkx
3x6xx 
1x3xkx
22
2321
321