Sistema de Equação/Representação na forma matricial - Autovalores e Autovetores
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Sistema de Equação/Representação na forma matricial - Autovalores e Autovetores


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ANÁLISE E PROCESSAMENTO DE 
DADOS 
Sistema de Equação/Representação 
na forma matricial 
Autovalores e Autovetores 
Resolução de um Sistema de n Equações com n 
Incógnitas 
Estes sistemas são a base dos modelos de 
regressão múltipla. 
Seja um sistema de n equações com n incógnitas, no qual o determinante é 
diferente de zero (Sistema normal que admite uma única solução). Quais os 
valores de x, que são solução do sistema? 
X=A-1 × B 
Este exemplo pode ser também resolvido pelo método de Cramer. Segundo a 
regra de Cramer, cada incógnita xj pode ser calculado dividindo-se 
sucessivamente, pelo determinante de A, os determinantes auxiliares \u394j da 
matriz A, obtidos após se substituir a jésima coluna pela coluna dos termos 
independentes (B): 
AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ 
Um dos objetivos comuns aos trabalhos 
oceanográficos, ambientais, ecológicos, etc.; 
é evidenciar os principais fatores que regem 
a estrutura do ecossistema estudado. 
O pesquisador procura descrever essa 
estrutura pela obtenção de grande número 
de variáveis bióticas e abióticas 
Base de dados para a extração 
desses fatores pelas técnicas de 
análise multivariada. 
Esses fatores deverão explicar aspectos diferentes do ecossistema e, 
para isso, deverão ser independentes, i. é, representados por eixos 
ortogonais (produto escalar igual a zero). 
A solução deste problema, que está na base das análises ditas 
"fatoriais", consiste em passar de uma matriz A de coeficientes de 
dependência (correlação ou covariância) entre descritores, para uma 
matriz diagonal A\u2019, onde todos os coeficientes são nulos, exceto os da 
diagonal principal (l). 
Esta operação é chamada diagonalização da matriz A. Os termos 
da diagonal são os autovalores C= raízes latentes) da matriz A, 
calculados pela equação matricial: 
onde Uj são os autovetores (=vetores latentes) da matriz A. A cada 
autovalor lj corresponde um autovetor Uj (sendo j \u3f5 {1, m}). 
Autovalor 
Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou 
valor característico. Para entendermos sua definição, consideremos uma 
matriz A quadrada: 
Encontrando os autovalores 
A identificação dos autovalores de uma matriz, nem sempre é tarefa 
possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz 
intuitivamente. 
O procedimento a fim de encontrarmos os autovalores de uma 
matriz quadrada, parte-se da própria definição de autovalores: 
Igualar a equação a zero 
Colocando o vetor v em evidencia: 
Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade: 
Essa equação resulta em um sistema com n equações e n 
incógnitas, onde n e a ordem da matriz A. 
Note que a equação é um sistema homogêneo, portanto, admite a 
solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de 
equações, v é o vetor com as incógnitas e (lI - A) é a matriz dos 
coeficientes. 
Sabemos ainda que em um sistema de equações, quando a matriz 
dos coeficientes apresenta determinante diferente de zero, isso 
implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única 
solução, e como esse sistema é homogêneo, essa solução 
necessariamente será a trivial, resultado não interessa, pois 
obteríamos qualquer valor para l . 
Para encontrarmos as soluções não triviais dessa equação, 
devemos garantir que o determinante da matriz seja igual a 
zero; 
Essa equação e chamada de equação característica. 
Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um 
polinômio em chamado de polinômio característico. 
Autovetor 
Exemplo 
Seja uma matriz A = de associação entre duas variáveis. 
Queremos transformá-la numa matriz diagonal cujos termos da diagonal 
são os autovalores l1 e l2 de A, e calcular, para cada lj o autovetor U de 
elementos x e y, ou seja, resolver a equação matricial: 
Este sistema em x e y admite uma solução única x = y = 0 que não 
satisfaz. Para obter outras soluções, devemos fazer o determinante da 
matriz dos coeficientes igual a 0: 
A matriz = é equivalente à matriz A , com mesmo traço e o 
 
mesmo determinante. 
Após calcular os autovalores de A, vamos calcular os autovetores U. 
Existe um autovetor para cada autovalor: 
Para l1= 3,7. Substituímos os valores de l no sistema de equações: 
O sistema é indeterminado, com a solução trivial x = y = 0, indicando 
que o vetor passa pela origem. 
 
Para obter um segundo ponto do vetor, atribuímos um valor qualquer 
a x, por exemplo, x = 1, e calculamos o valor correspondente y = 
0,35. O nosso primeiro autovetor é: 
Para l2= -2,7, realizamos o mesmo procedimento, obtendo o segundo 
autovetor: 
Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado 
porque definimos no inicio que det(lI\u2013A)=0, o que caracteriza um sistema 
possível indeterminado ou impossível, e como o sistema é sempre 
homogêneo, logo não pode ser impossível. 
 
Portanto, sempre teremos infinitas soluções para os autovetores e, por 
essa razão, não dizemos que apenas um determinado vetor, é autovetor 
de uma matriz, e sim, todo espaço gerado por essa base encontrada. 
Exercício 
Encontre os autovalores e autovetores da matriz A =