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ANÁLISE E PROCESSAMENTO DE DADOS Sistema de Equação/Representação na forma matricial Autovalores e Autovetores Resolução de um Sistema de n Equações com n Incógnitas Estes sistemas são a base dos modelos de regressão múltipla. Seja um sistema de n equações com n incógnitas, no qual o determinante é diferente de zero (Sistema normal que admite uma única solução). Quais os valores de x, que são solução do sistema? X=A-1 × B Este exemplo pode ser também resolvido pelo método de Cramer. Segundo a regra de Cramer, cada incógnita xj pode ser calculado dividindo-se sucessivamente, pelo determinante de A, os determinantes auxiliares Δj da matriz A, obtidos após se substituir a jésima coluna pela coluna dos termos independentes (B): AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ Um dos objetivos comuns aos trabalhos oceanográficos, ambientais, ecológicos, etc.; é evidenciar os principais fatores que regem a estrutura do ecossistema estudado. O pesquisador procura descrever essa estrutura pela obtenção de grande número de variáveis bióticas e abióticas Base de dados para a extração desses fatores pelas técnicas de análise multivariada. Esses fatores deverão explicar aspectos diferentes do ecossistema e, para isso, deverão ser independentes, i. é, representados por eixos ortogonais (produto escalar igual a zero). A solução deste problema, que está na base das análises ditas "fatoriais", consiste em passar de uma matriz A de coeficientes de dependência (correlação ou covariância) entre descritores, para uma matriz diagonal A’, onde todos os coeficientes são nulos, exceto os da diagonal principal (l). Esta operação é chamada diagonalização da matriz A. Os termos da diagonal são os autovalores C= raízes latentes) da matriz A, calculados pela equação matricial: onde Uj são os autovetores (=vetores latentes) da matriz A. A cada autovalor lj corresponde um autovetor Uj (sendo j ϵ {1, m}). Autovalor Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor característico. Para entendermos sua definição, consideremos uma matriz A quadrada: Encontrando os autovalores A identificação dos autovalores de uma matriz, nem sempre é tarefa possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz intuitivamente. O procedimento a fim de encontrarmos os autovalores de uma matriz quadrada, parte-se da própria definição de autovalores: Igualar a equação a zero Colocando o vetor v em evidencia: Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade: Essa equação resulta em um sistema com n equações e n incógnitas, onde n e a ordem da matriz A. Note que a equação é um sistema homogêneo, portanto, admite a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as incógnitas e (lI - A) é a matriz dos coeficientes. Sabemos ainda que em um sistema de equações, quando a matriz dos coeficientes apresenta determinante diferente de zero, isso implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema é homogêneo, essa solução necessariamente será a trivial, resultado não interessa, pois obteríamos qualquer valor para l . Para encontrarmos as soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz seja igual a zero; Essa equação e chamada de equação característica. Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em chamado de polinômio característico. Autovetor Exemplo Seja uma matriz A = de associação entre duas variáveis. Queremos transformá-la numa matriz diagonal cujos termos da diagonal são os autovalores l1 e l2 de A, e calcular, para cada lj o autovetor U de elementos x e y, ou seja, resolver a equação matricial: Este sistema em x e y admite uma solução única x = y = 0 que não satisfaz. Para obter outras soluções, devemos fazer o determinante da matriz dos coeficientes igual a 0: A matriz = é equivalente à matriz A , com mesmo traço e o mesmo determinante. Após calcular os autovalores de A, vamos calcular os autovetores U. Existe um autovetor para cada autovalor: Para l1= 3,7. Substituímos os valores de l no sistema de equações: O sistema é indeterminado, com a solução trivial x = y = 0, indicando que o vetor passa pela origem. Para obter um segundo ponto do vetor, atribuímos um valor qualquer a x, por exemplo, x = 1, e calculamos o valor correspondente y = 0,35. O nosso primeiro autovetor é: Para l2= -2,7, realizamos o mesmo procedimento, obtendo o segundo autovetor: Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque definimos no inicio que det(lI–A)=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto, sempre teremos infinitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que apenas um determinado vetor, é autovetor de uma matriz, e sim, todo espaço gerado por essa base encontrada. Exercício Encontre os autovalores e autovetores da matriz A =
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