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a 1 5 . Como todas as razões entre os termos correspondentes das seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são diretamente proporcionais. Exemplo �1 Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)? As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse número é chamado de coeficiente de proporcionalidade. Como 5 40 = 8 64 = 12 96 = 1 8 , temos que o coeficiente de proporcionalidade é 1 8 . Grandezas inversamente proporcionais Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h. Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas. Ou seja: Velocidade média (km/h) 40 80 Tempo de percurso (h) 6 3 aumenta diminui �1 Matemática A01 Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo percurso diminui, é reduzido à metade. Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e ( 1 6 , 1 3 ) são diretamente proporcionais. Assim: 40 1 6 = 80 1 3 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 40 · 1 3 = 80 · 1 6 . A proporção formada (já simplificada) é 40 3 = 80 6 . Que tal ver mais alguns exemplos? Exemplo �� Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)? Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que: 1 1 20 = 2 2 10 = 5 1 4 = 20 . Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20. �� Matemática A01 Exemplo �� Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente proporcionais, determine os valores de m e n. Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos: m 1 2 = −4 1 n = 1 1 4 . A última razão dessa proporção múltipla é 1 1 4 = 1 · 4 1 = 4 , que é também o coeficiente de proporcionalidade. Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos: m 1 2 = 4 ⇒ m · 2 1 = 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2 −4 1 n = 4⇒ −4 · n 1 = 4⇒ −4n = 4 Multiplicando por (-1), temos: 4n = – 4 ⇒ n = –1 Assim, temos: m = 2 e n = –1. Praticando... � Responda aqui �� Matemática A01 Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais as seqüências de números: a) ( 3, 5, 9) e ( 1 15 , 1 9 , 1 5 ) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5) Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões envolvendo todo o conteúdo da presente aula. Ex er cí ci os �� Matemática A01 1.Determine a razão entre os números a) 12 e 36 b) 60 e 15 c) 3 e 2,25 d) 1,05 e 3,5 e) 5 1 2 e 2 f) 4 e 3 1 5 �. Verifi que se a razão 10 25 é igual à razão 2 10 . �. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 15 m e 12 cm b) 20 dam e 3 km c) 1 g e 5 kg d) 2 km e 0,5 m3 �. Calcule o valor de x na proporção x 5 = 2− x 3 . �5 Matemática A01 5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12. 6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos conseqüentes sejam 3 e 16. 7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x y = 9 11 . 8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os seus elementos é 1 4 . A B 4 6 12 Auto-avaliação �6 Matemática A01 Leitura complementar SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 20 jun. 2008. Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente. Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando esses conhecimentos. Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação: Escreva o conceito de razão. Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente. Const rua uma proporção que tenha coef ic iente de proporcionalidade 0,5. Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o número de operários empregados para a construção de uma casa: diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê? Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo de grandezas inversamente proporcionais. 1. �. �. �. 5. Para Consulta �7 Matemática A01 Razão: a:b ou a b (lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*. Termos da Razão: Considerando a razão a b , a é o antecedente e b é o conseqüente. Proporção: É a igualdade entre duas razões. Por exemplo: a b = c d , onde a, b, c e d são números reais diferentes de zero. Propriedade fundamental das proporções: Considerando a proporção a b = c d , temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’. Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c, temos que ad bd = bc bd , ou seja, que a b = c d . Proporção múltipla: a b = c d = . . . = m n = k ⇒ ⇒ a+ c+ . . .+m b+ d+ . . .+ n = a b = c d = . . . = m n = k Outras propriedades das proporções: I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma proporção a+ c b+ d = a c ou a+ c b+ d = c d II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de uma proporção a− c b− d = a b ou a− c b− d = c d �8 Matemática A01 III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo antecedente a+ c b+ d = a c ou a+ c b+ d = c d V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo conseqüente a+ b b = c+ d d ou a− b b = c− d d Referências CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003. SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática. São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).
