apostila de eletrotécnica 1 ifba.pdf

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ELETROTÉCNICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Clauser Lima 
Barreiras – BA - 2017 
 
 
 
 
Sumário 
1 - APRESENTAÇÃO ....................................................................................................................................................... 3 
2 - ELETROSTÁTICA ....................................................................................................................................................... 3 
2.1 - Introdução à atomística .................................................................................................................................... 3 
2.2 - Condutor e isolante .......................................................................................................................................... 4 
2.3 - Carga elétrica elementar .................................................................................................................................. 4 
3 - ELEMENTOS DE CIRCUITO ELÉTRICO ....................................................................................................................... 7 
3.1 - Circuito elétrico - Gerador de tensão ............................................................................................................... 7 
3.2 - Corrente elétrica convencional ........................................................................................................................ 9 
3.3 - Intensidade de corrente elétrica ...................................................................................................................... 9 
3.4 - Leis de Ohm .................................................................................................................................................... 11 
3.4.1 - Bipolos elétricos ...................................................................................................................................... 11 
3.4.2 - Primeira Lei de Ohm ................................................................................................................................ 12 
3.4.3 - Segunda Lei de Ohm ................................................................................................................................ 13 
3.4.4 - Resistores ................................................................................................................................................ 17 
3.5 - Potência elétrica - Lei de Joule ....................................................................................................................... 22 
4 - ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES ............................................................................................................................... 28 
4.1 - Associação série ............................................................................................................................................. 28 
4.2 - Associação paralela ........................................................................................................................................ 32 
4.3 - Divisor de tensão - Divisor de corrente .......................................................................................................... 35 
4.4 - Associação mista ............................................................................................................................................ 37 
4.5 - Associação estrela e triângulo ........................................................................................................................ 44 
5 – GERADORES .......................................................................................................................................................... 47 
5.1 - Gerador de tensão .......................................................................................................................................... 47 
5.1.1 - Gerador de tensão ideal .......................................................................................................................... 47 
5.1.2 - Gerador de tensão real ............................................................................................................................ 48 
5.1.3 - Máxima transferência de potência.......................................................................................................... 50 
5.1.4 - Associação de geradores de tensão ........................................................................................................ 53 
5.2 - Geradores de corrente ................................................................................................................................... 59 
5.2.1 - Gerador de corrente ideal ....................................................................................................................... 59 
5.2.2 - Gerador de corrente real ......................................................................................................................... 60 
5.2.3 - Equivalência entre gerador de tensão e gerador de corrente ................................................................ 61 
6 – RECEPTORES ELÉTRICOS ATIVOS .......................................................................................................................... 64 
7 – LEIS DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................... 69 
7.1 - Definições ....................................................................................................................................................... 69 
 
 
7.2 - Primeira Lei de Kirchhoff ................................................................................................................................ 70 
7.3 - Segunda Lei de Kirchhoff ................................................................................................................................ 70 
7.4 – Balanço energético ........................................................................................................................................ 74 
8 - MÉTODO DE MAXWELL (CORRENTES FICTÍCIAS DE MALHA) ................................................................................ 81 
9 - TEOREMA DE THÉVENIN ........................................................................................................................................ 88 
10 - TEOREMA DE NORTON ........................................................................................................................................ 96 
11 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................................................................... 102 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................ 106 
ANEXO A – Revisão de matemática .......................................................................................................................... 107 
 
 
 
 
3 
 
1 - APRESENTAÇÃO 
 
Esta apostila visa a contribuir com os alunos do curso de Eletrotécnica, nível médio, cursando a 
disciplina Eletrotécnica I, cuja ementa no projeto do curso é constituída dos seguintes assuntos: 
 
 Eletrostática; elementos de circuito elétrico: eletrodinâmica, corrente elétrica convencional, 
intensidade de corrente elétrica, Leis de Ohm; resistores, potência elétrica – Lei de Joule; circuitos 
elétricos em corrente contínua: associação de resistores; geradores; receptores elétricos ativos; Leis de 
Kirchhoff; Método de Maxwell; Teorema de Thévenin; Teorema de Norton; Teorema da Superposição.2 - ELETROSTÁTICA 
2.1 - Introdução à atomística 
 
Alguns fenômenos elétricos e magnéticos tais como o raio e o ímã, sempre foram objetos, de 
curiosidade do ser humano. Muitas tentativas foram feitas para justificá-los, mas a explicação correta 
somente aconteceu quando da descoberta do átomo e suas partículas atômicas. 
Hoje, sabemos que todos os corpos são constituídos de moléculas e de átomos. 
Os átomos por sua vez são constituídos de minúsculas partículas, chamadas de partículas 
atômicas, as principais são: próton, elétron e nêutron. 
O modelo mais simples para representar um átomo é o modelo de Bohr, o qual considera o átomo 
como tendo um núcleo onde se localizam os prótons e os nêutrons, e uma região ao redor do núcleo 
chamada de coroa ou de eletrosfera, onde giram os elétrons em órbitas bem definidas. Este modelo é 
semelhante ao sistema solar, que tem o sol ao centro e os planetas girando ao seu redor. 
Os prótons e os elétrons são caracterizados por terem uma propriedade física, chamada de carga 
elétrica, os nêutrons não têm carga elétrica. Como foi verificado que as cargas do próton e do elétron têm 
características opostas e que cargas elétricas podem ser somadas algebricamente, resolveu-se atribuir sinal 
algébrico às cargas de próton e elétron, convencionando-se como negativa a carga do elétron e positiva a 
do próton. 
A quantidade de carga que o elétron carrega é igual em módulo à quantidade de carga que o próton 
carrega, por isso dizemos que o átomo é neutro, quando o número de prótons é igual ao número de 
elétrons. Outra característica importante das cargas elétricas é o fato de haver forças de interação entre 
elas, assim é que cargas do mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem. 
 
Como já foi dito, em um átomo neutro o numero de elétrons é igual ao número de prótons. 
Quando há um desequilíbrio, dizemos que o átomo está ionizado. 
Se apresentar elétrons em excesso, o átomo estará ionizado negativamente, se apresentar falta de 
4 
 
elétrons estará ionizado positivamente. 
É importante observar que o número de prótons é constante, o que se altera é o número de 
elétrons, isto é, para ionizar o átomo negativamente colocamos elétrons a mais, e se quisermos ionizar o 
átomo positivamente, retiramos elétrons. 
Do ponto de vista macroscópico, dizemos que o corpo está eletrizado quando houver um 
desequilíbrio entre o número de prótons e o número de elétrons dos átomos deste corpo. 
A quantidade de carga adquirida pelo corpo depende do número de elétrons retirados ou colocados 
no corpo. 
 
2.2 - Condutor e isolante 
 
Condutores elétricos são materiais caracterizados por possuírem no seu interior portadores de 
cargas livres, responsáveis pela passagem de uma corrente elétrica (movimentação ordenada de cargas 
elétricas) pelo seu interior. Os condutores podem ser sólidos, líquidos e gasosos. A diferença básica 
entre eles está no tipo de portador de carga que possuem. 
Por exemplo, em uma solução de água com sal (NaCl), haverá uma dissociação da molécula de 
cloreto de sódio (NaCl) em íons Na+ e Cl-, que ficam livres para se movimentar pelo interior da solução. 
O processo de condução em um gás é análogo. 
Dos condutores, os mais usados em eletrônica são os condutores metálicos, por causa das suas 
características físicas, químicas e econômicas. 
Nos condutores metálicos, os portadores de carga são elétrons. Em um metal, os elétrons que 
giram na última órbita estão tão fracamente presos ao átomo, que ao passarem nas proximidades de outro 
átomo podem sair da órbita. 
Estes elétrons pelo fato de não estarem presos a nenhum átomo, são chamados de elétrons livres. 
Se num determinado instante pudéssemos tirar uma fotografia do interior do material veríamos uma 
nuvem de elétrons envolvendo cada átomo. São esses elétrons livres os responsáveis pela condução da 
corrente elétrica em um metal. 
Isolantes são substâncias que não permitem a passagem de uma corrente elétrica, por não terem 
portadores de cargas livres, os elétrons da última camada estão fortemente presos ao átomo. Exemplos de 
isolantes: vidro, mica, fenolite, baquelite, borracha, porcelana, água pura, etc. 
Os termos isolante e condutor na realidade são relativos, pois sob certas circunstâncias um isolante 
pode se comportar como um condutor e vice-versa, além disso existe uma outra classe de substância 
chamada de semicondutores, os quais têm características intermediárias entre os condutores e os isolantes, 
e são largamente utilizados em eletrônica. 
 
2.3 - Carga elétrica elementar 
 
Carga elétrica elementar é a menor quantidade de carga elétrica possível de existir. É a carga que 
um elétron carrega à qual designaremos por qe. 
A quantidade de carga de um corpo (Q) é sempre um número inteiro desta quantidade (qe) por isso 
dizemos que a carga de um corpo é uma grandeza quantizada. O estado elétrico de um corpo pode ser 
alterado, colocando-se ou retirando-se um número inteiro de elétrons. Por exemplo: 
 
 
5 
 
 
O corpo fica com um elétron a mais, isto é, a carga do corpo é negativa e igual à carga que um 
elétron carrega (qe) Q = qe. 
 
O corpo fica negativo e com uma carga igual a duas vezes a carga que um elétron carrega, isto é, 
Q = 2qe. 
Se generalizarmos para n elétrons colocados, a carga do corpo será igual a Q = n.qe e negativa. Ao 
invés de colocarmos elétrons, vamos retirar elétrons do corpo neutro. 
 
 
Observe que ao retirar um elétron do corpo neutro, o corpo ficará com um próton a mais, logo a 
carga do corpo será positiva e igual à carga que um próton carrega, isto é, Q = qp. 
 
 
O corpo ficará com uma carga positiva e igual a duas vezes a carga que um próton carrega, isto é, 
Q = 2 x qp. 
Generalizando para n elétrons retirados teremos Q = n x qp. 
Como │qe│= │qp│ (em módulo as cargas do próton e elétron são iguais) pode-se considerar uma 
única equação que dá a carga de um corpo em função do número de elétrons (retirados ou colocados). 
Q = n x qe 
Se n são elétrons colocados, significa que estamos colocando no corpo uma carga negativa (Q < 
0). Se por outro lado n for o número de elétrons retirados, significa que a carga colocada no corpo é 
positiva (Q > 0). 
Podemos concluir que uma forma de especificar quantitativamente a carga de um corpo, é 
especificar o número de elétrons em excesso ou em falta em um corpo. Como o número de elétrons 
envolvidos é muito alto, esta não é uma forma prática de se especificar a carga de um corpo, daí adotar-se 
como unidade de carga elétrica o Coulomb (C), assim definido: 
 
1 C = 6,25 x 1018 x qe 
 
Significado físico do Coulomb 
6 
 
 
Tanto faz dizermos que a carga do corpo é +1C ou que estão faltando 6,25 x l018 elétrons. 
 
 
 
Tanto faz dizermos que a carga do corpo é -1C, ou que existem 6,25 x l018 elétrons em excesso no 
corpo. 
Da definição do Coulomb, determinamos qual a quantidade de carga que um elétron carrega, em 
Coulombs. 
 
sendo uma quantidade negativa por causa da convenção adotada. 
Evidentemente a carga do próton (qp) apresenta o mesmo valor, porém sendo uma quantidade 
positiva. Como a quantidade envolvida é muito pequena costuma-se usar mais os submúltiplos. 
 
1 milicoulomb (mC) = 10-3 C 
1 microcoulomb (µC) = 10-6 C 
1 nanocoulomb (nC) = 10-9 C 
1 picocoulomb (pC) = 10-12 C 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Quantos elétrons devem ser retirados de um corpo neutro para que fique com uma carga de 32 µC? 
R: Podemos resolver por proporção 
 
 
Poderíamos ter usado a equação: 
 
7 
 
2) Em um corpo neutro foram colocados 5x10
14
 elétrons. Com que carga fica o corpo? 
 
Exercícios propostos 
 
1) Definir condutor e isolante. Dar exemplos. 
2) Dar as características de um condutor metálico. 
3) Em que condições um corpo é dito neutro?E eletrizado positivamente? E negativo? 
4) Quantos elétrons devem ser retirados de um corpo neutro para que fique com 0,1C? 
5) Quantos elétrons devem ser colocados em um corpo neutro para que fique com uma carga de -6,4mC? 
6) Em um corpo neutro foram colocados 1014 elétrons. Com que carga ficará o corpo? 
7) De um corpo foram retirados 2xl014 elétrons, ficando o corpo com uma carga de -32 µC. Qual era a 
carga inicial do corpo? 
 
Solução dos exercícios propostos 
 
4) 6,25 x l017 elétrons 
5) 4 x l016 elétrons 
6) -16 µC 
7) Qi = -64µC 
 
3 - ELEMENTOS DE CIRCUITO ELÉTRICO 
3.1 - Circuito elétrico - Gerador de tensão 
 
A eletrodinâmica estuda as cargas elétricas em movimento em um circuito elétrico. Chamamos de 
circuito elétrico a um caminho fechado, constituído de condutores, pelo qual passam as cargas elétricas. O 
circuito elétrico mais simples tem um gerador de tensão e um receptor. Por exemplo, uma pilha ligada à 
uma lâmpada constitui-se em um circuito elétrico: a pilha é o gerador e a lâmpada é o receptor. 
Como já foi visto anteriormente, para que haja deslocamento de cargas (corrente elétrica) é 
necessário que exista uma d.d.p (tensão elétrica diferença de potencial) entre dois pontos de um 
condutor. Um gerador de tensão é um dispositivo que mantém, por meio de uma ação química (pilha), 
mecânica (alternador) ou outra qualquer, uma d.d.p entre dois pontos chamados de polos. O ponto de 
maior potencial é chamado de polo positivo, e o ponto de menor potenciai é chamado de polo negativo. 
Existem geradores de tensão constante ou contínua (E x .: pilha e bateria) e geradores de tensão 
alternada (Ex.: alternador). No nosso estudo, só serão considerados os geradores de tensão contínua. Na 
figura abaixo, à esquerda, estão representados o símbolo usado em circuito e o gráfico da tensão em 
função do tempo de um gerador de tensão contínua. Na figura abaixo, à direita, estão representados o 
símbolo e o gráfico em função do tempo de um gerador de tensão alternada senoidal. 
8 
 
 
Uma característica importante de um gerador é a sua força eletromotriz (f.e.m), que é a d.d.p 
gerada internamente e cujo valor só depende da sua construção (do material de que é feito). Por exemplo, 
no caso de uma pilha E = 1,5 V. 
Para que possamos entender como um gerador atua em um circuito costumamos fazer analogia 
com o sistema hidráulico, visto que muitas leis da eletricidade são válidas na hidráulica. 
Consideremos na figura abaixo duas caixas de água colocadas em níveis diferentes. A água se 
desloca naturalmente do nível superior para o inferior, para elevar a água é necessário fornecer energia as 
partículas de água na parte inferior para que possam vencer o desnível. O dispositivo que aumenta a 
pressão da água é chamado de bomba hidráulica. Quanto maior for o desnível a ser vencido mais potente 
deverá ser a bomba, isto é, maior deve ser a diferença de pressão entre a saída de água e a entrada de 
água. 
 
 
Em um circuito elétrico, um gerador de tensão faz o mesmo que a bomba no circuito hidráulico. O 
gerador de tensão aumenta a energia dos elétrons para que possam vencer os desníveis elétricos do 
circuito, representados pelas resistências dos condutores e pelos diversos receptores do circuito. Por 
exemplo, na figura abaixo temos um circuito elétrico no qual temos uma pilha ligada a uma lâmpada. 
Uma lâmpada é um receptor, pois transforma energia elétrica em luz e calor. Basicamente é 
constituída de um bulbo de vidro do qual se retirou o ar e colocou um gás inerte. Dentro do bulbo existe o 
filamento, que é um fio de tungstênio que aquece ao ser percorrido por uma corrente elétrica (efeito 
Joule), ficando rubro e emitindo luz. 
 
 
 
Os elétrons saem do gerador pelo polo negativo. Por meio de fios condutores chegam à lâmpada 
onde a energia que possuem é transformada em calor e luz. Entram no gerador pelo polo positivo onde 
ganham mais energia para repetir o ciclo. 
 
9 
 
3.2 - Corrente elétrica convencional 
 
Como vimos, para eletrizar um corpo positivamente, ou retiramos elétrons, ou colocamos prótons 
no corpo neutro. É claro que a primeira maneira é a realizável fisicamente, mas as duas situações 
produzem o mesmo efeito. Concluímos que cargas positivas, deslocando-se em um sentido, produzem o 
mesmo efeito que cargas negativas de mesmo módulo, deslocando-se no sentido oposto. 
Esses conceitos são importantes para compreendermos o significado de corrente elétrica 
convencional. Nos primórdios da eletricidade, achava-se que a corrente elétrica era devido a um "fluído 
positivo". Após a descoberta do átomo e de suas partículas atômicas, verificou-se que realmente a 
corrente elétrica em um condutor metálico é devida a elétrons livres, mas mesmo assim em um circuito, 
costumamos orientar a corrente no sentido contrário ao sentido real, daí chamarmos esta corrente de 
convencional. A figura abaixo (a), mostra o sentido real da corrente em um circuito, enquanto as figuras 
(b) e (c) mostram o sentido convencional. 
 
3.3 - Intensidade de corrente elétrica 
 
Uma corrente elétrica é uma movimentação ordenada de cargas elétricas por um condutor. A 
medida do fluxo de cargas, através deste condutor, determina a intensidade da corrente elétrica (i). 
Consideremos um condutor de secção transversal S, percorrido por uma corrente elétrica, figura abaixo, 
 
define-se intensidade média de corrente elétrica como sendo: 
 
ΔQ = quantidade de cargas (em C) que atravessa uma secção transversal do condutor no intervalo de 
tempo At (em s). 
Obs: Δ leia-se delta 
d.d.p (diferença de potencial) = tensão elétrica = U = VB - VA 
 
A unidade de intensidade de corrente elétrica é o Ampère (A ) . 
1A = l C/s 
Define-se intensidade de corrente instantânea como sendo: 
 
 
10 
 
Leia-se: "Limite da relação 
∆𝑄
∆𝑡
 quando Δt tende para zero". 
Se o valor da intensidade média for o mesmo para qualquer intervalo de tempo, o valor 
instantâneo coincidirá com o valor médio. A corrente nestas condições é chamada de contínua. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Durante 10 s uma secção transversal de um condutor foi atravessada por 0,2 C de carga. Qual a 
intensidade média da corrente no condutor? 
 
2) Durante 1 minuto uma secção de um condutor foi atravessada por 9 x l020 elétrons. Qual a intensidade 
média da corrente elétrica? 
A quantidade de carga que atravessou a secção, em módulo, será ΔQ = n x qe 
 
 
 
3) Qual o intervalo de tempo necessário para que passem 2C de carga por uma secção de um fio, sabendo-
se que a intensidade média da corrente no fio é 20 µA? 
∆𝑄 = 2𝐶 𝐼𝑀 = 20 ∙ 10
−6𝐴 = 20 ∙ 10−6 𝐶/𝑠 
∆𝑡 =
∆𝑄
∆𝐼
=
2𝐶
20 ∙ 10−6 𝐶/𝑠
= 0,1 ∙ 106 𝑆 = 100.000 𝑠 
 
4) A capacidade de um acumulador (bateria) é de l00 Axh, calcular: 
a) Capacidade em C 
b) Intensidade média da corrente na descarga, se o acumulador perdeu toda a sua carga em 20h . 
 
a) Um acumulador é um dispositivo que armazena cargas para posterior uso (assim como um 
reservatório de água), de forma que a sua capacidade pode ser expressa em C. 
 
 
b) Se o acumulador perdeu toda a carga em 20h = 72000s, significa que através de uma secção fio 
condutor ligado ao acumulador passaram 36 x 10
4
 C de carga, logo a intensidade média na descarga será: 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Defina tensão elétrica. O que são geradores de tensão? Dê exemplos. 
2) O que é corrente elétrica convencional? Qual a diferença entre corrente real e convencional? 
11 
 
3) Durante l h uma secção de um condutor foi atravessada por 72 x 1022 elétrons. Qual a intensidade 
média da corrente? 
4) Converter para mV 
a) 0,052 V b) 750 µV c) 0,0005 kV 
5) Converter para Ampère 
 a) 0,07 kA b) 7 ,5mA c) 55000 µA 
6) Um acumuladorrecebeu 100 C de carga durante 25 h. Qual a intensidade média da corrente na carga? 
Qual o número de elétrons que o acumulador recebeu? 
7) A capacidade de um acumulador é de 72 x 104 C, determinar: 
a) capacidade em A x h 
b) tempo necessário (em horas) para o acumulador se descarregar totalmente, se a intensidade 
 média na descarga é de 50A. 
c) Intensidade média de descarga, se o acumulador perdeu toda a carga em l0 h. 
8) A intensidade da corrente em um fio é de 80 mA. Qual o tempo necessário para que uma secção do fio 
seja atravessada por 5 x 1014 elétrons? 
9) A intensidade da corrente em uma lâmpada é l00 mA. Quantos elétrons passam por segundo pelo 
filamento da lâmpada? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
3) IM = 32A 
4) a) 52 mV b) 0,75 mV c) 500 mV 
5) a) 75 A b) 0,0075 A c) 0,055A 
6) IM = 1,11 mA n = 62,5 x 10
19 elétrons 
7) a) 200 A.h b) Δt = 4h c) IM = 20A 
8 ) t = l ms 
9) n = 6,25 x 1017 elétrons/segundo 
 
3.4 - Leis de Ohm 
 
3.4.1 - Bipolos elétricos 
 
Chamamos de bipolo elétrico a todo dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis. Os bipolos 
podem ser geradores e receptores. 
Um bipolo gerador é um dispositivo elétrico que transforma algum tipo de energia em energia 
elétrica. Ex: pilha, bateria, dínamo, etc. Os bipolos receptores transformam energia elétrica em outro tipo 
de energia. Por exemplo, lâmpada, motor elétrico, chuveiro, etc. 
Em um bipolo tensão e corrente são representadas por setas convenientemente orientadas. Nas 
figura (a) e (b) abaixo estão indicadas as convenções de polaridade para bipolo gerador e bipolo receptor. 
 
 
Observe que, fixada a orientação da tensão e da corrente em um bipolo, se invertermos o sentido 
12 
 
da tensão ou da corrente, em relação àquela orientação, a tensão ou corrente passa a ser negativa. 
 
3.4.2 - Primeira Lei de Ohm 
 
Em um condutor que está sendo percorrida por uma corrente elétrica, os elétrons ao longo do seu 
percurso pelo condutor sofrerão uma oposição à sua passagem. A medida desta oposição é dada por uma 
grandeza chamada de resistência elétrica (R). 
O valor da resistência elétrica depende do tipo de condutor considerado (ferro, cobre, alumínio, 
etc), da agitação térmica dos átomos e das dimensões do condutor. 
Georg Ohm verificou experimentalmente, que a relação entre a tensão aplicada em determinados 
condutores, e a intensidade da corrente correspondente, era uma constante, qualquer que fosse a tensão. 
A essa constante ele chamou de resistência elétrica (R). 
Os condutores que apresentam esse comportamento são chamados de ôhmicos. 
 
 
 
A unidade de resistência elétrica é chamada de Ohm (Ω). 
1Ω = 1V/A 
isto é, um condutor que tem uma resistência de 1Ω deixa passar uma corrente de 1 A, ao ser submetido a 
uma tensão de1V . Se a tensão dobrar, a corrente também dobrará. 
 
Múltiplos do Ohm 
1 kiloohm (kΩ) = 103 Ω 
1 megaohm (MΩ) = 106 Ω 
1 miliohm (mΩ ) = 10-3 Ω 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um fio de cobre ao ser submetido a uma tensão de 24 V deixa passar uma corrente de 0,2A. Qual o 
valor da resistência do fio? 
 
2) A resistência de um condutor é 20 Ω. Calcule a intensidade da corrente no condutor quando este for 
submetido a uma tensão de 9 V . 
 
3.4.2.1 - Condutância 
 
É definida como sendo o inverso da resistência 
𝐺 =
1
𝑅
=
𝐴
𝑉
 
A unidade de condutância é o Siemens (S) 
13 
 
1 S = 1 A/V 
Na prática, é comum o uso do mho , sendo 1 mho = 1 S = 1 Ω-1 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcule a condutância de um fio cuja resistência é 125 Ω. 
 
Obs: A resposta foi dada usando-se as duas unidades (S e mho), mas é claro que bastava uma delas, 
lembrando que a unidade oficial é o Siemens (S). 
2) Ao aplicar-se uma tensão de 15 V a um condutor verificou-se que a corrente que o percorria era de 3 
mA, calcular: 
a) Resistência do fio 
b) Condutância do fio 
 
 
3) A resistência de um condutor é 20 kΩ, calcular: 
a) Condutância do condutor 
b) Tensão aplicada se a corrente tiver intensidade igual a 0,6 mA 
 
 
 
3.4.3 - Segunda Lei de Ohm 
 
A segunda Lei de Ohm relaciona a resistência de um condutor com suas dimensões e com o 
material de que é feito. 
Consideremos as seguintes situações: 
a) Dados dois condutores de mesmo comprimento, feitos do mesmo material, mas de secções transversais 
diferentes. 
 
Experimentalmente podemos verificar que R1 > R2, como o material e o comprimento influenciam 
igualmente nos dois condutores, concluímos que a resistência de um condutor é inversamente 
proporcional à área de sua secção transversal, isto é, 𝑅~
𝑘1
𝑆
, 𝑘1 é uma constante de proporcionalidade. 
 
14 
 
b) Dados dois condutores de mesma secção transversal, feitos do mesmo material, mas de comprimentos 
diferentes. 
 
Experimentalmente, podemos verificar que R1 < R2, como o material é o mesmo nos dois 
condutores e a área da secção transversal também, as suas influências serão iguais. Concluímos que, 
quanto maior for o condutor, maior será a sua resistência elétrica, isto é, 𝑅~𝐾2 ∙ 𝐿, K2 é uma constante de 
proporcionalidade. 
c) Consideremos agora dois condutores de mesmas dimensões, feitos de materiais diferentes. 
 
 
No caso, um dos condutores é de ouro e o outro é de ferro. Verifica-se experimentalmente que o 
condutor de ouro apresenta uma resistência menor. Como as dimensões são as mesmas, concluímos que a 
resistência de um condutor depende do material de que é feito. 
A conclusão a que chegamos é que, dado um condutor filiforme, homogêneo, de comprimento L e 
área da secção transversal S, figuras abaixo, a sua resistência pode ser dada pela equação: 
𝑅 =
𝜌 ∙ 𝐿
𝑆
 
 
Na expressão 𝑅 =
𝜌∙𝐿
𝑆
, ρ (letra grega rô) é uma constante física cujo valor depende do material de 
que é feito o condutor, chamada de resistividade. 
Das figuras acima observe que a secção transversal pode ser qualquer uma (circular, retangular, 
triangular), contanto que seja constante. 
A unidade de resistividade é obtida da equação, pois sendo 𝑅 =
𝜌∙𝐿
𝑆
 resulta: 
 
 
O inverso da resistividade é chamado de condutividade (σ) 
𝜎 =
1
𝜌
 𝜎 → 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎 
desta forma, a equação da segunda lei de ohm pode ser escrita por 
15 
 
𝑅 =
𝜌 ∙ 𝐿
𝑆
 
A unidade de condutividade é o inverso da unidade de resistividade. 
 
 
 
A tabela abaixo dá a resistividade de alguns materiais na temperatura de 20°C. 
 
MATERIAL Ρ (Ω x m) 
Alumínio 2,8 x 10
-8
 
Chumbo 21 x 10
-8
 
Cobre 1,7 x 10
-8
 
Ferro 11 x 10
-8
 
Prata 1,6 x 10
-8
 
Tungstênio 5 x 10
-8
 
Ouro 2,3 x 10
-8
 
Manganina 45 x 10
-8
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular a resistência de um fio de alumínio de 200 m de comprimento e 2 mm2 de secção. 
 
Consideremos duas soluções: 
 
As duas soluções foram apresentadas para que você compreenda que não basta decorar a fórmula, 
mas é também importante o uso adequado das grandezas que nela comparecem. 
No caso, podemos concluir que, se ρ é dado em Ω.m, S em m2 e L em m, obtemos R em Ω. Se 
porém, ρ é dado em 
Ω∙𝑚𝑚2
𝑚
, S devem ser dado em mm2 para que possamos obter R em Ω. 
 
2) Um fio de cobre tem 2 mm de diâmetro, aplicando-se uma tensão de 20 V ao fio resulta uma corrente 
de 2 A. Qual o comprimento do fio? 
16 
 
 
3) Aumentando-se duas vezes o comprimento de um fio, e dobrando­-se o seu raio, qual será a relação 
entre as resistências do fio nos dois casos? 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) A resistência de um condutor é 25 kΩ, calcular:a) sua condutância 
b) corrente em mA quando submetido a 10 V 
 
2) A condutância de um condutor é 200 µmho, calcular: 
a) Sua resistência em kΩ e MΩ 
b) Intensidade da corrente que o percorre quando submetido a uma tensão de 500 mV 
 
3) Um fio de cobre tem 1 km de comprimento e 20 mm2 de secção. Entre as extremidades do fio é 
aplicada uma tensão de 12 V. Calcule a intensidade da corrente que o percorre. 
 
4) Explique a diferença entre resistência e resistividade. 
 
5) Qual deve ser o comprimento de um fio de alumínio de 4 mm de diâmetro para que ele apresente uma 
resistência de 1 Ω? 
 
6) Um condutor tem 200 m de comprimento e 2 mm de diâmetro. Ao ser submetido a uma tensão de 8 V é 
percorrido por uma corrente de 400 mA. Qual a resistividade do material do fio? E a sua condutividade? 
 
7) Um fio de manganina de 10 m de comprimento é submetido a uma tensão de 220 V. Sabendo-se que o 
diâmetro do fio é 1 mm, calcular: 
a) Intensidade da corrente 
17 
 
b) Condutância do fio 
 
8) Um fio tem uma resistência de 20 Ω. Retira-se do fio um pedaço de 2,5 m de comprimento, a 
resistência do fio passa a valer 12 Ω. Qual era o comprimento inicial do fio? 
 
9) Um fio de cobre tem mesma secção que um fio de tungstênio. Qual deverá ser a relação entre os seus 
comprimentos para que tenham a mesma resistência elétrica? 
 
10) Dois fios, um de alumínio e outro de tungstênio, tendo a mesma secção, devem ser percorridos pela 
mesma corrente quando submetidos à mesma tensão. Qual deve ser a relação entre os seus 
comprimentos? 
 
11) Calcule a resistência de um fio de alumínio de 400 m de comprimento, e cuja secção é a que está 
indicada na figura abaixo. 
 
 
12) Calcule a resistência de um fio de cobre de l00 m de comprimento, e cuja secção é dada na figura 
abaixo. 
 
 
13) Um fio tem uma resistência de 100 Ω. Acrescentando-se 0,5 m de comprimento, a resistência passa a 
ser 120 Ω. Qual era o comprimento original do fio? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
1) a) 40 ΩS b) 0,4 mA 
2) a) 5 kΩ e 0,005 MΩ b) 100 µA ou 0,1 mA 
3) I = 14,11 A 
5) L = 448,57 m 
6 ) ρ = 31,4 x l0-8 Ωxm σ = 31,8 x 105 S/m 
7) a) I = 38,37 A G = 174 mS 
8 ) Li = 6 ,25 m 
9) Lcu = 2,94.Lw 
10) LA1 = 1, 78 . Lw 
11) R = 0,1 Ω 
12) R = 0,85 Ω 
13) L = 2,5 m 
 
3.4.4 - Resistores 
 
Resistores são bipolos passivos, construídos com a finalidade de apresentar resistência elétrica 
entre dois pontos de um circuito. 
18 
 
Um resistor é um componente eletrônico, a resistência elétrica é o fenômeno físico. Deve ficar 
bem clara a distinção entre os dois termos, isto porque é comum, na prática, chamar-se o componente de 
resistência. Os resistores normalmente são construídos com materiais que obedecem à primeira lei de 
Ohm. Os materiais mais usados na construção de resistores são: o carbono (grafite), algumas ligas como o 
constantan e a manganina e mesmo metais. 
Com relação ao valor da resistência que apresentam, podem ser fixos ou variáveis. 
Os resistores de resistência fixa podem ser película de carvão, de metal e de fio. A figura 3.12 
mostra o aspecto externo desses resistores e o seu símbolo. 
 
 
Os resistores variáveis são constituídos de um elemento resistivo (filme de carvão ou fio) no qual 
desliza um contato móvel. Este contato móvel está preso a um eixo. Girando o eixo, variamos a 
resistência entre um dos terminais fixo e o terminai móvel. A figura abaixo (a) mostra um resistor variável 
de película de carvão e a figura (b) um resistor variável de fio. A diferença principal entre os dois está na 
maior capacidade de corrente do resistor de fio. A figura (c) mostra outro tipo de resistor variável, 
normalmente usado em circuitos onde a corrente é da ordem de amperes. 
Os símbolos usados para resistor variável estão indicados na figura (d) e (e), sendo que o símbolo 
da figura (e) representa um resistor variável chamado de reostato. Um reostato é um resistor variável que 
tem um dos terminais fixos não conectados ao circuito. 
Um potenciômetro é um resistor variável, utilizado como divisor de tensão. Atualmente, este 
termo é usado para designar qualquer resistor de resistência variável. 
 
a) Resistor variável de carvão (Potenciômetro) b) Potenciômetro de fio c) Resistor variável de fio (Reostato) 
Simbologias 
 
 
 (d) (e) (f) 
19 
 
Como os resistores de filme de carvão são os componentes mais usados em circuitos eletrônicos, 
vamos procurar caracterizá-los um pouco mais. São construídos a partir de um cilindro de porcelana, 
figura abaixo (a), sobre o qual é depositada uma fina camada de carvão, figura (b). Em seguida, se faz 
sulcos helicoidais na superfície do carvão, de forma a se obter o valor correspondente de resistência e se 
coloca os terminais de contato, figura (c). A distância entre os sulcos e a sua profundidade é que 
determinarão a resistência do condutor. A última etapa do processo, figura (d), é a colocação de uma 
resina isolante, envolvendo o corpo do resistor, e a colocação de faixas coloridas as quais, através de um 
código, dão o valor da resistência do resistor. 
 
Esta forma de especificar o valor da resistência pode, a princípio, parecer trabalhosa, e você pode 
estar pensando por que simplesmente não escrever no corpo do resistor o valor da resistência. 
Antigamente o valor da resistência vinha impresso no corpo do resistor, porém dois problemas impediam 
a continuação desta forma de se dar esta informação: primeira, esta forma não era muito segura, pois com 
o tempo perdia-se (apagava-se) parte do número ou o número inteiro; segundo, com o avanço da 
eletrônica houve uma diminuição do tamanho dos componentes, de forma que ficava cada vez mais difícil 
a leitura do valor da resistência nesta forma. A codificação através de faixas coloridas resolveu esses 
problemas. Com o tempo você se familiarizará com o código de cores, portanto nada de pânico. 
A leitura do valor nominal (valor impresso) da resistência de um resistor deve ser feita como na 
figura abaixo, e com o auxílio da tabela de código de cores. 
 
 
Observe que as três faixas, que indicam o valor nominal, estão mais afastadas da quarta faixa, que indica 
a tolerância. 
 
CÓDIGO DE CORES 
COR 1ª ALGARISMO 2ª ALG. MULTIPLICADOR TOLERÂNCIA 
Nenhuma - - - ± 20 % 
Prata - - 10-2 ± 10 % 
Ouro - - 10-1 ± 5 % 
Preto - 0 100 
Marrom 1 1 101 ± 1 % 
Vermelho 2 2 102 ± 2 % 
Laranja 3 3 103 
Amarelo 4 4 104 
Verde 5 5 105 
Azul 6 6 106 
Violeta 7 7 107 
Cinza 8 8 108 
Branco 9 9 109 
 
20 
 
 
Os valores nominais de resistência são padronizados, isto é, não é possível encontrar qualquer 
valor de resistência. De uma forma geral, os valores comerciais (1o e 2o algarismo significativo) mais 
comuns são: 10-12-15-18-22-27-33-39-47-56-68-82. Esses valores que aparentemente não têm nenhuma 
logica cobrem toda a faixa de valores possíveis, considerando uma tolerância de 20 %. Para tolerâncias 
menores é possível encontrar outros valores. 
 
3.4.4.1 - Curva Característica 
 
Em um bipolo a relação matemática entre tensão e corrente é dada pela equação característica 
do bipolo. A representação gráfica desta equação é dada pela curva característica do bipolo. Os bipolos 
podem ser lineares ou não, de acordo com a sua equação característica. Se a equação é do tipo U = K1.I 
+ K2, onde K1 e K2 são constantes, o bipolo é dito linear. São exemplos de bipolos lineares, resistores e 
pilhas. Se a equação característica é do tipo 
𝑈 = 𝐾1 + 𝐾2 ∙ 𝐼 + 𝐾3 ∙ 𝐼
2 + 𝐾4 ∙ 𝐼
3+ …. 
 
o bipolo é dito não linear. São exemplos de bipolos não lineares diodos, válvulas. 
 
 
 
No caso de um resistor, a equação característica é dada pela primeira lei de Ohm. 
 U = R . I → equação característica 
A representação gráfica da equação U = R.I é uma reta que passa pela origem (I = 0 → U = 0). 
 
 
Observe que a inclinação da reta (ângulo α) depende da resistência. Quanto maior R, maior o 
ângulo α. 
21 
 
 
 
 
No gráfico, se a característica for paralela ao eixo U, passando pela origem, a resistência é infinita 
(R = ∞), o circuito está aberto. Se a característica for paralela ao eixo I, a resistência é nula (curto-
circuito). 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dar o valor nominal e a faixa de valores possíveis para a resistência do resistor. 
 
 
 
 
Com esta informação o fabricante do resistor está dizendo que o valor nominal é 2200 Ω, sendo 
possível encontrar resistores com valor de resistência compreendido entre 1980 Ω e 2420 Ω. Está claro 
que a probabilidade de se encontrar resistores de 2200 Ω é bem maior. 
 
2) Quais as três primeiras faixas que devem ter os resistores de 270 Ω, 27 Ω, 330 kΩ, 1 MΩ, 1 Ω, e 12 Ω? 
 
3) O circuito abaixo é usado para se determinar a resistência de um resistor desconhecido. No circuito A é 
um amperímetro (mede intensidade de corrente), V é um voltímetro (mede tensão). A tabela foi obtida 
com auxílio do circuito, variando-se a resistência do resistor variável a corrente é variada. 
 
 
22 
 
Com os dados da tabela, levantamos a característica do bipolo, o qual se sabe ser linear. 
 
Observe que os pontos correspondentes aos dados da tabela não estão alinhados, isto se deve a 
erros cometidos na leitura e à imprecisão dos aparelhos. Devemos então traçar uma reta média, passando 
pela origem. Traçada a reta escolhemos qualquer ponto desta reta. No caso, foi escolhido o ponto A para o 
qual temos UA = 37 V e IA = 9 mA. Logo, o valor mais provável para a resistência será: 
 
Exercícios propostos 
 
1) O que são bipolos lineares? E bipolos não lineares? Dar exemplos. 
2) Quais são os principais materiais usados na construção de resistores? 
3) Qual a diferença entre resistor e resistência? 
4) Qual a vantagem em se usar a codificação do valor de uma resistência em relação ao método antigo no 
qual o valor vinha impresso? 
5) O que é um potenciômetro? E um reostato? 
 
3.5 - Potência elétrica - Lei de Joule 
 
Um trabalho é realizado toda vez que uma força provocar o deslocamento de um corpo. Sempre 
que um trabalho é realizado certa quantidade de energia é posta em jogo (é trocada). Em física energia e 
trabalho são sinônimos: “trabalho mede as variações de energia”. A unidade de trabalho (energia) 
chama-se Joule (J). Para termos uma ideia física do Joule, consideremos o seguinte exemplo. 
Para elevar um corpo de massa l kg de uma altura de 1 m, uma pessoa realiza um trabalho (gasta 
energia) de aproximadamente 10 J, supondo que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2. 
 
A energia potencial (energia de posição) de um corpo, em relação a um dado referencial, é dada 
pela equação: 
Ep = m.g.h 
onde 
m = massa do corpo em kg 
g = aceleração da gravidade (≈ 10 m/s2 na superfície da terra) 
h = distância até o referencial em m 
Ep = energia potencial do corpo em relação ao referencial, em J. 
No exemplo a energia potencial no ponto A é zero, pois o corpo está no referencial (h = 0). 
EpA = 0 
23 
 
No ponto B, a energia do corpo será: 
EPB = 1 x 10 x 1 = 10 J 
Logo, para deslocar o corpo de A até B realizamos um trabalho de 10 J. 
 
𝜏𝐴→𝐵 = ΔE𝑝 = 𝐸𝑝𝐵 − 𝐸𝑝𝐴 = 10 − 0 = 10 𝐽 
 
𝜏 (𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑢) = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 
No ponto B o corpo só tem energia potencial (energia de posição). Ao cair, entre A e B, em 
qualquer ponto, a energia total do corpo é igual à soma da sua energia potencial (que diminui), com a sua 
energia cinética (de movimento), isto é: 
 
Ao bater no solo, o corpo só tem energia cinética. 
Define-se potência (P) como sendo o trabalho realizado por unidade de tempo, isto é: 
 
𝑝 =
𝜏
𝑡
 
τ é o trabalho realizado (em Joules), por um dispositivo que tem a potência P, no intervalo de 
tempo t (em segundos). 
A unidade de potência é, portanto, o Joule/segundo ou Watt (W) 
1 𝐽 𝑠⁄ = 1 𝑊 
Por exemplo, suponha que Joãozinho elevou um corpo de 1 kg a uma altura de l m em l s, e 
Terezinha realizou o mesmo trabalho em 2 s. A potência desenvolvida por Joãozinho é 
 
enquanto que a potência desenvolvida pela Terezinha é 
 
Portanto Joãozinho é duas vezes mais potente que a Terezinha. 
Na prática, costuma-se usar as seguintes unidades. 
Potência 
1 H.P (Horse-Power) = 746 W 
1 C.V (Cavalo-Vapor) = 736 W 
 
Trabalho (Energia) 
1 cal (caloria) = 4,18 J 
1 kW.h = 3,6 x106 J 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Qual a potência (em W e H.P) desenvolvida por uma pessoa para elevar um corpo de 5 kg a uma altura 
de 1,5 m em l s? 
Adotar g = 10 m/s2 
O trabalho realizado é igual à variação de energia sofrida pelo corpo, isto é: 
 
 
24 
 
 
2) Um dispositivo desenvolve uma potência de 1 kW. Calcule o trabalho realizado pelo dispositivo 
durante 1h (em J, kWh e cal). 
P = 1 kW = 1000 W t = 1 h = 3600 s 
Em Joules: τ = P.t = 1000 W . 3600 s = 3.600.000 J 
Em kWh: τ = 1 kW.1h = 1 kWh 
 
 
3) A potência de uma máquina é de 2500W. Calcule o trabalho realizado pela máquina (em J e kWh) 
durante 5 h de funcionamento. 
 
P = 2500W = 2,5 kW t = 5h = 18000s 
Em Joules: τ = 2500.18000 = 45.000.000 J = 45 . 106 J 
Em kWh: τ = 2,5.5 = 12,5 kWh 
 
Lei de Joule 
 
Como já vimos um bipolo elétrico é um dispositivo que transforma energia elétrica. A quantidade 
de energia trocada por unidade de tempo, a potência, depende da tensão nos terminais do bipolo e da 
intensidade da corrente que percorre o bipolo. A potência elétrica de um bipolo é dada por: 
 
P = U . I 
 
U = tensão nos terminais do bipolo, em volts 
I = intensidade da corrente que percorre o bipolo, em Ampère 
P = potência elétrica do bipolo, em Watts. 
Se o bipolo é gerador, P = U.I é a potência elétrica fornecida ao circuito elétrico, figura abaixo (a). 
Se o bipolo é receptor, P = U.I é a potência elétrica recebida do resto do circuito, figura (b). 
 
 
No caso específico de um condutor a passagem da corrente pelo seu interior resultará em 
aquecimento deste. Isto se deve ao choque dos elétrons livres contra os átomos. Esta transformação de 
energia elétrica em calor é chamada de Efeito Joule. Em um resistor, toda a energia elétrica recebida é 
transformada em calor, dizemos que um resistor é um bipolo passivo, pois dissipa em calor toda a 
energia que recebe. A potência dissipada em calor pode ser calculada, pois é igual à potência elétrica, isto 
é: 
P = U.I (1) 
e como para um resistor vale U = R.I, substituindo em (1) resulta: 
 
P = (R.I).I = R.I2 (2) 
 
equação que é também conhecida como Lei de Joule. 
 
25 
 
Por outro lado 𝐼 =
𝑈
𝑅
, substituindo em (1) resultará: 
𝑃 = 𝑈 ∙ (
𝑈
𝑅
) =
𝑈2
𝑅
 (𝑊) 
 
Qualquer uma das três equações anteriores permite o cálculo da potência elétrica 
dissipada em calor em um resistor. 
A capacidade que tem um resistor de dissipar calor depende da área em contato com 
o ar, isto é, depende das suas dimensões. 
Os resistores de filme de carvão são construídos com diferentes tamanhos, 
correspondendo aos seguintes valores de potência: 1/8 W, ¼ W, ½ W, 1 W e 2 W. Para 
valores de potências maiores são usados resistores de fio. 
O Efeito Joule tem muitas utilidades na prática: chuveiros, aquecedores de 
ambiente,ferro de passar roupa, secadores, etc., mas uma das principais aplicações, e que 
normalmente passa despercebido pela sua simplicidade é o fusível. 
Os fusíveis são construídos de fios metálicos, cujos materiais apresentam um baixo 
ponto de fusão, em geral chumbo ou estanho. 
Este fio é montado em um suporte de cerâmica, sendo o caso do fusível de rosca, ou 
colocado no interior de cilindros de papelão ou vidro. O fusível é usado para proteger uma 
instalação elétrica ou um dispositivo, sendo colocado antes do dispositivo a ser protegido. 
Desta forma a corrente passa primeiramente pelo fusível. 
Quando ocorre um aumento excessivo na corrente o fio do fusível se aquece por 
efeito Joule, o fio se funde abrindo o circuito. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um motor elétrico é percorrido por uma corrente de 10 A quando ligado em 220 V. Sabendo-se que o 
rendimento (η – letra grega eta, minúscula) do motor é 80%, calcular: 
a) Potência elétrica do motor 
b) Energia consumida, em kWh, durante 2 h de funcionamento 
c) Potência mecânica obtida no eixo do motor 
 
Antes de resolvermos o problema, vamos conceituar o que seja rendimento. 
 
Todo dispositivo para funcionar precisa receber energia. Parte desta energia é processada no 
dispositivo, sendo transformada em algum tipo de energia que nos será útil de alguma forma, e parte é 
dissipada dentro do dispositivo. Raciocinando com potência (energia/tempo) teremos: 
 
26 
 
PT = potência total que faz o dispositivo funcionar 
PU = potência útil obtida do dispositivo 
PD = potência dissipada dentro do dispositivo 
Devido à conservação da energia, podemos escrever: 
PT = PU + PD 
 
Define-se rendimento do dispositivo como sendo a razão entre potência útil e potência recebida: 
 
𝜂 =
𝑃𝑈
𝑃𝑇
=
𝑃𝑈
𝑃𝐷 + 𝑃𝑈
 (𝑝𝑢 − 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒) 𝑜𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝜂 (%) =
𝑃𝑈
𝑃𝑇
 ∙ 100 (%) 
 
No caso de um dispositivo ideal PD = 0, logo PU = PT e o rendimento será 100 %. Para um 
dispositivo real η < 1. 
No nosso exercício o dispositivo considerado é um motor elétrico, no qual temos: 
PT = PE = potência elétrica 
PU = PM = potência mecânica 
PD = potência dissipada em calor (por efeito Joule e por atritos mecânicos) 
 
 
A diferença PD = 440W é convertida em calor. 
 
2) Uma lâmpada tem as seguintes especificações 120 V / 60 W, calcular: 
a) Intensidade da corrente que a percorre 
b) Energia consumida em 5 h de funcionamento 
 
 
3) Um resistor tem R = 100 Ω. Calcule a potência dissipada em calor quando submetido a uma tensão de 
10 V. 
 
4) Um aquecedor de ambiente tem as seguintes especificações 2000 W / 110 V, calcular: 
a) Resistência do aquecedor 
b) Quantidade de calor, em calorias, fornecida ao ambiente durante 2 minutos. 
 
 
b) Calculemos primeiramente a quantidade de calor em Joules 
t = 2 min = 120 s 
τ = P.t = 2000.120 = 240.000 J 
e como 1 cal = 4,18 J, basta dividir por 4,18 que obtemos o resultado em calorias. 
 
27 
 
Podemos até escrever uma equação de transformação: 
 
5) As especificações de um resistor são 1 kΩ / 1W. Qual a máxima corrente que esse resistor pode 
suportar? 
 
 
Essa máxima potência é função da temperatura ambiente. Normalmente, o máximo valor é 
especificado para uma temperatura ambiente de 60°C, isto significa que o resistor pode dissipar mais 
potência se a temperatura for menor, ou houver refrigeração. E claro que nunca devemos impor situações 
limites em funcionamento contínuo, pois isso causa fadiga no material. 
 
Exercícios propostos 
 
1) A potência mecânica de um motor elétrico é 2 H.P. Sabendo-se que o rendimento é 90 %, calcular: 
a) Potência elétrica do motor 
b) Corrente consumida pelo motor se ele é ligado em 220 V 
c) Energia elétrica consumida durante 5 h de funcionamento 
d) Energia dissipada em 5h de funcionamento 
 
2) Um ferro de soldar tem as especificações 250 W / 110 V. Calcular a intensidade da corrente que o 
percorre, e a energia consumida durante 2 h . 
 
3) Qual a máxima tensão que pode ser aplicada a um resistor que tem as especificações 470 Ω / l W? 
 
4) Um chuveiro tem as especificações 3500 W / 220 V, calcular: 
a) Intensidade da corrente 
b) Valor da resistência 
c) Energia gasta durante 30 min., em kWh. 
 
5) Em um chuveiro, existem duas posições: verão e inverno. Explique o que acontece internamente, 
quando se muda de uma posição para outra. 
 
6) A resistência de um chuveiro tem um comprimento L, reduzindo-se a 1/4 o comprimento da resistência 
e mantida a d.d.p, o que acontecerá com a potência por ela dissipada? 
 
7) O que são fusíveis? Dar o seu princípio de funcionamento e aplicações. 
 
8) Qual a relação entre as resistências de dois chuveiros que têm a mesma potência, porém um é para 220 
V e o outro é para 110V? 
 
9) Por que a maioria dos chuveiros é para 220V? 
 
10) Há alguma dependência entre o valor da resistência e o seu tamanho físico? Justifique 
 
11) Um chuveiro tem as características 2500 W / 220 V. Dimensione o fusível que protege o chuveiro. 
 
12) Calcule a potência, em kW e H.P, de um dispositivo elétrico que consome 5 kWh em 10 min. 
 
28 
 
13) Qual a tensão que deve ser aplicada a um aquecedor que dissipa 400 W para que a corrente que o 
percorra seja de 3,5A? 
 
14) Uma pessoa mudou-se de São José dos Campos para São Paulo levando consigo um aquecedor 
elétrico. A pessoa quer manter a mesma potência do aquecedor. O que ela deve fazer, sabendo-se que em 
São José dos Campos a tensão é 220 V, e em São Paulo é 110 V? Deve substituir a resistência por outra: 
a) quatro vezes maior 
b) quatro vezes menor 
c) oito vezes menor 
d) oito vezes maior 
e) duas vezes menor 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) PE = 1658 W b) I = 7,53 A c) 8,29 kWh d) 830W.h 
2) 2,27 A ; 500 Wh 
3) 21,68 V 
4) a) 15,9 A b) 13,83 Ω c ) l,75 kWh 
5) 
6) Quadruplicará 
7) 
8) R220 = 4 x R110 
9) 
10) 
11) Fusível de 12 A 
12) 30 kW; 40,2 H.P 
13) 114,3 V 
14) b 
 
4 - ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES 
 
Como o valor da resistência de um resistor é padronizado, nem sempre é possível obter certos 
valores de resistência. Associando-se convenientemente resistores entre si, podemos obter o valor que 
quisermos. 
Chama-se de resistor equivalente a um resistor que pode substituir uma associação de resistores, 
sem que o resto do circuito note diferença. Outra aplicação para a associação de resistores é uma divisão 
de uma tensão, ou a divisão de uma corrente. 
 
4.1 - Associação série 
 
Resistores estão em série quando a corrente que passa por um for a mesma que passa pelos 
outros. A figura abaixo (a) mostra uma associação série e a figura (b) a resistência equivalente. 
 
 
Da figura acima tiramos que 
29 
 
 
UT= U1 + U2 + U3 (4.1) 
a soma das tensões nos resistores da associação é igual à tensão total. Podemos verificar que uma 
associação série divide uma tensão. Essa conclusão que chegamos é intuitiva, mas como veremos mais 
adiante esta é uma das leis de Kirchhoff (2a). 
Da figura acima temos ainda que: 
I1 = I2 = I3 = IT 
Em cada resistor da associação, usando a Lei de Ohm, teremos: 
U1 = R1.IT U2 = R2.IT U3 = R3.IT 
que substituindo na equação (4.1) resulta: 
 (4.2) 
 
No resistor equivalente: 
UT = RE . I (4.3) 
Comparando as equações (4.2) e (4.3) resulta: 
RE = R1 + R2 + R3 
Conclusão: Em uma associação série, podemos substituir a associação por um único resistor, cujo valor 
sendo igual à soma das resistências dos resistores da associação, consumirá a mesma corrente quando a 
tensão aplicada for a mesma. 
Devemos lembrar também, que a potência dissipada no equivalenteé igual à soma das potências 
dissipadas nos resistores da associação. 
PE = P1 + P2 + P3 onde P1 = R1.IT
2
 
P2 = R2.IT
2 P3 = R3.IT
2 e PE = RE.IT
2
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dois resistores R1 = 40 Ω e R2 = 60 Ω são ligados em série. Uma tensão de 50 V é aplicada à 
associação, pede-se: 
a) Resistor equivalente 
b) Tensão nos resistores e corrente 
c) Potência dissipada nos resistores e no equivalente 
 
 
 
 
2) Quatro resistores R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 40 Ω e R4 = 80 Ω são ligados em série. Sabendo-se que a 
tensão em R3 é 20 V, pede-se: 
30 
 
a) Resistor equivalente 
b) Tensão aplicada na associação 
c) Potência dissipada na associação 
 
 
 
 
c) A potência dissipada na associação é igual à potência dissipada no equivalente, isto é, 
 
3) Uma lâmpada tem as características 6 V / 0,2 A. Dispõe-se de uma fonte de 10 V. Para ligar a lâmpada 
na fonte devemos dividir a tensão, e para isso ligamos um resistor em série com a lâmpada. Dimensione 
este resistor. 
A tensão no resistor deve ser 4 V com uma corrente de 0,2 A. O valor de R será 
4 𝑉
0,2 𝐴
= 20Ω , 
dissipando uma potência de P = 20.(0,2)2 = 0,8 W 
 
4) Dois resistores, R1 e R2 devem ser tal que, ao serem ligados em série a uma tensão de 120 V serão 
percorridos por uma corrente de 0,2 A, e a tensão em cada um vale 60 V. Quais os valores de R1 e R2? 
 
 
5) Dois resistores, R1 e R2 são conectados em série, sendo a associação ligada a um gerador de 40V. Os 
resistores devem dissipar 12 W e 8 W respectivamente. Quais os valores de R1 e R2? 
Como a potência total dissipada é 20 W, significa que o gerador deve fornecer esta potência. 
Portanto a corrente fornecida pelo gerador será: 
31 
 
 
que é a corrente que passará em cada resistor, desta forma: 
 
Da mesma forma 
 
Exercícios propostos 
 
1) Quatro resistores R1 = 1K5, R2 = 4K7, R3 = 470 Ω e R4 = 2K2 são ligados em série. Sabendo-se que a 
tensão em R3 é 940 mV, determinar: 
a) Resistência equivalente 
b) Tensão aplicada na associação 
c) Potência dissipada nos resistores e a potência elétrica do gerador. 
 
2) No circuito determinar a resistência total do potenciômetro (linear), sabendo-se que o cursor se 
encontra na metade do seu curso total, que a corrente no circuito vale 1 A e que a tensão na lâmpada vale 
110 V. Qual a potência dissipada na lâmpada? E no potenciômetro? 
 
3) No circuito que limite deve ser imposto a Rv para que o fusível não queime? 
 
4) Três resistores R1, R2 e R3 em série dão uma resistência total de 3500 Ω. Se R3 é duas vezes R2 e R2 é 
duas vezes R1, quais os valores das resistências? 
 
5) Dois resistores R1 e R2 ligados em série dissipam respectiva mente 120 mW e 80 mW, quando a 
associação é ligada a uma fonte de 20 V. Quais os valores das resistências? 
 
6) Dois resistores, R1 e R2 ligados em série são ligados a uma fonte de 40 V. Sabendo-se que a potência 
elétrica do gerador é 10 W, e que a potência dissipada em R1 é 4 W, quais os valores de R1 e R2? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) RE = 8,87 kΩ; UT = 17,74 V; P1 = 6 mW; P2 = 18,8 mW; P4 = 8,8 mW; PE = 34,48 mW 
2) RT = 220 Ω; PDL = 110 W; PDP = 110 W 
3) RVmin = 800 Ω 
4) R1 = 500 Ω; R2 = 1000 Ω; R3 = 2000 Ω 
5) R1 = 1,2 k e R2 = 800 Ω 
6) R1 = 64 Ω; R2 = 96 Ω 
32 
 
4.2 - Associação paralela 
 
Em uma associação paralela a tensão em todos os resistores é a mesma, a corrente é que se divide. 
Na figura abaixo (a) temos uma associação paralela de três resistores, e na figura (b) o resistor 
equivalente da associação. 
 
Da figura acima obtemos: U1 = U2 = U3 = UT 
 e IT = I1 + I2 + I3 (4.4) 
 
 (4.5) 
substituindo as equações (4.5) na equação (4.4) resulta: 
 (4.6) 
No equivalente: 
 (4.7) 
Comparando as equações (4.6) e (4.7) resulta: 
 
Conclusão: Em uma associação paralela, o inverso do resistor equivalente é igual à soma dos 
inversos dos resistores da associação. 
Raciocinando com condutância a expressão 4.5 resulta: 
GE = G1 + G2 + G3 
Da mesma forma que na associação série, a potência dissipada no equivalente é igual ã soma das 
potências dissipadas nos resistores da associação. 
PE = P1 + P2 + P3 
No caso de dois resistores em paralelo, a expressão 4.5 fica reduzida a 
 
E no caso de n resistores iguais a R em paralelo, o equivalente será igual a: 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dois resistores R1 = 40 Ω e R2 = 60 Ω são ligados em paralelo. A associação é submetida a uma tensão 
de 48 V, determinar: 
a) Resistor equivalente 
33 
 
b) Corrente nos resistores 
c) Potência dissipada nos resistores da associação e no equivalente. 
 
 
 
 
 
 
2) Quatro resistores R1 = 50 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 600 Ω e R4 = 120 Ω são ligados em paralelo. Sabendo-
se que I4 = 0,5, determinar: 
a) Resistência equivalente 
b) Tensão aplicada na associação e corrente em todos os resistores 
c) Potência dissipada nos resistores e no equivalente 
 
 
 
 
 
 
34 
 
3) No circuito a lâmpada tem as especificações 110 V / 200 W. O fusível disponível de 6 A não oferece 
proteção à lâmpada. Por que? Foi introduzido em paralelo com a lâmpada um resistor. Calcule o menor 
valor da resistência que pode ser colocado em paralelo com a lâmpada, sem que o fusível queime. 
 
A máxima corrente que o fusível suporta é 6A. A lâmpada funcionando dentro das suas 
características consome 
 
Como IF = IL + IR segue-se que IR = 6 - 1,82 = 4,18 A (máxima corrente permitida em R), o que 
significa que: 
 
Qualquer valor menor que este significará uma corrente maior que 4,18A, logo uma corrente IF 
maior que 6 A, o que queimará o fusível. 
 
4) Dois resistores, R1 e R2, sendo R1 duas vezes R2 são ligados em paralelo a uma fonte de 80V. Sabendo-
se que a corrente fornecida pela fonte é 2A, quais os valores de R1 e R2? 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Quatro resistores, R1= 1K5, R2 = 4K7, R3 = 470 Ω e R4 = 2K2 são ligados em paralelo. Sabendo-se que 
a corrente em R3 é 100 mA, determinar: 
a) Resistência equivalente 
b) Corrente em todos os resistores e a fornecida pela fonte 
c) Potência dissipada em todos os resistores e no equivalente 
 
2) Dois resistores são ligados em paralelo, sendo um o dobro do outro. Aplicando-se uma tensão de 20 V 
na associação verifica-se que o de menor valor é percorrido por uma corrente de 0,1A. Quais os valores 
das resistências? Qual o valor da potência dissipada em cada resistor? 
 
3) Três resistores, R1, R2 e R3 são ligados em paralelo. Sabendo-se que a potência em R3 é duas vezes a 
potência dissipada R2, que a potência dissipada em R2 é três vezes a dissipada em R1, e que a potência 
elétrica do gerador de 12 V é 1,2 W. Quais os valores de R1, R2 e R 3? 
 
4) Quantos resistores de 120 Ω devem ser ligados em paralelo, para dar uma resistência equivalente de 30 
Ω? 
35 
 
5) Determine R1 tal que RE seja 300Ω 
 
 
6) Determinar E e R2 no circuito 
 
 
7) Determinar E, R1 e R3 no circuito 
 
 
8) Dois resistores R1 e R2, quando ligados em paralelo dissipam 240 mW, consumindo uma corrente de 
20mA. Sabendo-se que a potência dissipada em R1 é 96 mW, calcular os valores de R1 e R2. 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) RE = 289Ω b) I1 = 31,33 mA, I2 = l0 mA, I3 = l00 mA, I4 = 21,36 mA c) P1 = 1,47 W , P2 
= 0 ,47 W, P3 = 4,7 W, P4 = 1W, PE = 7,64W 
2) R1 = 200 Ω R2 = 400 Ω, P1 = 2 W, P2 = 1 W 
3) R1 = 1200 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 200 Ω 
4) 4 resistores 
5) R1 = 829,4 Ω 
6) E = 24 V R2 = 4K 
7) R1 = 12 kΩ R3 = 4 kΩ E = 12 V8) R1 = 1,5 k R2 = 1 k 
 
4.3 - Divisor de tensão - Divisor de corrente 
 
Vimos que quando resistores são ligados em série, a tensão total aplicada na associação se dividia 
pelos resistores da associação. Podemos escrever a tensão em cada resistor em função da tensão total. 
Na figura abaixo temos que: U1 = R1.IT e U2 = R2.IT onde 
 
36 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Os resistores do circuito devem ser tais que a tensão total E = 100 V deve ser dividida em múltiplos de 
10, isto é, U1 = l V e U2 = 10 V. Determine R1, R2 e R3, sabendo-se que a corrente fornecida pela fonte 
deve ser l00 mA. 
 
Como a corrente no circuito é especificada tem-se 
 
 
A tensão em R2 será 
U2 – U1 = 10 - 1 = 9 V 
logo 𝑅2 =
9𝑉
0,1
= 90Ω 
 
Como RE = R1 + R2 + R3 = 1K 
R3 = 1000 - (R1 + R2) = 1000 - (10 + 90) = 900 Ω 
 
2) Determinar Rl, R2 e R3, de forma que as cargas ligadas no divisor de tensão operem dentro das 
condições especificadas. 
 
U1 = 200 - 150 = 50V 
Como a corrente em R1 é l00 mA, 𝑅1 =
50𝑉
100 𝑚𝐴
= 0,5 𝑘 = 500 Ω 
 
No ponto A essa corrente se divide. Uma parte vai para o bipolo BP1 (20 mA) e a outra parte (80 
mA) vai para R2. 
37 
 
A tensão em R 2 será: 
U2 = 150 - 30 = 120V 
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑅2 =
120
80 𝑚𝐴
= 1,5 𝑘 
 No ponto B nova divisão de corrente. Uma parte para o bipolo BP2 (40mA) e outra (40mA) para 
R3. 
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑅2 =
30 𝑉 
40 𝑚𝐴
= 0,75 𝑘 = 750Ω 
 
3) Um divisor de corrente nada mais é do que uma associação paralela de resistores. Mostrar que numa 
associação paralela de dois resistores, a corrente em cada resistor, em função da corrente total, é dada 
pelas expressões: 
 
 
No circuito, podemos escrever: 
 
 
 
 
da mesma forma para I2 
 
Se a associação tiver mais de dois resistores em paralelo, a corrente em um deles, por exemplo em 
R2, será dada por: 
𝐼2 =
𝑅1//𝑅3//𝑅4
(𝑅1//𝑅3//4)+𝑅2
∙ 𝐼𝑇, para quatro resistores em paralelo o símbolo // representa em paralelo com. 
 
4.4 - Associação mista 
 
Em uma associação mista existem resistores ligados em série e em paralelo. Não existe uma 
fórmula que permita o cálculo da resistência equivalente, o que existe é um método de resolução. Neste 
método inicialmente resolvem-se as associações série e paralelo que forem possíveis, obtendo-se um 
circuito menor, o qual é equivalente ao original. Repete-se a operação tantas vezes quanto necessário, até 
se chegar a um único valor de resistência. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar a resistência equivalente entre A e B em cada caso. 
 
38 
 
 
 
Primeiramente resolvemos R2 // R3 = R4 = 24 Ω 
 
Em seguida, associamos R1 série R4 que dá RE = 44 Ω. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
2) Determinar a intensidade da corrente em todos os resistores. 
 
 
Primeiramente é necessário obter a resistência vista pelo gerador. 
 
 
A corrente que sai do gerador (I?) terá intensidade: 
 
Observe que IT = I1 = I10 logo U10 = 16.3 = 48 V 
Como R10 = R2 // R9, a tensão em R2 e R9 é a mesma que em R10, 48V, portanto: 
 
 
Como R9 = R7 série R8 I9 = I7 = I8 = 0,6A = I3 = I6 
 U7 = 20.0,6 = 12 V e U8 = 60.0,6 = 36 V 
como R7 = R4 // R5 U4 = U5 = U7 = 12 V 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determinar a resistência equivalente em cada caso entre os pontos A e B. 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar o valor de R no circuito. 
 
 
 
3) Determinar o valor de UT e IT no circuito. 
 
 
 
4) Determinar a intensidade da corrente em todos os resistores. 
 
41 
 
 
 
5) Quer-se obter uma resistência de 3,5 Ω com o menor número de resistores de l Ω. Como devem ser 
ligados entre si? Faça o esquema. 
 
6 ) No circuito determine qual deve ser o valor de R para que a potência elétrica do gerador seja 50 mW. 
 
 
 
7) Determinar R para que I = 2,25 mA. 
 
 
8 ) Determinar R para que a lâmpada funcione dentro de suas características. 
 
 
 
9) Dois resistores R1 e R2 em paralelo dissipam um total de 360 mW. Sabendo-se que a fonte fornece 30 
mA, e que a potência dissipada em R1 é 72mW, quais os valores de R1 e R2? 
 
10) Determinar R1 no circuito para que a resistência equivalente entre A e B seja 3 kΩ. 
 
 
 
11) No circuito a fonte fornece uma potência de 2 W. Determinar: 
a) valor de R1 e R2 
b) Corrente em R1 
42 
 
 
 
12) Determinar R1 e R2 no circuito. 
 
 
 
13) Determinar I no circuito. 
 
 
 
4) Determinar Rx para que I = 4 mA. 
 
 
 
15) Determinar Rx para que I = 8 mA. 
 
 
16) Determinar Rx para que IT = 15 mA. 
 
43 
 
 
 
17) No circuito qual o menor valor que o reostato pode assumir, sem que o fusível queime? 
 
 
 
18) No circuito os fusíveis apresentam mesma resistência. Qual a máxima corrente que pode passar pela 
lâmpada, sem que haja queima de qualquer fusível? 
Obs.: Os fusíveis têm mesma resistência. 
 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) 3,5 kΩ b) 500 Ω c) 60 Ω d) 60 Ω e) 10 Ω f) 4K g ) 6 Ω 
2) R = 3 kΩ 
3) UT = 41 V IT = 11 mA 
4) I1 = I7 = 0,1 A I3 = I6 = I2 = 0,05 A I4 = I5 = 0,025 A 
6) R = 4000 
5) 
7) R = 10 kΩ 
8) R = 60 Ω 
9) R1 = 2 kΩ R2 = 500 Ω 
10) Rl = 6 kΩ 
11) a ) R1 = 250 Ω, R2 = 1 kΩ b) I1 = 80 mA 
12) Rl = 80 Ω, R2 = 150 Ω 
13) I = 0,6 mA 
14) Rx = 12 kΩ 
15) Rx = 1,5 kΩ 
16) Rx = 600 Ω 
17) Rvmin = 20 Ω 
18) ILmax = 4 A 
 
44 
 
4.5 - Associação estrela e triângulo 
 
Estes tipos de ligação são mais usados em sistemas trifásicos. No nosso caso utilizaremos este 
tipo de associação para resolvermos certos circuitos, para os quais o desdobramento em associações 
básicas como série e paralelo não são possíveis. 
A figura abaixo (a) mostra uma ligação em estrela e a figura (b) uma ligação triângulo (ou delta). 
 
 
 
Conhecendo-se RA, RB e RC, podemos determinar RAB, RAC e RBC, tal que se substituirmos na 
figura (a) nada ficará alterado para o resto do circuito. 
 
 
𝑅𝐵𝐶 =
𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 ∙ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐵
𝑅𝐴
 
 
𝑅𝐴𝐵 =
𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 ∙ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐵
𝑅𝐶
 
 
𝑅𝐴𝐶 =
𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 ∙ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑅𝐵
𝑅𝐵
 
 
Da mesma forma, dada a associação triângulo RAB, RBC e RAC, podemos determinar a ligação 
estrela que lhe é equivalente. 
 
 
𝑅𝐴 =
𝑅𝐴𝐵 ∙ 𝑅𝐴𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
 
 
𝑅𝐵 =
𝑅𝐴𝐵 ∙ 𝑅𝐵𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
 
 
𝑅𝐶 =
𝑅𝐴𝐶 ∙ 𝑅𝐵𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
 
 
45 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar a associação triângulo equivalente da associação estrela dada. 
 
 
 
 
 
 
No caso de uma associação balanceada (Resistências iguais), vale a seguinte relação: 
 
 
2) Determinar a associação estrela equivalente da associação triângulo dada. 
 
 
𝑅𝐴 =
120 ∙ 120
120 + 120 + 120
= 40 Ω ; 𝑅𝑌 =
𝑅∆
3
= 40 Ω 
 
Poderíamos ter usado 𝑅𝑦 =
𝑅∆
3
 para ligação balanceada. 
 
3) Determinar a resistência equivalente entre A e E 
 
Vamos primeiramente transformar o triângulo BCD em estrela 
 
 
46 
 
Como a ligação é equilibrada, resultará: 
 
 
 
E continuamos pelo método já visto no capítulo 4.3 
 
 
 
RAE = 30 Ω 
 
Exercícios propostos 
 
1) Transformar para triângulo. 
 
 
2) Transformar para estrela. 
 
 
 
3) Determinar a resistência equivalente entre A e C 
 
 
4) Determinar todas as correntesdo circuito e a potência elétrica do gerador. 
 
47 
 
 
5) No circuito, determinar o valor da corrente no amperímetro 
R1 = 10 Ω R2 = 50 Ω R3 = 15 Ω 
R4 = 30 Ω RiA = 20 Ω R5 = 20 Ω 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) RAB = 36,6 Ω RAC = 110 Ω RBC = 55 Ω 
2 ) RA = 2,5 Ω RB = 12,5 Ω RC = 6,25 Ω 
3) a) RAB = 13,3 Ω b) RAB = 48,l Ω 
4) I1 = 3 A I2 = 1 A I3 = 0 A I4 = 3 A I5 = 1 A PG = 240 W 
5) I = 58 mA 
 
5 – GERADORES 
 
Basicamente, geradores são dispositivos que convertem algum tipo de energia em energia elétrica. 
Podem ser classificados em geradores de tensão e de corrente. Para podermos compreender o 
comportamento de um gerador em um circuito, e sabermos os seus limites em relação a esse mesmo 
circuito, definimos o modelo do gerador ideal, e sempre que possível procuraremos impor condições, de 
forma que o dispositivo real se aproxime do ideal. 
 
5.1 - Gerador de tensão 
 
São os geradores mais usados na prática. Basicamente são dispositivos que convertem algum tipo 
de energia em energia elétrica, por exemplo, pilhas e baterias, dínamos e alternadores. Alguns mantêm a 
tensão constante entre os polos, é o caso das pilhas. Outros apresentam a tensão variando de intensidade e 
polaridade ao longo do tempo, é o caso dos geradores das hidrelétricas. 
 
5.1.1 - Gerador de tensão ideal 
 
São geradores no qual a tensão nos seus polos é constante, não dependendo da intensidade da 
corrente, fato ocorre porque o gerador não apresenta resistência interna, consequentemente não apresenta 
perdas. O símbolo e a curva característica estão representados na figura abaixo (a). No símbolo, E é a 
força-eletromotriz (f.e.m) do gerador, e o seu valor só depende da construção do gerador. 
Da curva característica podemos verificar que qualquer que seja a corrente que esteja percorrendo 
o gerador a tensão entre os seus polos é sempre a mesma. 
48 
 
 
 
O rendimento do gerador é definido como sendo: 
 
onde PE = U.I é a potência elétrica fornecida ao circuito externo, e PM = E.I é a potência motriz, é a 
potência que faz o gerador funcionar, é de origem não elétrica. 
Como U = E qualquer que seja o I segue que o rendimento de um gerador de tensão ideal é sempre 
100 %, isto é, em um gerador ideal toda a energia não elétrica é transformada em energia elétrica (não 
existem perdas). 
 
5.1.2 - Gerador de tensão real 
 
Um gerador de tensão real é caracterizado por apresentar perdas (η < 1 ), devido ao fato de ter 
uma resistência interna (Ri), em consequência a tensão nos seus terminais dependerá da intensidade da 
corrente que o percorre. No caso de uma pilha a resistência interna é a soma da resistência do eletrodo de 
carvão com a da pasta eletrolítica que existe no seu interior. 
Na figura abaixo estão representados o símbolo e a curva característica de um gerador de tensão 
real. A equação característica pode ser obtida a partir do circuito da figura (a), onde podemos verificar 
que, se o gerador estiver ligado a uma carga, a tensão disponível nos terminais do gerador será igual a U = 
E - Ri . I, onde Ri.I é a queda de tensão dentro do gerador. 
 
 
A obtenção da curva característica da figura (b) é obtida a partir da equação característica. Como a 
equação característica é do l
o
 grau, a representação gráfica é uma reta, bastando dois pontos para desenhá-
la. 
1
o
 Ponto: fazendo I = 0 resulta U = E - Ri.0 = E, esta condição é obtida com o gerador em aberto. 
2
o
 Ponto: curto circuitando os polos do gerador (U = 0), teremos 0 = E - Ri . Icc resultando 𝐼𝑐𝑐 =
𝐸
𝑅𝑖
 
, Icc é a corrente de curto-circuito, que é a máxima corrente que o gerador pode fornecer. Na prática, 
devemos evitar essa situação, pois implicaria num aquecimento demasiado do gerador, podendo levá-lo à 
destruição. 
Da equação característica U = E - Ri.I, multiplicando por I ambos os lados da equação resulta: 
U.I = E.I - Ri.I
2
 ou E.I = U.I + Ri.I
2 
ou PE = PM - PD 
onde PM = E.I = potência motriz (não elétrica). 
PE = U.I = potência elétrica fornecida ao circuito externo. 
PD = Ri.I
2
 = potência dissipada dentro do gerador. 
 
O rendimento será dado por: 
49 
 
𝜂 (%) =
𝑃𝐸
𝑃𝑀
∙ 100 =
𝑈 ∙ 𝐼
𝐸 ∙ 𝐼
∙ 100 =
𝑈
𝐸
∙ 100 (%) 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um gerador tem E = 20V e Ri = 30 Ω, sendo ligado a uma carga de 17 Ω, calcular: 
a) Intensidade da corrente fornecida pelo gerador 
b) Potência que o gerador está fornecendo à carga 
c) Potência motriz do gerador 
d) Rendimento do gerador nestas condições 
 
 
 
 
 
 
 
2) A potência motriz de um gerador é 200 W com um rendimento de 80%. Sabendo-se que a corrente que 
o percorre é 2A, pede-se: 
a) Tensão nos terminais do gerador 
b) Resistência interna do gerador 
c) Valor da resistência ligada no gerador 
 
 
 
 
c) A potência elétrica é igual à potência dissipada na carga, isto é, 
 
 
 
3) Dada a curva característica de um gerador pede-se: 
a) Sua f.e.m e resistência interna 
b) Rendimento do gerador quando ligado a uma carga de 40 Ω 
c) Potência dissipada dentro do gerador nas condições do item b 
d) Determinar graficamente a tensão nos terminais do gerador, quando a corrente que o percorre é 
 1,5A 
50 
 
 
 
a) Da curva característica tiramos E = 40V e Icc = 4 A 
 
 
 
 
 
 
d) Entrando com I = 1,5 A, no gráfico obtemos U = 25 V. 
 
 
 
5.1.3 - Máxima transferência de potência 
 
No circuito da figura (a) abaixo, a potência elétrica que o gerador fornece ao circuito externo é 
numericamente igual à área hachurada na figura (b). Essa área é máxima quando 
 
e isto ocorrerá quando RL = Ri (a resistência de carga igual à resistência interna do gerador). 
 
 
Com RL = Ri, a corrente no circuito será igual a 
𝐸
2∙𝑅𝑖
 e a tensão nos terminais do gerador será: 
51 
 
𝑈 = 𝐸 − 𝑅𝑖 ∙ 𝐼 = 𝐸 − 𝑅𝑖 ∙
𝐸
2𝑅𝑖
=
𝐸
2
 
 
a potência elétrica do gerador será: 
𝑃𝐸 = 𝑈 ∙ 𝐼 =
𝐸
2
∙
𝐸
2𝑅𝑖
=
𝐸2
4𝑅𝑖
= 𝑃𝐸𝑚𝑎𝑥 
 
Exercício resolvido 
 
1) Com relação ao gerador do circuito que tem E = 40 V e Ri = 10 Ω, faça o gráfico da sua potência 
elétrica em função da resistência da carga. Para os seguintes valores de RL: 0, 2, 5, 7, 10, 15, 20, 30, 40, 
60, 90 Ω. 
 
 
Para determinarmos a potência elétrica do gerador, primeiramente calculamos a corrente: 
 
 
 
 
 
 
 
Do gráfico podemos verificar que a máxima potência elétrica fornecida pelo gerador à carga será 
igual a 40 W, e quando RL = Ri = 10 Ω. Para qualquer outro valor de RL diferente de 10 ohms a potência 
elétrica será menor que 40 W. Se fizermos RL = infinita a corrente será zero, portanto a potência elétrica 
também será zero. 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um gerador tem f.e.m igual a 20 V e resistência interna de 5 Ω, sendo ligado a uma carga de 15 Ω, 
determinar: 
52 
 
a) Potência motriz do gerador 
b) Potência elétrica do gerador 
c) Potência dissipada no gerador 
d) Rendimento do gerador 
e) Máxima potência que o gerador pode fornecer e em que condições 
f) Desenhar a curva característica 
 
2) Qual deve ser o valor da resistência que deve ser ligada a um gerador que tem E = 15 V e Ri = 5 Ω, 
para que tenha rendimento de 80 %? 
 
3) Dada a curva característica de um gerador pede-se: 
a) Valor de RL (carga) 
b) Rendimento do gerador 
c) Potência dissipada dentro do gerador 
 
 
 
4) No circuito, quando a chave está fechada