Material 5 FMEF Série de pagamentos uniformes

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Fundamentos de Modelagem 
Econômica-financeira
Séries periódicas uniformes
Prof. Me. Thiago Costa Carvalho
thiago.costa@ufersa.edu.br
Bacharel em Ciências Econômicas (UERN)
Especialista em Gestão Pública Municipal (UERN)
Mestre em Logística e Pesquisa Operacional (GESLOG/UFC)
www.ufersa.edu.br
As séries periódicas uniformes (ou rendas certas) podem ser
divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas.
Séries uniformes postecipadas
Nesta série, os pagamentos ocorrem no final de cada período —
por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito.
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Séries uniformes antecipadas
Nesta série, os pagamentos ocorrem no início de cada
período — por exemplo, financiamentos com pagamento à
vista.
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Séries diferidas
Nesta série, o período de carência constitui-se em um prazo que
separa o início da operação do período de pagamento da
primeira parcela — por exemplo, promoções do tipo ‘compre
hoje e comece a pagar daqui a x dias’.
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Valor presente de séries 
periódicas uniformes
O valor presente de uma série de parcelas uniformes e
postecipadas (termos vencidos) representa a soma das parcelas
atualizadas para a data inicial do fluxo (data 0).
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Valor presente dos termos da série:
O somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma
progressão geométrica finita.
A expressão matemática entre colchetes é conhecida como fator de valor presente de
séries uniformes. Internacionalmente, a expressão recebe o símbolo
onde
‘n’ representa o número de termos da série e;
‘i’, a sua taxa de capitalização.
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Exercício
Um bem cujo preço à vista é $4.000 será pago em oito prestações
mensais iguais que vencem ao fim de cada mês. Considerando que
o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das
prestações.
Dados:
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Exercício
Um financiamento de $50.000 será pago em 
12 prestações mensais a juros efetivos de 8% a.m. Considerando que foi 
estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das 
prestações antecipadas e postecipadas.
Dados:
a) Prestações antecipadas:
No caso de as prestações serem antecipadas, a primeira parcela será 
paga no início do primeiro mês que se segue ao término da carência:
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Durante a carência, os juros são capitalizados 
e incorporados ao principal, logo as prestações
devem ser calculadas sobre o principal capitalizado ‘c – 1’ períodos, 
onde c é a carência:
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b) Prestações postecipadas:
No caso de as prestações serem postecipadas, o pagamento da
primeira parcela ocorrerá no fim do primeiro mês que se segue após o
término da carência. Logo, as prestações deverão ser calculadas sobre
o principal capitalizado durante ‘c’ períodos, onde c é a carência:
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Montante de séries 
periódicas uniformes
O valor futuro ou montante de uma série de pagamentos ou
recebimentos uniformes será igual à soma dos montantes de cada
prestação em determinada data futura, calculados pela mesma taxa
de juros.
Por exemplo, considerando-se uma série postecipada com n termos
uniformes, seu valor presente é:
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Uma expressão para o montante pode ser obtida se capitalizarmos
por n períodos o valor presente da série:
A expressão entre colchetes é conhecida como fator de valor futuro de séries 
uniformes. Internacionalmente, é representado pelo símbolo 
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Nas fórmulas, para entender melhor o
processo de capitalização implícito, ver
quadro a seguir
Cálculos necessários para chegar ao montante de cinco depósitos
mensais iguais, aplicados a juros efetivos de 10% a.m.
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Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em
um fundo de investimento que paga juros nominais
de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o
montante da aplicação no fim do 16º mês.
Exercício
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Uma pessoa pretende depositar todo final de ano,
durante 20 anos, $10.000 em um fundo que rende
juros efetivos de 15% a.a. O montante acumulado deverá ser
resgatado a partir do 21º ano por meio de três saques anuais iguais
e consecutivos. Calcular o valor dos saques.
Exercício
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Exercício
1. Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 
10% a.m., qual deveria ser seu valor à vista? 
2. Calcular o valor da aplicação mensal necessária que permita acumular ao fim 
de 16 meses um montante de $2.300.000 se a aplicação rende juros efetivos de 
6% a.m. 
3. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Se a 
taxa de juros efetiva cobrada for de 3% a.m., calcular o valor das prestações na 
hipótese de serem pagas: a) postecipadamente (final de cada mês); b) 
antecipadamente (início de cada mês).
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Cálculo da taxa de juros em 
séries periódicas uniformes
A taxa de juros de um fluxo uniforme de pagamentos ou
recebimentos é a taxa que capitaliza os termos da série.
O cálculo dessa taxa requer resolver para i* a seguinte equação:
No diagrama, P representa o valor inicial do fluxo de caixa e R, o valor
unitário dos termos da série uniforme.
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O cálculo manual da taxa de juros em
fluxos multiperiódicos é um processo
demorado e cansativo.
As calculadoras financeiras podem realizar esse cálculo de
forma fácil e rápida.
Na falta delas, pode-se obter um resultado aproximado por
meio de tentativas ou por interpolação linear. As tentativas são,
em geral, penosas, e as interpolações, imprecisas.
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Método de Baily-Lenzi: simples de ser usado e oferece
resultados surpreendentemente exatos.
Dependendo do número de termos da série uniforme postecipada, 
calcula-se a taxa de juros usando as seguintes equações:
onde: 
P = principal (financiamento efetivo);
R = valor da prestação postecipada;
n = número de prestações.
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A equação :
A da esquerda é recomendada para baixos valores de i e n, gerando
resultados mais precisos para n x i  3, e corresponde à maioria dos
casos práticos.
A equação da direita é indicada para valores altos de n x i (3  n x i 
5,5). A utilização da equação adequada, conforme as faixas de
variação de n x i, resulta em erros inferiores a 1%.
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Exemplo:
O uso das equações pode ser ilustrado da 
seguinte forma:
Dados: 
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No método de Baily-Lenzi, 
a taxa de Juros pode também ser calculada em função do
montante (S) da série uniforme postecipada:
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Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000 em 12
prestações mensais de $7.932,64. Calcular a taxa de juros efetiva
ao mês cobrada pelo financiamento.
Determinar a taxa de juros efetiva ao mês cobrada por um
empréstimo de $132.000 que será reembolsado por meio de 13
prestações mensais postecipadas de $15.793,91 cada.
Exercício
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