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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 1 ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica UNIDADE I – Cálculo de Probabilidades 3. Expectância, Variância e Momentos de Variáveis Aleatórias Reais Referências: Resumo Teórico 3, Rice – Chap. 4, Montgomery e Runger – Cap. 3 e Cap. 4, Larson – Cap. 3 e Meyer – Cap. 7 e Cap. 10 Noção de Valor Esperado Exemplo 1. Dois jogadores, A e B, alternam-se no jogo de lançamento de uma moeda, apostando de acordo com a seguinte regra: se der “cara”, A ganha R$ 1,00 (e B perde essa quantia); e se der “coroa” A perde R$ 1,00 (B ganha essa quantia). Suponha-se que uma sequência de n lançamentos – rodadas do jogo – é realizada. Então, denotando por K o resultado “cara” e por C o resultado “coroa” e por Kn e Cn , respectivamente, os números de lançamentos em que ocorrem “cara” e “coroa”, dentre os n lançamentos realizados (ou seja, as frequências absolutas de “cara” e de “coroa”) tem-se: a) o lucro do jogador A, denotado por AL , é A K C K CL = n .1,00 + n .(-1,00) = n - n b) o lucro médio de A por rodada do jogo (por lançamento), denotado por Am é A A K C K C 1 1 1 m = L n n = f - f n n n , onde K Cf e f denotam as frequências relativas de “caras” e “coroas”, respectivamente. Se o número de lançamentos, n, for suficientemente grande, e a moeda equilibrada, é de se esperar que se verifique CK K K C C nn 1 1 f p e f p n 2 n 2 Portanto, intuitivamente, é de se esperar que o lucro médio (por lançamento) do jogador A após n lançamentos seja zero A K C 1 1 m p p 0 2 2 isto é, que haja uma espécie de empate, no qual A ( e B) não ganhe nem perca dinheiro. Esse procedimento intuitivo relaciona-se ao conceito de valor esperado, expectância ou média de uma variável aleatória. Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 2 Expectância de uma Variável Aleatória Real (RT 3 – Seção 3.1 a Seção 3.5) Exemplo 2 Em certa fábrica, 10% das peças produzidas são defeituosas. Cada peça não defeituosa gera um lucro de R$ 3,00 , enquanto cada peça defeituosa acarreta uma perda de R$ 1,00. Se X for a variável aleatória que representa o lucro líquido por peça produzida, determinar o valor esperado desse lucro (ou lucro médio por peça). Nessas condições, tem-se E(X) 3,00.0,9 ( 1,00).0,1 2,70 0,10 2,60 Exemplo 3 (ex. 3.1) A função de probabilidade de X é expressa por 1 , para x 1 4 1 p(x) = , para x 0 2 1 , para x 1 4 Então o valor esperado (ou média) de X é 1 1 1 E(X) =-1 0 1 0 4 2 4 Exemplo 4 (ex. 3.2) A função de probabilidade de X é x p(x)= , para x 1,2,3 6 Logo, a expectância (ou média) de X é 3 3 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 14 7 E(X) = x x = 1 2 3 (1 4 9) 2,33 6 6 6 6 6 6 6 3 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 3 Exemplo 5 (ex. 3.6) A função de densidade de probabilidade de X é f(x)=1 , para 0< x < 1 Então, a expectância (ou média) de X é 1 1 2 0 0 1 1 E(X)= x1dx = x 0,5 2 2 Exemplo 6 (ex. 3.7) A função de densidade de probabilidade de X é expressa por f(x)=2x , para 0< x < 1 Então, a expectância (ou média) de X é 1 1 1 2 3 0 0 0 2 2 E(X)= x 2x dx = 2 x dx = x 0,67 3 3 Exemplo 7 (ex. 3.8) A função de densidade de probabilidade de X é αxf(x)= α , para x >0, comα>0e Logo, a expectância (ou média) de X é α x 0 0 E(X)= x f(x)dx = x αe dx Essa integral pode ser resolvida empregando-se o método de integração por partes. Com efeito, fazendo-se u = x e αxdv=αe dx segue que: i) du = dx ii) αx αx αx dx =dv=αe e d(α x) v e Logo Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 4 0 0 αx αx αx αx αx αx αx 0 0 0 0 0 1 1 E(X)= x αe dx x e e dx = x e e x e e α α αx αx x x 1 1 1 1 0 lim x e lim e 0 0 0 α α α α pois: i) αx x lim x e 0 e ii) αx αx x x 1 1 lim e lim e 0 α α Portanto 1 E(X) = α Exemplo 8 Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade 2 1 f(x)= , para - < x < π(1+ x ) Então, a variável aleatória X não possui expectância pois a integral correspondente não é absolutamente convergente. Com efeito, 2 - - |x| |x|f(x)dx = dx π(1+ x ) é divergente pois 0 2 2 0 - (- x)1 x 1 dx dx π π1+ x 1+ x Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 5 Variância de uma Variável Aleatória Real (Seção 3.6 a Seção 3.7) Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Real (Seção 3.8 a Seção 3.9) Coeficiente de Variação de uma Variável Aleatória Real (Seção 3.10) Exemplo 9 (ex. 3.10) A função de probabilidade de X é 1 , para x = -1 4 1 p(x) = , para x = 0 2 1 , para x =1 4 Como já foi visto anteriormente, no exemplo 3, a média de X é E(X) = 0. Logo, a variância de X, calculada pela definição, é 2 2 2V(X)= E X-E(X) E X-0 E X Portanto, nesse caso 1 2 2 2 2 2 x 1 1 1 1 1 1 1 V(X) E X x p(x)= ( 1) . 0 . 1 . 4 2 4 4 4 2 Ou seja, V(X) = 2 = 1 2 e 1 1 2 1,4142 0,7071 0,71 2 2 22 Note-se que o cálculo acima foi facilitado pelo fato de que E(X) = 0. Em geral, torna-se mais fácil efetuar o cálculo da variância empregando a expressão 2 2V(X)=E(X ) E (X) como é mostrado nos próximos exemplos. Exemplo 10 (ex. 3.12) A função de probabilidade de X é 1 p(x)= , para 1,2,3, ... ,6 6 x Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 6 Como a função de probabilidade tem uma expressão analítica, é possível efetuar o cálculo de forma algébrica, como é mostrado a seguir O cálculo da expectância é bastante fácil 6 6 x 1 x 1 1 1 1 (1 6).6 7 E(X) = x x 3,5 6 6 6 2 2 No cálculo algébrico de expressões dessa natureza convém empregar os resultados conhecidos sobre somas de potências de números naturais. 6 6 6 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 6.(6 1).(2.6 1) 91 E(X ) = x p(x) 1) x x . 6 6 6 6 6 Portanto 2 2 2 91 7 91 49 35V(X)= E(X ) E (X)= 6 2 6 4 12 Quando a variável aleatória é do tipo discreto pode ser utilizado um dispositivo prático para cálculo da variância, por meio de uma tabela, como é mostrado a seguir x p(x) x p(x) 2x p(x) 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 2/6 4/6 3 1/6 3/6 9/6 4 1/6 4/6 16/6 5 1/6 5/6 25/6 6 1/6 6/6 36/6 Total 1 21/6 91/6 Assim 6 x 1 21 7 E(X) = x p(x) 3,5 6 2 Além disso, tem-se 6 2 2 x 1 91 E(X ) = x p(x) 6 Portanto, a variância pode ser calculada por Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 7 2 2 2 91 7 91 49 35V(X)= E(X ) E (X)= 6 2 6 4 12 O desvio padrão e o coeficiente de variação são calculados a seguir 35 σ 2,9167 1,7078 1,71 12 σ 1,71 γ 0,4889 0,49 μ 3,5 Exemplo 11 (ex. 3.14) 1 1 2 0 0 1 1 E(X)= x1dx = x 0,5 2 2 1 1 2 2 3 0 0 2 2 2 1 1 E(X ) = x 1dx = x e entãosegue 3 3 1 1 1 1 4 3 1 V(X) E(X ) E (X) 0,0833 0,08 3 2 3 4 12 12 1 1 3 eassim σ V(X) 0,2887 0,29 12 62 3 Além disso, segue também σ 0,29 γ 0,58 μ 0,5 Exemplo 12 (ex.3.15) 1 1 1 2 3 0 0 0 1 2 E(X) x 2x dx 2 x dx 2 x 0,6667 0,67 3 3 11 1 1 2 2 3 4 4 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 E(X ) = x 2 x dx = 2 x dx 2 x x e entãosegue 4 2 2 9 81 2 1 4 1 V(X) E(X ) E (X) 0,0556 0,06 2 3 2 9 18 18 1 1 2 bem como σ V(X) 0,2357 0,24 18 63 2 bem como σ 0,2357 γ 0,3535 μ 0,6667 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 8 Expectância de uma Função de X (RT 3 – Seção 3.2) Propriedades da Expectância (RT 3 – Seção 3.5) Propriedades da Variância e do Desvio Padrão (RT 3 – Seção 3.7 e Seção 3.9) Exemplo 13 (ex. 3.17) Sejam Y = peso do líquido e X = peso de uma garrafa; então o peso bruto de uma garrafa do produto é W = Y + X. Logo, supondo independência entre os pesos do líquido e da garrafa vazia, tem-se E W = E(Y+X) = E Y + E X 650 220 870g 2 2 2V W = V(Y+X) = V Y + V X 4,5 2,7 20,25 7,29 27,54g Wdonde σ = V W 27,54 5,2479 5,25g Exemplo 14 Certa indústria produz determinado tipo de tubo empregado na fabricação de um equipamento. Por contrato, esse tubo deve atender a especificações técnicas, em particular quanto ao seu comprimento, que deve ser igual a 30cm, com tolerância de 0,3 cm, para mais ou para menos. Assim, cada tubo produzido é em seguida examinado pelo setor de controle de qualidade para verificar se atende àquela especificação. O custo de produção de um tubo é R$ 10,00. Se o tubo for produzido dentro das especificações ele é vendido por R$ 20,00. Por outro lado, se o tubo tiver comprimento maior que 30,3 cm ele poderá ter seu comprimento ajustado à especificação, ao custo adicional de R$ 5,00; porém, se o seu comprimento for inferior a 29,7 cm ele deverá ser refugado, com prejuízo total. Admita-se que o comprimento, expresso em centímetros, de um tubo fabricado na indústria considerada é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade f(x)=1 , para 29,5< x < 30,5 Nessas condições, determine o lucro médio (por tubo) do fabricante. Seja Y a variável aleatória que expressa o lucro eventual de um tubo produzido. Então, a expressão do lucro em função de X é Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 9 0 10,00 10,00 se X < 29,7 L 20,00-10,00=10,00 se 29,7 X 30,3 20,00-15,00 5,00 se X >30,3 Além disso, tem-se 29,7 29,7 29,5 29,5 P(X < 29,7)= 1 dx = x 29,7 29,5 0,2 30,3 30,3 29,7 29,7 P(29,7 X 30,3) = 1 dx = x 30,3 29,7 0,6 30,5 30,5 30,3 30,3 P(X 30,3)= 1 dx = x 30,5 30,3 0,2 Portanto, o lucro médio é E(L) = 10,00.0,2 10,00.0,6 5,00.0,2 2,00 6,00 1,00 5,00 Ou seja, R$ 5,00 por tubo. Exemplo 15 (exercício 3.21) A função de probabilidade da demanda diária do produto é 1 x p(x) , para x 0,1,2,3 10 O custo diário de aquisição das 3 unidades do produto é R$ 15,00. Denotando por a o valor do preço unitário de venda, a ser determinado, e sendo X a variável aleatória que representa o número eventual de unidades do produto vendidas em um dia, então o lucro diário, Y, é expresso por Y aX-15 . Portanto, o valor esperado do lucro diário é E(Y) E(aX-15) a E(X) 15 O valor esperado do número de unidades vendidas é 3 x 0 x +1 1 2 3 4 0 2 6 12 20 E(X) x 0 1 2 3 2 10 10 10 10 10 10 10 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 10 Logo 25 E(Y) = a 2 15 10,donde 2a 25 eassim a 12,5 2 . Ou seja, a = R$ 12,50 Exemplo 16 (ex. 3.22) Seja X a variável aleatória que representa a demanda eventual do produto durante uma semana. A distribuição de probabilidade de X é x p(x) 0 0,1 1 0,1 2 0,3 3 0,4 0,1 4 Total 1,0 Para determinar o valor ótimo da encomenda semanal pode-se recorrer a uma pesquisa exaustiva. Nesse sentido, verifica-se que cada unidade vendida fornece um lucro igual a 2,00 – 1,50 = 0,50 u.m. e cada unidade não vendida acarreta um prejuízo de 1,50 u.m. Denotando por Y o lucro por unidade e por r a quantidade encomendada do produto, tem-se a análise mostrada a seguir, para r = 1, 2, 3, 4 . r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 x p(x) y y p(x) y y p(x) y y p(x) y y p(x) 0 0,1 - 1,50 - 0,15 - 3,00 - 0,30 - 4,50 - 0,45 - 6,00 - 0,60 1 0,1 0,50 0,05 - 1,00 - 0,10 - 2,50 - 0,25 - 4,00 - 0,40 2 0,3 0,50 0,15 1,00 0,30 - 0,50 - 0,15 - 2,00 - 0,60 3 0,4 0,50 0,20 1,00 0,40 1,50 0,60 0,00 0,00 4 0,1 0,50 0,05 1,00 0,10 1,50 0,15 2,00 0,20 total 1,0 0,30 0,40 - 0,10 - 1,40 Portanto, verifica-se que o lucro unitário esperado é máximo quando r = 2. Prova-se que esse tipo de problema pode ser resolvido pelo exame da função de distribuição da demanda, procurando o maior valor x* de X tal que a F(x*) a + b onde a Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 11 é o lucro líquido unitário e b a perda líquida unitária e tomando-se como máximo o valor r = x* + 1. Nesse caso, tem-se a 0,50 0,50 0,25 ou seja F(x) 0,25 a +b 0,50 1,50 2,00 x p(x) F(x) 0 0,1 0,1 1 0,1 0,2 2 0,3 0,5 3 0,4 0,1 0,9 4 1,0Total 1,0 Verifica-se facilmente que x* = 1, pois F(1) = 0,20 e F(2) = 0,50, donde o ponto de máximo é r = x* + 1 = 1+1 = 2 Momentos de uma Variável Aleatória (RT 3 – Seção 3.12) Exemplo 17 (ex. 3.26) A função de probabilidade de X é x p(x)= , para x 1,2,3 6 Logo, a expressão geral dos momentos ordinários de X é 3 3 k k k+1 k+1 k 1 k 1 k 1 k 1 k x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 μ E(X ) x x 1 2 3 (1 2 3 ) para k 0,1,2,3,... 6 6 6 6 6 6 Exemplo 18 (ex. 3.28) A função de densidade de probabilidade de X é f(x)=1 , para 0< x < 1 Então, a expressão geral dos momentos ordinários de X é 1 1 k k k 1 k 0 0 1 1 μ E(X )= x 1dx = x para k 0,1,2,3,... k+1 k 1 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 12 Exemplo 19 (ex. 3.29) A função de densidade de probabilidade de X é 1 f(x)= , para 1 < x < 1 2 A expressão geral dos momentos ordinários de X é k 1k 11 1k k k 1 k 1 1 1 11 1 μ E(X )= x dx = x para k 0,1,2,3,... 2 2(k+1) 2(k 1) portanto k k 1 , para k 0,2,4,... μ E(X ) k 1 0 , para k 1,3,5,... Função Geratriz de Momentos de uma Variável Aleatória (RT 3 – Seção 3.13) Exemplo 20 (ex. 3.32) A função de probabilidade da variável X é X 1 p (x) x para x 1,2,3 6 A função geratriz de momentos de X é 3 3 t X t x t x t 2t 3t X x 1 1 1 1 1 (t) E x x 1 2 3 para t 6 6 6x M e e e e e e Então segue (1) t 2t 3t t 2t 3t1 X Xt 0 t =0 t 0 d d 1 1 μ (t) (0) 2 3 4 9 dt dt 6 6 M M e e e e e e t 2t 3t1 t =0 1 14 7 μ 4 9 2,33 6 6 3 e e e Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 13 2 2 (2) t 2t 3t t 2t 3t 2 X X2 2t 0 t =0t 0 d d 1 1 d μ (t) (0) 2 3 4 9 dt dt 6 6 dt M M e e e e e e 2 t 2t 3t 2 X2 t 0 t 0 d 1 1 36 μ (t) 8 27 1 8 27 6 dt 6 6 6 M e e e 2 2 1 7 18 7 11 V(X) ν μ μ 6 3,67 3 3 3 Exemplo 21 (ex. 3.33) A função de probabilidade da variável aleatória X é x 1 x Xp (x) p (1 p) para x 0,1 A função geratriz de momentos de X então é 1 1 t X t x t x x 1 x 0 t t X X x 0 0 (t) E p (x) p (1 p) (1 p) p (1 p) p x M e e e e e e para todo t real. Logo tem-se (1) t t1 X Xt 0 t =0 t 0 d d μ (t) (0) 1 p p 0 p p dt dt M M e e 2 (2) t t t 2 X X 2t 0 t 0 t =0t 0 d d d μ (t) (0) 1 p p 0 p p p dt dt dt M M e e e 2 2 2 2 2 2 1ν V(X) E(X ) E (X) μ μ p p p(1 p) Exemplo 22 (ex. 3.34) A variável aleatória X é do tipo contínuo e possui a seguinte função de densidade de probabilidade x Xf (x) para x 0e A sua função geratriz de momentos é. Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 14 0 t X t x x (t 1)x (1 t)x (1 t)x X 0 0 0 1 1 1 (t) E dx dx ; t 1 1 t 1 t 1 t M e e e e e e expressão que é válida para todo t real tal que t < 1, condição necessária para a convergência da integral. Consequentemente, tem-se 1 2(1) 1 X X 2t 0 t 0t 0 t 0 d d 1 d 1 μ (t) (0) 1 t 1 t ( 1) 1 dt dt 1 t dt 1 t M M 2 2 2 3(2) 2 X X2 2 3t 0 t 0 t 0t 0 t 0 d d 1 d 2 μ (t) (0) 1 t 2 1 t ( 1) 2 dt dt 1 t dt 1 t M M 1E(X) μ 1 2 2 2 1ν μ μ 2 1 1 V(X) Exemplo 23 (ex. 3.35) X é uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função de densidade de probabilidade X 1 f (x) para 1 x 1 2 A função geratriz de momentos de X é 11 t X t x t x t t X 11 1 1 1 (t) E dx para todo t R, com t 0 2 2t 2t M e e e e e ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios Adicionais Resolvidos Exercício resolvido 1 (ex. 3.3) A função de probabilidade de X é Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 15 1 p(x)= , para 1,2,3, ... ,6 6 x Logo, tem-se 6 6 x 1 x 1 1 1 1 (1 6).6 7 E(X) = x x 3,5 6 6 6 2 2 Quando a variável aleatória é do tipo discreto pode ser utilizado um dispositivo prático para cálculo do valor esperado, por meio de uma tabela, como é mostrado a seguir x p(x) x p(x) 1 1/6 1/6 2 2/6 2/6 3 3/6 3/6 4 4/6 4/6 5 5/6 5/6 6 6/6 6/6 Total 21/6 Assim 6 x 1 21 E(X) = x p(x) 3,5 6 Exercício resolvido 2 (ex. 3.4) A função de probabilidade de X é x -1 p(x)= , para x 2,3,4,5,6 15 Então 6 6 6 6 2 2 2 x 2 x 2 x = 2 x = 2 x -1 6.(6 1).(2.6 1) (6 2).51 1 1 E(X) = x (x x)= x x 1 15 15 15 15 6 2 1 70 14 E(X) 90 20 4,67 15 15 3 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 16 Exercício resolvido 3 (ex. 3.5) A função de probabilidade de X é x 3 1 p(x)= , para x =0, 1, 2, 3 8 Portanto, a média (ou expectância) de X é x3 3 3 x 0 x 0 1 1 3 E(X) = x (0.1+1.3+2.3+3.1) 12 1,5 8 8 8 2 Exercício resolvido 4 (ex. 3.9) A função de densidade de probabilidade de X é 2 1 f(x) = , para x >1 x Então, a variável aleatória X não possui expectância pois 2 1 x 1 1 1 1 1 x f(x)dx = x dx dx ln x lim ln ln1 0 x x x Ou seja, a integral acima é divergente. Exercício resolvido 5 (ex. 3.11) A função de probabilidade de X é x 3 1 p(x)= , para x =0, 1, 2, 3 8 Já foi visto anteriormente (no exemplo 7) que 3 μ E(X) 1,5 2 . Portanto, o cálculo da variância pelo emprego direto da definição é como apresentado a seguir 3 2 2 2 x x=0 1 V(X)= E X-E(X) E X-1,5 (x -1,5) 8 3 2 2 2 22 x x=0 1 1 1 V(X)= (x -1,5) 0 1,5 .1 1 1,5 .3 21,5 .3 3 1,5 .1 8 8 8 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 17 1 1 3 V(X) 2,25.1 0,25.3 0,25.3 2,25.1 6 0,75 8 8 4 Assim, o desvio padrão é 3 3 1,7321 0,8660 0,87 4 2 2 Como se pode perceber, o cálculo da variância pela definição é, em geral, bastante trabalhoso. Exercício resolvido 6 (ex. 3.13) A função de densidade de probabilidade de X é 1 f(x) , para 1< x 3. 2 Então, tem-se que: i) a expectância de X é 33 3 2 11 1 1 1 1 1 1 8 = E(X) x dx x dx x (9 1) 2 2 2 2 2 4 4 ii) a variância de X é 3 3 2 22 2 2 1 1 1 1 = V(X)= E X-E(X) E X-2 (x -2) dx (x -2) dx 2 2 donde 3 2 3 3 3 1 1 1 1 2 1 = V(X) = (x -2) 1 ( 1) 2 3 6 6 3 iii) o desvio padrão e o coeficiente de variação, são, respectivamente, 1 1 3 0,5774 0,58 3 33 0,58 0,29 2 Exercício resolvido 7 (ex. 3.16) A caixa contém 6 peças, sendo duas de ferro e quatro de bronze. São selecionadas três peças do lote, ao acaso, sem reposição. Seja X a variável aleatória que representa o Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 18 número eventual de peças de ferro selecionadas. Então, a função de probabilidade de X é x x 2 3 p(x)= , para x 0,1,2 Portanto: 0 3 2 4 3 6 1.4 1 p(0) 6.5.4 5 3.2.1 1 2 2 4 4.3 2 12 32.1 p(1) 6.5.4 20 5 3.2.1 2 1 2 4 1.4 1p(2) 6.5.4 5 3.2.1 Logo, tem-se 1 3 1 3 2 5 E(X)=0 1 2 1 5 5 5 5 5 2 2 2 21 3 1 3 4 7E(X )=0 1 2 5 5 5 5 5 2 2 2 7 57 2V(X)= E(X ) E (X) 1 0,4 5 5 5 Exercício resolvido 8 (ex. 3.18) No caso, tem-se 2Z=3X +8 e W 2X 7 Portanto, segue a) 2 2 2E Z = E(3X +8) = 3E(X ) + 8 = 3 Var(X)+E (X) +8 = 23 10 2 8 3. 14 8 42 8 50 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 19 b) 2(W) = (2X-7) = 2X +0 = 2 = 4. 10 = 40Var Var Var Var(X) Exercício resolvido 9 (ex. 3.20) A expressão da função de densidade de probabilidade do teor de sódio é: Xf x 6x 1 x 0 x 1 Então, segue: a) 1 1 3 41 1 1 2 3 0 0 0 0 0 x x E X x 6x(1 x) dx 6 x dx x dx 6 3 4 1 1 1 6 3 4 2 b) 1 1 4 51 1 1 2 2 3 4 0 0 0 0 0 x x E(X ) x 6x(1 x) dx 6 x dx x dx 6 4 5 1 1 3 6 4 5 10 2 2 2 3 1 1X E(X ) E (X) 10 2 20 Var c) X DP X 1/ 20 5 E X 1/ 2 5 γ d) X X x S E g X g x f x dx 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E 1/ X 1/ x 6x 1 x dx 6 1 x dx 6 dx 6 x dx 13 0 x 6 6 3 3 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 20 Exercício resolvido 10 (ex. 3.25) A função de densidade de probabilidade do consumo mensal do produto, X, é 3 f(x) 1 x , para 0 x 1 2 Então o consumo mensal médio é 1 1 1 1/ 2 0 0 0 3 3 3 E(X) x 1 x dx x 1 x dx x (1 x) dx 2 2 2 Fazendo u 1 x, tem-se dx du e segue 0 0 1 1/2 1/2 1 1 0 3 3 3 E(X) (1 u) u ( du) (1 u)u du (1 u)u du 2 2 2 1 1 1 3/2 5/2 1/2 3/2 0 0 0 3 3 u u 3 2 2 E(X) u du u du 2 2 3/2 5/2 2 3 5 3 10 6 3 4 2 E(X) 0,4milhar deunidadesouseja 400unidades 2 15 2 15 5 Exercício resolvido 11 (ex. 3.24) A função de densidade de probabilidade da demanda mensal do produto, X, é 6f(x) 5x , para x >1 Então a) A demanda mensal média é 4 1 -6 5 4 1 1 1 x 5 5 E(X) x 5x dx 5 x dx 5 x 1,25 milhar de unidades 4 4 4 b) A variância da demanda mensal é 3 1 2 2 6 4 3 1 1 1 x 5 5 E(X ) x 5x dx 5 x dx 5 x 3 3 3 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 21 2 2 2 5 5 5 25 80 75 5V(X) E(X ) E (X) 3 4 3 16 48 48 Exercício resolvido 12 (ex. 3.19) Lança-se uma moeda duas vezes. Represente-se por X o número de caras e por Y o número de coroas obtidas. Faça-se: Z = X-Y. Determinar: a) a expectância Z; b) a variância de Z. Sejam X e Y o número eventual de “caras” e de “coroas”, respectivamente. Então, fazendo Z = X – Y, tem-se x y z p(z) z p(z) 2z p(z) 0 2 - 2 1/4 - 2/4 4/4 1 1 0 2/4 0 0 2 0 2 1/4 2/4 4/4 Total 1 0 2 2 z=-2 E(Z) z p(z) 0 2 2 2 2E(Z )=2 e V(Z) E(Z ) E (Z) 2 0 2 Outra solução Uma solução alternativa é obtida observando-se que X + Y = 2, donde Y = 2 – X e Z = X – Y = 2 X – 2 = 2 (X – 1). Logo E(Z) = 2 E(X) – 2 e V(Z) = 4 V(X). Como E(X) = 1 e V(X) = 1/2 segue que E(Z) = 0 e V(Z) = 2. Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 22 Exercício resolvido 13 (ex. 3.23) A variável aleatória X, que representa a demanda anual do produto considerado, tem a seguinte função de densidade de probabilidade 1 , para 2 x 4 f(x) 2 0 , para outros valores Sejam r a quantidade a ser produzida pelo fabricante e Y a variável aleatória que representa o lucro (unitário). Então, o lucro é função da demanda, X, tendo como expressão: 300 r , se X r Y h(X) 300X - 100(r -X) , se X r ou seja 300 r , se X r Y h(X) 400X - 100 r , se X r Logo o valor esperado de Y é XR E(Y) E h(X) h(x)f(x)dx Para calcular essa integral acima devem ser considerados três casos: i) r 2 Nesse caso, XX r , pois R (2,4) então Y h(X) 300 r e E(Y) 300 r ii) 2 r <4 r 4 2 r r r 4 r r 42 2 r2 2 2 r 2 2 2 2 2 1 1 E(Y) E h(X) (400 x -100r) dx 300r dx 2 2 1 200 x dx 50r dx +150r dx 200 x 50r x 150r x 2 100(r 4) 50r (r 2) 150r (4- r) 100r 400 50r 100r600 r -150r 100r 700r -400 Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 23 iii) r 4 nesse caso XX r , uma vez que R (2,4) logo 4 4 4 4 42 22 2 2 2 1 1 E(Y) E h(X) (400 x -100r) dx 200 x dx 50r dx 200 x 50r x 2 2 100(16 4) 50r (4-2) 1200 100r Portanto 2 300r , se r 2 E(Y) -100r 700r -400 , se 2< r 4 1200-100r , se r 4 O ponto extremo é encontrado fazendo d E(Y) 0 dr ou seja 200r +700 0 donde 700 7 r 3,5 200 2 isto é 35.000 litros de óleo Exercício resolvido 14 (ex. 3.27) A função de probabilidade de X é 1 p(x)= , para 1,2,3, ... ,6 6 x Logo, tem-se 6 6 k k k k k k k k k k x 1 x 1 1 1 1 μ E(X ) = x x 1 2 3 4 5 6 para k 0,1,2,3,... 6 6 6 Exercício resolvido 15 (ex. 3.30) A função de densidade de probabilidade de X é expressa por f(x)=2x , para 0< x < 1 Então, a expectância (ou média) de X é Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 24 1 1 1 k k+2 3 0 0 0 2 2 E(X)= x 2x dx = 2 x dx = x para k 0,1,2,3,... k+2 k 2
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