Estatística - Resumo teórico 2.0

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 2 – Variáveis 
Aleatórias Reais Unidimensionais 
 
Variáveis Aleatórias Reais Unidimensionais Página 1 
 
ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
UNIDADE I – Cálculo de Probabilidades 
2. Variáveis Aleatórias Reais Unidimensionais 
Variáveis Aleatórias Reais Unidimensionais 
Referências: Resumo Teórico 2, Rice – Chap. 2, Montgomery e Runger – Cap. 3 e Cap. 
4, Larson – Cap. 3 e Meyer – Cap. 4 e Cap. 5 
Noção Geral de Variável Aleatória 
Em muitas situações os resultados de um experimento aleatório são diretamente 
numéricos ou há interesse em associar um número a esses resultados. Isso conduz à 
introdução do conceito de variável aleatória. 
Exemplo 1. Exemplos de variáveis aleatórias. 
Exemplo 1a. Lança-se um dado e observa-se o número de pontos na face voltada para 
cima. 
Exemplo 1b. Uma moeda é lançada duas vezes consecutivamente, observando-se a 
sequência de resultados e, a seguir, registrando-se o número de “caras” ocorridas nos 
dois lançamentos. 
Exemplo 1c. Uma máquina produz peças de certo tipo. Uma peça é selecionada ao 
acaso da produção e examinada quanto à presença de defeitos. Se a peça não tiver 
defeito, é atribuído o número 0 (zero) e se tiver defeito é atribuído o número 1 (um). 
Exemplo 1d. A demanda por certo tipo de produto durante uma semana, em uma loja. 
Exemplo 1e. Suponha-se que todas as peças produzidas pela máquina considerada no 
exemplo 1c sejam examinadas, registrando-se o número eventual de peças fabricadas 
até ser encontrada a primeira peça defeituosa. 
Exemplo 1f. Uma lâmpada é ensaiada quanto a sua duração, registrando-se o tempo de 
funcionamento até queimar (tempo de vida). 
 
 
 
 
 
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Definição de Variável Aleatória Unidimensional ( RT 2 – Seção 2.1) 
Função do espaço amostral S no conjunto dos reais R 
 
 S 
X: S R
s x X(s)


 
 
 
 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a x b R 
 
Onde S é o espaço amostral do experimento aleatório e 
 XR x R|x = X(s) 
é o espaço 
amostral induzido em R pela aplicação X. 
Classificação das variáveis aleatórias (tipos de variáveis aleatórias) 
- Variáveis aleatórias do tipo discreto (RT 2 – Item 2.1.1) 
- Variáveis aleatórias do tipo contínuo (RT 2 – Item 2.1.2) 
Exemplo 1 (continuação). Considerando todas as variáveis aleatórias anteriormente 
apresentadas, tem-se os seguintes espaços amostrais – originais e induzidos pela 
definição de uma variável aleatória: 
1a) S = 
 XR =S 1,2,3,4,5,6
 
1b) S = {CC,CK,KC,KK} e 
 XR 0,1,2
 
1c) S = {N,D} e 
 XR 0,1
 
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1d) S = 
 XR 0,1,2,3,... ,m
 onde m é um número que representa o máximo possível 
de unidades que podem ser vendidas em uma semana. 
1e) S = 
 XR 1,2,3,...
 
1f) S = 
 X +R x R|x >0 R  
 
Portanto, tem-se a seguinte classificação: 
i) discretas: as variáveis aleatórias dos exemplos 1a até 1e, sendo que os espaços 
amostrais correspondentes aos casos 1a até 1d são finitos, enquanto aquele do caso 1e é 
infinito enumerável; 
ii) contínua: a variável aleatória do exemplo 1f, pois o nesse caso o espaço amostral é 
infinito não enumerável. 
 
A Estrutura Probabilística das Variáveis Aleatórias 
Sejam 
ε
um experimento aleatório e S o seu correspondente espaço amostral. Seja X 
uma variável aleatória definida como uma função de S no conjunto dos reais R, sendo 
XR
 o espaço amostral induzido em R pela aplicação X(.). A cada evento 
A S
 associa-
se um evento 
XB R
, constituído pelos valores x = X(s) para os quais 
s A
. Isto é, 
sendo
 A s S|s A S   
 então 
 XB x R|x =X(s) B R para todo s A    
. O evento B 
é denominado imagem de A pela aplicação X(.) e é representado por X(A), ou seja B é 
o conjunto de valores x que a variável aleatória X assume para os resultados de 
ε
, 
s S
, 
tais que levam à ocorrência de A. Assim sendo, 
 XX(A)=B= x R | x =X(s) para todo s A 
. 
Reciprocamente, A é o conjunto dos pontos (resultados) de S que correspondem ao 
conjunto de valores x assumidos pela variável aleatória X tais que x pertence ao 
subconjunto B do espaço amostral induzido 
XR
. Isto é, A é a imagem inversa de B por 
X(.):
 -1A=X (B)= s S|X(s) x B  
. Portanto, esses dois eventos estão diretamente 
relacionados e são denominados equivalentes, no sentido de que A ocorre (em S) 
quando e somente quando B ocorre (em
XR
). Justifica-se então definir a probabilidade 
da variável aleatória X assumir valores em 
XB R
 como sendo a probabilidade de se 
realizar o evento 
A S
. Isto é, 
   
XR S
P B P A
. Desse modo, o espaço amostral 
induzido 
XR
 tem uma estrutura probabilística própria, embora relacionada àquela do 
espaço amostral original do experimento aleatório 
ε
 e, consequentemente, uma vez 
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definida a variável aleatória X, pode-se lidar diretamente com o espaço amostral 
induzido por ela, 
XR
, considerando a sua estrutura própria. 
O exemplo a seguir ilustra isso. 
Exemplo 2. Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes, consecutivamente, 
registrando-se, em seguida, o número eventual de “caras” obtidas. Determine: 
a) o espaço amostral, S, do experimento aleatório considerado e o espaço amostral 
induzido,
XR
, relativo à variável aleatória X que representa o número eventual de 
“caras” obtidas. 
b) as probabilidades dos resultados (eventos elementares) do espaço amostral. 
c) os pares de eventos equivalentes em S e 
XR
. 
d) A partir das probabilidades associadas aos eventos elementares de S, determine as 
probabilidades dos eventos elementares do espaço amostral induzido 
XR
. 
 
Solução 
a) O espaço amostral do experimento aleatório é S = {CC, CK, KC, KK}. O espaço 
amostral induzido da variável aleatória associada, X, é 
 XR 0,1,2
, sendo 
X(CC)=0
, 
X(CK) = X(KC) = 1
 e 
X(KK)= 2
 a correspondência entre os resultados (eventos 
elementares) desses dois espaços amostrais. 
b) Como a moeda é equilibrada, todos os resultados (eventos elementares) de S são 
equiprováveis, logo a sua probabilidade é 1/4, isto é 
 
       S S S S
1
P CC P CK = P KC = P KK
4
 
 
c) Os seguintes pares de eventos são equivalentes: 
 
   1 1A CC e B X=0 
 
 
   2 2A CK,KC e B X=1 
 
 
   3 3A KK e B X=2 
 
d) As probabilidades em 
XR
 são: 
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   
XR S
1
P X =0 P CC
4
 
 
 
   
XR S
1 1 1
P X =1 P CK,KC
4 4 2
   
 
 
   
XR S
1
P X = 2 P KK
4
 
 
Isso mostra como a medida deprobabilidade no espaço amostral original, 
SP (.)
, induz 
outra medida, 
XR
P (.)
, no espaço amostral da variável aleatória X. 
Note-se que as medidas de probabilidades nos dois espaços amostrais são distintas: em 
S há equiprobabilidade dos eventos elementares mas em 
XR
 não. 
 
Função de Distribuição Acumulada de Probabilidade RT 2 – Seção 2.2 
Exemplo 3. Dois exemplos típicos de função de distribuição acumulada são 
apresentados a seguir: 
a) função de distribuição de uma variável aleatória discreta 
 
0, para x 0
1/ 6 , para 0 x 1
F(x)
1/ 2 , para 1 x 2
1, para x 2

  

 
 
 
cujo gráfico é mostrado a seguir 
 
 F(x) 
 
 
 1 
 
 
 1/2 
 
 1/6 
 
 0 1 2 x 
 
 
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b) função de distribuição de uma variável aleatória contínua 
 2
0, para x 0
F(x) x ,para 0 x 1
1, para x 1


  
 
 
cujo gráfico é 
 
 F(x) 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 0 1 x 
 
 
Propriedades da função de distribuição (RT 2 – Item 2.2.1) 
 
Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta (RT 2 – Seção 2.3) 
Domínio ou suporte de uma variável aleatória discreta (RT 2 – Item 2.3.1) 
Propriedades da função de probabilidade (RT 2 – Item 2.3.2) 
Função de Distribuição de variáveis aleatórias discretas (RT 2 – Item 2.3.3) 
Exemplos de função de probabilidade e função de distribuição acumulada 
 
Exemplo 4. (ex. 2.1) 
O espaço amostral correspondente a X é: 
 XR 1,2,3,4,5,6 
Note-se que no caso s = x = X(s) , ou seja a função que define a aplicação do espaço 
amostral original (do experimento aleatório) S no espaço amostral induzido da variável 
aleatória X, denotado por RX , é a função identidade.
 
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Como o dado é equilibrado, tem-se: 
1
p(x) = , para x 1,2,3, ...,6
6

 
Exemplo 5. (ex. 2.2) 
Seja X a variável aleatória definida a seguir: 
 
0 , se a peça não é defeituosa - N
X =
1 , se a peça é defeituosa - D



 
Então, nesse caso, 
 XR 0, 1
 e a função de probabilidade de X é 
 0,9 , se x =0
p(x) =
0,1 , se x =1



 
 
Exemplo 6. (ex. 2.4) 
A expressão analítica da função de probabilidade de X é 
 
x
p(x) = , para x 1, 2, 3
6

 
Na forma de tabela, a função pode ser apresentada como mostrado a seguir 
x
 
p(x)
 
1 1/6 
2 2/6 
3 3/6 
Total 1 
 
 Portanto, 
  
 
 
 
 
 
   
2
P X = 2 P X = 2 P X = 2 26P X 2|X >1
2 3P X 1 P X 2 P X = 2 P X =3 5
6 6
     
  

 
 
Exemplo 7. (ex. 2.6) 
Por definição, tem-se que 
 X
t x
F (x) P X x = p(t)

  
 , com 
Xt R
 
Então segue: 
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i) para x < 1 
 
 X
t x
F (x) P X x = p(t) 0

  
 
ii) para 
1 x 2 
 
 
 X
t x
1
F (x) P X x = p(t) p(1)=
6
  
 
iii) para 
2 x 3 
 
 
 X
t x
1 2 3 1
F (x) P X x = p(t) p(1) p(2)=
6 6 6 2
      
 
iv) para 
3 x
 
 
 X
t x
1 2 3 6
F (x) P X x = p(t) p(0) p(1) p(2)= 1
6 6 6 6
        
 
Portanto, tem-se: 
 
0, para x <1
1
, para1 x < 2
6
F(x) = 3 1
, para 2 x < 3
6 2
6
1, para 3 x 
6


 



 

  

 
O gráfico dessa função é mostrado a seguir. 
 F(x) 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 1/2 
 
 1/6 
 
 0 1 2 3 x 
 
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Por outro lado, é fácil verificar que a partir do conhecimento da função de distribuição 
acima torna-se possível obter a função de probabilidade, empregando a seguinte 
propriedade 
 
t x
p(x)= F(x)- lim F(t)
 
 
Com efeito, efetuando-se o cálculo acima indicado para cada valor x que coincide com 
um valor possível de X, tem-se: 
 
t 1 
1 1
p(1)= F(1)- lim F(t)= 0
6 6 
 
 
 
t 2
3 1 2 1
p(2)= F(2)- lim F(t)=
6 6 6 3 
  
 
 
t 3
6 3 1
p(3)= F(3)- lim F(t)=
6 6 2 
 
 
que são os valores da função de probabilidade de X. 
 
Exemplo 8. (ex. 2.9) 
A função de probabilidade de X é expressa por 
 
x
1
p(x)= , para x 1, 2, 3, ...
2

 
Então segue: 
a)  
5 5
x 4
x =5 x =5
1 1
1 1 12 2P X 5 = p(x)
1 12 2 16
1
2 2
 
     

  
b)     2k k
k =1 k =1
1 1
1 1 14 4P Xser par = P X 2k , para k =1,2,3,....
1 32 4 3
1
4 4
 
     

  
c) 
    3k k
k =1 k =1
1 1
1 1 18 8P Xser divisívelpor 3 = P X 3k , para k =1,2,3,....
1 72 8 7
1
8 8
 
     

  
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d) 
     
x +1 x +1
t x
t =x +1
1 1
1 12 2P X x =1 P X > x 1 P X x+1 1 1 1 1 , para x =1,2,3, ....
1 12 2
1-
2 2

            
 
Exemplo 9. (ex. 2.10). 
No estoque há 8 eixos, sendo 5 defeituosos (D) e 3 não defeituosos (N). Então, tem-se: 
 x 2 x
5 3
2
8
P(X = x)= p(x)= , para x 0,1,2


 
e assim, efetuando os cálculos combinatórios, segue 
 0 2
5 3
2
8
1.3 3
P(X = 0) = p(0) =
8.7 28
2.1
 
 
 1 1
5 3
2
8
5.3 15
P(X =1) = p(1) =
8.7 28
2.1
 
 
 
2 0
5 3
2
8
5.4
102.1
P(X = 2) = p(2) =
8.7 28
2.1
  
 
Variáveis aleatórias contínuas 
Função de densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada (RT 2 – 
Seção 2.4) 
Função de Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua (RT 2 – 
Seção 2.4) 
Domínio ou suporte de uma variável aleatória contínua (RT 2 – Item 2.4.1) 
Propriedades da função de densidade de probabilidade (RT 2 – Item 2.4.2) 
Função de Distribuição de variáveis aleatórias contínuas (RT 2 – Item 2.5) 
Juliana
Realce
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Exemplos de função de densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada. 
Exemplo 10. (ex. 2.14) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 f(x) = 1 , para 0 < x < 1 
Então 
 
 
1/ 2
1/ 2
0
01 1
P X <1/2 1dx = x 0 0,5
2 2
    
 
Exemplo 11. (ex. 2.15) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 f(x) = 2x , para 0 < x < 1 
Então: 
a) 
 
1/ 2
1/ 2
2
0
0
1 1
P X <1/2 2 x dx = x 0 0,25
4 4
    
 
b) 
 
 
 
1/2
1/ 2
2
1/3 1/3
2/3 2/3
2
1/3
1/3
1 1 9 4 52 x dx
xP 1/3 X 1/2 54 9 36 36P X <1/2|1/3 X 2/3
4 1 4 1 3P 1/3 X 2/3 12x2 x dx
9 9 9 9

 
        
 



 
 
Exemplo 12. (ex. 2.17) 
A função de densidade de probabilidade da variável aleatória X é a seguinte 
 
3
a
f(x)= , para x 1
x

 
Portanto, segue que 
a) O valor da constante a pode ser determinado impondo-se a condição
XR
f(x)dx =1
 
então 
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 12
3
3 2 x
1 1 1
a x a 1 a 1 a a
dx 1 donde a x dx a 1 lim (1 0) 1
x ( 2) 2 x 2 x 2 2
  



   
           
    
 
 
e assim a = 2 
b) Considerando que a demanda X está expressa em 10.000 unidades, então o evento 
A = “a demanda é superior a 10.000 unidades” equivale a X > 10. Logo 
 102
3
3 2
10 10 10
2 x 1 1
P(A) P(X >10) dx 2 x dx 2 0,01
x ( 2) x 100
  


      
 
 
 
 
Exemplo 13. (ex. 2.18) 
A variável aleatória contínua X tem a seguinte função de densidade de probabilidade 
 
f(x)=1, para 0< x <1
 
Para efeito de determinação da função de distribuição, convém empregar a extensão da 
definição da função de densidade para todo o conjunto dos números reais, que é 
mostrada a seguir 
 1 , para 0< x <1
f(x)=
0 , para outros valores



 
Como a variável X é do tipo contínuo, na determinação da função de distribuição 
emprega-se a definição 
 x
F(x)= P(X x) = f(t)dt , x R

  
 
A seguir, na avaliação da expressão acima, deve-se levar em conta todos os intervalos 
com definições distintas da expressão da função de densidade (estendida), o que é feito 
a seguir: 
i) para x < 0 
Nesse caso, tem-se 
 
x
-
F(x)= f(t)dt =0 pois o integrando, f(t), é identicamente nulo fora do intervalo (0 , 1)


 
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 ii) para 
0 x <1
, tem-se 
x 0 x x
x
0
- - 0 0
F(x)= f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt 0 1dt t x
 
      
 , onde, como se pode verificar, a 
integral inicial foi decomposta em duas de modo a considerar-se, explicitamente, as 
duas definições distintas da função de densidade no intervalo 
( , x),com 0 x < 1 
, a 
saber: 
( ,0),ondef(t)=0 e [0,1),ondef(t) 1 
 
iii) para 
1 x
, tem-se 
x 0 1 x 1
1
0
- - 0 1 0
F(x)= f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt f(t)dt 0 dt 0 t 1
 
         
 
Aqui, novamente, a integral foi fracionada, agora em três, de modo a considera-se 
explicitamente as três definições distintas da função de densidade abrangidas no 
intervalo 
( , x), com 1 x 
, a saber: 
( ,0),ondef(t)=0 ; [0,1),ondef(t) 1 ; e [1, ),ondef(t) 0   
 
Portanto, em resumo, a função de distribuição é 
 
0 ,para x 0
F(x) = x ,para 0 x <1
1 ,para x 1



 
 
Por outro lado, é fácil verificar que a partir dessa função é possível obter-se a função de 
densidade de probabilidade de X, pois 
 
0 , para x < 0
d F(x)
f(x) 1 , para 0 < x < 1
dx
0 , para x 1


  
 
 
Ou seja, 
 1 , para 0< x <1
f(x)=
0 , para outros valores



 
 
Exemplo 14. (ex. 2.19) 
Nesse caso, a função de densidade de probabilidade foi definida por 
 f(x) = 2x , para 0 < x < 1 
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Analogamente ao que foi feito no exemplo anterior, é conveniente considerar a 
definição da função estendida para R, mostrada a seguir: 
 
2 x , para 0< x <1
f(x)=
0 , para outros valores



 
a) 
Agora, considerando a definição da função de distribuição, tem-se 
 x
F(x) = P(X x) = f(t)dt , x R

  
 
Então segue 
i) para x < 0 , tem-se 
 
x
-
F(x)= f(t)dt =0 pois o integrando, f(t), é identicamente nulo fora do intervalo (0 , 1)


 
ii) para 
0 x <1
, tem-se 
x 0 x x
x
2 2
0
- - 0 0
F(x)= f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt 0 2 t dt t x
 
      
, onde a integral inicial foi 
decomposta em duas e consideradas, explicitamente, as duas expressões distintas da 
função de densidade de probabilidade estendida no intervalo 
( , x), com0 x < 1 
, a 
saber: 
( ,0),ondef(t)=0 e [0,1),ondef(t) 2 t 
 
iii) para 
1 x
, tem-se 
x 0 1 x 1
1
2
0
- - 0 1 0
F(x)= f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt f(t)dt 0 2 t dt 0 t 1
 
         
 
Aqui a integral inicial foi dividida em três, de modo a considera-se explicitamente todas 
as três definições distintas que a função de densidade estendida apresenta no intervalo 
( , x), com1 x 
, a saber: 
( ,0),ondef(t)=0 ; [0,1),ondef(t) 2t ; e [1, ),ondef(t) 0   
 
Portanto, a função de distribuição de X é 
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 2
0 ,para x 0
F(x) = x ,para 0 x <1
1 ,para x 1



 
 
b) A função de distribuição pode ser empregada no cálculo das probabilidades, como 
mostrado a seguir: 
b-i) 
 
  2P X 0,2 F(0,2) 0,2 0,04   
 
b-ii) 
 
  2 2P 0,3 < X 0,9 F(0,9) - F(0,3) 0,9 0,3 0,81 0,09 0,72      
 
b-iii) 
 
    2P X 0,7 1 P X 0,7 1 F(0,7) 1 0,7 1 0,49 0,51          
 
 
Exemplo 15. (ex. 2.21) 
A função de densidade de probabilidade de X (expressa em milhares de litros) é 
 4f(x)=5(1 x) , para 0< x <1 
Seja c a capacidade do tanque a ser determinada. Então, deve-se ter 
 P(X c)=0,99 
c
c 0
4 5 5 5
0 c
0
Mas P(X c)= 5(1 x) dx (1 x) (1 ) 1 (1 c)x        
 
logo 
5 5 51 (1 c) 0,99 donde (1 c) 0,01 e assim 1 c= 0,01 0,3981      
 
Portanto 
c=1 0,3981=0,6019 
Ou seja, a capacidade deve ser c = 6.019 litros. 
 
 
 
Juliana
Realce
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Função de uma Variável Aleatória (RT2 – Item 2.6) 
Exemplo 16. (ex. 2.22) 
A função de probabilidade de X é 
 
x p(x) 
-1 1/3 
0 1/3 
1 1/3 
Total 1 
 
A variável Y é expressa como função de X pela expressão Y = 2X + 1. Então, o suporte 
de Y é 
 YR -1, 1, 3
e a função de probabilidade de Y é 
 
y p(x) 
-1 1/3 
 1 1/3 
 3 1/3 
Total 1 
 
Exemplo 17. (ex. 2.23) 
a) A função de probabilidade de X é 
x 0 1 2 3 4 5 
Xp (x)
 0,10 0,15 0,20 0,30 0,15 0,10 
 
A variável aleatória Y que representa a venda no período de tempo T considerado é 
expressa em termos de X por 
X, se X 3Y
4 , se X 4



 
Pelo fato de somente haver disponível até o fim do período T um estoque de 4 unidades 
do produto. 
Logo, o suporte de Y é 
 YR 0, 1, 2, 3, 4
e a função de probabilidade de Y é 
 
Juliana
Realce
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y 0 1 2 3 4 
Yp (y)
 0,10 0,15 0,20 0,30 0,25 
 
Observe-se que 
 
    X XP Y 4 P X 4 P(X 4) P(X 5) p (4)+p (5) 0,15 0,10 0,25          
 
b) Seja W a variável aleatória que representa o lucro do comerciante, então W pode ser 
expressa em função de Y como 
 
W 30,00Y 40,00 
 
pois o custo de aquisição do estoque de 4 unidades do produto é R$ 40,00 e a receita 
unitária com a venda de cada uma delas é R$ 30,00. 
c) Os valores possíveis de W são 
 
 WR -40,00; -10,00; 20,00; 50,00; 80,00
 
Logo a função de probabilidade do lucro, W, é 
w - 40,00 - 10,00 20,00 50,00 80,00 
Wp (w)
 0,10 0,15 0,20 0,30 0,25 
 
d) A probabilidade do comerciante ter lucro é 0,75 
 
Exemplo 18. (ex. 2.24) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 X
1
x , para 0 x 4
f (x) 8
0 , para outros valores

 


 
Y = h(X) = 2 X + 8 
O suporte de Y é 
 YR y R| 8 y 16   
 
A determinação da distribuição de Y pode ser feita pelo emprego do método geral ou do 
teorema, como é mostrado a seguir. 
a) pelo método geral 
Juliana
Realce
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   Y X
y-8 y-8
F (y) P Y y P 2X 8 y P X F
2 2
   
          
   
 
Logo 
 
-1 -1Y X
Y X X
dF (y) d F (u)d d u d u y 8
f (y) F h (y) f (u) onde u h (y)
dy dy du dy dy 2

       
 
e portanto 
 
 YY
dF 1 y-8 1 1
f (y) y-8 para 8 < y < 16
dy 8 2 2 32
 
   
 
 
b) pelo emprego do teorema 
 
Y X
d x 1 y 8 1 (y 8)
f (y) f (x) . para 8 y 16
dy 8 2 2 32
  
     
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercícios Resolvidos da 2ª Lista de Exercícios 
Exercício 1. (ex. 2.3) 
Seja X a variável aleatória que representa o número eventual de peças defeituosas 
encontradas. Denotando por N uma peça não defeituosa e por D uma peça defeituosa, 
tem-se os seguintes resultados possíveis: 
   
3
NNN X 0 e P X 0 P(NNN) 0,9    
 
         
2
DNN
NDN X 1 e P X 1 P DNN U NDN U NND 3. 0,1 . 0,9
NND


       


 
         
2
DDN
DND X 2 e P X = 2 = P DDN U DND U NDD 3 . 0,1 . 0,9
NDD


     


 
   
3
DDD X=3 e P X=3 P(DDD) = 0,1 
 
Portanto, tem-se a seguinte expressão para a função de probabilidade de X 
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   
x 3-xx
3p(x) C 0,1 0,9 , para x =0,1,2,3
 
Muitas vezes é conveniente apresentar a função de probabilidade definida por meio de 
uma tabela. No caso, efetuando os cálculos obtém-se 
x
 
p(x)
 
0 0,7290 
1 0,2430 
2 0,0270 
3 0,0010 
Total 1,0000 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 2 (ex. 2.5) 
 A função de probabilidade de X é expressa por 
 
x
p(x)= , para x 1, 2, 3, 4, 5
c

; onde c é uma constante 
Então, impondo-se a condição de que 5
x=1
p(x) 1
 segue 
 5 5
x=1 x 1
x 1 1 (1 5).5 1
x .15 1 donde c=15
c c c 2 c

    
 
Portanto a função de probabilidade de X é 
x
p(x)= , para x 1, 2, 3, 4, 5
15

 
Logo tem-se: 
b) 
 
     
1 2 3 1
P X 2 P X =1 P X = 2 p(1)+p(2)=
15 15 15 5
      
 
c) 
  
 
 
 
 
3
P X 2 P X 2 3 115P X 2|X < 4
6P X < 4 P X 3 6 2
15
 
     

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
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Exercício 3. (ex. 2.7) 
Um modo alternativo para a obtenção da função de distribuição de uma variável 
aleatória discreta é mostrado a seguir. Inicialmente, colocam-se os valores da função de 
probabilidade na forma tabular 
x
 
p(x)
 
0 0,7290 
1 0,2430 
2 0,0270 
3 0,0010 
Total 1,0000 
 
Em seguida, cria-se uma nova coluna à direita da tabela, na qual são registrados os 
valores das somas acumuladas da função de probabilidade para todos os valores que a 
variável pode assumir, como é mostrado na sequência. 
x
 
p(x)
 
x
p(x)
 
0 0,7290 0,7290 
1 0,2430 0,9720 
2 0,0270 0,9990 
3 0,0010 1,0000 
Total 1,0000 
 
Finalmente, a exemplo do que foi realizado na solução do exercício anterior, são 
considerados todos os intervalos de valores de interesse no conjunto dos números reais. 
 
 
0 , para x < 0
0,7290 , para 0 x <1
F(x) = 0,9720 , para 1 x < 2
0,9990 , para 2 x <3
1 , para x 3

 


 


 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 4. (ex. 2.8) 
A função de probabilidade de X é 
x
p(x)= , para x 1, 2, 3, 4, 5
15

. Então, tem-se 
 
 
t x
F(x)= P X x p(t)

 
 
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Logo decorre que: 
i) para x < 1 , F(x) = 0 
ii) para 
1 x 5 
 
nos pontos x = i = 1, 2, 3, 4 tem-se 
 
 
i i
t i t=1 t=1
t 1 1 (1+i)i (1+i)i
F(i)= P X i p(t) t
15 15 15 2 30
       
 
Portanto, 
 
(1+i)i
F(x)= , para i x <i +1, com i =1,2,3,4
30

 
iii) para 
5 x
, F(x) = 1 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 5. (ex. 2.12) 
Sejam os seguintes eventos: A = “o atirador A acerta o alvo” e B = “o atirador B acerta 
o alvo”. Cada atirador dispara uma única vez. Seja X = número eventual de vezes que o 
alvo é atingido. 
a) Supondo que os disparos dos dois atiradores são independentes, tem-se: 
1 1 5 1 5
P(X=0)= p(0)= P(A B)= P(A)P(B)= 1 1
6 2 6 2 12
  
     
  
 
 
1 1 1 1 1 5 6 1
P(X=1)= p(1)= P(A B A B)= P(AB) P(AB)= 1 1
6 2 6 2 12 12 12 2
   
          
   
 
1 1 1 1 1
P(X=2)= p(2)= P(A B)= P(A)P(B)=
6 2 6 2 12
 
 
b) a função de distribuição de X é 
 
 0 , para x < 0
5
, para 0 x <1
12
F(x) =
11
, para 1 x < 2
12
 1 , para x 2


 


 

 
 
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------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 6. (ex. 2.23)A expressão da função de distribuição é 
 
0 , para x <1
F(x) = 1
1 , para x 1
x



 
 
Então: 
a) 
 
dF(x)
f(x)= 0 , para x <1
dx

 
 
1 2
2
dF(x) d 1 d 1
f(x)= 1 0 x ( 1) x = ,para x 0
dx dx x dx x
         
 
 
Ou seja, a definição estendida da função de densidade é 
 
2
1
, para x 1
f(x) = x
 0 , para outros valores (no caso, x <1)




 
b) 
 P(X > 5) = 
1 1
1 P(X 5)=1 F(5)=1 1
5 5
 
      
 
 
c) 
 
1 11 1
P(X >5) 1 P(X 5) 1 F(5) 35 5P(X 5|X >3) = = = = =
11P(X >3) 1 P(X 3) 1 F(3) 5
1 1
33
 
       
    
  
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 7. (ex. 2.25) 
A função de densidade de probabilidade de X (expressa em milhares de unidades) é 
 6f(x)=5x , para x 1  
Portanto 
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 P(4 X 12)
P(X 12|X 4)=
P(X 4)
 
 

 
Mas 
 
12 12 412 5 5
6
5 5 5 5 5
4 124 4
x 1 1 1 1 3 1
P(4 X 12)= 5x dx 5
5 x x 4 12 12

           
 

 
 456 6
5 5 5 5
44 4 4
x 1 1 1 1
P(X 4)= 5x dx 5 x dx =5 0
5 x x 4 4
   
 

 
       
 
 
 
logo 
 
55 5 5
5 5
5 5
1 1 1
4 1 1 2424 12 12P(X 12|X 4) = 1 1 1 1 0,9959
1 1 12 3 243 243
4 4

            
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 8. (ex. 2.22) 
A definição da função de densidade é 
 
1
f(x) = , para 0< x <1
2 x
 
Assim sendo, a definição da função de densidade estendida para R é 
 
1
, para 0< x <1
f(x) = 2 x
0 , para outros valores





 
Então: 
i) para x < 0, tem-se F(x) = 0 
ii) para 
0 x <1
, tem-se 
 
x
1
 x 0 x x 1 12 x
2 2
0
- 0 0 0
0
1 1 1 t
F(x) = f(t)dt = f(t)dt + dt 0 t dt t t x
12 22 t
2
x

 
 
 
      
 
 
 
    
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iii) para 
x 1
, tem-se F(x) = 1 
ou seja 
 
 0 ,para x < 0
F(x) = x ,para 0 x <1
1 ,para x 1



 

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------