OPERAÇÃO DAS MATRIZES- 4º AULA

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OPERAÇÕES COM 
MATRIZES 
 
PROFª: ELIZÂNGELA BARROSO 











645
046
633
BAc
Matrizes 
Soma de Matrizes 
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de 











342
015
321
A











303
031
312
B
3 3 6 
6 4 0 
5 4 6 
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os 
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. 
njmibac
BACMCMBA
i ji ji j
nmnm
,,1,,1;
:,
 
 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
ABBAMBA nm  ,
Operações com Matrizes 
goza das seguintes propriedades: 
Comutativa 
Associativa 
Tem elemento neutro 
Todos os elementos têm inversa 
A soma de matrizes do mesmo tipo 
)()(,, CBACBAMCBA nm  
AOAMOMA nmnm   :
OBAMBMA nmnm   :
Matrizes Operações com Matrizes 
goza das seguintes propriedades: 
Comutativa 
Associativa 
Tem elemento neutro 
Todos os elementos têm inversa 
A soma de matrizes do mesmo tipo 
Assim o conjunto M mxn forma um 
Grupo Aditivo Comutativo 
Matrizes 
Produto por um escalar 
Sejam A uma matriz e l um escalar 
O produto de l por A é uma matriz C 











342
015
321
A











9126
0315
963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l 
njmiac
ACMAMA
i ji j
nmnm
,,1,,1;
:
 
 
l
ll
Operações com Matrizes 
do mesmo tipo de A 
Matrizes 
   AA ll 
Operações com Matrizes 
e os escalares l e  as seguintes propriedades são válidas: 
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo 
AAA ll  )(
  BABA lll 
AA1
Matrizes 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a1n ... 
... a2n 
a31 a32 a33 a3n ... 
..
. 
..
. 
..
. 
am1 am2 am3 amn ... 
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij 
Consideremos o sistema 
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1 a11x 1 + ... + 
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... 
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm 
= b1 
b2 
b3 
bm 
x1 
x2 
x3 
xn 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
= 
2 x 3 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
12 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
12 15 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
12 15 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
12 15 
15 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
12 15 
15 29 
Operações com Matrizes 
Matrizes 
1 2 3 
2 5 3 
2 
1 2 3 
2 5 3 
1 0 2 
= 
x 3 
3 x 3 
8 
2 x 3 
12 15 
15 29 27 
Operações com Matrizes 
Matrizes Operações com Matrizes 
Produto de Matrizes 
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo 
O produto de A por B é uma matriz C do tipo 
cujos elementos são dados por: 
mxp 



n
k
jkkiji bac
1
e escreve-se C=AB. 
nxp. 
O produto de matrizes não é comutativo 
Matrizes 
   CBACBA 
Operações com Matrizes 
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, 
as seguintes propriedades são válidas: 
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar. 
CBCACBA  )(
  CABACBA 
     BABABA aaa 
Matrizes Operações com Matrizes 
Transposição de Matrizes 
Seja A uma matriz de tipo mxn. 
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: 
jiji ab 
 mjni ,....;,..., 11 
e escreve-se B=AT 
53
05442
12520
43201











A
35014
523
452
420
201

















TA
Matrizes 
  AA TT 
Operações com Matrizes 
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, 
as seguintes propriedades são válidas: 
Dadas as matrizes A e B e a um escalar. 
TTT BABA  )(
   TT AA aa 
  TTT ABBA 
Definição 
• Dada uma matriz quadrada A, de ordem 
n, se X é uma matriz tal que AX = In e 
XA = In, então X é denominada matriz 
inversa de A e é indicada por A-1. Quando 
existe a matriz inversa de A, dizemos que 
A é uma matriz inversível ou não-
singular. 
 
• Verifique se existe e, em caso afirmativo, 
 
 determine a matriz inversa de A = 
 
 
 
 
Resolução: Pela definição temos: 
 
































10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
23
032
185






cea
ca
ca 58
132
085






deb
db
db
Então X = 








52
83 , para AX = I2. 
Matrizes Elementares 
Chamamos de operações elementares nas linhas de 
uma matriz, às seguintes operações: 
 
• i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; 
 
• ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma 
constante diferente de zero; 
 
• iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma 
com outra linha multiplicada por uma constante 
diferente de zero. 
 
Definição 
 
• Uma matriz elementar é uma matriz obtida 
por meio de operações elementares nas linhas 
de uma matriz identidade. 
 
 
Exemplo 
1. Considere a matriz identidade 













1000
0100
0010
0001
I . Então as matrizes 
 
 













1000
0100
0050
0001
1E , 













1000
0001
0010
0100
2E , 














1020
0100
0010
0001
3E , são matrizes 
 
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar 
em suas linhas. 
• Se representa a i-ésima linha de I, então, estas 
matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 
 
 












1000
0100
0010
0001

 22 5 LL 1
1000
0100
0050
0001
E












 












1000
0100
0010
0001

 31 LL
 2
1000
0001
0010
0100
E












 












1000
0100
0010
0001

 244 2LLL
3
1020
0100
0010
0001
E













 
Teorema 
• Seja A uma matriz quadrada. Se uma 
seqüência de operações elementares nas 
suas linhas reduz A a I, então a mesma 
seqüência de operações elementares 
transforma I em . 
 
Exemplo 
1. Ache a inversa da matriz 













321
121
121
A











100321
010121
001121




 21 LL












100321
001121
010121



133
122
LLL
LLL













110440
011240
010121




 22
4
1
LL










110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121



233
211
4
2
LLL
LLL





















101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 33
2
1
LL


















2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 322
2
1
LLL



















2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001























2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1A
. 
Assim