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���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� �������������������������������������������������������������������� �������������� �� �������� ��������������������� ��� ����������� ����������������������� As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”. b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� �������������������������������������������������������������������� Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0,1333... 0,04353535... 0,327215215215... Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição. � Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0,333... Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 10X = 10 x 0,333... = 3,333... Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 10X – X = 3,333... – 0,333... Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 9X = 3 3 1 9 3 X = = Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 1 3 X = . Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� �������������������������������������������������������������������� 999000X = 1327215 – 1327 999000X = 1325888 1325888 999000 X = Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 15 + 6 = 21 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 728 +46 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: 1 728 +46 4 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 728 +46 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� �������������������������������������������������������������������� 74 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 728 +46 774 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. - propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros ou racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. - propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. - elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. - propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a soma de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros e racionais 2 e 5 gera o número inteiro e racional 7 (2 + 5 = 7). b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9 – 5 = 4 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a operação 365 – 97: 365 - 97 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 365 - 97 8 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 365 - 97 68 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade naoperação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: 365 - 97 268 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado. Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. - propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. - propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A - elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2. - propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros ou racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. - elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 57 x 13 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 2 57 x 13 1 Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 57 x 13 171 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 57 x 13 171 7 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 57 x 13 171 57 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� x 13 171 570 741 Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: - propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). - propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional, e a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35). - propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 715 |18 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 715 |18 3 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 715 |18 -54 3 17 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 715 |18 -54 3 175 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: 715 |18 -54 39 175 -162 13 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 715 = 18 x 39 + 13 Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Portanto,se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� - propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. - propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. - propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros e números racionais. A divisão de números racionais possui a propriedade do fechamento, pois ela SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). Já a divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros. OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não- exata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda. - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 13,47 + 2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 13,47 + 2,9 16,37 b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 13,47 - 2,9 10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. c) Multiplicação de números decimais: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo: 13,47 x 2,9 12123 + 26940 39,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais: 3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 – 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12 f) 0,898 – 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8 1.1.1 Números primos e fatoração Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados abaixo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração. Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2,que é o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo: Número Fator primo 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Logo, 24 = 23 x 3 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: Número Fator primo 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Número Fator primo 1001 7 143 11 13 13 1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 1.1.2 Múltiplos e divisores de números naturais Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de divisibilidade). Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos seguintes passos: 1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos dois números, de maior expoente. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5÷ = , portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3. Logo, MDC = 23 = 8); Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, fatorando os números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com exemplos: a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Nosso objetivo é dividir os números até ambos ficarem iguais a 1. Veja: 30 40 Fator primo 30/2 = 15 40/2 = 20 2 15 (não dá p/ dividir por 2) 20 / 2 = 10 2 15 (não dá p/ dividir por 2) 10 / 2 = 5 2 15 / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 3) 3 5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 MMC = 23 x 3 x 5 = 120 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 1.1.4 Potenciação Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe o exemplo abaixo: 35 5 5 5 125= × × = (lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”) Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 42 2 2 2 2 16= × × × = (“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicadopor ele mesmo 4 vezes”) Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer que: 0 0 0 5 1 ( 25) 1 0,3 1 = − = = b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 30 0 0 0 0= × × = c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar 2 34 4× . Normalmente você faria assim: × = × × × × =2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: +× = = =2 3 2 3 54 4 4 4 1024 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Assim, observe que uma redução de 12% corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,88, ou seja, por 88%. Da mesma forma, um aumento de 25% levaria os 100 reais a: Preço final = 100 + 25% x 100 = 125 reais Ou seja, aumentar em 25% corresponde a multiplicar o valor inicial por 1,25. Em termos gerais: - para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%); - para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%). Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se na semana anterior à Black Friday elevarmos o preço em 25%, o novo preço será: 250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais Se na Black Friday dermos um “mega desconto” de 30%, chegamos a: 312,50 x (1 – 30%) = 312,50 x 0,70 = 218,75 reais (veja que podemos anunciar: de R$312,50 por R$218,75!!) Veja que poderíamos ter feito as duas operações de uma vez, para chegar diretamente no preço final, assim: 250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais Repare que, no fim das contas, vendemos por 0,875 vezes o preço inicial, ou 87,5% do preço inicial. Assim, o desconto real foi de apenas 12,5%. Vamos exercitar um pouco? ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 1. FCC – MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja, está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de a) 37% b) 36% c) 35% d) 34% e) 33% RESOLUÇÃO: Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% ela está sendo vendida pelo preço promocional abaixo: Preço Promocional = T – 12%T = T – 0,12T = 0,88T Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço promocional, ele deve pagar: Preço para Cláudio = Preço Promocional – 25% do Preço Promocional Preço para Cláudio = 0,88T – 25% x 0,88T Preço para Cláudio = 0,88T – 0,25 x 0,88T = 0,66T Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da televisão, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%. Resposta: D 2. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir: I – 6 é maior do que 5 2 II – 0,555... é um número racional III – Todo número inteiro tem um antecessor Assinale: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 0 25 0 26 Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 possibilidades para x+y. Entretanto, devemos excluir a última (x = 25 e y = 0), pois o enunciado disse que tanto x quanto y devem ser números inteiros positivos (e o zero não é considerado um número natural positivo, lembra-se?). Assim, ficam 8 possibilidades válidas. Resposta: C. 8. FCC – TRT/1ª – 2011) Sejam x e y números naturais, e ∆ e � símbolos com os seguintes significados: - x ∆ y é igual ao maior número dentre x e y, com x y≠ ; - x � y é igual ao menor número dentre x e y, com x y≠ ; De acordo com essas regras, o valor da expressão [64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]}∆ ∆ ∆� � � é: a) 92 b) 78 c) 64 d) 43 e) 21 RESOLUÇÃO: Devemos lembrar aquela regra básica para resolução de equações matemáticas: primeiro resolvemos o que está entre parênteses (), depois entre colchetes [], e por fim o que está entre chaves {}. Assim, efetuando as operações ∆ e � como definidas no enunciado, veja os passos abaixo: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� por 5 e 7. As outras possibilidades para o número de projetos são os demais múltiplos comuns entre 5 e 7. Você pode encontrá-los simplesmente buscando os múltiplos de 35, que é o MMC (5,7). Portanto: Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245... Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 7, exceto naquele entre 150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é que o número de projetos NUNCA poderia estar. Resposta: D 12. FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de um banco dividiu as agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão, porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agências de cada grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município é (A) 15. (B) 19. (C) 20. (D) 24. (E) 25. RESOLUÇÃO: O número de agências deve ser tal que: - seja múltiplo de 5 (pois não deixa resto ao ser dividido por 5); - dividido por 3, tenha resto 1. Os múltiplos de 5 encerram em 0 ou 5. Portanto, podemos eliminar as alternativas B e D. Analisando as demais alternativas, veja que 15 é divisível por 3 (não deixa resto), e 20 dividido por 3 deixa resto 2. Já 25 dividido por 3 deixa resto 1, sendo este o nosso gabarito. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Resposta: E 13. FCC – BANESE – 2012) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura da Copa de 2014 ocorrerá em (A) uma quarta-feira. (B) uma quinta-feira. (C) uma sexta-feira. (D) um sábado. (E) um domingo. RESOLUÇÃO: Observe que 785 dias separam os 2 eventos. Como cada semana tem 7 dias, podemos dividir 785 por 7 para sabermos quantas semanas existem entre as duas datas. Efetuando esta divisão, temosresultado (quociente) igual a 112 e resto igual a 1. Portanto, entre as duas datas temos 112 semanas completas e mais 1 dia. Se tivéssemos exatas 112 semanas, poderíamos afirmar que o dia 12 de junho de 2014 (abertura da Copa) seria uma sexta-feira, pois o dia 5 de agosto de 2016 é este. Entretanto, como temos mais 1 dia entre as duas datas, isto significa que a abertura da Copa ocorrerá um dia da semana antes, ou seja, em uma quinta-feira. Resposta: B 14. FCC – TCE/AP – 2012) Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais dígitos aparecendo exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129 212 921 são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891 para que se obtenha como resultado um número tricíclico é (A) 1 109. (B) 3 129. (C) 6 972. (D) 13 230. (E) 23 331. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Com isso em mãos, vamos fazer as comparações do enunciado: (A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00. A caixa III custa 780 reais, e três caixas I custam 3x300 = 900 reais. Assim, a economia é de 900 – 780 = 120 reais, e não 150. ERRADO. (B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00. A caixa V custa 1320 reais, e seis caixas I custam 6x300 = 1800 reais. Assim, a economia é de 1800 – 1320 = 480 reais, e não 450. ERRADO. (C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00. A caixa IV custa 960 reais, e quatro caixas I custam 4x300 = 1200 reais. Assim, a economia é de 1200 – 960 = 240 reais, e não 250. ERRADO. (D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00. A caixa V custa 1320 reais, e duas caixas III custam 2x780 = 1560 reais. Assim, a economia é de 1560 – 1320 = 240 reais, e não 200. ERRADO. (E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00. A caixa IV custa 960 reais, e duas caixas II custam 2x560 = 1120 reais. Assim, a economia é de 1120 – 960 = 160 reais, como dito nesta alternativa. CORRETO. Resposta: E 16. FCC – SPPREV – 2012) Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. Considerando que todos estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é (A) 9. (B) 16. (C) 24. (D) 36. (E) 40. RESOLUÇÃO: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Cada um de seus 4 filhos de Dona Arminda teve 3 filhos, de modo que ela possui 4 x 3 = 12 netos. Cada um dos 12 netos teve 2 filhos, de modo que ela teve 9 x 2 = 24 bisnetos. Portanto, Dona Arminda tem 4 filhos, 12 netos e 24 bisnetos, totalizando 40 descendentes. Resposta: E 17. FCC – SPPREV – 2012) Pensei em um número e dele − subtraí 3 unidades; − multipliquei o resultado por 5; − somei 9 unidades; − obtive 24 como resultado. É correto afirmar que o quadrado desse número é (A) 1. (B) 4. (C) 16. (D) 25. (E) 36. RESOLUÇÃO: Seja N o número pensado. Façamos as operações: − subtraí 3 unidades: Com isso, temos N – 3. − multipliquei o resultado por 5; Até aqui temos 5 x (N – 3). − somei 9 unidades; Chegamos a 5 x (N – 3) + 9. − obtive 24 como resultado. Portanto, 24 = 5 x (N – 3) + 9 24 – 9 = 5N – 15 30 = 5N ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� N = 6 Logo, o quadrado deste número é 62 = 36. Resposta: E 18. FCC – MPE/PE – 2012) Para realizar uma determinada tarefa, uma empresa contrata quatro funcionários e aluga um equipamento cujo valor do aluguel é determinado por lotes de tempo de sua utilização. Não há possibilidade de se pagar fração de lotes. Por exemplo: se o equipamento for utilizado durante 3 lotes e um terço de lote será cobrado o equivalente a 4 lotes de tempo de utilização. Sendo assim, os funcionários resolveram trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo imediatamente após o outro. O primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro terços de um lote; o segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo que o segundo havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a terça parte do tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do serviço destinou a quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários que realizassem a tarefa. O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo despendido em serviço pelos quatro funcionários individualmente. O número de lotes que serão cobrados pelo uso desse equipamento é: (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8. RESOLUÇÃO: Seja L o símbolo de um lote. Segundo o enunciado, o primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro terços de um lote, isto é, 4 3 L . O segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia trabalhado, ou seja, 3 4 4 3 L L× = � ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos deverão conter a mesma quantidade de funcionários e que todos os funcionários de cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a menor quantidade de grupos que poderão ser formados é um número (A) menor que 4. (B) primo. (C) divisível por 3. (D) par. (E) maior que 8. RESOLUÇÃO: Veja que 60% de 60 é igual a 60% x 60 = 0,6 x 60 = 36 funcionários. Portanto, temos 36 funcionários de Florianópolis e 24 (60 – 36) de Chapecó. Se queremos dividir os funcionários de cada agência em grupos de mesmo tamanho, precisamos de um divisor comum entre 36 e 24. E se esses grupos devem ser a menor quantidade possível, eles devem ter o máximo de pessoas possível. Ou seja, precisamos do máximo divisor comum entre 36 e 24. Decompondo cada um desses números em fatores primos, temos: 24 = 23 x 3 36 = 22 x 32 O MDC (24,36) é formado pelos fatores comuns de menor expoente, ou seja: MDC (24, 36) = 22 x 3 = 12 Portanto, devemos formar grupos de 12 pessoas. Assim, os 24 funcionários de Chapecó serão divididos em 2 grupos, e os 36 de Florianópolis em 3 grupos, totalizando 5 grupos. Como 5 é um número primo, temos a alternativa B. Resposta: B ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 24. FCC – TRT/4ª – 2011) Relativamente aos 75 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram certo dia de um seminário sobre Primeiros Socorros, sabe-se que: - no período da manhã, 48% do total de participantes eram do sexo feminino; - todas as mulheres participaram do início ao fim do seminário; - no período da tarde foi notada a ausência de alguns funcionários do sexo masculino e, assim, a quantidade destes passou a ser igual a 3/7 do total de participantes na ocasião. Nessas condições, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é: a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 RESOLUÇÃO:Aqui, o total de funcionários é 75, e o percentual de mulheres no período da manhã era 48%. Portanto, a quantidade de mulheres (quantia de interesse) pode ser calculada lembrando que: quantia de interesse = porcentagem total× mulheres = 48% 75 = 0,48 75 = 36× × Se haviam 36 mulheres no total de 75 funcionários, o restante eram homens: 75 – 36 = 39 homens Assim, pela manhã haviam 39 homens presentes, que representavam 52% (100% - 48%) do total de funcionários. Com a saída de H homens à tarde, os homens passaram a ser 3/7 do total. Os homens que restaram eram 39 – H, e as mulheres que restaram eram 36. Assim: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� quantia de interessePorcentagem = 100% total 3 39 = 7 (39 ) 36 3 [(39 ) 36] 7 (39 ) 3 [75 ] 273 7 225 3 273 7 4 48 12 H H H H H H H H H H × − − + × − + = × − × − = − − = − = = Portanto, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é H = 12. Resposta: E 25. FCC – TRF/1ª – 2011) Na compra de um computador, um Técnico recebeu um desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a a) 2000 b) 2050 c) 2100 d) 2105 e) 2110 RESOLUÇÃO: Se o técnico recebeu desconto de 10% sobre o preço M do primeiro computador, ele pagou: M – 10% de M = M – 10%M = M – 0,1M = 0,9M Para comprar o segundo computador, foi dado de entrada o primeiro, com prejuízo de 10% em relação ao valor pago. Isto é, o primeiro computador foi entregue pelo preço P abaixo: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� P = 0,9M – 10% x 0,9M = 0,9M – 0,09M = 0,81M Para pagar os 2370 reais do segundo computador, foi entregue o primeiro computador (pelo valor 0,81M) e mais 3 parcelas de 250 reais. Portanto: 2370 = 0,81M + 3 x 250 0,81M = 1620 M = 2000 Resposta: A 26. FCC – Banco do Brasil – 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de: (A) 20%. (B) 18,4%. (C) 18%. (D) 15,2%. (E) 15%. RESOLUÇÃO: Se em 2008 as ações sofreram valorização de 20%, o seu valor ao final deste ano foi: P2008 = 8000 + 20%x8000 = 9600 Já em 2009 essas ações sofreram desvalorização de 20% em relação ao valor do ano anterior, isto é, em relação a 9600. Assim, o valor no final de 2009 foi: P2009 = 9600 - 20%x9600 = 7680 Em 2010, voltaram a valorizar 20% em relação ao ano anterior: P2010 = 7680 + 20%x7680 = 9216 ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Assim, ao longo desses três anos as ações foram de 8000 para 9216 reais. A valorização percentual, em relação ao valor inicial (8000), foi de: 9216 1 0,152 15,2% 8000 − = = Resposta: D 27. FCC – Banco do Brasil – 2010) As estatísticas da Campanha Nacional de Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430 pessoas, o número delas que usam protetor solar é (A) 24 101 (B) 15 307 (C) 13 725 (D) 12 483 (E) 10 329 RESOLUÇÃO: Se 70% não usam proteção solar, então 30% usam. Como o total de entrevistados é de 34430 pessoas, então: Usam proteção = 30% de 34430 pessoas Usam proteção = 30% x 34430 Usam proteção = 0,30 x 34430 = 10329 pessoas Resposta: E 28. FCC – Banco do Brasil – 2011) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL, respectivamente, são (A) 6 e 6. (B) 5 e 7. (C) 4 e 8. (D) 3 e 9. (E) 2 e 10. RESOLUÇÃO: Sejam X o número de frascos de 100mL vendidos na quarta-feira, e Y o número de frascos de 250mL vendidos na segunda-feira. Considerando apenas os números apresentados na tabela, sabemos que foram vendidos 5+5+5 = 15 frascos de 20mL, 10+2 = 12 frascos de 100mL e 4+2 = 6 frascos de 250mL. Assim, ao todo temos: 15 + 12 + 6 = 33 frascos Como o total é de 45 frascos, então faltam 12 frascos. Logo, X + Y = 12 frascos ou seja, Y = 12 – X O volume total dos frascos que aparecem na tabela é dado pela multiplicação das quantidades (15, 12 e 6 frascos) pelos volumes de cada tipo de frasco (20, 100 e 250mL). Assim, Volume total = 15 x 20 + 12 x 100 + 6 x 250 = 3000mL Como o total vendido foi de 5400mL, faltam 2400mL. Logo, o volume dos frascos X e Y somam 2400mL: 2400 = X x 100 + Y x 250 Como Y é igual a 12 – X, podemos efetuar esta substituição na equação acima: 2400 = 100X + 250Y 2400 = 100X + 250 x (12 – X) ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 2400 = 100X + 3000 – 250X 250X – 100X = 3000 – 2400 150X = 600 X = 600 / 150 = 4 frascos Portanto, Y = 12 – X = 12 – 4 = 8 frascos. Resposta: C 30. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50 centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (E) 4. RESOLUÇÃO: Seja G o número de moedas grandes (50 centavos) e P o número de moedas pequenas (25 centavos). Ao todo temos 31 moedas: 31 = P + G P = 31 – G O valor dessas moedas soma 12 reais: 12 = 0,50 x G + 0,25 x P Multiplicando os membros da última equação por 4: 48 = 2G + P 48 = 2G + (31 – G) G = 17 moedas Assim, P = 31 – 17 = 14 moedas Portanto, temos 3 moedas de 50 centavos a mais do que de 25 centavos. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Resposta: D � 31. FCC – TRT/9ª – 2013) Em uma loja de bijuterias, todos os produtos são vendidos por um dentre os seguintes preços: R$ 5,00, R$ 7,00ou R$ 10,00. Márcia gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos um produto de cada preço. Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de produtos que Márcia pode ter comprado são, respectivamente, iguais a (A) 9 e 10. (B) 8 e 11. (C) 8 e 10. (D) 9 e 13. (E) 7 e 13. RESOLUÇÃO: Como é necessário comprar pelo menos 1 produto de cada preço, temos que gastar 5 + 7 + 10 = 22 reais adquirindo 3 produtos, restando ainda 43 reais. Para calcular o número máximo de produtos que podem ser adquiridos com 43 reais, devemos priorizar os mais baratos, ou seja, os de 5 reais. Assim, seria possível adquirir 8 itens de 5 reais cada, totalizando 40 reais – porém assim há uma sobra de 3 reais. Para não haver sobra, dado que foram gastos exatamente 65 reais na loja, devemos combinar produtos de diferentes preços. Assim, podemos buscar uma combinação de N produtos de 5 reais e M produtos de 7 reais que totalize 43 reais, isto é, que obedeça à equação: N x 5 + M x 7 = 43 Você verá que, para N = 3, temos M = 4, totalizando 3 + 4 = 7 produtos. Assim, além dos 3 produtos comprados inicialmente (para cumprir a regra de 1 produto de cada tipo), podemos comprar mais 7, totalizando 10 produtos, e gastando exatamente 65 reais. Este é o número máximo. Para o mínimo, devemos priorizar os produtos mais caros. Assim, após gastar 22 reais comprando um produto de cada tipo, devemos distribuir os 43 reais restantes priorizando os produtos mais caros. Em relação ao caso anterior, onde usamos os 43 reais para comprar 3 produtos de 5 reais e 4 de 7 reais, podemos, no máximo, substituir 2 produtos de 5 reais por 1 de 10 reais. Assim, o número mínimo de produtos comprados cai para 9, sendo: 2 de 5 reais, 5 de 7 reais e 2 de 10 reais. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Resposta: A 32. FCC – TRT/9ª – 2013) Atendendo ao pedido de um cliente, um perfumista preparou 200 mL da fragrância X. Para isso, ele misturou 20% da essência A, 25% da essência B e 55% de veículo. Ao conferir a fórmula da fragrância X que fora encomendada, porém, o perfumista verificou que havia se enganado, pois ela deveria conter 36% da essência A, 20% da essência B e 44% de veículo. A quantidade de essência A, em mL, que o perfumista deve acrescentar aos 200 mL já preparados, para que o perfume fique conforme a especificação da fórmula é igual a (A) 32. (B) 36. (C) 40. (D) 45. (E) 50. RESOLUÇÃO: No perfume montado inicialmente, temos 40mL de A (20% de 200mL), 50mL de B (25%) e 110mL de veículo (55%). Seja Q a quantidade da essência A que devemos inserir para que o perfume fique com 36% de A. Assim, a quantidade de A na mistura final passa a ser de 40mL + Q, e o volume total da mistura final passa a ser 200mL + Q. Ou seja: 36% = (40 + Q) / (200 + Q) 0,36 x (200 + Q) = 40 + Q 72 + 0,36Q = 40 + Q 32 = 0,64Q Q = 50mL Resposta: E 33. FCC – TRT/9ª – 2013) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais. Todos os demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação, o total de aprovados na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos matriculados nessa disciplina é igual a ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 36. FCC – TRT/1ª – 2013) Em uma escola privada, 22% dos alunos têm bolsa de estudo, sendo os demais pagantes. Se 2 em cada 13 alunos pagantes ganharem bolsa de estudo, a escola passará a contar com 2.210 alunos bolsistas. Dessa forma, o número atual de alunos bolsistas é igual a (A) 1.430. (B) 340. (C) 910. (D) 1.210. (E) 315. RESOLUÇÃO: Seja N o total de alunos. Assim, sabemos que 0,22N são bolsistas e 0,78N são pagantes. Se 2/13 dos 0,78N pagantes ganharem bolsa, o total de bolsistas passará a ser de: Bolsistas = 0,22N + (2/13) x 0,78N 2210 = 0,22N + 0,12N 2210 = 0,34N N = 6500 alunos O número atual de bolsistas é: 0,22N = 0,22 x 6500 = 1430 alunos Resposta: A 37. FCC – TRT/1ª – 2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo, (A) 5. (B) 6. (C) 19. (D) 500. (E) 600. RESOLUÇÃO: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 52H + 52M = 55H + 48M 4M = 3H H/M = 4/3 Resposta: A 39. FCC – TRT/1ª – 2013) Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de (A) 10%. (B) 12%. (C) 15%. (D) 18%. (E) 21%. RESOLUÇÃO: Seja x o preço de compra do apartamento X e y o preço de compra do apartamento Y. Após vender o apartamento Y, o investidou ficou com 1,4y, devido ao ganho de 40% nesta transação. Foi dito ainda que 1,4y (valor de venda do apto. Y) corresponde a 1,61x (ou seja, um lucro de 61% em relação ao valor inicial x da primeira transação). Assim: 1,4y = 1,61x y = 1,15x Portanto, na primeira transação o investidor adquiriu o apartamento X pelo valor x e o revendeu por y, isto é, por 1,15x. Assim, obteve um lucro de 15% nesta primeira transação. Resposta: C 40. FCC – TRT/1ª – 2013) Considere a sequência de operações mentais descrita abaixo. I. Escolha um número positivo N. II. Some N com a sua metade. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� (B) 1836. (C) 1825. (D) 1841. (E) 1848. RESOLUÇÃO: Seja AB o número formado pelos dois últimos dígitos do ano de nascimento de Alberto. Por exemplo, se Alberto nasceu em 1850, então AB = 50. A idade de Alberto em 1872 é igual ao número formado pelos dois dígitos do ano em que nasceu, ou seja, em 1872 Alberto completa AB anos. Por outro lado, a idade é dada pela subtração entre o ano de 1872 e o ano de nascimento, que pode ser escrito como 1800 + AB. Assim, Idade = 1872 – Ano de nascimento AB = 1872 – (1800 + AB) AB = 1872 – 1800 – AB 2 x AB = 72 AB = 72 / 2 AB = 36 Portanto, Alberto nasceu em 1836, de modo que fez 5 anos em 1841. Resposta: D 43. FCC – TRT/18ª – 2013) Para montar um tipo de enfeite de mesa para festas de casamento, uma empresa de eventos utiliza um pequeno vaso, quatro flores artificiais e uma vela colorida. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada vela R$ 1,20. O custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento, em reais, é igual a (A) 140,00. (B) 157,50. (C) 175,00. (D) 192,50. (E) 210,00. RESOLUÇÃO: Um enfeito é composto por 1 vaso, 4 flores e 1 vela. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada vela R$ 1,20. Logo, o custo de um enfeite é:���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 2ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (14 dias até aqui) 3ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (21 dias até aqui) 4ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (28 dias até aqui) 5ª semana: Domingo, Segunda (30 dias – final do mês) Portanto, o último dia de Abril é uma segunda-feira, de modo que o 1º dia de Maio será uma terça-feira. Resposta: B 48. FCC – TRF/2ª – 2012) Uma operação λ �é definida por: 1 6w wλ = − , para todo inteiro w. Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma ( )2 1 λλ λ+ é igual a: a) -20 b) -15 c) -12 d) 15 e) 20 RESOLUÇÃO: Utilizando a definição dada no enunciado ( 1 6w wλ = − ), temos que: 2 1 6 2 11λ = − × = − � 1 1 6 1 5λ = − × = − � ( ) ( )1 5 1 6 ( 5) 31λ λλ = − = − × − = Portanto, ( )2 1 11 31 20λλ λ+ = − + = � Resposta: E 49. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e saída das pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que: - o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte do total de visitantes da semana inteira; ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 50.FCC – TRF/2ª – 2012) Suponha que, no dia 15 de janeiro de 2011, um sábado, Raul recebeu o seguinte e-mail de um amigo: “Este é um mês especial, pois tem 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras e isso só ocorrera novamente daqui a 823 anos. Repasse esta mensagem para mais 10 pessoas e, dentro de alguns dias, você receberá uma boa notícia.” Tendo em vista que é aficionado em Matemática, Raul não repassou tal mensagem pois, após alguns cálculos, constatou que a afirmação feita na mensagem era falsa. Assim sendo, lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, Raul pode concluir corretamente que o próximo ano em que ocorrência de 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras acontecerá no mês de janeiro será: (A) 2022. (B) 2021. (C) 2020. (D) 2018. (E) 2017. RESOLUÇÃO: Janeiro tem 31 dias. Dividindo por 7, temos quociente 4 e resto 3. Isto é, temos 4 semanas inteiras e mais 3 dias. Portanto, cada dia da semana se repetirá 4 vezes, e, além disso, teremos mais 1 repetição de 3 dias da semana, totalizando 5 repetições para estes últimos. Para termos a 5ª repetição do sábado, domingo e segunda, é preciso que o mês comece em um sábado. Por que? Pois iniciando neste dia, nos primeiros 28 dias do mês teremos 4 semanas completas, iniciando em sábados e terminando em sextas-feiras. Nos 3 últimos dias, teremos mais um sábado, mais um domingo e mais uma segunda, totalizando as 5 repetições de cada um desses dias. Portanto, basta que janeiro comece em um sábado para que o mês seja “especial”, como disse o enunciado. Como foi dito, isto ocorreu em 2011. Em que dia da semana começará o mês de janeiro do ano seguinte (2012)? Ora, 2011 não é bissexto, tendo 365 dias. Dividindo por 7, temos quociente 52 e resto 1, o que nos indica que temos 52 semanas completas e mais 1 dia. Como janeiro de 2011 começou em um sábado, teremos 52 semanas começando em sábados e terminando em sextas-feiras, e mais 1 dia – um sábado – de modo que o ano de 2012 começará em um domingo. Ou seja, de um ano para o outro, tivemos o ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� “avanço” de 1 dia da semana. Em que dia começará 2013? Uma segunda-feira? Não, pois 2012 é bissexto (veja que 2012 é múltiplo de 4). Assim, 2012 tem 366 dias, ou seja, 52 semanas e mais 2 dias. Portanto, como este ano começou em um domingo, teremos 52 semanas começando em domingos e terminando em sábados e mais dois dias – um domingo e uma segunda – de modo que 2013 começará em uma terça-feira. Prosseguindo, temos: - 2014: começará em uma quarta-feira (avançamos 1 dia, pois 2013 não é bissexto) - 2015: começará em uma quinta-feira (avançamos 1 dia, pois 2014 não é bissexto) - 2016: começará em uma sexta-feira (avançamos 1 dia, pois 2015 não é bissexto) - 2017: começará em um domingo (avançamos 2 dias, pois 2016 é bissexto!!!) - 2018: começará em uma segunda-feira (avançamos 1 dia, pois 2017 não é bissexto) - 2019: começará em uma terça-feira (avançamos 1 dia, pois 2018 não é bissexto) - 2020: começará em uma quarta-feira (avançamos 1 dia, pois 2019 não é bissexto) - 2021: começará em uma sexta-feira (avançamos 2 dias, pois 2020 é bissexto!!!) - 2022: começará em um sábado (avançamos 1 dia, pois 2021 não é bissexto) Portanto, veja que 2022 começará em um sábado, de modo que o mês de janeiro terá 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas. Resposta: A 51. FCC – BANESE – 2012) Uma pesquisa feita no início de 2011 revelou que 2 em cada 3 sócios de um clube são a favor das escolinhas de esportes oferecidas às crianças. Ao longo de 2011, o clube não perdeu nenhum associado e ainda aumentou o total de sócios em 50%. Dentre os novos sócios, que ingressaram no clube em 2011, 5 em cada 6 são a favor das escolinhas de esportes. Considerando que nenhum associado antigo mudou de opinião, eram a favor das escolinhas de esportes ao final de 2011 (A) 3 em cada 4 sócios. (B) 4 em cada 5 sócios. (C) 7 em cada 10 sócios. (D) 11 em cada 16 sócios. (E) 13 em cada 18 sócios. RESOLUÇÃO: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Neste mesmo período, temos 3 intervalos de 15 minutos. Como a cada intervalo 1/3 das mulheres saem, sobram 2/3 das mulheres, ou seja, o número de mulheres é multiplicado por 2/3. Assim, o número de mulheres passou a ser: 3 3 2 2 2 243 2 243 8243 72 3 3 3 3 27 × × × × × = = = �������� A diferença entre homens e mulheres passou a ser 72 – 14 = 58. Resposta: E 53. FCC – METRÔ/SP – 2012) Relativamente a um lote de tijolos, usado por quatro operários na construção de um muro, sabe-se que: − coube a Amilcar assentar a oitava parte e a Benício a décima parte do total de tijolos; − coube a Galileu assentar o dobro da soma das quantidades que Amilcar e Benício assentaram; − Dante assentou os restantes 468 tijolos. Nessas condições, o total de tijolos do lote é um número compreendido entre (A) 1 250 e 1 500. (B) 1 500 e 1 750. (C) 1 750 e 2 000. (D) 2 000 e 2 250. (E) 2 250 e 2 500. RESOLUÇÃO: Seja T o total de tijolos. Amilcar ficou com um oitavo, isto é, T/8. Benício ficou com um décimo, isto é, T/10. Galileu ficou com o dobro da soma entre Amilcar e Benício, ou seja, com 2 x (T/8 + T/10). Por fim, Dante ficou com 468. O total de tijolos é dado pela soma da quantidade que ficou com cada pedreiro: Total = Amilcar + Benício + Galileu + Dante T = T/8 + T/10 + 2 x (T/8 + T/10) + 468 2 2 468 8 10 8 10 T T T TT = + + + + � 80 10 8 20 16 468 80 80 80 80 80 T T T T T = + + + + � ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 26 468 80 T = � 80468 1440 26 T = × = Assim, o total de tijolosé de 1440, número que se encontra no intervalo da alternativa A. Resposta: A 54. FCC – METRÔ/SP – 2012) Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1 real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 centavos. Se Ana pretende totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8. RESOLUÇÃO: O valor total que Ana possui é: 7 x 1,00 + 48 x 0,50 + 53 x 0,25 + 29 x 0,10 = 47,15 reais Para chegar a 50 reais, faltam 50 – 47,15 = 2,85 reais. Essa quantia pode ser obtida com 2 moedas de 1 real, 1 moeda de 50 centavos, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos, totalizando 5 moedas. Resposta: B 55. FCC – METRÔ/SP – 2012) Certo dia, Alan, chefe de seção de uma empresa, deu certa quantia em dinheiro a dois funcionários − Josemir e Neuza − solicitando que fossem lhe comprar um lanche e ressaltando que poderiam ficar com o troco. Sabe-se que, na compra do lanche eles gastaram 75% da quantia dada pelo chefe e que, do troco recebido, Josemir ficou com 40%, enquanto que Neuza ficou com os R$3,75 restantes. Nessas condições, o valor pago pelo lanche comprado foi (A) R$ 15,00. ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� (B) R$ 15,75. (C) R$ 18,50. (D) R$ 18,75. (E) R$ 25,00. RESOLUÇÃO: Seja Q a quantia dada por Alan. Como eles gastaram 75% com o lanche, sobraram 25%, ou seja, 0,25Q. Josemir ficou com 40% deste valor, sobrando 60% deste valor para Neuza, ou melhor, 60% x 0,25Q = 0,6 x 0,25Q = 0,15Q. Essa quantia de Neuza corresponde a 3,75 reais, o que nos permite obter Q: 0,15Q = 3,75 Q = 3,75 / 0,15 = 25 reais Portanto, o valor do lanche foi 75% x 25 = 0,75 x 25 = 18,75 reais. Resposta: D 56. FCC – METRÔ/SP – 2012) O parágrafo seguinte apresenta parte da fala de Benê dirigida a seus amigos Carlão e Dito. − Hoje, tenho 23 anos de idade, Carlão tem 32 e Dito tem 44, mas, futuramente, quando a minha idade for igual à terça parte da soma das idades de vocês, ... Um complemento correto para a fala de Benê é (A) as nossas idades somarão 120 anos. (B) Carlão terá 36 anos. (C) Dito terá 58 anos. (D) Carlão terá 38 anos. (E) Dito terá 54 anos. RESOLUÇÃO: Imagine que daqui a N anos a idade de Benê será a terça parte da soma das idades dos demais. Nesta data, a idade de Benê será 23 + N (afinal, passaram-se N anos em relação à data presente), a idade de Carlão será 32 + N e a idade de Dito será 44 + N. Como a idade de Benê será a terça parte da soma, então: 23 + N = (32 + N + 44 + N) / 3 3 x (23 + N) = 32 + N + 44 + N 69 + 3N = 76 + 2N N = 7 anos ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Assim, nesta data Benê terá 23 + 7 = 30 anos, Carlão terá 32 + 7 = 39 anos, e Dito terá 44 + 7 = 51 anos. A soma das idades será 30 + 39 + 51 = 120. Resposta: A 57. FCC – METRÔ/SP – 2012) Um trem metropolitano partiu de um terminal da Linha 1 − Estação Tucuruvi −, com X passageiros e, após passar sucessivamente pelas Estações Parada Inglesa e Jardim São Paulo, chegou à Estação Santana com X passageiros. Sobre o trânsito de passageiros ao longo desse trajeto, sabe-se que: − na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos que embarcaram era igual a 1/6 de X; − na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da estação anterior. Nessas condições, é correto afirmar que X é um número (A) ímpar. (B) divisível por 9. (C) múltiplo de 4. (D) menor que 200. (E) maior que 400. RESOLUÇÃO: Vamos seguir pelas estações: − na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos que embarcaram era igual a 1/6 de X; Após passar por essa estação, restam a bordo X – 18 + X/6 passageiros, ou melhor, 7X/6 – 18. − na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da estação anterior. Após passar por esta estação, restam a bordo: 7X/6 – 18 – 106 + (7X/6 – 18) / 3 Como chegaram à Estação Santana X passageiros, podemos afirmar que: ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando- se todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a: (A) 108. (B) 45. (C) 39. (D) 36. (E) 72. RESOLUÇÃO: Temos 3 caixas grandes, com 2 caixas menores em cada, ou seja, 3 x 2 = 6 caixas menores. Dentro de cada uma dessas 6 caixas menores, temos 6 caixas menores ainda, totalizando 6 x 6 = 36 caixas menores ainda. Portanto, ao todo temos 3 caixas grandes, 6 caixas menores e 36 caixas menores ainda, totalizando 45 caixas. Resposta: B 60. FCC – MPE/PE – 2012) Quando volta a energia elétrica depois de um período sem energia, um rádio relógio elétrico reinicia a marcação do horário das 12:00. Plínio esteve ausente de sua casa por 10 horas e, ao retornar, notou que seu rádio relógio marcava 16:35, quando o horário correto deveria ser 19:40. Sabendo que a diferença de horário se deve à falta de luz em um intervalo de tempo do período em que Plínio esteve fora de casa, o horário em que se deu o início da falta de energia elétrica foi: (A) 16:05. (B) 15:05. (C) 14:05. (D) 16:35. (E) 18:35. RESOLUÇÃO: Como o relógio marcada 16:35, isto significa que a luz havia faltado exatamente 4 horas e 35 minutos antes de Plínio retornar para casa. Como o horário correto era 19:40, então “voltando” 4 horas e 35 minutos temos 15:05, que foi o horário onde houve a falta de energia. Resposta: B ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������ � ���������� �� ������� ����� ������ ��� ��!� ∀#� � � ����� ������ ��� ����������� ��� ��������������������������������������������������������������������� 61. FCC – MPE/AP – 2012) Do salário mensal de Miguel, 10% são gastos com impostos, 15% com moradia, 25% com transporte e alimentação e 10% com seu plano de saúde. Daquilo que resta, 3/8 são usados para pagar a mensalidade de sua faculdade, sobrando ainda R$ 900,00 para o seu lazer e outras despesas. O gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a (A) 210,00 (B) 360,00 (C) 450,00 (D) 540,00 (E) 720,00 RESOLUÇÃO: Seja S o salário de Miguel. Os impostos correspondem a 0,10S, a moradia a 0,15S, o transporte e alimentação a 0,25S, e o plano de saúde a 0,10S. Retirando essas parcelas do salário, resta: Restante = S – 0,10S – 0,15S – 0,25S – 0,10S = 0,40S Deste restante, 3/8, ou seja, (3/8) x 0,40S = 0,15S, são usados para a mensalidade da faculdade, sobrando 0,40S – 0,15S = 0,25S. Este valor corresponde à sobra de 900 reais: 0,25S = 900 S = 900 / 0,25 = 3600 reais Como o salário é de 3600 reais, então o gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a: 0,15S = 0,15 x 3600 = 540 reais Resposta: D 62. FCC – TCE/SP – 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido adicionando- se uma substância A a uma mistura homogênea W, composta de apenas duas substâncias X e Y. Sabe-se que: - o teor de X em W é de 60%; ���������� ����� ��� ����� �� ���� � ������
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