Estatística - Resumo teórico 1.3

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 1 – Axiomas 
e Teoremas Fundamentais do Cálculo de Probabilidades 
 
Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 14 
 
Probabilidades Condicionadas (ou Condicionais) 
Exemplo 15 (ex. 1.19) 
 
 
10 A (numeradasde1a10)
8 B (numeradasde1a 8)
___
18



 
Sejam os seguintes eventos: A = “a bola é azul” e U = “a bola tem o número 1” 
a) 
a
10 5
p P(A)
18 9
  
 
b) 
b
2 1
p P(U)
18 9
  
 
c) 
c
1
p P(AU)
18
 
 
d) Seja U* = “a bola tem nela inscrito o número 1, sabendo-se que ela é azul”. Deve-se 
notar que esse evento é diferente do evento U. Pode ser empregado o seguinte raciocínio 
intuitivo: sabendo que a cor da bola extraída é azul, pode-se desconsiderar as todas as 
bolas brancas e conceber uma urna “alterada” na qual existem apenas as bolas azuis. 
Então 
 
d
1
p P(U*) , onde U* indica oevento Uquando se sabe que oeventoAocorreu
10
 
 
Esse exemplo mostra que a probabilidade relaciona-se à informação disponível. 
 
Definição de probabilidade condicionada ou condicional (RT 1 – Seção 1.5) 
Exemplo 16 (ex. 1.20) 
Sejam os seguintes eventos: 
A = “a máquina é do modelo antigo”; 
N = “a máquina é do modelo novo”; 
D = “a peça é defeituosa”; 
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Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 15 
 
D
= “a peça não é defeituosa”. 
De acordo com as informações sobre a produção de peças tem-se. 
 
 máquina 
 peça 
 A N 
 
D
 0,09 0,01 0,10 
 
D
 0,51 0,39 0,90 
 0,60 0,40 1,00 
 
Então: 
a) 
 P ND 0,01 1% 
 
b) 
 
0,09
P D|A 0,15 15%
0,60
  
 
c) 
 
0,01
P D|N 0,025 2,5%
0,40
  
 
Esse exemplo mostra uma análise condicionada (ou condicional) e também que o 
referido condicionamento equivale a uma redução do espaço amostral original. 
 
Exemplo 17 (ex. 1.21) 
Sejam os seguintes eventos: 
M = “o habitante é maior de idade”; 
M
= “o habitante é menor de idade”; 
F = “o habitante é fumante”; 
F
= “o habitante não é fumante”. 
 
 idade 
condição 
 M 
M
 
 F 0,15 0,20 0,35 
 
F
 0,25 0,40 0,65 
 0,40 0,60 1,00 
 
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e Teoremas Fundamentais do Cálculo de Probabilidades 
 
Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 16 
 
Então: 
 
a) 
 P M F 0,25
 
b) 
 
0,15 3
P M|F 0,4286
0,35 7
  
 (diretamente, por redução do espaço amostral ou 
aplicando a definição de probabilidade condicionada) 
c) 
   P FM 1 P FM 1 0,20 0,80    
 
 
Teorema da Interseção de Eventos (ou Teorema da Multiplicação) (RT 1 – Seção 1.8) 
Exemplo motivador. 
Exemplo 18 (ex. 1.22) 
 
 
 
2 V
3 B
___
5



 
,
 
Se a extração for realizada com reposição da primeira bola é fácil perceber que 
 
   2 1
2
P V P V
5
 
 
Mas se a extração for realizada sem reposição, qual é essa probabilidade? 
Da definição de probabilidade condicionada 
 
 
 
 
P AB
P B|A para P A 0
P A
 
 segue 
que 
     P AB P A P B|A
. Portanto, o cálculo desejado pode ser feito assim 
               2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1P V P VV B V P VV P B V P V P V |V P B P V |B     
 
 
2 1 3 2 2 6 8 2
5 4 5 4 20 20 20 5
     
 
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Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 17 
 
ou seja, o resultado é o mesmo que no caso anterior. Isso ocorre porque a probabilidade 
é não condicionada (não há informação sobre o resultado da primeira extração). Assim, 
na falta de informação sobre o resultado da primeira extração, o resultado do cálculo da 
probabilidade da segunda extração coincide com aquele correspondente ao da primeira 
extração. 
Teorema da Interseção de Eventos (ou Teorema da Multiplicação) (RT 1 – Seção 1.8) 
 
Exemplo 19 (ex. 1.23) 
 
 
 
6 A
4 B
___
10



 
, ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 31 2 3
P A A A P A A A P A A A
P A A A |A A A
P A A A 1 P B B BP B B B
  

 
      
     
1 2 1 3 1 2
1 2 1 3 1 2
6 5 4 120 120
P A P A | A P A |A A 120 510 9 8 720 720
4 3 2 24 720 241 P B P B |B P B |B B 696 29
1 1
10 9 8 720 720
     

 
 
 
Exemplo 20 (ex. 1.24) 
 
 
 
 4 cartas rei 
 4 cartas dama 
44 outras cartas 
 
, ,
 
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Então 
a) 
       1 2 3 1 2 1 3 1 2
4 3 4
P R R D P R P R |R P D |R R
52 51 50
 
 
b) 
b-i) empregando a definição de probabilidade condicionada 
  
 
 
1 2 3
1 2 3
3
4 3 4
P R R D 4 352 51 50P R R |D
4P D 51 50
52
   
b-ii) empregando o raciocínio de condicionamento e redução do espaço amostral 
 
 1 2 3
4 3
P R R |D
51 50

 
 
Exemplo 21 (ex. 1.39) 
 
 
 
13 cartas de espadas 
39 cartas de outros naipes 
 
, , , ,
 
 Sejam os seguintes eventos: 
A = “todas as cartas são de espadas” e B = “pelo menos quatro cartas são de espadas” 
Então 
 
 
 
 
 
5
13
5 5
52 13
4 1 5 4 1 5
13 39 13 13 39 13
5 5
52 52
C
P AB P A C C
P A|B =
C C CP B P B C C +C
+
C C
   
 
 
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Independência de Eventos (RT 1 – Seções 1.6 e 1.7) 
Exemplo 22 (ex. 1.25) 
Sejam os eventos A, B e C definidos a seguir: 
A = “a soma dos pontos dos dados é ímpar”; 
B = “o número de pontos do primeiro dado é 1”; 
C = “a soma de pontos dos dados é sete”. 
O espaço amostral é representado a seguir. 
 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 
 
É fácil verificar que 
     
2 4 6 4 2 18 1 6 1 6 1
P A , P B e P C
36 36 2 36 6 36 6
   
      
 
e também que 
   
3 1
P A|B P A
6 2
  
 logo A e B são independentes 
   
1
P C|B P C
6
 
 logo B e C são independentes 
Mas 
   
1
P A|C 1 P A
2
  
e portanto A e C não são independentes 
 
Exemplo 23 Considere-se um experimento aleatório cujo espaço amostral é finito e 
equiprovável, com a seguinte representação 
 1 2 3 4S a ,a ,a ,a
. Então, tem-se: 
  i
1
P a para i 1,2,3,4
4
 
 
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Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 20 
 
Sejam os seguintes eventos: 
     1 2 1 3 1 4A a ,a , B a ,a e C a ,a  
 
É fácil verificar que 
     
1
P AB P AC P BC
4
  
 e também que os produtos das 
probabilidades dos eventos, considerados os três pares de eventos, são 
 
           
1 1 1
P A P B P A P C P B P C
2 2 4
   
 
Portanto, verifica-se que, considerados dois a dois, os eventos são independentes. 
Contudo, considerando a interseção dos três eventos tem-se que: 
(i) 
    1
1
P ABC P a
4
 
 
(ii) 
     
1 1 1 1 1
P A P B P C
2 2 2 8 4
  
 
Logo os três eventos não são independentes. 
 
Exemplo 24 (ex. 1.27) 
Considerem-se os seguintes eventos: 
iH "o i-ésimo filho é homem"; para i 1,2 
 
iM "o i-ésimo filho é mulher"; para i 1,2 
 
Admitindo-se equiprobabilidade de sexos, tem-se: 
   i i
1
P H P H para i =1,2
2
 
 
Então 
 
 
 
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
P H H P H H
P H H |H H
P H H 1-P M M
 
 
Supondo independência de sexos entre os filhos, segue 
 
 
 
   
   
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
P H H P H P H 12 2 4 4P H H | H H
1 1 1 31-P M M 1 P M P M 3
1 1
2 2 4 4
     

 
 
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Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 21 
 
Exemplo 25 (ex. 1.28) 
Empregando a mesma notação do exemplo anterior e com base no pressuposto de 
independência, tem-se: 
   1 2 1 2
1
P H H |H P H
2
 
 
Exemplo 26 (ex. 1.29) 
Sejam A, B e C os três atiradores. Considerem-se os eventos A, B, C e D definidos a 
seguir: 
A = “o atirador A acerta o alvo”; 
B = “o atirador B acerta o alvo”; 
C = “o atirador C acerta o alvo ”; 
D = “apenas um disparo acerta o alvo”. 
Sabe-se que: 
1
P(A)
6

 , 
1
P(B)
4

 e 
1
P(C)
3

 
Então 
a) 
         P D P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC    
 
Supondo independência entre os disparos de atiradores distintos, tem-se 
                   P D P A P B P C P A P B P C P A P B P C   
 
 
1 3 2 5 1 2 5 3 1 6 10 15 31
6 4 3 6 4 3 6 4 3 72 72
 
    
 
b) 
 
 
 
 
 
6
P ABC D P ABC 672P A|D
31P D P D 31
72
 
     (uma vez que ABC D ) 
 
 
 
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Parte 3 – Probabilidades Condicionadas e Independência de Eventos Página 22 
 
Exemplo 27 (ex. 1.42) 
Considerem-se n lançamentos consecutivos do dado (suposto equilibrado). 
Sejam os eventos definidos a seguir: 
iA "ocorre ponto 6 no i-ésimolançamento", i=1,2,...,n
 
n
i
i=1
A "ocorre ponto 6 ao menos uma vez" A 
 
Então, considerando-se a independência nos lançamentos do dado, segue 
     
n n n n
i i i i
i=1i=1 i=1 i=1
p P A P A 1 P A 1 P A 1 P A 1 P A
    
             
    
    

 
e portanto 
 
n n
5 1 5 1
p P A 1 isto é
6 2 6 2
   
       
   
 
Então, resolvendo a inequação acima obtem-se 
 
5
6
1
ln
1 0,69312n log ou seja n donde n e assim n 3,8018
52 0,1823
ln
6

   

 
Como n deve ser inteiro, tem-se, finalmente, n = 4.