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Razões e Proporções (Matemática)   Concurso DETRAN SP

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a
1
5
.
Como todas as razões entre os termos correspondentes das 
seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são 
diretamente proporcionais.
Exemplo �1
Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente 
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências 
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse 
número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
Como 
5
40
=
8
64
=
12
96
=
1
8
, temos que o coeficiente de proporcionalidade 
é 
1
8
.
Grandezas inversamente proporcionais
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância 
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para 
percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h) 40 80
Tempo de percurso (h) 6 3
aumenta 
diminui
�1
Matemática A01
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo 
percurso diminui, é reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas 
variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas 
inversamente proporcionais.
As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira 
seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes 
na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e (
1
6
,
1
3
) são diretamente 
proporcionais.
Assim: 
40
1
6
=
80
1
3
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
40 ·
1
3
= 80 ·
1
6
.
A proporção formada (já simplificada) é 
40
3
=
80
6
.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo ��
Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números 
inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1
1
20
=
2
2
10
=
5
1
4
= 20 .
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20.
��
Matemática A01
Exemplo ��
Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente 
proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos: 
m
1
2
=
−4
1
n
=
1
1
4
.
A última razão dessa proporção múltipla é
 
1
1
4
= 1 ·
4
1
= 4 ,
que é também o coeficiente de proporcionalidade.
Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:
m
1
2
= 4 ⇒ m ·
2
1
= 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2
−4
1
n
= 4⇒ −4 ·
n
1
= 4⇒ −4n = 4
Multiplicando por (-1), temos: 
4n = – 4 ⇒ n = –1
Assim, temos: 
m = 2 e n = –1.
Praticando... �
Responda aqui
��
Matemática A01
Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais 
as seqüências de números:
a) ( 3, 5, 9) e (
1
15
,
1
9
,
1
5
) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos 
na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões 
envolvendo todo o conteúdo da presente aula.
Ex
er
cí
ci
os
��
Matemática A01
1.Determine a razão entre os números
a) 12 e 36
b) 60 e 15
c) 3 e 2,25
d) 1,05 e 3,5
e) 5
1
2
 e 2
f) 4 e 3
1
5
�. Verifi que se a razão 
10
25
 é igual à razão 
2
10
.
�. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1 g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3 
�. Calcule o valor de x na proporção 
x
5
=
2− x
3
.
�5
Matemática A01
5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.
6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos 
conseqüentes sejam 3 e 16.
7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x
y
=
9
11
.
8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são 
diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os 
seus elementos é 
1
4
.
A B
4
6
12
Auto-avaliação
�6
Matemática A01
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 
20 jun. 2008.
Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de 
qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e 
também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente 
todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente.
Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas 
proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns 
exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando 
esses conhecimentos. 
Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou 
exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não 
tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:
Escreva o conceito de razão.
Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente.
Const rua uma proporção que tenha coef ic iente de 
proporcionalidade 0,5.
Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o 
número de operários empregados para a construção de uma casa: 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo 
de grandezas inversamente proporcionais.
1.
�.
�.
�.
5.
Para Consulta
�7
Matemática A01
Razão: 
a:b ou 
a
b
(lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*.
Termos da Razão: 
Considerando a razão 
a
b
, a é o antecedente e b é o conseqüente.
Proporção: 
É a igualdade entre duas razões. Por exemplo: 
a
b
=
c
d
, onde a, b, c e d 
são números reais diferentes de zero. 
Propriedade fundamental das proporções:
Considerando a proporção 
a
b
=
c
d
, temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em 
uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.
Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções
Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c, 
temos que 
ad
bd
=
bc
bd
, ou seja, que
a
b
=
c
d
.
Proporção múltipla:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k ⇒
⇒
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
Outras propriedades das proporções:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes 
de uma proporção
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos 
conseqüentes de uma proporção 
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
�8
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o 
respectivo antecedente
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e 
seu respectivo conseqüente
a+ b
b
=
c+ d
d
ou
a− b
b
=
c− d
d
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1996. 
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. 
São Paulo: Atlas, 2003.
SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática. 
São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).