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da distância da origem ao ponto (x, y, z) é dada por d2 = x2 + y2 + z2;
o ponto (x, y, z) pertence ao plano; logo, z = 6\u2212x\u22123y e minimizaremos a seguinte
função:
f(x, y) = x2 + y2 + (6\u2212 x\u2212 3 y)2.
Determinemos os pontos críticos:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u2202f
\u2202x
= 2 (2x + 3 y \u2212 6) = 0
\u2202f
\u2202y
= 2 (3x + 10 y \u2212 18) = 0;
184 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS
o sistema tem uma única solução:
( 6
11
,
18
11
)
, que é o ponto crítico de f .
Por outro lado, A(x, y) = 4 e\u2206(x, y) = 44. Em particular,
A
( 6
11
,
18
11
)
> 0, e \u2206
( 6
11
,
18
11
)
> 0;
então
( 6
11
,
18
11
)
é um ponto de mínimo local de f ; z =
6
11
; logo,
d =
6
\u221a
11
11
.
[3] Determine o valor máximo da soma dos co-senos dos ângulos de um triângulo.
Devemos maximizar:
w = cos(x) + cos(y) + cos(z),
onde x, y, z são os ângulos do triângulo dado. Mas, x+y+z = \u3c0; logo z = \u3c0\u2212x\u2212y.
f(x, y) = cos(x) + cos(y) + cos(\u3c0 \u2212 (x+ y)) = cos(x) + cos(y)\u2212 cos(x+ y).
Determinemos os pontos críticos:
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
(1)
\u2202f
\u2202x
= \u2212sen(x) + sen(x+ y) = 0
(2)
\u2202f
\u2202y
= \u2212sen(y) + sen(x+ y) = 0;
fazendo (1)\u2212 (2), temos sen(x) = sen(y); então, x = y ou x = \u3c0 \u2212 y.
(a) Se x = y, da primeira equação obtemos:
sen(x)\u2212 sen(2x) = 0;
logo sen(x) = 0 ou cos(x) =
1
2
. Se sen(x) = 0, x = 0 ou x = \u3c0, o que é impossível.
Se cos(x) =
1
2
, x =
\u3c0
3
; como x = y, tem-se y =
\u3c0
3
, logo o ponto crítico é
(\u3c0
3
,
\u3c0
3
)
.
(b) se x = \u3c0 \u2212 y, da segunda equação obtemos; sen(y) = 0; logo y = 0 ou y = \u3c0, o
que é impossível.
Portanto,
(\u3c0
3
,
\u3c0
3
)
é o único ponto crítico de f . Por outro lado:
A(x, y) = \u2212cos(x) + cos(x+ y),
\u2206(x, y) = cos(x) (cos(y) \u2212 cos(x+ y))\u2212 cos(y) cos(x+ y),
A
(\u3c0
3
,
\u3c0
3
)
< 0 e \u2206
(\u3c0
3
,
\u3c0
3
)
> 0;
logo,
(\u3c0
3
,
\u3c0
3
)
é um ponto de máximo local para f . Como z = \u3c0 \u2212 x \u2212 y, z = \u3c0
3
e o
valor máximo da soma é:
cos
(\u3c0
3
)
+ cos
(\u3c0
3
)
+ cos
(\u3c0
3
)
=
3
2
.
7.3. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 185
[4] Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice
P = (x, y, z) no primeiro octante sobre a superfície x2 + y2 + z = 1. Calcule o
volume da maior caixa com essas características.
O volume da caixa é V = xyz onde x, y e z são os comprimentos das arestas da
caixa; z = 1 \u2212 x2 \u2212 y2. Seja f(x, y) = x y (1 \u2212 x2 \u2212 y2). Determinemos os pontos
críticos: \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u2202f
\u2202x
= y (1\u2212 3x2 \u2212 y2) = 0
\u2202f
\u2202y
= x (1\u2212 x2 \u2212 3 y2) = 0;
x e y são arestas, logo x > 0, y > 0 e o sistema é equivalente a:{
1\u2212 3x2 \u2212 y2 = 0
1\u2212 x2 \u2212 3 y2 = 0;
logo, o único ponto crítico admissível é:
(1
2
,
1
2
)
, pois x e y são comprimentos das
arestas da caixa (x > 0 e y > 0).
A(x, y) = \u22126x y,
\u2206(x, y) = 36x2y2 \u2212 (1\u2212 3x2 \u2212 3 y2)2,
A
(1
2
,
1
2
)
= \u22123
2
e \u2206
(1
2
,
1
2
)
=
35
4
;
então
(1
2
,
1
2
)
é um ponto de máximo, z =
1
2
e V =
1
8
u.v.
[5] De todos os triângulos de perímetro fixado, determine o de maior área.
Sejam x, y e z os lados do triângulo. Usando a fórmula de Heron, o quadrado da
área do triângulo é: A2 = s (s\u2212x) (s\u2212y) (s\u2212z), onde 2 s = x+y+z. Maximizemos
a função:
f(x, y) = s (s\u2212 x) (s \u2212 y) (x+ y \u2212 s).
Determinemos os pontos críticos:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u2202f
\u2202x
= (s\u2212 y)(2s \u2212 2x\u2212 y) = 0
\u2202f
\u2202y
= (s\u2212 x)(2s \u2212 x\u2212 2y) = 0;
como s 6= x e s 6= y, obtemos: x = 2s
3
e y =
2s
3
. Por outro lado:
A(x, y) = \u22122 s (s\u2212 y),
\u2206(x, y) = \u2212s2 (5 s2 \u2212 8 s (x+ y) + 4 (x2 + x y + y2)),
A
(2s
3
,
2s
3
)
< 0, \u2206
(2s
3
,
2s
3
)
> 0;
logo,
(2s
3
,
2s
3
)
é ponto de máximo e z =
2s
3
. O triângulo é equilátero.
186 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS
7.3.1 Mínimos Quadrados
Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pares de
dados (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn\u22121, yn\u22121), (xn, yn), tais que os xi não são todos iguais.
A teoria subjacente à experiência sugere que os dados devem estar ao longo de
uma reta y = ax + b. Devido a erros experimentais, os pontos não são colineares.
O método dos mínimos quadrados consiste em determinar a reta que melhor se
ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar a e b de modo que a soma dos
desvios verticais seja mínima.
xi
(x i ,yi)
Figura 7.24:
Dados os pontos (xi, yi), (1 \u2264 i \u2264 n) o ponto sobre a reta y = ax + b que está mais
próximo (distância vertical) dos pontos dados tem coordenadas (xi, a xi + b); logo
o quadrado da distância vertical a estes pontos é:
E2i = ((axi + b)\u2212 yi)2, 1 \u2264 i \u2264 n.
Minimizaremos a função: f(a, b) = E21 + E
2
2 + . . . + E
2
n =
n\u2211
i=1
((axi + b) \u2212 yi)2.
Calculando as derivadas parciais
\u2202f
\u2202a
,
\u2202f
\u2202b
e igualando a zero, obtemos o sistema:
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a
n\u2211
i=1
x2i + b
n\u2211
i=1
xi =
n\u2211
i=1
xiyi
a
n\u2211
i=1
xi + n b =
n\u2211
i=1
yi.
Este é um sistema linear, que tem uma única solução que minimiza f .
7.3. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 187
Exemplos 7.2.
[1] Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos (0, 0), (\u22121, 2), (\u22122,\u22121), (2, 3),
(1, 2) e (3, 2).
i xi yi x
2
i xiyi
1 0 0 0 0
2 \u22121 2 1 -2
3 \u22122 \u22121 4 2
4 2 3 4 6
5 1 2 1 2
6 3 2 9 6
n
\u2211
xi
\u2211
yi
\u2211
x2i
\u2211
xiyi
6 3 8 19 14
Logo, obtemos o sistema:
{
19 a + 3 b = 14
3 a+ 6 b = 8,
que tem como solução a =
4
7
e b =
22
21
; então, a reta é y =
4x
7
+
22
21
.
-2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
Figura 7.25: Exemplo [1].
[2] Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos (\u22123,\u22125), (\u22121,\u22122), (2, 1),
188 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS
(1,\u22121), (5,\u22121), (4, 3) e (3, 4).
i xi yi x
2
i xiyi
1 \u22123 \u22125 9 15
2 \u22121 \u22122 1 2
3 2 1 4 2
4 1 \u22121 1 -1
5 5 \u22121 25 -5
6 4 3 16 12
7 3 4 9 12
n
\u2211
xi
\u2211
yi
\u2211
x2i
\u2211
xiyi
7 11 \u22121 65 37
Logo; obtemos o sistema: {
65 a+ 11 b = 37
11 a+ 7 b = \u22121;
que tem como solução a =
135
167
e b = \u2212236
167
; então, a reta é 167 y = 135x \u2212 236.
-2 2 4
-4
-2
2
4
Figura 7.26: Exemplo [2].
[3] Considere a seguinte tabela sobre mortes por consumação de álcool per cápita,
no ano de 2003, dos seguintes países:
País l/p Mortes
A 250 95
B 300 120
C 350 165
D 370 167
E 400 170
F 470 174
i) Suponha que existe uma correlação linear entre os dados da tabela e utilize o
método dos mínimos quadrados para determinar a reta de melhor ajuste à tabela.
7.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 189
ii) Se num país a consumação foi de 550 litros per cápita no ano de 2003, utilizando
i), determine a possível mortalidade.
i) Determinamos a reta que fica a menor distância vertical dos pontos (250, 95),
(300, 120), (350, 165), (370, 167), (400, 170) e (470, 174).
n
\u2211
xi
\u2211
yi
\u2211
x2i
\u2211
xiyi
6 2140 891 792800 329070
Logo, obtemos o sistema: {
792800 a + 2140 b = 329070
2140 a + 6 b = 891,
que tem como solução a =
846
2215
e b =
10875
886
; então, a reta é:
y =
846x
2215
+
10875
886
.
100 200 300 400 500
100
150
200
Figura 7.27: Exemplo [3] i).
ii) Se x = 550,
y =
196995
886
\u2243 222.34.
7.4 Máximos e Mínimos Absolutos
Definição 7.3. Sejam f : A \u2282 Rn \u2212\u2192 R uma função e x0 \u2208 A.
1. O ponto x0 é um ponto de mínimo absoluto de f em A se f(x0) \u2264 f(x), para
todo x \u2208 A.
2. O ponto x0 é um ponto de máximo absoluto de f em A se f(x) \u2264 f(x0), para
todo x \u2208 A.
190 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS
Exemplos 7.4.
[1] Seja f : R2 \u2212\u2192 R definida por f(x, y) = x2 + y2. Como x2 + y2 \u2265 0 para todo
(x, y) \u2208 R2 e f(0, 0) = 0, temos que f(x, y) \u2265 f(0, 0) para todo (x, y) \u2208 R2. Logo
(0, 0) é ponto de mínimo absoluto de f .
[2] Seja f : R2 \u2212\u2192 R definida por f(x, y) = \u2212
\u221a
x2 + y2. Como\u2212
\u221a
x2 + y2 \u2264 0 para
todo (x, y) \u2208 R2 e f(0, 0) = 0, temos que e f(x, y) \u2264 f(0, 0) para todo (x, y) \u2208 A.
Logo (0,