CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA
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CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA


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José Roberto Julianelli 
CÁLCULO VETORIAL E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
,.,.. .\u2022 EDITORA 
'-,, YJ CIÊNCIA MODERNA 
J. R. J ULIANELLI 
, 
AL[ULO 
VET"1RIAL 
"- .\u2022 EDITORA \i.YJ CIÊNCIA MODERNA 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Copyright© Editora Ciência Moderna Ltda., 2008 
Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA e I ÊNCIA 
MODERNALTDA. 
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reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico 
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Editor: Paulo André P. Marques 
Produção Editorial: Camila Cabete Machado 
Capa: Cristina Satchko Hodge 
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FICHA CATALOGRÁFICA 
ISBN: 978-85-7393-669-8 CDo 510 
515 
516 
Julianelli, José Roberto 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2008. 
1. Matemática; Cálculo; Geometria 
1-Título 
Editora Ciência Moderna Ltda. 
R. Alice Figueiredo, 46 - Riachuelo 
Rio de Janeiro, RJ - Brasil CEP: 20.950-150 
Tel: {21) 2201-6662/ Fax: (21) 2201-6896 
E-MAIL: LCM@LCM.COM.BR 
WWW.LCM.COM.BR 03/08 
Dedicatória 
Dedico este trabalho a algumas pessoas muito importantes em mi- 
nha vida: 
Meus pais, Rafael e Elvira, que mesmo em idade avançada, continu- 
am me inspirando e incentivando com seu exemplo amor e carinho; 
Minha esposa, companheira e amiga, Márcia Cristina, que sempre 
está ao meu lado, não permitindo que eu desanime nas horas mais 
difíceis; 
Meus filhos Mariana e Thiago, que têm dividido parte do seu tempo 
com muita paciência e compreensão. 
Vocês são a razão de tudo isso! 
Agradecimentos 
Agradeço a DEUS pela saúde e capacitação que me tem dado, per- 
mitindo que eu desenvolvesse esse trabalho; 
Ao amigo Ilydio P. de Sá, pela paciente leitura dos originais e por 
suas preciosas sugestões; 
Aos colegas de trabalho e alunos que sempre me incentivaram a es- 
crever esse material. 
Apresentação 
O livro que estamos lançando, CÁLCULO VETORJAL E GEOME- 
TRJA ANALÍTICA destina-se basicamente aos estudantes dos cursos de 
Licenciatura em Matemática, de Informática e de Engenharia, ou qual- 
quer outro Curso Superior que tenha essa disciplina em seu currículo. 
Também pode ser utilizado por estudantes do Ensino Médio que 
estejam preparando-se para os diversos exames de Vestibular, especial- 
mente aqueles voltados para as Escolas Militares. 
Nossa intenção foi dar um tratamento vetorial a todo o conteúdo do 
livro, por entendermos que essa metodologia toma o estudo da Geome- 
tria Analítica mais interessante. 
Procuramos utilizar uma linguagem simples e objetiva para facili- 
tar a compreensão dos conteúdos, sem, contudo, perder o rigor exigido 
pela Matemática. 
A introdução de um novo conteúdo é feita, sempre que possível, 
com a utilização de uma situação-problema, mostrando a necessidade 
daquele conteúdo e, desta forma, ajudando o leitor a dar significado ao 
que está aprendendo. 
O livro possui uma grande quantidade de exercícios resolvidos, 
com o objetivo de auxiliar o leitor em seu estudo. Em muitos desses 
exercícios são apresentadas ou sugeridas diversas formas de resolução 
para que, desta maneira, o estudante tenha sua visão ampliada diante 
das múltiplas possibilidades de resolução de um mesmo problema. 
No primeiro capítulo fazemos o estudo do Cálculo Vetorial no pla- 
no, chegando ao Produto Interno e algumas de suas aplicações. Em se- 
VIII Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
guida, nos capítulos 2 e 3, desenvolvemos, respectivamente, oestudo 
de Retas e Circunferência. No capítulo 4 apresentamos o COnjmto R3 
quando é feito o estudo de Vetores no R3, incluindo os produtos "etoria! 
e Misto com suas aplicações à Geometria. Nos capítulos 5, 6 e 7 desen- 
volvemos a Geometria Analítica Espacial, quando são estudados, en cada 
capítulo, o Plano, a Reta e a Superfície Esférica. O capítulo 8 é dedicado 
a uma introdução às Transformações Lineares, mostrando algurnasapl ica- 
ções à Geometria Analítica. Finalmente, no capítulo 9 fazemos O estudo 
dos Lugares Geométricos, quando são estudadas as diversas eqL,a;:ões da 
Elipse, da Hipérbole e da Parábola. 
Esperamos que a leitura seja agradável e que os conteúdos tenham 
sido apresentados de forma clara, para que haja um bom aprovci1amento 
do livro. 
Estamos à disposição para receber suas críticas e sugestõc 
intuito de aprimorarmos esse trabalho. 
Boa leitura e sucesso! 
com o 
J. R. Ju_,ANELLI 
j rj mat@yahoo.com. br 
Sumário 
1 V R2 ETORES NO . 
1 . Estudo do Ponto na Reta - ~ 
1.1 Definições Preliminares . 
1.2 Vetores no Plano.................................................................... 7 
1. 2.1 Equipolência de Segmentos Orientados..................... 7 
1.2.2 Propriedades............................................................... 7 
1.2.3 Classe de Equivalência............................................... 8 
1.2.4 Vetor........................................................................... 8 
2. Operações - Definições Geométricas......................................... 9 
2.1 Adição . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . .. .. . . . .. .. .. 9 
2.1.1 Regra do Triângulo..................................................... 9 
2.1.2 Regra do Paralelogramo............................................. 9 
2.2 Vetor Simétrico ou Oposto . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. 1 C 
2.3 Subtração . . .. .. . . . .. .. . .. 1 C 
2.4 Adição de Vários Vetores...................................................... 11 
2.5 Multiplicação de um Vetor por um Número Real 11 
2.6 Coordenada ou Componente de Um Vetor na Reta 9L......... 1~ 
3. O Conjunto R2 \u2022\u2022\u2022\u2022..\u2022......\u2022.\u2022\u2022\u2022\u2022....\u2022.\u2022\u2022...\u2022.\u2022..\u2022..\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022.\u2022\u2022.\u2022..\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022 .\u2022\u2022\u2022\u2022.\u2022\u2022..\u2022\u2022.\u2022.\u2022.\u2022. 1 ~ 
3.1 Componentes ou Coordenadas de um Vetor No R2 ...\u2022\u2022.......... 1 ( 
3.1.1 Projeção Ortogonal de um Ponto sobre um Eixo....... 1( 
3. 1. 2 Projeção Ortogonal de um Segmento Orientado 
sobre um Eixo 1' 
X Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
3.1. 3 Coordenadas ou Componentes de um Vetor no Plano 17 
3.2 Módulo de um Vetor - Distância entre dois Pontos A e B 
do Plano................................................................................. 21 
3.2.1 Propriedades............................................................... 22 
3.3 Versar de um Vetor v . .. . .. . .. .. . .. . .. . 23 
3.4 Vetores Unitários sobre os Eixos Coordenados..................... 23 
4. Ponto Médio M de um Segmento de Extremidades 
A(a, b) e B(c, d)............................................................................ 25 
5. Divisão de um Segmento Numa Razão Dada............................... 26 
6. Coordenadas do Baricentro de um Triângulo ABC....................... 28 
7. Paralelismo entre Vetores.............................................................. 30 
8. Condição de Alinhamento de 3 Pontos··························.:.;····.:.;······· 33 
9. Produto Interno ou Produto Escalar entre Dois Vetores u e v 36 
9.1 Definição............................................................................... 36 
9.2 Propriedades..........................................................................