4ª Lista de Exercícios

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Matemática Atuarial II – Período 2011/02 
Professora: Tayana Rigueira 
 
4ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
DE MATEMÁTICA ATUARIAL II 
 
Questão 1: Determine simbolicamente as seguintes probabilidades: 
a) probabilidade de um ativo de idade �, continuar ativo até a idade � + � + 1 e falecer 
entre as idades � + � + 1 e � + � + 2 
b) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido entre as idades � + � e � + � + 1 
e falecer no mesmo período 
c) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido antes de atingir a idade � + 2 
d) probabilidade de ativo d idade � atingir ativo a idade � + 2 
e) probabilidade de um ativo de idade � atingir � + 1 
f) probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 1 
g) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e atingir a idade � + 1 
h) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido 
i) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e não atingir a idade � + 1 
j) probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 2 
k) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido na idade � + 3 e não atingir a 
idade � + 4 
Questão 2: Considere a tabela a seguir, e calcule as probabilidades expressas na questão 
anterior utilizando o método de Hamza. (Considere � = 2) 
Idade 	
 �
� �

 
� 0,000023319 0,000050325 0,087879608 
� + 1 0,000025346 0,000183135 0,072643667 
� + 2 0,000029923 0,000412253 0,067720047 
� + 3 0,000035589 0,000440038 0,066750598 
� + 4 0,000065069 0,000689776 0,065632074 
 
a) probabilidade de um ativo de idade �, continuar ativo até a idade � + 3 e falecer entre as 
idades � + 3 e � + 4 
b) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido entre as idades � + 2 e � + 3 e 
falecer no mesmo período 
c) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido antes de atingir a idade � + 2 
d) probabilidade de ativo d idade � atingir ativo a idade � + 2 
e) probabilidade de um ativo de idade � atingir � + 1 
f) probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 1 
g) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e atingir a idade � + 1 
h) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido 
i) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e não atingir a idade � + 1 
j) probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 2 
k) probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido na idade � + 3 e não atingir a 
idade � + 4 
Matemática Atuarial II – Período 2011/02 
Professora: Tayana Rigueira 
Questão 3: Dado que o decremento pode acontecer devido a morte (1), invalidez (2), ou 
aposentadoria (3), construa a tábua de múltiplos decrementos baseada nas seguintes taxas de 
decremento absolutas: 
Idade �
�(�)
 �
�(�)
 �
�(�)
 
62 0,020 0,030 0,200 
63 0,022 0,034 0,100 
64 0,028 0,040 0,120 
 
Questão 4: Uma pessoa de 20 anos está exposta a duas causas de morte. A força de 
mortalidade da primeira causa é constante e igual a 0,01. A segunda força de mortalidade 
segue a Lei de De Moivre com � igual a 100. Calcule: 
a) ���
�(�)
� 
b) ���
�(�)
� 
c) ���
(�)
(�) 
d) ���
�(�) 
 
 
GABARITO 
 
 
Questão1: 
a) �
��
��� ∗ �
����
� 
b) �
��
� ∗ �
��
�
 
c) 	
 + �
�� ∗ 	
�� 
d) �
��
� 
e) �
� = �
�� + �
�
 
f) �
� = �
�� + �
�
 
g) �
�
 
h) 	
 
i) �
�
 
j) �
� + �
�� ∗ �
��
� + �
�
 ∗ �
��

 
k) �
��
� ∗ �
��
�
 
Questão2: 
a) 0,00043972 
b) 0,00000101 
c) 0,00004866 
d) 0,99971984 
e) 0,99994968 
f) 0,00005033 
g) 0,00002229 
h) 0,00002332 
Matemática Atuarial II – Período 2011/02 
Professora: Tayana Rigueira 
i) 0,00000102 
j) 0,00023506 
k) 0,00000119 
Questão 3: 
�
�(�)
 �
�(�)
 �
�(�)
 �
�($)
 �
�($)
 �
(�)
 �
(�)
 �
(�)
 
0,980 0,970 0,800 0,7605 0,2395 0,0177 0,0266 0,1952 
0,978 0,966 0,900 0,8503 0,1497 0,0205 0,0319 0,0973 
0,972 0,960 0,880 0,8211 0,1789 0,0258 0,0371 0,1160 
 
Questão 4: 
a) �′��
(�)
� = &��'−0,01 ∗ �) 
b) �′��
(�)
� =
*�+�
*�
 
c) ���
(�)(�) =
�
*�+�
 
d) �′��
(�)
=
�
*�