torção

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAS I
Prof(a) Ma. Nayara Neres
PLANO DE AULA 2018/1
▪ Introdução e estática;
▪ Solicitação axial;
▪ Cisalhamento puro;
▪ Torção;
▪ 1ª Prova (40 pts) – 03/04
▪ Flexão;
▪ Deformação na Flexão.
▪ 2ª Prova (40 pts) – 29/05
*10 pts – Exercícios sala de aula.
*10 pts – Listas de exercícios.
Substitutiva – 16/06
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
▪ BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Resistência dos materiais. 3 ed. São Paulo.
Pearson Makron Books, 1995.
▪ HIBBELER, R. C; Resistência dos materiais. 3 ed. Rio de Janeiro. Livros Técnicos Científicos, 2000.
▪ SARKIS, Melconian. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais, 17 ed. São Paulo. Editora Érica,
2006.
▪ NASH, Willian A. Resistência dos materiais, 2 ed. São Paulo. Hill, 1982..
3. TORÇÃO
3.1 – Tensões e Deformações Geradas por Momento de Torção em Seções Circulares.
3.2 – Tensões e Deformações Geradas por Momento de Torção em Seções Fechadas de Paredes
Finas.
3.3 – Eixos de Transmissão.
3.4 – Concentração de Tensão
3.5 – Problemas Estaticamente Indeterminados.
3.6 – Torção em Barras de Seção Retangulares.
CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
Qualquer descontinuidade ou mudança de seção existente em um elemento
estrutural provoca uma redistribuição do campo de tensões e deformações nas
suas proximidades.
Muitas falhas em elementos estruturais ocorrem próximas a estes concentradores 
pois a magnitude das tensões e deformações não são intuitivamente óbvias. 
• Furos, Entalhes, Rasgos de chaveta, Ranhuras, Redução de área,
Cantos vivos, Contatos e Cargas concentradas.
CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
O fator de concentração de tensão por torção, K, é usado para simplificar a análise complexa 
da tensão.
A tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação:
J
Tc
Kmáx
 
   
15,0
202
6
 ;2
202
402

d
r
d
D
K = 
 
   
15,0
202
6
 ;2
202
402

d
r
d
D
D = diâmetro maior;
d = diâmetro menor
r = raio do filete
CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
▪ EXEMPLO:
O eixo em degrau está apoiado nos mancais em A e B. Determine a tensão máxima no eixo resultante 
dos torques aplicados. O filete na junção de cada eixo tem raio r = 6 mm.
CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
▪ Solução:
Por inspeção, o equilíbrio de momento em torno do centro do eixo é satisfeito. 
O fator de concentração de tensão pode ser determinado pela geometria do eixo:
 
   
15,0
202
6
 ;2
202
402

d
r
d
D
Assim, K = 1,3 e a tensão máxima é
 
  
(Resposta) MPa 10,3
020,02
020,030
3,1
4máx






  J
Tc
K
EXERCÍCIO 13
▪ A tensão de cisalhamento admissível para o aço usada no eixo é τadm = 8 MPa. Se os elementos forem
interligados por um filete de solda de raio r = 4 mm, determine o torque máximo T que pode ser
aplicado.
3. TORÇÃO
3.1 – Tensões e Deformações Geradas por Momento de Torção em Seções Circulares.
3.2 – Tensões e Deformações Geradas por Momento de Torção em Seções Fechadas de Paredes
Finas.
3.3 – Eixos de Transmissão.
3.4 – Concentração de Tensão
3.5 – Problemas Estaticamente Indeterminados.
3.5 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
Um eixo carregado com torque pode ser classificado como estaticamente indeterminado se a
equação de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo não for
adequada para determinar os torques desconhecidos que agem no eixo.
Visto que há somente uma equação
de equilíbrio relevante, porém duas
incógnitas, esse problema é
estaticamente indeterminado.
3.5 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
A condição de compatibilidade necessária, ou a condição cinemática, exige que o ângulo 
de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra extremidade seja igual a zero, 
visto que os apoios nas extremidades são fixos. Portanto, ϕ A/B = 0.
Considera-se que o material se comporta de maneira linear elástica, de modo que a relação 
entre a carga e o deslocamento é expressa por ϕ = TL/JG.
Considerando JG é constante e resolvendo as duas equações temos: 
EXEMPLO
▪ O eixo maciço de aço mostrado na figura abaixo tem diâmetro de 20 mm. Se for submetido
aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos.
O torque o ângulo serão positivos desde que o polegar esteja 
direcionado para fora do eixo quando os dedos o envolverem.
EXEMPLO
Há três regiões do eixo nos quais o torque é constante. Pela 
convenção de sinais estabelecida temos:
EXERCÍCIO 14
▪ O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50 mm e está preso nas extremidades A e B. Se for
submetido ao momento, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB
do eixo.
4. FLEXÃO
4.1 – Classificação da Flexão
4.2 – Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime Elástico
4.3 – Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples
4.4 – Fluxo de Cisalhamento. Aplicação a Soldas e Parafusos
4.5 – Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria
4.6 – Carregamento Fora do Plano de Simetria
4.7 – Carga Excêntrica
4.8 – Equação da Linha Neutra
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor
Flexão é um conceito importante usado no projeto de muitos componentes de máquinas e componentes 
estruturais, como vigas e traves
▪ Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados 
vigas.
▪ Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas.
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
▪ As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas
de força cortante e momento fletor.
▪ Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna
provoca uma rotação em sentido horário.
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
Exemplo: Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a 
viga dada.
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
Solução:
Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação das equações de 
equilíbrio produz.




(2) 
2
 ;0
(1) 
2
 ;0
x
P
MM
P
VFy
Segmento esquerdo da viga se estende até a distância
x na região BC.
  (4) 
222
 ;0 
(3) 
2
0
2
 ;0
 xL
P
Mx
PL
xPMM
P
VVP
P
Fy










4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
  (1) 
2
 ;0
P
VFy
O diagrama tensão representa as 
equações 1 e 3 
O diagrama de momento
representa as equações 2 e 4 
  (2) 
2
 ;0 x
P
MM
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
Exemplo: Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada
na figura.
Solução:
A carga distribuída é substituída por sua força resultante.
L
w
w
L
w
x
w 00 ou 
 
 





















(2) 0
3
1
2
1
23
 ;0
(1)
2
0
2
1
2
 ;0
00
2
0
22000
Mxx
L
xw
x
LwLw
M
 xL
L
w
VVx
L
xwLw
Fy
A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo proporcional:
A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama:
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
O diagrama de força cortante 
representa a equação 1 
Momento fletor representa
a equação 2 
4.1.1Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
EXERCÍCIO 15
▪ Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada abaixo.
Solução:
Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem 
as funções de cisalhamento e momento da viga inteira.
  (2) kNm 8075,5075,580 ;0
(1) kN 75,5075,5 ;0
m, 50
11
1





xMMxM
VVF
x
y
   
 
  (4) kNm 5,9275,155,2 
0
2
5
551575,580 ;0
(3) kN 575,150551575,5 ;0
m, 10m 5
2
2
2
2
21
22
1






 





xxM
M
x
xxM
xVVxF
x
y
x2
O diagrama de força cortante
representa as equações 1 e 3 
O momento fletor das equações 2 e 4 
ESTÁTICA
▪ A compreensão de conceitos básicos de estática são de fundamental importância 
para darmos prosseguimento ao estudo da resistência dos materiais.
C
a
rg
a
s 
e
xt
e
rn
a
s
Concentrada
Distribuída uniforme ou 
retangular
Distribuída triangular
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTÁTICA
▪ Tipos de apoio
Apoio ou vínculo: são os componentes ou partes de uma mesma peça que
impedem o movimento em uma ou mais direções. Possibilidades de movimento:
translação horizontal ( ); translação vertical ( ); Rotação ( ).
Engaste
• Impede três tipos de deslocamento: vertical, horizontal e giro.
• Impõe a estrutura 3 vínculos.
Apoio articulado fixo
• Impede deslocamento vertical e horizontal, permite o giro.
• Impõe 2 vínculos.
Apoio articulado móvel
• Impede deslocamento vertical e permite o deslocamento horizontal e o 
giro.
• Impõe 1 vínculo.
EXERCÍCIO 16
1- Determine as reações de apoio:
Solução 16.1
Solução 16.1
Solução 16.1
Solução 16.2
Solução 16.3
Solução Exercício 16.3
Solução 16.4 
Solução 16.4
Regiões de carga distribuida
▪ Essas duas equações proporcionam um meio
conveniente para se obter rapidamente os
diagramas de força cortante e momento fletor
para uma viga:
 xw
dx
dV

inclinação do 
diagrama de 
força cortante em 
cada ponto
– intensidade da 
carga distribuída 
em cada ponto
V
dx
dM

inclinação do 
diagrama de 
momento em 
cada ponto
Cisalhamento (força 
cortante) em cada 
ponto
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
▪ Podemos integrar essas áreas entre quaisquer
dois pontos para mudar a carga distribuída
e a força cortante.
 dxxwV 
mudança na
força cortante
– área sob a 
carga distribuída
 dxxVM 
mudança no 
momento
área sob o 
diagrama de força
cortante
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
Regiões de força e momento
concentrados
Alguns dos casos comuns de 
carregamento:
4.1.1 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor 
4. FLEXÃO
4.1 – Classificação da Flexão
4.2 – Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime Elástico
4.3 – Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples
4.4 – Fluxo de Cisalhamento. Aplicação a Soldas e Parafusos
4.5 – Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria
4.6 – Carregamento Fora do Plano de Simetria
4.7 – Carga Excêntrica
4.8 – Equação da Linha Neutra
4.2 Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime 
Elástico 
O momento fletor M provoca tensões normais na seção transversal, enquanto a força cortante V
provoca tensões de cisalhamento naquela seção. Na maioria dos casos, o critério dominante no projeto
de uma viga quanto à resistência é o valor máximo da tensão normal sobre ela.
σmáx = tensão normal no máxima no elemento, que
ocorre em um ponto na área da seção transversal
mais afastado do eixo neutro.
M = momento interno resultante, determinado pelo
método das seções e pelas equações de equilíbrio e
calculado em torno do eixo neutron da seção
transversal.
I = momento de inércia da área da seção transversal
calculada em torno do eixo neutro.
c = distância perpendicular do eixo neutro a um
ponto mais afastado do eixo neutro, onde age σmáx .
o sinal negativo é 
necessário devido à 
regra da mão direita.
4.2 Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime 
Elástico 
Existe uma superfície paralela às faces superior e inferior da viga, em que εx e σx são
zero. Essa superfície é chamada superfície neutra. A superfície neutra intercepta
determinada seção transversal por meio de uma linha reta chamada de linha neutra
da seção.
4.2 Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime 
Elástico 
Momento de Inércia (I): resistência que um determinado elemento oferece ao
movimento de rotação.
EXERCÍCIO 17
1- Uma barra de aço de seção transversal retangular medindo 20,3 mm x 63,5 mm está submetida a dois
momentos fletores iguais e opostos atuando no plano vertical de simetria da barra. Determine o valor do
momento fletor M que provoca escoamento na barra. Considere σe = 248 MPa.
Solução Exercício 17
1- A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo.
Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga.
EXEMPLO
Solução:
O momento máximo interno na viga é . 
kNm 5,22M
Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo 
neutro, passa a meia altura da viga, e o momento de inercia é
 
         
  46
323
2
m 103,301 
3,002,0
12
1
16,0002,025,002,025,0
12
1
2 














 AdII
Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm,
 
 
(Resposta)
 MPa 7,12
103,301
17,05,22
 ;
6máxmáx



I
Mc
Passo a Passo Cálculo do Momento de Inércia
1
2
3
y =
σ𝑦𝐴
σ𝐴
Centróide: 
x y A xA yA
Fig. 1 125 330 5000 625000 1650000
Fig. 2 125 170 6000 750000 1020000
Fig. 3 125 10 5000 625000 50000
Σ 375 510 16000 2000000 2720000
Ix1 =
250. (20)3
12
+ 5000 (330 - 170)2 = 128,16 x 106 mm4
y =
2720000
16000 y = 170 mm
Ix2 =
20. (300)3
12
+ 6000 (170 - 170)2 = 45 x 106mm4
Ix3 =
250. (20)3
12
+ 5000 (10 - 170)2 = 128,16 x 106 mm4
IT= Ix1 + Ix2 + Ix3 = 301,3 x 10
-6 m4
I =
𝑏. ℎ3
12
+ A (x ou y – x ou y)2
4. FLEXÃO
4.1 – Classificação da Flexão
4.2 – Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime Elástico
4.3 – Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples
4.4 – Fluxo de Cisalhamento. Aplicação a Soldas e Parafusos
4.5 – Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria
4.6 – Carregamento Fora do Plano de Simetria
4.7 – Carga Excêntrica
4.8 – Equação da Linha Neutra
4.3 Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples 
Nos pontos de uma seção transversal de uma barra submetida à flexão simples, além de uma tensão 
normal, atua também uma tensão de cisalhamento.
Força cortante
Tensão de 
cisalhamento
O que não se pode pressupor é que a tensão de cisalhamento seja a mesma para todos os pontos da
seção. A distribuição destas tensões recebe a influência do momento fletor que atua na seção.
4.3 Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples 
▪ Quando o cisalhamento V é aplicado, essa distribuição não uniforme na seção transversal fará com que 
ela se deforme.
▪ A relação entre o momento e o cisalhamento é:
dxdMV 
▪ A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de 
cisalhamento na seção transversal.
'' onde
 
'
AyydAQ
It
VQ
A




τ = tensão de cisalhamento no elemento 
V = força de cisalhamento interna resultante
Q = momento estático
I = momento de inércia da área da seção transversal inteira
t = largura daárea da seção transversal do elemento
4.3.1 A Fórmula do Cisalhamento
Momento estático
Relembrando...
▪ Momento estático: Q = S = Ms = A . y
Alguns momentos estáticos:
Medido em relação ao 
eixo de simetria.
Distância do centro da minha seção 
ao eixo de simetria 
Relembrando...
Distância ao centro de gravidade:
Relembrando...
Passo a Passo Cálculo do Momento Estático Viga I
1
2
3
Qy = σ𝑥𝐴
y =
σ𝑦𝐴
σ𝐴
Centróide: 
x y A xA yA
Fig. 1 125 330 5000 625000 1650000
Fig. 2 125 170 6000 750000 1020000
Fig. 3 125 10 5000 625000 50000
Σ 375 510 16000 2000000 2720000
y =
2720000
16000 y = 170 mm
Qx = σ𝑦𝐴
Qy = σ𝑥𝐴 = [ 𝑥1 𝐴1 + 𝑥2 𝐴2 + 𝑥3 𝐴3 ]
Qy = σ𝑥𝐴 = [ 125 𝑥 5000 + 125 𝑥 6000 + 125 𝑥 5000 ]
Qy = 2,0 x 10
6 mm3
A viga é feita de madeira e está sujeita a uma
força de cisalhamento vertical interna resultante
V = 3 kN. (a) Determine a tensão de
cisalhamento na viga no ponto P e (b) calcule a
tensão de cisalhamento máxima na viga.
Exemplo
     34 mm 1075,181005050
2
1
125' 



 AyQ
   4633 mm 1028,16125100
12
1
12
1
 bhI
Solução:
(a) O momento de inércia da área da seção
transversal calculado em torno do eixo neutro é
Aplicando a fórmula do cisalhamento, 
temos
  
  
(Resposta) MPa 346,0
1001028,16
1075,183
6
4




It
VQ
P
12,5 + 
(b) A tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante 
em toda a seção transversal,
  
  
(Resposta) MPa 360,0
1001028,16
1053,193
6
4
máx 



It
VQ
   34 mm 1053,195,62100
2
2,65
'' 





 AyQ
Aplicando a fórmula do cisalhamento,
62,5
4. FLEXÃO
4.1 – Classificação da Flexão
4.2 – Tensão Normal na Flexão Pura e Simples no Regime Elástico
4.3 – Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples
4.4 – Fluxo de Cisalhamento. Aplicação a Soldas e Parafusos
4.5 – Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria
4.6 – Carregamento Fora do Plano de Simetria
4.7 – Carga Excêntrica
4.8 – Equação da Linha Neutra
I
VQ
q 
q = fluxo de cisalhamento
V = força de cisalhamento interna resultante
I = momento de inércia de toda a área da seção transversal
Q= y’A’, onde A’ é a área da seção transversal do segmento 
acoplado à viga na junção onde o fluxo de cisalhamento 
deve ser calculado e y’ é a distância do eixo neutro ao 
centroide de A’
4.4 Fluxo de Cisalhamento
Para projetar os elementos de fixação, é necessário conhecer a força de
cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da estrutura.
4.4 Fluxo de Cisalhamento
O fluxo de cisalhamento q mede a força por unidade de comprimento ao longo do eixo
longitudinal de uma viga. Esse valor, obtido pela fórmula do cisalhamento, é usado para
determinar a força cortante desenvolvida em elementos de fixação que prendem às várias
partes de uma estrutura.
EXEMPLO
A viga é construída com duas tábuas presas uma à outra na parte superior e na parte
inferior por duas fileiras de pregos espaçadas de 6in . Se cada prego puder suportar
uma força de cisalhamento de 500lb, determine a força de cisalhamento máxima V
que pode ser aplicada à viga.
EXEMPLO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1 – Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V = 125 kN, determine a tensão
de cisalhamento máxima na viga.
x y A xA yA
Fig. 1 100 287,5 5000 500000 1437500
Fig. 2 100 150 6250 625000 937500
Fig. 3 100 12,5 5000 500000 62500
Σ 300 450 16250 1625000 2437500
1
2
3
ATENÇÃO!!!!!!!
y =
σ𝑦𝐴
σ𝐴
A resistência ao movimento ocorrerá sempre no sentido 
contrário à força cortante!!!!! Portanto, vamos calcular Ix.
𝑏. ℎ3
12
Ix = + A(y – y)
2
200.253
12
Ix1 = + 5000 (287,5 – 150)
2
25.2503
12
Ix2 = + 6250 (150 – 150)
2
200.253
12
Ix3 = + 5000 (12,5 – 150)
2
94,8 x 106 mm4 9,48 x 10-5 m4 
x10-12
32,6 x 106 mm4 3,26 x 10-5 m4 Centróide
94,8 x 106 mm4 9,48 x 10-5 m4 
y =
2437500
16250
y = 150 mm IxT = 2,2 x 10
-4 m4
150
275
125
12,5
62,5
ATENÇÃO!!!!!!!
y =
σ𝑦𝐴
σ𝐴
A resistência ao movimento ocorrerá sempre no sentido 
contrário à força cortante!!!!! Portanto, vamos calcular Qx.
Como estamos procurando Qxmáx então as distâncias 
devem ser calculadas em relação ao centróide.
Qx1 =
Centróide
y =
2437500
16250
y = 150 mm
Qxmáx = 8,82 x 10
-4 m4
Qx =
෍𝑦𝐶𝐺𝐴
137,5 x (25x200)
Qx2 = 62,5 x (25x125)
ATENÇÃO!!!!!!!
𝑉𝑄𝑚á𝑥
𝐼𝑡
τmáx =
125 𝑥 103𝑥 8,82 x 10−4
2,2 x 10−4 x 25 𝑥10−3
τmáx =
125 𝑥 103𝑥 8,82 x 10−4
2,2 x 10−4 x 25 𝑥10−3
τmáx =
τmáx = 20 MPa