9 Aula Arley Regressão Linear e Correlação

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29/05/2018
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Regressão linear e correlação
Motivação
• Queremos estudar a relação entre duas variáveis ou
de uma variável com demais variáveis.
▫ O perímetro de um quadrado e o tamanho do lado do
quadrado
▫ O perímetro de um retângulo e o tamanho do lado do
retângulo
▫ A quantidade de oxigênio em um rio e a temperatura
da água.
▫ A quantidade de defeitos produzidos por uma injetora
e o tempo de operação da máquina.
▫ O área da chapa de madeira e a quantidade de furos e
cortes realizados na chapa.
Exemplo – Correlação linear simples
número de 
observações
nível de 
hidrocarboneto pureza
1 0,99 90,01
2 1,02 89,05
3 1,15 91,43
4 1,29 93,74
5 1,46 96,73
6 1,36 94,45
7 0,87 87,59
8 1,23 91,77
9 1,55 99,42
10 1,4 93,65
11 1,19 93,54
12 1,15 92,52
13 0,98 90,56
14 1,01 89,54
15 1,11 89,85
16 1,2 90,39
17 1,26 93,25
18 1,32 93,41
19 1,43 94,89
20 0,95 87,33
86
88
90
92
94
96
98
100
102
0,8 1 1,2 1,4 1,6
Gráfico de dispersão
pureza
Nível 
hidrocarboneto
pureza
Exemplos
Valores diminuem com aumento de x
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Exemplos
Valores crescem com aumento de x
Exemplos
Valores se repetem de forma cíclica
Exemplos
Valores dispersos
Correlação linear simples
• Mas como verificar se existe ou não uma
correlação linear entre dois dados?
• Queremos saber o quanto os pontos de
aproximam de uma reta.
• Uma das medidas de correlação linear é dada
pela covariância que é definida por:
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Correlação simples
• A covariância é um indicador do grau e do sinal
da correlação
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100
102
0,8 1 1,2 1,4 1,6
Gráfico de dispersão
pureza
Exemplo 1 – encontre a covariância dos 
dados abaixo número de observações
nível de 
hidrocarboneto pureza
1 0,99 90,01
2 1,02 89,05
3 1,15 91,43
4 1,29 93,74
5 1,46 96,73
6 1,36 94,45
7 0,87 87,59
8 1,23 91,77
9 1,55 99,42
10 1,4 93,65
11 1,19 93,54
12 1,15 92,52
13 0,98 90,56
14 1,01 89,54
15 1,11 89,85
16 1,2 90,39
17 1,26 93,25
18 1,32 93,41
19 1,43 94,89
20 0,95 87,33
�̅=1,196 �� = 92,156
número de 
observações
nível de 
hidrocarboneto pureza �� − �̅ �� − ��
(�� − �̅).
(�� − ��)
1 0,99 90 -0,206 -2,146 0,442076
2 1,02 89,1 -0,176 -3,106 0,546656
3 1,15 91,4 -0,046 -0,726 0,033396
4 1,29 93,7 0,094 1,584 0,148896
5 1,46 96,7 0,264 4,574 1,207536
6 1,36 94,5 0,164 2,294 0,376216
7 0,87 87,6 -0,326 -4,566 1,488516
8 1,23 91,8 0,034 -0,386 -0,01312
9 1,55 99,4 0,354 7,264 2,571456
10 1,4 93,7 0,204 1,494 0,304776
11 1,19 93,5 -0,006 1,384 -0,0083
12 1,15 92,5 -0,046 0,364 -0,01674
13 0,98 90,6 -0,216 -1,596 0,344736
14 1,01 89,5 -0,186 -2,616 0,486576
15 1,11 89,9 -0,086 -2,306 0,198316
16 1,2 90,4 0,004 -1,766 -0,00706
17 1,26 93,3 0,064 1,094 0,070016
18 1,32 93,4 0,124 1,254 0,155496
19 1,43 94,9 0,234 2,734 0,639756
20 0,95 87,3 -0,246 -4,826 1,187196
1,196 92,156 10,15638
��� =
��,�����
��
=0,5345
Coeficiente de correlação
• Em geral, o coeficiente de correlação de Pearson é
o mais utilizado para determinar se dois dados
tem correlação ou não.
• O coeficiente de correlação de Pearson é dado por
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Coeficiente de correlação de Pearson
• O coeficiente de correlação de Pearson tem como
característica, pertencer ao intervalo [-1,1].
• Se r = -1 dizemos que os dados tem correlação
linear negativa perfeita e se r = 1 dizemos que os
dados tem correlação linear positiva perfeita.
• O valor de r pode ser calculado da seguinte
forma
��� = �(�� − �̅)(�� − ��)
�
���
��� = �(�� − �̅)
� 
�
���
��� = �(�� − ��)
� 
�
���
Coeficiente de correlação de Pearson
• A amplitude do coeficiente de correlação é -1 para 1.
-1 0 1
Se r = -1 existe
uma correlação
negativa perfeita.
Se r = 1 Existe
uma correlação
positiva perfeita.
Se r está próximo
de 0 não existe
correlação linear.
Correlação linear
Correlação negativa forte
Correlação positiva fraca
Correlação positiva forte
Correlação não linear
x
y
x
y
x
y
x
y
r = 0,91 r = 0,88
r = 0,42 r = 0,07
Exercício 1: 
encontrando o coeficiente de correlação
Calcule o coeficiente de correlação para os
dados dos gastos com propaganda e 
vendas da empresa informados na Tabela
ao lado. O que podemos concluir?
Gastos com 
propaganda,
($1000), x
Vendas da
empresa
($1000), y
2,4 225
1,6 184
2,0 220
2,6 240
1,4 180
1,6 184
2,0 186
2,2 215
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Teste do coeficiente de correlação
• Observe que o valor de r é dado por uma amostra de
tamanho n. Assim, podemos dizer que r é uma
estimativa do verdadeiro coeficiente da população (ρ).
• Assim, temos que fazer o teste com um nível de
significância α para verificar a hipótese de correlação
linear nula, ou seja, H0: ρ=0.
• Para isso, usamos a variável t de Student com n-2 graus
de liberdade, da seguinte forma:
Exercício 3
• Para os dados do Exercício 1, verifique se
podemos concluir, ao nível de significância de
5%, que existe uma correlação linear positiva
entre dos gastos com propaganda com todas as
vendas da empresa (população).
Exercício 4
Verificar se podemos, ao nível de 5% de
significância, concluir pela existência de
correlação positiva entre a altura e o peso das
pessoas .
pessoa altura (x) peso (y)
1 174 73
2 161 66
3 170 64
4 180 94
5 182 79
6 164 72
7 156 62
8 168 64
9 176 90
10 175 81
Regressão
• Problema de regressão: determinar
uma função que exprima o 
relacionamento entre duas variáveis
• Admite-se que existe um 
relacionamento funcional entre os 
valores x e y, responsável pelo 
aspecto do diagrama, e que explica
grande parte da variação de y com x, 
ou vice-versa.
• Esse relacionamento corresponde à 
linha existente na figura, que seria a 
linha de regressão.
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Regressão
• Na prática, os pontos
experimentais terão uma variação
em torno da linha representativa
dessa função, devido à existência
de uma variação aleatória
adicional que é chamada
variação residual.
• Regressão linear simples
▫ A linha de regressão é uma reta
simples por se tratar de apenas 2 
variáveis (x e y)
Regressão linear simples
• Inicialmente vamos supor que os dados podem
ter seus dados (e relações) descritas por uma
“expressão linear simples”
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92
94
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98
100
102
0,8 1 1,2 1,4 1,6
Gráfico de dispersão
pureza
Hipóteses do modelo usual de regressão
• Variável(is) independente(s) isenta(s) de erro;
▫ Apenas y é aleatório. 
▫ Supõe-se que x não é aleatória. Por exemplo, 
podemos medir as temperaturas de um forno em
aquecimento de 5 em 5 minutos. O tempo está bem
definido, ao passo que as temperaturas deverão ser
definidas ao longo do experimento.
▫ X é dita variável independente, enquanto Y é 
variável dependente.
Hipóteses do modelo usual de regressão
• Considera-se que os valores da variável 
aleatória y dependerão dos valores assumidos 
pelas variáveis independentes e também do 
acaso.
• Variação residual normalmente distribuída;
▫ Considerando: � = � � + ψ, tem-se que ψ é 
normalmente distribuiída
• � �ℎ� ψ(���)
• Variância residual constante
▫ ψ é constante em relação a x.
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Regressão linear simples
• Após verificar se a correlação linear entre duas
variáveis é significante, o próximo passo é
determinar a equação da linha que melhor modela
os dados (linha de regressão).
• Pode ser usada para prever o valor de y para um dado
valor de x.
x
y
� = � + �� + ψ
Modelo de regressão linear simples
Onde:
� = � + �� é a equação da reta teóricade regressão
ψ é a componente aleatória da variação de y
�� = � + ��
Reta estimativa
Onde:
� é chamado de coeficiente de regressão linear e 
estimativa de �
� é chamado de coeficiente de regressão angular, 
estimativa de �
Mínimos quadrados
• A determinação das estimativas � e � da reta busca 
minimizar a soma dos quadrados das diferenças da reta 
com os pontos experimentais
A diferença entre o valor y observado e o valor y previsto
para um dado valor x na linha. 
Para um dado valor x,
di = (valor y observado) – (valor y previsto)
x
y
}d1
}d
2
d3
{
d4{ }d
5
d6
{
valor y 
previsto
valor y 
observad
o
� =
∑ �� − �̅ ��
∑ �� − �̅ �
� = �� − ��̅
�� = � + �� Exemplo 1
• Obter a equação da reta de mínimos quadrados
para os seguintes pontos experimentais:
X 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
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8
x y
1 0,5 -3,5 -1,75 12,25
2 0,6 -2,5 -1,5 6,25
3 0,9 -1,5 -1,35 2,25
4 0,8 -0,5 -0,4 0,25
5 1,2 0,5 0,6 0,25
6 1,5 1,5 2,25 2,25
7 1,7 2,5 4,25 6,25
8 2 3,5 7 12,25
Total 9,1 42
(�� − �� ��(�� − �� �� − ��
�
�̅ = 4,5 � �� = 1,15
��� = 9,1
��� = 42
� =
���
���
=
9,1
42
� =0,217
� = �� − ��̅ = 1,15 − 0,217 ∗ 4,5
� = 0,174
�� = �, ���+ �, ����
� =
∑ �� − �̅ ��
∑ �� − �̅
�
� = �� − ��̅
Exercício 5
Encontre a equação da reta de 
regressão para os gastos com 
propaganda e dados sobre as vendas
da empresa. 
Gastos com 
propaganda,
($1000), x
Vendas da
empresa
($1000), y
2,4 225
1,6 184
2,0 220
2,6 240
1,4 180
1,6 184
2,0 186
2,2 215
�� = � + ��
Reta passando pela origem
� = �� + ψ
�� = ��
� =
∑ ����
∑ ��
�
Modelo teórico
Reta estimativa
Exemplo 2
• Obter a equação da reta que passa pela origem
pelo método de mínimos quadrados para os
seguintes pontos experimentais:
X 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
�� = ��
� =
∑ ����
∑ ��
�
Reta estimativa
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Exercício 6 - Extrapolação de parâmetros
No começo de um determinado mês, as cotações de 
uma empresa na Bolsa de valores apresentam-se 
como no quadro que segue. Considerado um modelo
linear:
a) Obter o coef. Correlaçao da reta?
b) Qual seria uma estimativa para o valor da ação
para o sexto e sétimo dia? 
c) Faça o gráfico dessas estimativas. 
Dia 1 2 3 4 5
Valor da 
ação
3,8 3,4 3,1 2,4 2,0