Estatística - Resumo teórico 1.4

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 1 – Axiomas 
e Teoremas Fundamentais do Cálculo de Probabilidades 
 
Parte 4 – Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes; Árvore de Probabilidades Página 23 
 
 
Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 
Teorema da Probabilidade Total (RT 1 – Seção 1.9) 
Teorema de Bayes (RT 1 – Seção 1.10) 
 
Exemplo 28 (ex. 1.30) 
 
 
 
2 V
Urna I
3 B
5



 __ 
3 V
Urna II
4 B
7



 __ 
Sejam os seguintes eventos: 
iV "a bola extraída da urna i évermelha" , i 1,2 
 
iB "a bola extraída da urna i ébranca" , i 1,2 
 
Então: 
a) 
               2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1P V P B V VV P B V P VV P B P V |B P V P V |V     
 
 
 2
3 3 2 4 9 8 17
P V
5 8 5 8 40 40

   
 
b)  
 
 
   
 
1 2 1 2 1
1 2
2 2
2 4 8
P V B P V P B | V 85 8 40P V |B
17 23P B 1 P V 23
1
40 40
    


 
 
 
 
 
 
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e Teoremas Fundamentais do Cálculo de Probabilidades 
 
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Exemplo 29 (ex 1.31) 
 
 
 
 ____ 
 
a) 
             1 2 1 1 2 2P K P M K P M K P M P K|M P M P K|M    
 
 
 
1 1 1 1 1 1 2 3
P K 1
2 2 2 4 2 4 4

     
 
b)  
 
 
   
 
1 1 1
1
1 1 1
P M K P M P K|M 12 2 4P M |K
3 3P K P K 3
4 4
     
Exemplo 30 (ex 1.32) 
Sejam os seguintes eventos: C = “chove em um dia de janeiro” e L = “o telefone 
consegue linha” 
Então, tem-se a seguinte árvore de probabilidades. 
 
L
 
 
1/4
 
 
C
 
 
 
1/10
 
L
 
 
3/4
 
 
 
4/5
 
 
9/10
 
L
 
 
 
C
 
L
 
 
1/5
 
 
Logo 
 
1 1 1
P CL
10 4 40
 
 , 
 
1 3 3
P CL
10 4 40
 
 , 
 
9 4 36
P CL
10 5 50
 
 e 
 
9 1 9
P CL
10 5 50
 
 
1M (C,K)
 
2M (K,K)
 
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Portanto: 
a) 
 
1
P CL
40

 
b) 
     
3 9 15 36 51
P L P CL P CL
40 50 200 200

     
 
c)  
 
 
1 1
P CL 540 40P C|L
51 149P L 149
1
200 200
   

 
 
Exemplo 31 (ex 1.33) 
Sejam os seguintes eventos: C = “o indivíduo tem câncer” , D = “o teste fornece 
diagnóstico positivo” e 
D
= “o teste fornece diagnóstico negativo”. 
São conhecidas as seguintes probabilidades: 
 P D|C 0,95
, 
 P D|C 0,98
 e 
 P C 0,05% 0,0005 
. Consequentemente, 
   P D|C 1 P D|C 1 0,95 0,05    
 e 
   P D|C 1 P D|C 1 0,98 0,02    
 
Então, tem-se a seguinte árvore de probabilidades. 
 
D
 
 
 
C
 
0,95
 
 
 
0,0005
 
D
 
 
0,05
 
 
 
0,02
 
 
0,9995
 
D
 
 
 
C
 
D
 
 
0,98
 
 
 
 
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Logo 
 
 
 
 
   
 
   
   
   
       
P CD P C P D|C P C P D|C P C P D|C
P C|D
P D P CD CD P CD P CD P C P D|C P C P D|C
    
 
 
 
0,0005.0,95 0,000475 0,000475
0,023210 0,0232
0,0005.0,95 0,9995.0,02 0,000475 0,019990 0,020465
   
 
 
 
 
Exemplo 32 (ex. 1.34) 
Sejam os seguintes eventos: 
A = “o concorrente fixa um preço alto”; 
M = “o concorrente fixa um preço médio”; 
B = “o concorrente fixa um preço baixo”; 
V= “a empresa vende mais de 10.000 unidades” e N = 
V
= “a empresa não vende mais 
de 10.000 unidades”. 
Foram dadas as seguintes probabilidades: 
     P A 0,3 , P M 0,5 e P B 0,2  
 
     P V|A 0,8 , P V|M 0,5 e P V|B 0,2  
 
Então, tem-se a seguinte árvore de probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
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 0,8 
 
 
 
 
 
 0,2 
 
 
 0,3 
 
 0,5 
 
 
 0,5 
 
 
 0,5 
 
 
 
 0,2 
 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
 0,8 
 
 
 
 
Portanto: 
a) 
             P V P A P V|A P M P V|M P B P V|B 0,3.0,8 0,5.0,5 0,2.0,2      
 
 
0,24 0,25 0,04 0,53   
 
b) 
 
 
 
   
 
P BN P B P N|B 0,2.0,8 0,16
P B|N 0,3404
P N 1 P V 1 0,53 0,47
    
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
N 
V 
N 
V 
B 
N 
V 
A 
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Exemplo 33 (ex. 1.45) 
Representando por B uma bola branca e por V uma bola vermelha, tem-se a seguinte 
árvore de probabilidades. 
 
 1ª extr 2ª extr 3ª extr 4ª extr 
 
 V 
 
 1 / 3 
 V 
 V 
 1 / 2 
 2 / 4 2 / 3 B 
 
 B 1 V 
 1 / 2 
 
 
 V 
 1 / 2 
 V 
 
 2 / 4 2 / 3 B 1 V 
 B 1 / 2 
 
 
 1 / 3 B 1 V 1 V 
 
 
Então, sendo 
i iB e V
a i-ésima bola é branca e vermelha, respectivamente, e E = 
“saíram todas as bolas”, segue 
a) 
     3 1 2 3 1 2 3
2 2 1 2 2 1 1 1 2 1
P V P V B V P B V V
4 3 2 4 3 2 6 6 6 3
       
 
b) 
 
 
 
 
     
2 1 2 3 4
2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
P V E P B V B V
P V | E
P E P V B B V P B V B V P B B V V
  
 
 
 
2 2 1 1
1
14 3 2 6
2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 3
1 1 1.1
4 3 2 4 3 2 4 3 6 6 6
  
   
 
A
A 
A