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Teoria da Medida e Integração
Lista 1
I. Álgebras
1. Seja Ω = (0, 1). Alguma das seguintes familias de conjuntos é uma álgebra?
a. A1 = {∅, (0, 12), (12 , 1)}.
b. A2 = {∅, (0, 1), (0, 12), (12 , 1)}.
c. A3 = {∅, (0, 1), (0, 12), [12 , 1), (0, 23 ], (23 , 1)}.
d. A4 = {∅, (0, 1), (0, 23 ], (23 , 1)}.
2. a. Seja Ω = [0, 1]. Complete a familia C1 = {∅, (0, 12 ], 1} de tal forma a obter uma
álgebra.
b. Seja Ω = {1, 2, 3}. Complete a familia C2 = {{2}, {3}} de tal forma a obter uma
álgebra.
3. Mostre que se A1 e A2 são álgebras de subconjuntos de Ω, então A1 ∩ A2 é álgebra.
4. Considere Ω = (0, 1]. Provar que
A = {A ⊂ Ω : A =
n⋃
i=1
(ai, bi], (ai, bi] ⊆ (0, 1] e a união é disjunta}
é álgebra.
5. Provar que a coleção
A = {A ⊂ Ω : A é finito ou Ac é finito}
é álgebra sobre Ω.
II. σ−Álgebras
1. Diremos que uma família C de subconjuntos de Ω é uma classe monótona se é fechada
para uniões e interseções monótonas. Ou seja, se {Ai}∞i=1, {Bi}∞i=1 ⊂ C,
A1 ⊆ A2 ⊆ · · · e B1 ⊇ B2 ⊇ · · · ,
então
∪∞i=1Ai ∈ C e ∩∞i=1 Bi ∈ C.
a. Prove que se {Cα, α ∈ I} são classes monótonas de subconjuntos de Ω, então
C =
⋂
α∈I
Cα,
é uma classe monótona.
b. Prove que uma álgebra A é σ-álgebra, e somente se, A é uma classe monótona.
c. Seja A uma familia de subconjuntos de Ω e seja Ξ(A) o conjunto de classes monóto-
nas que contém a A. Definamos C(A) = ⋂F∈Ξ(A)F como a menor classe monótona
que comtém a A. Provar que se A é álgebra, então C(A) = σ(A).
2. Suponha que F1 ⊆ F2 ⊆ F3 ⊆ . . . , onde para cada n ∈ N, Fn é uma σ-álgebra sobre
Ω. Mostre que G = ⋃∞i=1Fi é uma álgebra. Encontre um contra-exemplo para mostrar
que G não é necessariamente uma σ-álgebra.
3. Provar que a coleção
A = {A ⊂ Ω : A é finito ou Ac é finito}
não é uma σ-álgebra sobre Ω.
4. Sejam Ω um conjunto qualquer e F σ-álgebra sobre Ω. Considere C ∈ F . Provar que
FC = {C ∩A : A ∈ F} é σ-álgebra sobre C.
5. Considere Ω infinito e não enumerável. Provar que a coleção
A = {A ⊂ Ω : A é enumerável ou Ac é enumerável}
é uma σ-álgebra sobre Ω.
6. Seja F uma σ-álgebra em Ω = [0, 1] tal que [ 1n+1 , 1n ] ∈ F para n = 1, 2, .... Mostre
que:
a. {0} ∈ F .
b. { 1n : n = 1, 2, 3...} ∈ F .
c. ( 1n , 1] ∈ F para todo n.
d. (0, 1n ] ∈ F para todo n.
7. Dada uma função f : Ω→ Ω′ e A ⊆ Ω′ , defina a imagem inversa de A por f como o
conjunto f−1(A) ⊆ Ω dado por
f−1(A) = {ω ∈ Ω : f(ω) ∈ Ω′}.
Do mesmo modo, dada uma coleção F ′ de subconjuntos de Ω′, então
f−1(F ′) = {f−1(A);A ∈ F ′}.
Deste modo, mostre que
a. f−1(σ(F ′)) é σ-álgebra em Ω.
b. σ(f−1(F ′)) = f−1(σ(F ′)).
8. Mostre que a σ-álgebra de Borel sobre R, BR, é gerada por cada uma das seguintes
familias de conjuntos:
a. A1 = {(a, b) : a < b, a, b ∈ R}.
b. A2 = {[a, b] : a < b, a, b ∈ R}.
c. A3 = {[a, b) : a < b, a, b ∈ R}.
d. A4 = {(a,∞) : a ∈ R}.
e. A5 = {(−∞, a) : a ∈ R}.
f. A6 = {[a,∞) : a ∈ R}.
g. A7 = {(−∞, a] : a ∈ R}.
9. É possível que uma σ-álgebra infinita seja enumerável? O que podemos afirmar sobre
a cardinalidade de uma σ-álgebra infinita?
III. Limite superior e inferior
Seja A1, A2, ... uma sequência de subconjuntos de Ω. Definimos o limite superior e inferior
da sequência de conjuntos por
lim sup
n→∞
An =
∞⋂
n=1
∞⋃
m=n
Am,
e
lim inf
n→∞ An =
∞⋃
n=1
∞⋂
m=n
Am.
1. SejaA1, A2, ... ∈ F , onde F é σ-álgebra. Mostrar que lim supn→∞An ∈ F e lim infn→∞An ∈
F .
2. a. Mostre que ω ∈ lim supn→∞An se, e somente se, ω ∈ An para infinitos índices n.
b. Mostre que ω ∈ lim infn→∞An se, e somente se, ω ∈ An para todo n a não ser, tal
vez, uma quantidade finita de índices n.
3. Mostre que:
a. lim infn→∞An ⊂ lim supn→∞An.
b. Se An ↑ A (ou An ↓ A), então lim infn→∞An = lim supn→∞An.