RAZAO E PROPORÇÃO

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01
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Razão, proporção e 
grandezas proporcionais
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfi co
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Diagramação
Ivana Lima
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Arte e ilustração
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Adaptação para o Módulo Matemático
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EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá 
por aqu
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1
Matemática A01
Olá! Estamos iniciando os nossos estudos em Matemática. Em nosso material impresso, você 
verá alguns tópicos que lhe darão uma visão panorâmica de várias partes da Matemática, 
como a Geometria, a Álgebra e a Matemática Financeira, envolvidas em situações comuns 
da Segurança do Trabalho. Esse conteúdo será apresentado em 12 aulas. 
Em nossa primeira aula, vamos abordar os conceitos de razão, proporção e de grandezas 
proporcionais que aqui se apresentam traduzidos na linguagem matemática para que 
possamos ampliá-los (inclusive estudando suas propriedades) e utilizá-los na resolução 
de algumas situações escritas nessa linguagem. 
Os conceitos de razão e proporção são utilizados em vários aspectos de nosso cotidiano. 
Os exemplos aqui desenvolvidos abordarão alguns desses aspectos, porém você poderá 
enriquecer o seu estudo, pesquisando sobre outras situações, quer sejam na Matemática, 
quer sejam em outras áreas nas quais esses conhecimentos podem ser aplicados, a 
exemplo de áreas profissionais como a de Construção Civil.
O estudo das grandezas proporcionais é utilizado quando observamos duas grandezas 
relacionadas entre si, de modo que, quando uma sofre alguma alteração a outra 
também varia. De acordo com a lei que define a relação entre essas duas grandezas 
é que podemos descrevê-las como grandezas diretamente proporcionais ou 
grandezas inversamente proporcionais.
Na aula 2, você estudará sobre regra de três simples e regra de três composta. Nas aulas 3 e 
4, as diversas unidades de medidas. Já na aula 5, você terá a oportunidade de estudar sobre 
o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas e, na aula 6, sobre cálculo de volume 
de alguns sólidos geométricos. Nas aulas 6 e 7, você verá alguns tópicos de Matemática 
Financeira, como fazer conversões monetárias, o cálculo de porcentagens, lucro ou prejuízo, 
acréscimos e descontos sucessivos, como também o cálculo de juros simples e juros 
compostos. E nas aulas 11 e 12, estudará um pouco sobre funções.
Para exercitar o seu raciocínio, disponibilizamos algumas atividades, ao longo do conteúdo, 
que servem para você aplicar imediatamente o conhecimento adquirido em cada bloco do 
assunto estudado. Também disponibilizamos para você uma série de exercícios ao final 
de todo o conteúdo, envolvendo questões de todo o estudo realizado até aqui, em um só 
bloco. Se, após resolver todas essas questões, você perceber que há necessidade de rever 
alguns dos itens estudados, refaça os exercícios nos quais sentiu mais dificuldade e, se for 
o caso, entre em contato com o tutor em seu pólo de apoio presencial. Ele lhe encaminhará 
para o atendimento pelo tutor a distância ou pelo professor da disciplina.
�
Matemática A01
Objetivo
Entender o que é razão e proporção, aprendendo a identificar 
seus elementos. 
Saber estimar um valor desconhecido de uma proporção, utilizando-
se adequadamente de uma ou mais propriedades das proporções.
Entender de que maneira são conceituadas grandezas em 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Aplicar as propriedades das grandezas proporcionais (sejam direta 
ou inversamente proporcionais) para a resolução de problemas. 




É uma questão 
de proporção? 
Quando observamos uma imagem e dizemos que uma de suas partes é muito pequena em 
relação às outras, estamos dizendo que 
suas medidas não são proporcionais. 
Observe a desproporcionalidade entre as 
partes do corpo no quadro Abaporu, de 
Tarsila do Amaral, apresentada na Figura 1. 
Essa desproporcionalidade (intencional ou 
não) é percebida quando, instintivamente, 
comparamos as medidas dessa imagem 
com as de outra que tomamos como 
padrão ou, ainda, quando comparamos as 
medidas de uma das partes com as de 
outras partes dessa mesma imagem.
Na maioria dos desenhos de corpo humano, quando proporcionais, pode ser observado 
que a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça. Já 
em desenhos de corpos de crianças, a relação entre essas medidas pode variar. A altura 
total pode ser a de cinco cabeças ou menos, como vemos em alguns desenhos como o 
“Dexter” e “As Meninas Superpoderosas”, em que observamos que a altura total do corpo 
corresponde, aproximadamente, à altura de duas cabeças, em cada personagem. 
Figura 1 – Abaporu, de Tarsila do Amaral
Fo
nt
e:
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w
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n.
 2
0
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8
.
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Matemática A01
Conhecendo 
razão e proporção
Com as informações apresentadas no texto anterior, observarmos que, no desenho 
proporcional de um corpo humano, podemos estabelecer uma comparação entre as 
alturas da cabeça e do corpo.
Razão
Razão entre dois números
Nesse caso, para um corpo humano adulto, temos que a razão entre a altura da cabeça 
e a altura total do corpo é de 1 para 7, que será escrita como 
1
7
ou 1:7
De uma forma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente 
de a por b. 
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é
a
b
ou a :b, onde b = 0.
A leitura dessa razão entre a e b é: ‘a para b’ ou ‘a está para b’.
Os números a e b são os termos da razão, na qual a é o antecedente, e b o 
conseqüente (sendo b ≠ 0).
Na razão 1 : 7, o antecedente é 1 e o conseqüente é 7.
1
7
→ antecedente
→ conseqüente
Legal! Uma razão também 
pode ser simplificada. 
Olhe os exemplos 2 e 3.
�
Matemática A01
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
A razão de 2 para 5 é 
2
5
ou 2:5.
Exemplo �
A razão de 4 para 20 é 
4
20
=
4÷ 4
20÷ 4
=
1
5
ou 1:5.
Exemplo � 
A razão de 12 para 4 é 
12
4
=
12÷ 4
4÷ 4
=
3
1
= 3 .
Exemplo �
A razão entre 
1
2
e 9 é
1
2
9
=
1
2
·
1
9
=
1
18
ou 1:18.
Exemplo 5
A razão entre 5 e 2
1
3
é
5
2
1
3
=
5
7
3
= 5 ·
3
7
=
5
1
·
3
7
=
15
7
ou 15:7.
5
Matemática A01
Razão entre duas grandezas
A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira 
grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero).
Se as grandezas que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos 
apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não 
apresenta unidade de medida.
Observe os exemplos:
Exemplo 6
A razão entre 12 m e 15 m é 
12m
15m
=
12÷ 3
15÷ 3
=
4
5
, ou seja, é 4 para 5.
Exemplo 7
A razãoentre 20 cm e 3 m é 
20 cm
3m
=
20 cm
300 cm
=
20÷ 10
300÷ 10
=
2÷ 2
30÷ 2
=
1
15
, ou seja, é 1 para 15.
Exemplo 8
A razão entre 15 minutos e 1 hora é 
15min
1 h
=
15min
60min
=
15
60
=
15÷ 3
60÷ 3
=
5÷ 5
20÷ 5
=
1
4
 , ou seja, é 1 para 4.
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa 
razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do conseqüente.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 9
Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3 000 rotações. A razão entre 
o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é
3 000 rotacoes
5 min
= 600 rotacoes/min.
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.
Responda aqui
Praticando...
Escala é uma das razões 
entre grandezas de mesma 
natureza. Velocidade média 
é uma das razões entre 
grandezas de naturezas 
diferentes.
1
6
Matemática A01
Exemplo 10
O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde 
trabalha, é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância 
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é .
140 km
2 h
=
140
2
km/h = 70 km/h.
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse 
deslocamento é de 70 km/h.
1. Calcule a razão entre os números:
a) 12 e 21
b) 15 e 105
c) 1,2 e 3
d) 3 e 18
5
2. Calcule a razão entre as seguintes 
grandezas:
a) 30 km e 3 l de álcool
b) 120 mm e 4 dm
c) 12 g e 4 cm3 
d) 4 200 g e 60 kg
e) 25 d e 1 me 10 d
25 d = 25 dias
1 m = 1 mês
10 d = 10 dias
LEGENDA
7
Matemática A01
Proporção
Em duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi diagnosticada 
a seguinte situação:
Filial Têm curso de informática completo Total de funcionários
A 6 8
B 9 12
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o 
número total de funcionários do escritório de cada filial é:
Filial A: 
6
8
=
6÷ 2
8÷ 2
=
3
4
Filial B: 9
12
=
9÷ 3
12÷ 3
=
3
4
Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número, 
logo podemos afirmar que 6
8
=
9
12
(ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas 
expressões é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”.
∈ pertence
ℜ* conjunto 
dos números reais 
diferentes de zero
Assim: a, b, c e d 
são números reais 
diferentes de zero.
∈ ℜ *
Praticando... �
8
Matemática A01
Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre 
os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. 
A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma 
ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.
De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, c e d), em certa 
ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja, 
se 
a
b
=
c
d
, dizemos que os números a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção. 
Termos de uma proporção 
Se a, b, c e d ∈ ℜ * e a
b
=
c
d
, dizemos que:
a, b, c e d são os termos da proporção; 
a e c são os antecedentes;
b e d são os conseqüentes;
a e d são os extremos da proporção;
b e c são os meios da proporção.





1. Indique o antecedente e o conseqüente em cada uma das razões 
a seguir:
a) 12 para 7 b) 3:20
c) 5
1
3
:
12
5
d) 
18
25
2. Destaque os extremos com e os meios com em cada proporção 
a seguir:
a) 
10
27
=
30
81
b) 
1
8
=
15
120
c) 
3
11
=
15
55
9
Matemática A01
Propriedade fundamental das proporções
Para verificar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. Na proporção 
a
b
=
c
d
, podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos conseqüentes 
das razões que a formam (b · d ou bd). Assim: 
a
b
· bd =
c
d
· bd.
Simplificando, temos: a · d = c · b ou a · d = b · c.
Diante desse resultado, podemos afirmar o seguinte:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos verificar se duas razões formam uma 
proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 11
A expressão 
2
7
=
18
63 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 63 = 126 .
O produto dos meios é: 7 . 18 = 126.
Podemos observar que 2 . 63 = 7 . 18
Resposta: 
A expressão 
2
7
=
18
63
 é uma proporção.
10
Matemática A01
Exemplo 1�
A expressão 
2
3
=
18
24
 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 24 = 48.
O produto dos meios é: 3 . 18 = 54.
Observe que 2 . 24 ≠ 3 . 18, logo dizemos que 
2
3
=
18
24
.
Resposta: 
A expressão 
2
3
=
18
24
não é uma proporção.
Exemplo 1�
Verifique se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem, 
formam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos: 
11 . 30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 . 22 = 330
Assim: 11 . 30 = 15 . 22. 
Comparando a igualdade anterior (11 . 30 = 15 . 22) e o que nos diz a 
propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios), podemos considerar 11 e 30 como sendo os extremos 
e os outros dois números como os meios dessa proporção.
Dessa forma, a proporção 
11
15
=
15
30
 é uma das proporções que podem ser 
formadas por esses números.
Resposta: Uma das proporções que podemos formar com esses quatro 
números, nessa ordem, é 11
15
=
15
30
.
Para descobrir se quatro números, em uma dada ordem, formam uma proporção, observe 
o que vem a seguir: 
11
Matemática A01
Recíproca da propriedade fundamental das proporções
Sejam a, b, c e d números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles 
seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a · d = b · c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto b · d, temos que:
ad
bd
=
bc
bd
Após a simplificação, temos:
a
b
=
c
d
Assim transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você 
também verá no exemplo a seguir.
Exemplo 1�
Escreva a igualdade 3 . 35 = 7 . 15 em forma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 . 35 = 7 . 15 pelo produto 3 . 35 . 15, 
temos: 3 · 35
35 · 15
=
7 · 15
35 · 15
.
Ao simplificarmos essa expressão, obtemos a proporção 
3
15
=
7
35
.
Cálculo de um termo desconhecido
Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, 
sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das 
proporções. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 15
Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 
3
4
=
60
x
, temos: 
3x = 4 . 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 3 ⇒ x = 80.
1�
Matemática A01
Exemplo 16
Na proporção 
2
x
=
15
120
, quando aplicamos a propriedade fundamental das 
proporções, temos: 15x = 120 . 2 ⇒ 15x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 15 ⇒ x = 16.
Transformações
Transformar uma proporção é escrevê-la com os mesmos termos em outra ordem, 
ou seja, é encontrar proporções equivalentes à proporção dada, mudando apenas a 
ordem dos termos.
Considere a proporção 
3
5
=
12
20
. Observe que a igualdade entre as razões se 
mantém quando:
alternamos os extremos: 
20
5
=
12
3
⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60; 
alternamos os meios: 
3
12
=
5
20
⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;
invertemos os termos: 
5
3
=
20
12
⇒ 5 · 12 = 3 · 20;
transpomos as razões: 
12
20
=
3
5
⇒ 12 · 5 = 20 · 3;




Proporções Múltiplas
Observe as razões 
6
14
e
15
35
. Vemos, após a simplificação, quetodas são iguais a 
3
7
.
Logo, podemos escrever 
6
14
=
15
35
=
3
7
, que é uma proporção múltipla.
1�
Matemática A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade 
entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de 
série de razões iguais. 
De forma geral:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n (onde a, b, c,..., n ∈ ℜ*) é uma proporção múltipla.
Propriedade fundamental das proporções múltiplas
Seja a proporção 
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
. Considerando que cada uma dessas razões é igual 
a um mesmo número k. Esse valor k é chamado de coeficiente de proporcionalidade 
dessa proporção.
Assim, temos:
a
b
= k,
c
d
= k, . . .
m
n
= k
Quando isolamos o valor de cada antecedente, encontramos:
a = bk, 
c = dk,
..., 
m = nk
Somando essas igualdades, membro a membro, temos:
a+ c+ . . .+m = bk + dk + . . .+ nk
a+ c+ . . .+m = k · (b+ d+ . . .+ n)
Dividindo ambos os membros por (b +d + ... + n), temos:
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
= k, ou seja,
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
 
1�
Matemática A01
Assim, em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a 
soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu 
respectivo conseqüente. 
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 17
 
1
5
=
3
15
=
5
25
=
6
30
⇒
⇒
1 + 3 + 5 + 6
5 + 15 + 25 + 30
=
1
5
ou
3
15
ou
5
25
ou
6
30
.
Observe que 
1
5 é o coeficiente de proporcionalidade dessa proporção, pois 
todas as razões são iguais a 
1
5
.
Mais algumas propriedades das proporções
Considerando a proporção
a
b
=
c
d
, podemos observar as seguintes propriedades:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma 
proporção.
A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes, 
assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente. 
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de 
uma proporção. 
A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus conseqüentes, assim 
como cada antecedente está para seu respectivo conseqüente.
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
15
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo 
antecedente.
A soma dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma 
dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a+ b
a
=
c+ d
c
A diferença dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a 
diferença dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a− b
a
=
c− d
c
IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo 
conseqüente. 
A soma entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a 
soma entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente. 
a+ b
a
=
c+ d
c
A diferença entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como 
a diferença entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a− b
b
=
c− d
d
Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:
Exemplo 18
Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre 
eles é 1:2.
Número menor: x 
Número maior: y
Dados do problema: x+ y = 54 e
x
y
=
1
2
Aplicando a Propriedade III na proporção 
x
y
=
1
2
, temos:
x+ y
x
=
1 + 2
1
16
Matemática A01
Como x + y = 54 , temos:
54
x
=
3
1
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a 
equação resultante, temos:
3 · x = 54 · 1⇒ 3x = 54⇒ x = 54÷ 3⇒ x = 18
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das 
equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:
18 + y = 54⇒ y = 54− 18⇒ y = 36
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Exemplo 19
Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e 
que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.
Número maior: m
Número menor: n
Dados do problema: m – n = 12 e 
m
n
=
6
5
Aplicando a propriedade IV na proporção 
m
n
=
6
5
, temos: 
m− n
m
=
6− 5
6
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 
12
m
=
1
6
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
m . 1 = 12 . 6
Responda aqui
Praticando... �
17
Matemática A01
Ou seja, m = 72 .
Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação 
m – n = 12.
Assim: 72− n = 12⇒ −n = 12− 72⇒ −n = −60
Multiplicando por (-1) toda a equação, encontramos: n = 60
Resposta: os números procurados são 72 e 60.
1. Verifique se é uma proporção a expressão 
2
13
=
10
65 .
�. Calcule o valor de x na proporção 
x
5
=
x− 3
2
.
�. Aplicando as transformações, reescreva de 4 maneiras diferentes a 
proporção 
2
15
=
8
60
.
�. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e x
2
=
y
4
=
z
14
.
5. Se x – y = 18 e x
y
=
25
19
.
18
Matemática A01
Grandezas proporcionais
Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos 
que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um 
automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo 
gasto para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a 
variação na outra.
De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas em 
grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais
Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as 
condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve 
providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas 
instalações sanitárias.
19
Matemática A01
Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela:
Tabela 1 – Representação da NR 24 implementada em uma empresa
Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz
Número de funcionários 12 18 20 30 50
Quantidade mínima 
necessária de água (em litros)
720 1 080 1 200 1 800 3 000
Note que:
enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta;
cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o 
número de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual a 60, pois
720
12
=
1 080
18
=
1 200
20
=
1 800
30
=
3 000
50
= 60.
Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1 080, 1 200, 1 800, 3 000) e 
(12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de 
proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza a’ e a”, e os valores 
correspondentes na segunda grandeza de b’ e b” , podemos apresentar a 
seguinte proporção:
a
b
=
a
b
Alternando os extremos, obtemos: 
b
b
=
a
a
Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores 
de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas 
são ditas diretamente proporcionais.


�0
Matemática A01
Exemplo �0
As seqüências (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais? 
Para responder a essa pergunta, temos que formar as razões entre os 
números correspondentes e compará-las. 
As razões são: 5
25
,
6
30
e
7
35
. Todas iguaisa
1
5
.
Como todas as razões entre os termos correspondentes das 
seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são 
diretamente proporcionais.
Exemplo �1
Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente 
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências 
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse 
número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
Como 
5
40
=
8
64
=
12
96
=
1
8
, temos que o coeficiente de proporcionalidade 
é 
1
8
.
Grandezas inversamente proporcionais
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância 
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para 
percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h) 40 80
Tempo de percurso (h) 6 3
aumenta 
diminui
�1
Matemática A01
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo 
percurso diminui, é reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas 
variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas 
inversamente proporcionais.
As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira 
seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes 
na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e (
1
6
,
1
3
) são diretamente 
proporcionais.
Assim: 
40
1
6
=
80
1
3
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
40 ·
1
3
= 80 ·
1
6
.
A proporção formada (já simplificada) é 
40
3
=
80
6
.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo ��
Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números 
inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1
1
20
=
2
2
10
=
5
1
4
= 20 .
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20.
��
Matemática A01
Exemplo ��
Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente 
proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos: 
m
1
2
=
−4
1
n
=
1
1
4
.
A última razão dessa proporção múltipla é
 
1
1
4
= 1 ·
4
1
= 4 ,
que é também o coeficiente de proporcionalidade.
Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:
m
1
2
= 4 ⇒ m ·
2
1
= 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2
−4
1
n
= 4⇒ −4 ·
n
1
= 4⇒ −4n = 4
Multiplicando por (-1), temos: 
4n = – 4 ⇒ n = –1
Assim, temos: 
m = 2 e n = –1.
Praticando... �
Responda aqui
��
Matemática A01
Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais 
as seqüências de números:
a) ( 3, 5, 9) e (
1
15
,
1
9
,
1
5
) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos 
na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões 
envolvendo todo o conteúdo da presente aula.
Ex
er
cí
ci
os
��
Matemática A01
1.Determine a razão entre os números
a) 12 e 36
b) 60 e 15
c) 3 e 2,25
d) 1,05 e 3,5
e) 5
1
2
 e 2
f) 4 e 3
1
5
�. Verifi que se a razão 
10
25
 é igual à razão 
2
10
.
�. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1 g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3 
�. Calcule o valor de x na proporção 
x
5
=
2− x
3
.
�5
Matemática A01
5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.
6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos 
conseqüentes sejam 3 e 16.
7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x
y
=
9
11
.
8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são 
diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os 
seus elementos é 
1
4
.
A B
4
6
12
Auto-avaliação
�6
Matemática A01
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 
20 jun. 2008.
Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de 
qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e 
também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente 
todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente.
Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas 
proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns 
exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando 
esses conhecimentos. 
Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou 
exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não 
tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:
Escreva o conceito de razão.
Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente.
Const rua uma proporção que tenha coef ic iente de 
proporcionalidade 0,5.
Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o 
número de operários empregados para a construção de uma casa: 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo 
de grandezas inversamente proporcionais.
1.
�.
�.
�.
5.
Para Consulta
�7
Matemática A01
Razão: 
a:b ou 
a
b
(lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*.
Termos da Razão: 
Considerando a razão 
a
b
, a é o antecedente e b é o conseqüente.
Proporção: 
É a igualdade entre duas razões. Por exemplo: 
a
b
=
c
d
, onde a, b, c e d 
são números reais diferentes de zero. 
Propriedade fundamental das proporções:
Considerando a proporção 
a
b
=
c
d
, temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em 
uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.
Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções
Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c, 
temos que 
ad
bd
=
bc
bd
, ou seja, que
a
b
=
c
d
.
Proporção múltipla:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k ⇒
⇒
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
Outras propriedades das proporções:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes 
de uma proporção
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos 
conseqüentes de uma proporção 
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
�8
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o 
respectivo antecedente
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e 
seu respectivo conseqüente
a+ b
b
=
c+ d
d
ou
a− b
b
=
c− d
d
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1996. 
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. 
São Paulo: Atlas, 2003.
SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática. 
São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).