Tensões no solo

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Faculdade de Engenharia -- NuGeo/Núcleo de Geotecnia 
Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II 
 
TENSÕES NOS SOLOS 
 
 
 
 
Unidade 2 - TENSÕES NOS SOLOS 
 
 
 
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas advindas 
do peso próprio ou em decorrência de carregamentos em superfície, ou ainda pelo alívio de 
cargas provocado por escavações, é de vital importância no entendimento do 
comportamento de praticamente todas as obras de engenharia geotécnica. Há uma 
necessidade de se conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas várias profundidades 
abaixo do terreno para a solução de problemas de recalques, empuxo de terra, capacidade 
de carga no solo, etc. 
 
 
2.1 – Pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos 
 
 
Na análise do comportamento dos solos, as tensões devidas ao peso próprio têm 
valores consideráveis, e não podem ser desconsideradas. Este estudo visa determinar as 
pressões atuantes na massa de solo, nas diversas profundidades de um maciço, quando 
consideramos somente o peso próprio, isto é, apenas sujeito à ação da gravidade, sem 
cargas exteriores atuantes. Estas pressões são denominadas pressões virgens ou 
geostáticas. 
 
Quando a superfície do terreno é horizontal aceita-se intuitivamente que a tensão 
atuante em num plano horizontal a uma certa profundidade seja normal a este plano. De 
fato, as componentes das forças tangenciais ocorrentes em cada contato tendem a se 
contrapor, anulando a resultante. Quando o solo é constituído de camadas 
aproximadamente horizontais, a tensão vertical resulta da somatória do efeito das diversas 
camadas. 
 
Seja a superfície superior do terrapleno com uma inclinação i (em relação 
horizontal), de uma massa de solo cujo interior se situa o ponto A cotado no plano A 
(correspondendo à base de um prisma) a uma profundidade Z em relação ao nível do 
terreno, como mostra a Figura 2.1. O prisma corresponderá a uma coluna de solo de 
comprimento unitário, largura b (na horizontal) e profundidade Z. 
 
Consideramos a massa de solo como constituída de solo homogêneo no espaço 
semi-infinito visualizado para a análise de pressão vertical total. O terreno está solicitado 
só pela ação da gravidade não ocorrendo lençol freático nessa espessura Z. 
 
Considerando o espaço semi-infinito de solo homogêneo, todo prisma de solo a ser 
considerado terá o material com peso específico γp. 
 
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Figura 2.1 – Representação do prisma de solo para o calculo das tensões 
 
Admitindo-se que a massa está em repouso absoluto, a figura 2.2 expressa um 
plano em repouso absoluto, correspondente a seção I, II, III e IV que não se desloca pela 
ocorrência dos esforços considerados: 
 
Pv = peso do prisma de solo 
PA = reação do solo pela continuidade abaixo do plano A 
E1 = E’1 = esforços nas faces laterais do prisma de solo 
E2 = E’2 = esforços nas faces frontais do prisma de solo 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Destaque das seções I, II, III e IV do prisma de solo 
 
Estando o prisma em equilíbrio, serão satisfeitas as equações fundamentais da 
estática: 
Σ H = 0 ∴ E1 = E’1 e E2 = E’2 
Σ V = 0 ∴ PV = PA (Logo, tanto faz considerarmos a ação PV quanto a 
reação PA). 
Σ MA = 0 
∴ 
E1 x Z’A = E’1 x Z’A 
E2 x Z’A = E’2 x Z’A 
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Os esforços laterais ocorrem pela existência da continuidade da massa homogênea 
em todas as direções. Portanto, os pares de esforços são de mesma intensidade, mesma 
direção e sentidos contrários. 
 
Para calcular PV, temos: 
 
PV = volume do prisma de solo x peso específico aparente natural devido ao 
peso próprio de todos os materiais existentes acima do ponto, considerado. 
 
 PV = VP x γPA, mas VP = comprimento x largura x altura 
VP = 1 x b x Z 
VP = b x Z 
 
O peso do prisma de solo, ao descarregar sobre a área inclinada da base dará uma 
pressão no ponto A da base, ou seja: 
 
PVA = pressão vertical total no ponto A 
 
 
1.
icos
b
.Z.b
1.
icos
b
P
S
P
área
p PAv
A
V
base
v
VA
γ===P = 
PAVA .icos.Z γ= 
 
 
A
sua seçã
área da b
onde atu
A
C
Entenda
tensão. 
prejuízo
N
teremos:
σ
específic
 
C
toda a di
 
 
P
 pressão PVA independe da seção do prisma (coluna de solo), pois, quanto maior 
o, maior será a área da base SA. Ou quanto menor a seção, menor será o peso e a 
ase. Logo, o resultado da divisão entre o peso da coluna de solo e a área da base 
a esse peso será sempre constante. 
 
ssim temos: σA = PVA com direção definida. 
 
omo já está consagrado em Mecânica dos Solos chama-se a tensão de pressão. 
-se que sempre que falarmos, daqui para frente, pressão, estaremos expressando a 
Só por estar consagrada essa nomenclatura manteremos esse expediente sem 
 da conceituação clássica colocada. 
 
o caso de terrapleno com a superfície superior coincidente com a horizontal, 
 
PAA .Z γ= , pois nesse caso, i = 0, isto é, a profundidade considerada vezes o peso 
o do solo homogêneo ocorrente nessa profundidade. 
olocando-se em um sistema cartesiano, teremos os diagramas representativos de 
stribuição na espessura Z, como mostra a Figura 2.3. 
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Figura 2.3 – Diagramas representativos da distribuição de tensões na espessura Z 
 
No caso de uma seqüência de camadas de solos homogêneos diferentes, 
considerando somente terrapleno horizontal, como mostra a Figura 2.4, temos: 
 
 
Figura 2.4 – Distribuição de tensões para uma seqüência de camadas de solos heterogêneos 
 
Isto é, a pressão vertical total da camada 1 se transmite integralmente sobre a 
camada 2 e na espessura dessa segunda camada haverá o acréscimo de diagrama devido a 
pressão gerada nessa espessura. 
 
No caso de n camadas de γpi e espessuras Zi, teremos a expressão: 
 
∑ γ=σ n
1
iPi Z. 
 
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Análise sobre os materiais ocorrentes nas camadas 
 
Considerando cada camada homogênea, como uma espessura correspondente, 
podemos considerar que podem ocorrer os materiais: partículas sólidas e água (em diversas 
situações, a saber): 
1. Só água = lâmina d’água; 
2. Só partículas = solo seco; 
3. Partículas com todos os vazios cheios de água, S=100%: 
3.a. Solo saturado = quando a água dos vazios não está sujeita a ação da 
gravidade (partículas envolvidas pela água) 
. Ocorrência típica de solo impermeável (vazios não se comunicam); 
3.b. Solo submerso = quando a água dos vazios está sujeita a ação da 
gravidade, assim, as partículas sólidas estão imersas na água, portanto, 
as partículas estão sujeitas ao empuxo que atua sobre as mesmas 
 . Ocorrência típica de solo permeável (vazios se comunicam). 
 
O cálculo do peso específico para qualquer dessas ocorrências poderá ser obtido a 
partir da relação de outros índices físicos, obtendo-se o peso específico aparente natural 
do solo, pela expressão deduzida em seguida. 
 
 
t
t
V
P=γ = peso específico aparente natural do solo. 
 
t
a
s
t
a
t
s
t
as
t
t
V
P
V
P
V
P
V
PP
V
P +γ=+=+==γ 
 
γ = P
V
a
a
 ⇒ Pa = γa x Va 
 
Substituindo temos: 
γ γ γ= + ⋅s V
V
a a
t
 
 
Dividindo por Vv, numerador e denominador, não altera a fração: 
γ γ γ γ γ γγ= + = + = + ⋅s a
V
V
V
V
s a S
n
s Sn a
a
v
t
v
1 
 
Logo, pode-se escrever: γ γ γp s Sn a= + ⋅
 
 
Aplicada a expressão para os materiais ocorrentes temos, para cada caso: 
 
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1 - Lâmina d'água 
γs = 0 
S = 100% = 1.0 
n = 100% 
 
γp = γa 
 
2 - Solo seco 
 S = 0 ∴ γp = γs 
 
3 - Solo saturado e na condição submersa 
Considerando apenas as ocorrências dos materiais, temos, em ambos os casos, água 
enchendo todos os vazios. 
 
S = 1,0 
 
 γp = γs + n γa 
γp = γsat, ou 
γp = γsub + γa 
 
Qualquer uma das expressões pode ser empregada com resultado idêntico, pois 
apenas fizemos substituições pertinentes em função das relações entre índices físicos. 
 32 
 
4 - Partículas sólidas com água ocupando parcialmente os vazios 
 Solo pacialmente saturado. A expressão será a completa: 
 γp = γs + S.n.γa 
 
Análise das condições gerais de ocorrência do peso específico dos solos 
 
As Figuras 2.5 e 2.6 apresentam um perfil de solo onde destacamos algumas faixas 
de ocorrências de espessuras homogêneas: 
 
 
 
Lâmina d’água: 
γPA = γa 
 
Camada 1 
Solo permeável submerso: 
γPB = γS1 + n1.γa = γsat1 
 
Figura 2.5 – Perfil de solos heterogêneos com 
presença de lâmina d’água 
 
 
Camada 2 
Solo impermeável 
 
γPC = γS2 + S2.n2.γa 
 
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Camada 1 
Acima da franja capilar até o NT: 
γPA = γS1 + S1.n1.γa 
 
Franja capilar: faixa de saturação 
onde ocorre a umidade capilar: 
γPB = γS1 + n1.γa = γsat1 
Faixa de submersão onde ocorre o 
lençol freático formado com água 
livre: 
γPC = γS1 + n1.γa = γsat1 = γsub1 + γa 
 
Figura 2.6 – Perfil de solos heterogêneos 
 
 
Camada 2 
S=100% 
γPD = γS2 + S2.n2.γa 
γPD = γS2 + n2.γa = γsat2 
 
 
Nota: Para o cálculo da tensão vertical (total) devido ao peso própio do solo deve-se 
considerar o valor do peso específico tal como ocorre no campo, por ex., natural, 
saturado, seco (pouco comum na prática). Como será visto, esta pressão poderá ser 
decomposta em parcelas, ai sim para determinada parcela (a do solo, como será visto no 
item seguinte) poderá ser atribuído o peso específico submerso, se tal efeito ocorrer. 
 
 
2.2 – Princípio das tensões efetivas 
 
 
2.2.1 – Pressão vertical total 
 
Sendo a estrutura formada de um esqueleto de grãos sólidos (estrutural) e os 
vazios deixados entre as partículas, podemos dizer que ocorrem duas situações distintas: 
 
i A pressão vertical total se desenvolve no esqueleto estrutural sendo que a água 
que ocorre nos vazios contribui simplesmente com o aumento de peso do conjunto 
ii A pressão vertical total se desenvolve em duas parcelas distintas, uma no 
esqueleto estrutural e outra na água que ocorre enchendo todos os vazios e está sob 
ação da gravidade (solos submersos) ou sob ação de pressão exterior (de percolação ou 
de adensamento). 
 
De maneira genérica a expressão da pressão vertical total é indicada como: 
σ = σ’ + u 
 
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σ = pressão vertical total devido ao peso próprio dos solos 
σ’ = parcela da pressão total que se desenvolve no esqueleto granular → 
pressão efetiva ou pressão grão a grão 
u = parcela da pressão total que se desenvolve na água ocorrente nos 
vazios → pressão neutra ou poropressão. 
Esta só ocorre quando a água que enche todos os vazios está sob a ação da 
gravidade (ocorrência de água livre - solos submersos) ou a água está com 
uma pressão externa que pode ser pressão de adensamento ou pressão 
de percolação. 
 
Considerando-se agora, a situação de todos os vazios estarem cheios de água, mas 
as partículas estarem simplesmente envolvidas pela água (espessura da franja capilar), isto 
é, na faixa de ocorrência de água capilar onde a água não está sujeita a ação da gravidade 
(e nem está submetida às cargas exteriores), portanto, o solo está saturado, a pressão 
vertical total devida ao peso próprio dos solos será: 
 
σ = σ’, pois, nesse caso, u = 0. 
 
 
2.2.2 – Pressão neutra (u) 
 
 Condição de Submersão 
 
Considerando o maciço submerso, a água que se encontra nos vazios está sujeita a 
ação da gravidade, isto é, nessa água se desenvolve uma parcela da pressão vertical total 
correspondente ao sistema partículas sólidas x água. 
 
A água, sendo um fluido, transmite aos grãos do esqueleto estrutural, considerando 
separadamente cada grão, pressões em todas as direções, dando sobre cada partícula uma 
resultante nula. Daí chamar-se pressão neutra, ou seja, aquela que não ocasiona 
deslocamento de grãos. 
 
Essa resultante nula atuando em cada grão considerado separadamente, não dará, 
como decorrência, possível mudança de posição dos grãos, que poderia afetar sua 
arrumação, isto é, alterar o seu índice de vazios. 
 
Como ela se propaga igualmente em todas as direções (fluidos), essa pressão neutra 
se fará presente, não só no plano horizontal, mas também no plano vertical (paramento). 
No caso de algumas obras só uma drenagem bem feita, anulará esse efeito sobre os 
paramentos verticais de estruturas, como por exemplo ocorre no caso de contenções 
(muros de arrimo). 
 
Experiência 
 
A verificação do comportamento dessa parcela da pressão total, pressão neutra, 
pode ser feita em laboratório com o seguinte ensaio, como mostra a Figura 2.7: 
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Tomemos um recipiente cuja base é ligada a um piezômetro que nos indicará, no 
tubo graduado, as alturas piezométricas ou alturas hidrostáticas ou cotas dos NAs 
ocorrentes na estrutura durante a experiência de laboratório. 
 
O recipiente tem a parede graduada ou condição de medição precisa de H 
(espessura da camada de solo permeável) representada por areia pura colocada no fundo do 
recipiente e acomodada para medição inicial após se situar o primeiro nível d'água NA1. 
Nessa altura H o solo se encontra com o índice de vazios “e”. 
 
 
NA2 = 
 
segundo nível de água, controlada pelo 
ladrão do recipiente, dando como 
decorrência uma nova leitura 
piezométrica h2. 
 
NA1 = nível inicial da água. Dá uma leitura 
piezométrica h1, lida no piezômetro 
(aparelho medidor de NA). 
 
 
Figura 2.7 – Ensaio para verificação 
do comportamento do solo 
H = Altura inicial da suposta camada de 
areia, indicando uma arrumação inicial 
das partículas quando o nível d’água é 
NA1. 
 
A pressão neutra no ponto A (fundo do recipiente) correspondente a essa primeira 
situação de NA1, será: u1 = γa x h1 – peso da coluna de água pela área da base 
 
Isto é, equivale a pressão hidrostática correspondente ao nível NA1, pois, sendo o 
solo permeável haverá transmissão molécula a molécula de água desde o topo do NA1 até o 
fundo do vaso. O fenômeno é idêntico ao da pressão atmosférica e compreende o peso da 
coluna d'água de h1 (altura) e independendo de sua seção transversal (peso da coluna de 
água dividida pela área da base sempre na proporção constante). 
 
Em seguida elevaremos o nível d'água para cota NA2 com a colocação cuidadosa de 
água no vaso, de maneira que não haja a mínima condição de turbulência no fluido, capaz, 
de perturbar, artificialmente, a arrumação estrutural da areia. 
 
A pressão neutra no ponto A correspondente a essa segunda situação de NA2, 
será: u2 = γa x h2Houve um aumento da altura da coluna d'água de h1 para h2, logo houve um 
acréscimo no valor da pressão neutra, a saber: 
u2 – u1 = ∆u = γa . (h2 – h1) 
∆u = γa . ∆h 
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Constatamos, após esse acréscimo de pressão neutra, que H permaneceu 
constante, isto é, não houve qualquer variação na arrumação estrutural da areia. O índice 
de vazios permaneceu o mesmo o que indica que a estrutura não sofreu nenhuma ação 
mecânica. 
 
Pela obrigatoriedade da relação tensão-deformação, conclui-se que tudo se 
desenvolveu na água dos vazios, e nenhuma pressão adicional diferenciada surgiu no 
esqueleto estrutural, capaz de alterar as posições relativas dos grãos, não houve qualquer 
alteração das características mecânicas da estrutura. 
 
A pressão neutra é considerada, conceitualmente idêntica a pressão atmosférica, 
quando seu desenvolvimento se dá por submersão (água sob a ação da gravidade), isto é, o 
peso da coluna de água correspondente a uma espessura, por ação da gravidade, passa a 
agir como um peso descarregado na área da base da coluna. 
 
 
Ocorrências de pressão neutra fora da condição de submersão 
 
A água que enche todos os vazios do solo pode não estar sob ação da gravidade, 
mas sim sob ação de pressões exteriores de percolação ou de adensamento. 
 
Nos dois casos temos: 
 
 Condição de Percolação de Água 
 
Como visto na Unidade 1, o cálculo da pressão neutra desenvolvida no interior da 
massa de solo será função da diferença de carga que motivará o fluxo (i = gradiente 
hidráulico diferente de zero). 
 
A pressão neutra final, em qualquer ponto da massa de solo, é igual a soma da 
parcela hidrodinâmica e a parcela hidrostática. A primeira leva em consideração a parcela 
de perda de carga até o ponto considerado e a segunda leva em consideração à 
profundidade do referido ponto, considerado o referencial de carga igual a zero. 
 
u = parcela de pressão hidrodinâmica + parcela de pressão hidrostática 
 
Para a realização de tais cálculos torna-se extremamente conveniente o traçado da 
rede de fluxo (linhas de fluxo – canais de fluxo e linhas equipotenciais – intervalos de 
perda de carga), com o maior número de pontos possíveis (cruzamento das linhas), para 
facilidade de seus valores. 
 
Para ilustrar, apresenta-se na Figura 2.8 o traçado de uma rede de fluxo onde 
identificaremos, claramente, o número de linhas de Fluxo (LF), canais de fluxo (Nf) e o 
número de linhas equipotenciais (LE) e de número de quedas de potencial (ND). 
 
 
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(I) Impermeável 
Figura 2.8 – A superfície impermeável é uma linha de fluxo definidora de um canal. Sete 
equipotenciais correspondem, cada uma, a uma linha de igual pressão piezométrica ou 
hidrodinâmica. 
 
Condição de Adensamento de Camadas Argilosas 
 
A percolação da água nos solos, induzida a partir do acréscimo de pressão na água 
nos poros de um solo (principalmente no caso de solos argilosos) proveniente de um 
carregamento aplicado sobre esta camada, implica também na variação de seu índice de 
vazios – descrécimo. Tem-se, assim, o fenôme do adensamento, que será estudado na 
Unidade 3, deste curso. 
 
 
2.2.3 - Pressão efetiva (σ’) 
 
A pressão efetiva ou pressão intergranular é a outra parcela da pressão vertical total 
que se desenvolve no esqueleto estrutural dos solos pelo contato grão a grão. 
 
Sua variação acarreta alterações nas características mecânicas dos solos, 
portanto é a parcela da pressão vertical total que nos interessa para análise do 
comportamento dos maciços granulares porosos, estudado na Mecânica dos Solos. 
 
Experiência 
 
Da mesma maneira que procedemos com a pressão neutra, podemos, com o mesmo 
ensaio, em laboratório, como mostra a Figura 2.9, comprovar seu comportamento e os 
efeitos decorrentes de seu acréscimo sobre as estruturas. 
 
 
 
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Figura 2.9 – Ensaio para verificação do comportamento do solo 
Toma-se o mesmo recipiente 
com a camada de areia 
anterior (H = altura inicial), 
mantendo-se u = constante 
(portanto NA = constante) 
com entrada de água 
continuadamente, mas sem 
ocasionar turbulência. 
 
Com o sistema garantido, 
logo, com u = constante, 
introduzimos um tubo cheio 
de esferas de chumbo 
(chumbo de caça) de maneira 
que se possa, acionando um 
fio de nylon, por um gatilho, 
fazer depositar na superfície 
da areia as esferas que serão 
sobrecargas diretamente 
sobre os grãos de areia. 
 
Essa sobrecarga será também uma estrutura permeável que continuará permitindo a 
passagem da água, portanto, mantendo constante o valor de u. 
 
Em síntese fizemos um acréscimo de pressão (proveniente do peso das esferas) - σ’ 
sobre a areia, mantendo u = cte, acréscimo esse sem queda, mas, depositando as esferinhas 
de chumbo sobre os grãos de areia. 
 
Após esse acréscimo verificamos que a altura da areia original H cai para H1, o 
que comprova a alteração das características mecânicas da camada ou a acomodação dos 
grãos de areia – redução do índice de vazios sem a influência da pressão na água. 
 
Determinação da pressão efetiva 
 
Sendo essa uma pressão de contato grão a grão, seu cálculo seria efetivado através 
do somatório dos pesos de todos os grãos da estrutura dividido pelo somatório de todas as 
áreas de contato entre os grãos. 
 
Esse cálculo se torna difícil, mesmo por estimativa, pois, o contato intergranular é 
de difícil avaliação uma vez que depende de vários fatores, tais como: forma das 
partículas, tipos superfícies contantos, minerais componentes dos grãos, arrumação,... 
 
Tal cálculo teria que se basear nas propriedades intrínsecas dos materiais 
componentes das partículas e se limita aos estudos teóricos ligados a pesquisas específicas. 
 
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Para resolver o cálculo, objetivamente, e dentro dos problemas práticos na 
engenharia de solos, nos basearemos no cálculo da pressão total, já demonstrado 
anteriormente e no cálculo da parcela pressão neutra, facilmente calculável, assim, 
teremos: 
σ’ = σ - u 
Onde: 
σ’ = pressão efetiva ou de contato grão a grão 
σ = pressão vertical total ⇒ σ = γp x Z 
u = pressão neutra ou poropressão que, no caso de submersão, u = γa x h (nos 
outros casos percolação e adensamento, requer cálculo específico). 
 
Assim, para sistematização de seu cálculo sugere-se: 
Calculam-se os valores das pressões verticais totais em cada plano (horizonte) 
considerado o γp, na condição de ocorrência do material “in situ”. 
• 
• 
• 
• 
Verifica-se a ocorrência de u no enquadramento em um dos três casos possíveis, ou 
seja, submersão, percolação e adensamento. Em função do caso ocorrente calcula-
se u; 
Calcula-se a tensão efetiva aplicando-se o conceito: σ’ = σ - u (princípio das 
tensões efetivas de Terzaghi); 
Traça-se, sucessivamente, em cada plano, (após esses cálculos) os diagramas 
correspondentes (total, efetiva e neutra) a essas cotas a fim de que se possam 
comparar os traçados gráficos como verificação dos cálculos analíticos; 
 
 
2.2.4 – Variações do nível d'água 
 
 
Nesse tópico verificaremos as variações dos valores das pressões verticais devidas 
ao peso próprio dos solos quando, por necessidade de construção ou decorrência dos 
mesmos, temos que rebaixarou elevar o nível estático do lençol freático. Por necessidades 
construtivas, às vezes, rebaixamos o lençol freático trazendo o NA a uma cota ∆h abaixo 
do normal. Também, ao se construir reservatórios de água em hidroelétricas, daremos 
condição de elevação da água numa cota muito acima dos níveis normais dos cursos 
d’água. 
 
Essas oscilações do NA trarão reflexos acentuados na estrutura, pois, a faixa de 
submersão vai variar e, nessa faixa as partículas sólidas têm seus pesos aliviados pelo 
empuxo ocorrente em suas condições de imersão. Logo, se seus pesos vão oscilar para 
mais ou para menos, sua contribuição para a pressão efetiva (parcela grão a grão), também 
irá variar. Logo, o comportamento da estrutura como um todo sofrerá transformações. 
 
i - Rebaixamento do lençol freático 
 
A ocorrência de oscilação mais comum é o rebaixamento do NA que poderá se dar 
por drenagens (sistema de drenagem por gravidade) como obras definitivas ou por 
bombeamento do lençol para casos provisórios no período de construção. 
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Para melhor ilustração imaginamos um rebaixamento num terreno permeável para 
permitir uma escavação de construção de uma galeria de águas pluviais, ou de esgoto ou de 
metrô, e, precisamos saber os reflexos nas fundações dos prédios já existentes. 
 
Seja o perfil da Figura 2.10 de uma camada permeável, com o NA1 em determinada 
cota “há” em relação ao NT, sobrejacente ao plano A, que pode estar sujeita a 
compressibilidade por sobrecarga. 
 
 
Figura 2.10 – Perfil de solo para rebaixamento 
do nível d’água 
 
Considere que por questão construtiva temos 
necessidade, em um determinado período da 
obra, de rebaixar NA1 para cota NA2. 
 
 
Pergunta-se qual serão as variações das 
pressões verticais devidas ao peso próprio 
dos solos no plano A, quando o 
rebaixamento ocorrer ? 
 
 
 Plano A 
 
 
Para melhor facilidade de cálculo indicaremos os valores diretamente no plano A, 
sem considerar planos intermediários e sem traçar os diagramas uma vez que o perfil é 
muito simples e as fórmulas são auto-explicativas. 
 
Para simplificar ainda mais, consideraremos que, ao se efetuar o rebaixamento, na 
espessura ∆h a estrutura ficará nas mesmas condições originárias e em nenhuma das 
situações haverá formação de franja capilar. 
 
Pressões verticais totais 
– Para o nível NA1: σ1A = γP1 . ha + γP2 . h 
 σ1A = (γS + S.n.γa) . ha + (γS + n.γa) . h 
 σ1A = γS.ha + S.n.γa. ha + γS.h + n.γa.h 
– Para o nível NA2: σ2A = γP1 . (ha + ∆h) + γP2 . (h – ∆h) 
 σ2A = (γS + S.n.γa) . (ha + ∆h) + (γS + n.γa) . (h – ∆h) 
 σ1A = γS.ha + S.n.γa. ha + γS.∆h + S.n.γa.∆h + γS.h + n.γa.h – 
n.γa.∆h – γs.∆h 
– Variação da pressão: σA = σ2A – σ1A 
 σA = + S.n.γa.∆h – n.γa.∆h 
 σA = (S – 1).n.γa.∆h ⇒ mas, S – 1 = – A 
 
∆σA = - A .n .γa. ∆h 
 40 
 
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Pela expressão, temos que a pressão vertical total diminui de um valor igual à 
contribuição da pressão devido a água que enchia os vazios na espessura ∆h (e saiu devido 
a ocorrência do rebaixamento). 
Nota-se que restou alguma água nos vazios, como é natural de ocorrer, 
correspondente a aeração A que limita a condição de não ter escoado toda a água. 
 
Pressões neutras 
– Para o nível NA1: u1A = γa . h 
– Para o nível NA2: u2A = γa . (h – ∆h) 
 u2A = γa.h – γa.∆h 
– Variação da pressão: ∆uA = u2A – u1A 
 ∆uA = γa.h – γa.∆h – γa.h 
 
∆uA = – γa . ∆h 
 
A pressão neutra diminui de um valor correspondente a eliminação da condição de 
submersão na faixa ∆h (deixou de ocorrer). 
 
Pressão efetiva 
Como temos as variações ocorrentes nas duas parcelas de cálculo dessa pressão, 
efetuaremos seu cálculo a partir desses valores, a saber: 
 ∆σ’A = ∆σA – ∆uA 
 ∆σ’A = – A.n.γA.∆h + γA.∆h 
 
∆σ’A = (1 – A.n) .γa . ∆h 
 
A pressão efetiva aumentou de um valor correspondente ao empuxo que deixou de 
agir sobre as partículas (aliviando seus pesos na faixa h), transformando-se em sobrecarga 
pelo maior peso desses grãos. 
 
Caso fosse possível toda a água escoar dos vazios da faixa do rebaixamento, 
teríamos A = 1,0 e as fórmulas, ficariam: 
 ∆σA = – n.γa.∆h ⇒ água que enchia os vazios na faixa h 
∆uA = – γa.∆h 
∆σ’A = (1 – n).γa.∆h ⇒ empuxo que agia nas partículas na faixa h 
 
 
ii - Levantamento do lençol freático 
 
No caso do NA oscilar em sentido inverso, isto é, de NA2 para NA1, logicamente as 
variações terão seus sinais trocados, isto é: 
 
Aumentará a pressão total = + A.n.γa.∆h; • 
• 
• 
Aumentará a pressão neutra = + γa.∆h; 
Diminuirá a pressão efetiva = – (1 – A.n).γa.∆h. 
 41 
 
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Isso pode ocorrer com a subida do NA na época das águas (período de chuvas) em 
relação ao seu nível mais baixo no período de seca. Normalmente essa variação, na 
natureza não é expressiva para causar reflexos no seu comportamento mecânico. 
 
Análise das variações do NA 
 
Os casos ocorrentes em engenharia serão específicos, portanto sua complexidade 
pode ser muito maior do que esse simples exemplo literal apresentado. Nestes 
apontamentos, no entanto, são fornecidos todos possíveis elementos básicos a serem 
considerados nestas outras formulações. 
Cumpre, apenas, acrescentar que nos solos impermeáveis as variações nas tensões 
não ocorrem como abordado. 
Caberá, a cada engenheiro, dentro das peculiaridades de ocorrência e características 
da obra, lançar as hipóteses, antever evoluções no sentido de optar por soluções funcionais, 
tecnicamente exigíveis, mais econômicas possíveis e com a qualidade compatível com as 
possíveis mutações no período de utilização (vida útil). 
 
 
2. 2. 5 - Exemplo Numérico de Aplicação 
 
Calcular as pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos para o perfil da 
Figura 2.11 (as cotas do perfil são referenciadas a um RN). Assumir e justificar 
qualquer dado necessário para resolução do problema. 
 
a) Nas condições atuais; 
 
b) Após uma drenagem permanente que rebaixará a cota do NA até – 4 m e escavação 
da argila orgânica e lançamento de um aterro de extensão infinita até a cota + 3 m 
com um material de peso específico aparente natural de 1,8 t/m3 (no aterro). 
 
Cálculo dos valores de γP: 
1) Argila orgânica: γPI = γsat I = 1,3 g/cm3 = 1,3 t/m3 
2) Areia fina: 
%6,99996,0
75,0
67,2.28,0
e
.h
S
II
IIII
II ===ρ= (podemos considerar 100%) 
γPII = γSII + SII.nII.γa 
43,0
75,1
75,0
e1
e
n
II
II
II ==+= 
53,1
75,1
67,2
e1
.
e1 II
aII
II
gII
SII ==+
γρ=+
γ=γ 
Substituindo os valores chega-se que: γPB = 1,96 t/m3 
3) Argila siltosa: 
III
III
SIII h1 +
γ=γ ∴ ⇒ γ( ) ( 45,01.1,1h1. IIISIIIIII +=+γ=γ ) PC = 1,59 t/m3 
 42 
 
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Permeável 
γI = 1,3 g/cm3 
 
Permeável 
eII = 0,75 
hII = 28 % 
ρII = 2,67 
 
Figura 2.11 – Perfil de solo 
Considerado 
permeável 
γSIII = 1,1 g/cm3 
hIII = 45% 
 
Cálculo das pressões: 
 
a) Nas condições atuais: 
– No plano A: σA = γPA . HI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m2 
 uA = γa . HI = 4,0 t/m2 
 σ’A = σA – uA = 1,2 t/m2 
– No plano B: σB = σA + γPB . HII = 5,2 + 1,96 . 4,0 = 13,04 t/m2 
 uB = uA + γa . HII = 4,0 + 4,0 = 8,0 t/m2 
 σ’B = σB – uB = 13,04 – 8,0 = 5,04 t/m2 
– No plano C: σC = σB + γPC . HIII = 13,04 + 1,59 . 6,0 = 22,58 t/m2 
 uC = uB + γa . HIII = 8,0 + 6,0 = 14,0t/m2 
 σ’C = σC – uC = 22,58 – 14,0 = 8,58 t/m2 
 
Diagramas (t/m2) 
 
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c) Após a drenagem (rebaixamento do NA até a cota – 4m), remoção da argila e 
lançamento do aterro (as camadas são consideradas permeáveis): 
d) 
 
 
Figura 2.12 – Perfil de solo com rebaixamento do 
nível d’água 
 
 
 
Admitindo-se a areia fina acima do NA 
com S = 80% (consideração pela falta de 
informação) 
 
Na faixa de 1,0 m teremos: 
 
225,0
67,2
75,0.8,0e.'S'h
II
ÍIII
II ==ρ= 
%5,22'h II = 
a
g
p .e1
e.S
e1
γ+++
γ=γ=γ 
 
γP = 1,53 + 0,8 . 0,43 
γP = 1,87 t/m3 
 
 
– No plano A: σA = 6,0 . 1,8 = 10,8 t/m2 
 uA = 0 
 σ’A = σA – uA = 10,8 t/m2 
 
– No plano B: σB = 10,8 + 1,87 . 1,0 = 12,67 t/m2 
 uB = 0 
 σ’B = 12,67 t/m2 
 
– No plano C: σC = σB + 1,96 . 3,0 = 18,55 t/m2 
 uC = 1,0 . 3,0 = 3,0 t/m2 
 σ’C = 15,55 t/m2 
 
– No plano D: σD = σC + 1,59 . 6,0 = 28,09 t/m2 
 uD = uC + 1,0 . 6,0 = 9,0 t/m2 
 σ’C = 19,09 t/m2 
 
 
 
 
 
 44 
 
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Avaliação do Rebaixamento do Lençol Freático 
 
Formularemos, a partir do perfil inicial, qual a variação da pressão vertical quando 
efetuarmos o rebaixamento programado até a cota – 3m, isto é, para se dar condição de 
trabalhar a primeira camada. 
 
Como o problema não dá maiores detalhes, vamos admitir, para o plano A uma 
porosidade de 45% e um grau de saturação após o rebaixamento de 80%. 
 
γPI = 1,3 g/cm3 γPI = γSI + nI.γa na condição inicial 
 
nI = 0,45 1,3 = γSI + 0,45 ∴ γSI = 0,85 g/cm3 
 
Para a faixa que houve rebaixamento do NA temos: 
 
γPII = γSI + SII.nI.γa = 0,85 + 0,8.0,45 ∴ γPII = 1,21 t/m3 = 1,21 g/cm3 
 
– Cálculo das pressões para 
NA1: 
σAI = γPI . hI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m2 
 uAI = γa . hI = 1,0 . 4,0 = 4,0 
 σ’AI = 1,2 t/m2 
 
– Cálculo das pressões para 
NA2: 
σAII = γPII . hI = 1,21 . 4,0 = 4,84 t/m2 
 uAII = 0 
 σ’AII = 4,84 t/m2 
 
– Variação da pressão: ∆σ’ = σ’AII – σ’AI 
 ∆σ’ = 4,84 – 1,2 
 ∆σ’ = 3,64 t/m2 
 
Checando as fórmulas anteriormente deduzidas: 
 
 ∆σ’A = (1 – A.n).γa.∆h 
 
A = aeração = 1 – S = 1 – 0,8 = 0,2 
 
 ∆σ’A = (1 – 0,2.0,45).(1,0).(4,0) ∴ ∆σ’A = 3,64 t/m2 
 
 
 
 
 
 
2.3 - Pressões devidas a cargas aplicadas 
 
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 As cargas aplicadas na superfície de um terreno induzem tensões, com 
conseqüentes deformações, no interior de uma massa de solo. Embora as relações entre 
tensões induzidas e as deformações resultantes sejam essencialmente não lineares, 
soluções baseadas na teoria da elasticidade são comumente adotadas em aplicações 
práticas, respeitando-se as equações de equilíbrio e compatibilidade. 
As pressões produzidas por cargas aplicadas na superfície de um maciço terroso 
são calculadas, ou melhor, avaliadas, na hipótese de um “maciço semi-infinito, elástico, 
isótropo e homogêneo”; conceitos que, a rigor, podem não ser verificados. 
 As cargas transmitidas pelas estruturas se propagam para o interior dos maciços e 
se distribuem nas diferentes profundidades, como ilustrado na Figura 2.13, podendo se 
verificar experimentalmente. 
 
Figura 2.13 – Distribuição de pressões de acordo com a profundidade 
 
Denominan-se isóbaras as curvas ou superfícies obtidas ligando-se os pontos de 
mesma pressão vertical (Figura 2.14). Este conjunto de superfícies isóbaras forma o que se 
chama bulbo de pressões, como indicado nas figuras abaixo para uma carga concentrada. 
 
 
Figura 2.14 – Bulbo de pressões 
Aplicação da Teoria da Elasticidade: 
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 Segundo descreve o Prof. Carlos de Souza Pinto (PINTO, 2000), a teoria da 
elasticidade tem sido empregada para a estimativa das tensões atuantes no interior da 
massa de solo em virtude de carregamentos na superfície, e mesmo no interior do terreno. 
 “O emprego de Teoria da elasticidade aos solos é questionável, pois o 
comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material elástico, principalmente 
no que se refere a reversibilidade das deformações quando as tensões mudam de sentido. 
Entretanto, quando ocorrem somente acréscimos de tensão, justifica-se a aplicação da 
teoria. Por outro lado, até determinado nível de tensões, existe uma certa 
proporcionalidade entre as tensões e as deformações, de forma que se considera um 
Módulo de Elasticidade constante como representativo do material. Mas a maior 
justificativa para a aplicação da Teoria de Elasticidade é o fato de não de dispor ainda de 
melhor alternativa e, também, porque ela tem apresentado uma avaliação satisfatória das 
tensões atuantes no solo, pelo que se depreende da análise de comportamento de obras. 
 
A) Carga concentrada: 
 
Boussinesq (1885) desenvolveu as equações para cálculo dos acréscimos de tensões 
efetivas vertical (σz), radial (σr), tangencial (σt) e de cisalhamento (τrz), causadas pela 
aplicação de uma carga concentrada pontual agindo perpendicularmente na superfície de 
um terreno, admitindo constante o módulo de elasticidade do maciço. Por isso, as fórmulas 
não contêm o valor deste módulo. 
 
 
Figura 2.15 – Carga concentrada aplicada na 
superfície do terreno: solução de Boussinesq 
 
 
( ),cossen3
2
,
cos1
coscos)21(
2
,
cos1
cos)21(cossen3
2
,cos
2
3
)(
3
2
4
2
2
3
2
2
32
2
5
22522
3
θθπτ
θ
θθµπσ
θ
θµθθπσ
θππσ
z
p
z
p
z
p
z
p
zr
zp
rz
t
r
z
=



+−−−=



+
−−=
=+⋅=
 
 
Pela fórmula: σ , verifica-se que em cada plano horizontal (Figura 
2.16) há uma distribuição simétrica em forma de sino, com a pressão máxima sob a carga, 
a qual decresce com o quadrado da distância do plano considerado à superficie de 
aplicação da carga. 
π θz
p
z
= 3
2 2
5cos
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Figura 2.16 – Distribuição simétrica em forma de sino devido à carga concentrada 
 
B) Carga distribuída ao longo de uma linha: 
 
A pressão vertical induzida σz no ponto (A), por uma carga uniformemente 
distribuída p ao longo de uma linha na superfície de um semi-espaço foram obtidas por 
Melan (Figura 2.17) e é dada pela fórmula: 
θπ=σ
4
Z cos.z.
p2 
 
 
Figura 2.17 – Carga distribuída ao longo de uma linha: por Melan 
 
C) Carga uniformemente distribuída numa faixa: 
 
Em se tratando de uma placa retangular em que uma das dimensões é muito maior 
que a outra, como por exemplo, no caso de sapatas corridas, os esforços introduzidos na 
massa de solo podem ser calculados por meio da formula desenvolvida por Terzaghi e 
Carothers. A Figura 2.18 apresenta o esquema de carregamento e o ponto onde se está 
calculando o acréscimo de tensão. As pressões num ponto (M) situado a uma 
profudidade (Z), com o ângulo α em radianos, são dadas pelas 
fórmulas abaixo. 
 
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Figura 2.18 – Placa retangular de comprimento infinito (sapata 
corrida): por Terzaghi e Carothers 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
σ π α α
σ π α α
τ π α β
z
x
xz
p
p
p
=+
= −
=
2 2
2 2
2 2
sen cos
sen cos
sen sen
β
β
2
2
 
 
As tensões principais e a máxima de cisalhamento (a serem estudadas na Unidade 
4) são dadas por: 
 
( )α+απ=σ 2sen2.
p
1 , ( )α−απ=σ 2sen2.
p
3 e απ=τ 2sen.
p
máx 
 
A Figura 2.19 mostra-nos as curvas de igual pressão normal e tangencial segundo 
Jürgenson, abaixo de um carregamento retangular. 
 
 
 
Figura 2.19 – Curvas de igual pressão normal e tangencial: por Jürgenson 
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D) Carga distribuída sobre uma placa circular: 
 
Para uma superfície flexível e circular de raio R, carregada uniformemente com 
pressão P, o valor da pressão vertical σz, abaixo do centro (Figura 2.20) é dado pela 
fórmula de Love. O bulbo de pressão correspondente está indicado na Figura 2.21. 
 
 
Figura 2.20 – Carregamento circular 

















 

+
−=σ
2
3
2
Z
z
r1
11.p 
 
 
Figura 2.21 – Bulbo de pressões para o carregamento circular 
 
A figura 2. 22 ilustra, como exemplo, o aspecto da distribuição da intensidade das 
tensões verticais que ocorrem no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção), 
considerando a aplicação na superfície de um carregamento externo de 100kPa. 
Neste exemplo ilustrativo foi usado um software de análise de tensões, a partir da 
teoria da elasticidade, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos 
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Elementos Finitos” (M. E. F.). Na análise foram considerados a profundidade de 20,0m e o 
afastamento do eixo central da carga circular (com 6,0m de diâmetro) em 12,0m. 
Observa-se que os maiores valores ocorrem nas proximidades do carregamento, 
região com maiores deformações. Nesta região, devido o nível elevado de tensões, poderá 
desenvolver tensões cisalhantes elevadas, podendo levar à ruptura do solo, dependendo da 
resistência ao cisalhamento do solo, como será visto nas Unidades 04 e 05 deste curso. 
 
3 m Footing
100 kPa
 7
 
 1
4 
 
 2
1 
 2
8 
 3
5 
 42
 
0 2 4 6 8 10 12
El
ev
at
io
n 
(m
et
re
s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
Figura 2. 22 - Aspecto da distribuição das tensões verticais, devidas ao peso 
próprio e ao carregamento externo, que ocorrem no subsolo do terreno carregado. 
 
 Em termos de diagrama final de tensões verticais totais, como pode ser visto o seu 
aspecto na figura 2. 23 (considerado o carregamento da figura anterior, no eixo, em uma 
única camada), tem-se a sobreposição dos efeitos (soma) das tensões (c), devidas ao peso 
próprio dos solos (a) e devidas ao carregamento aplicado (b). 
 
 
Figura 2. 23 - Sobreposição dos efeitos das tensões de peso própio e carregamento. 
 51