Buscar

Estatística - Resumo teórico 3.0

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 24 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 24 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 24 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
1 
 
ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
UNIDADE I – Cálculo de Probabilidades 
3. Expectância, Variância e Momentos de Variáveis Aleatórias Reais 
Referências: Resumo Teórico 3, Rice – Chap. 4, Montgomery e Runger – Cap. 3 e Cap. 
4, Larson – Cap. 3 e Meyer – Cap. 7 e Cap. 10 
Noção de Valor Esperado 
Exemplo 1. Dois jogadores, A e B, alternam-se no jogo de lançamento de uma moeda, 
apostando de acordo com a seguinte regra: se der “cara”, A ganha R$ 1,00 (e B perde 
essa quantia); e se der “coroa” A perde R$ 1,00 (B ganha essa quantia). Suponha-se que 
uma sequência de n lançamentos – rodadas do jogo – é realizada. Então, denotando por 
K o resultado “cara” e por C o resultado “coroa” e por 
Kn
e 
Cn
, respectivamente, os 
números de lançamentos em que ocorrem “cara” e “coroa”, dentre os n lançamentos 
realizados (ou seja, as frequências absolutas de “cara” e de “coroa”) tem-se: 
a) o lucro do jogador A, denotado por 
AL
, é 
 
A K C K CL = n .1,00 + n .(-1,00) = n - n
 
b) o lucro médio de A por rodada do jogo (por lançamento), denotado por 
Am
 é 
 
A A K C K C
1 1 1
m = L n n = f - f
n n n
 
, onde 
K Cf e f
denotam as frequências 
relativas de “caras” e “coroas”, respectivamente. 
Se o número de lançamentos, n, for suficientemente grande, e a moeda equilibrada, é de 
se esperar que se verifique 
 
CK
K K C C
nn 1 1
f p e f p
n 2 n 2
     
 
Portanto, intuitivamente, é de se esperar que o lucro médio (por lançamento) do jogador 
A após n lançamentos seja zero 
 
A K C
1 1
m p p 0
2 2
   
 
isto é, que haja uma espécie de empate, no qual A ( e B) não ganhe nem perca dinheiro. 
Esse procedimento intuitivo relaciona-se ao conceito de valor esperado, expectância ou 
média de uma variável aleatória. 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
2 
 
Expectância de uma Variável Aleatória Real (RT 3 – Seção 3.1 a Seção 3.5) 
Exemplo 2 Em certa fábrica, 10% das peças produzidas são defeituosas. Cada peça não 
defeituosa gera um lucro de R$ 3,00 , enquanto cada peça defeituosa acarreta uma perda 
de R$ 1,00. Se X for a variável aleatória que representa o lucro líquido por peça 
produzida, determinar o valor esperado desse lucro (ou lucro médio por peça). 
Nessas condições, tem-se 
 
E(X) 3,00.0,9 ( 1,00).0,1 2,70 0,10 2,60     
 
 
Exemplo 3 (ex. 3.1) 
A função de probabilidade de X é expressa por 
 
1
, para x 1
4
1
p(x) = , para x 0
2
1
, para x 1
4









 
Então o valor esperado (ou média) de X é 
 
1 1 1
E(X) =-1 0 1 0
4 2 4
  
 
 
Exemplo 4 (ex. 3.2) 
A função de probabilidade de X é 
 
x
p(x)= , para x 1,2,3
6

 
Logo, a expectância (ou média) de X é 
 3 3
2 2 2 2
x 1 x 1
x 1 1 1 1 1 14 7
E(X) = x x = 1 2 3 (1 4 9) 2,33
6 6 6 6 6 6 6 3 
         
 
 
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
3 
 
Exemplo 5 (ex. 3.6) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 
f(x)=1 , para 0< x < 1
 
Então, a expectância (ou média) de X é 
 1
1
2
0
0
1 1
E(X)= x1dx = x 0,5
2 2
 
 
 
Exemplo 6 (ex. 3.7) 
A função de densidade de probabilidade de X é expressa por 
 
f(x)=2x , para 0< x < 1
 
Então, a expectância (ou média) de X é 
 1 1
1
2 3
0
0 0
2 2
E(X)= x 2x dx = 2 x dx = x 0,67
3 3
  
 
 
Exemplo 7 (ex. 3.8) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 
αxf(x)= α , para x >0, comα>0e
 
Logo, a expectância (ou média) de X é 
 
α x
0 0
E(X)= x f(x)dx = x αe dx
 

 
 
Essa integral pode ser resolvida empregando-se o método de integração por partes. Com 
efeito, fazendo-se u = x e 
αxdv=αe dx
 segue que: 
i) du = dx 
ii) 
αx αx αx
dx =dv=αe e d(α x) v e   
 
Logo 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
4 
 
 
0 0
αx αx αx αx αx αx αx
0 0 0
0 0
1 1
E(X)= x αe dx x e e dx = x e e x e e
α α
 
  
      
 
        
 
 
αx αx
x x
1 1 1 1
0 lim x e lim e 0 0 0
α α α α
 
 
        
 
pois: 
i) 
αx
x
lim x e 0


 
e 
ii) 
αx αx
x x
1 1
lim e lim e 0
α α
 
 
 
 
Portanto 
1
E(X) =
α
 
 
Exemplo 8 Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade 
 
2
1
f(x)= , para - < x <
π(1+ x )
 
 
Então, a variável aleatória X não possui expectância pois a integral correspondente não 
é absolutamente convergente. Com efeito, 
 
2
- -
|x|
|x|f(x)dx = dx
π(1+ x )
 
 
  
é divergente pois 
 0
2 2
0 -
(- x)1 x 1
dx dx
π π1+ x 1+ x


   
 
 
 
 
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
5 
 
Variância de uma Variável Aleatória Real (Seção 3.6 a Seção 3.7) 
Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Real (Seção 3.8 a Seção 3.9) 
Coeficiente de Variação de uma Variável Aleatória Real (Seção 3.10) 
 
Exemplo 9 (ex. 3.10) 
A função de probabilidade de X é 
 
1
, para x = -1
4
1
p(x) = , para x = 0
2
1
, para x =1
4









 
Como já foi visto anteriormente, no exemplo 3, a média de X é E(X) = 0. Logo, a 
variância de X, calculada pela definição, é 
 
     2 2 2V(X)= E X-E(X) E X-0 E X       
 
Portanto, nesse caso 
 
 
1
2 2 2 2 2
x 1
1 1 1 1 1 1
V(X) E X x p(x)= ( 1) . 0 . 1 .
4 2 4 4 4 2
       
 
Ou seja, 
 V(X) = 
2
= 
1
2
e 
1 1 2 1,4142
0,7071 0,71
2 2 22
      
 
Note-se que o cálculo acima foi facilitado pelo fato de que E(X) = 0. Em geral, torna-se 
mais fácil efetuar o cálculo da variância empregando a expressão 
2 2V(X)=E(X ) E (X)
como é mostrado nos próximos exemplos. 
 
Exemplo 10 (ex. 3.12) 
A função de probabilidade de X é 
 
1
p(x)= , para 1,2,3, ... ,6
6
x
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
6 
 
Como a função de probabilidade tem uma expressão analítica, é possível efetuar o 
cálculo de forma algébrica, como é mostrado a seguir 
O cálculo da expectância é bastante fácil 
 6 6
x 1 x 1
1 1 1 (1 6).6 7
E(X) = x x 3,5
6 6 6 2 2 

    
 
No cálculo algébrico de expressões dessa natureza convém empregar os resultados 
conhecidos sobre somas de potências de números naturais. 
 6 6 6
2 2 2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 6.(6 1).(2.6 1) 91
E(X ) = x p(x) 1) x x .
6 6 6 6 6  
 
     
 
 Portanto 
 
2
2 2 91 7 91 49 35V(X)= E(X ) E (X)=
6 2 6 4 12
 
    
 
 
Quando a variável aleatória é do tipo discreto pode ser utilizado um dispositivo prático 
para cálculo da variância, por meio de uma tabela, como é mostrado a seguir 
 
x
 
p(x)
 
x p(x)
 
2x p(x)
 
1 1/6 1/6 1/6 
2 1/6 2/6 4/6 
3 1/6 3/6 9/6 
4 1/6 4/6 16/6 
5 1/6 5/6 25/6 
6 1/6 6/6 36/6 
Total 1 21/6 91/6 
 
Assim 
 6
x 1
21 7
E(X) = x p(x) 3,5
6 2
  
 
Além disso, tem-se 
 6
2 2
x 1
91
E(X ) = x p(x)
6

 
Portanto, a variância pode ser calculada por 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
7 
 
 2
2 2 91 7 91 49 35V(X)= E(X ) E (X)=
6 2 6 4 12
 
     
 
 
O desvio padrão e o coeficiente de variação são calculados a seguir 
 35
σ 2,9167 1,7078 1,71
12
   
 
 
σ 1,71
γ 0,4889 0,49
μ 3,5
   
 
Exemplo 11 (ex. 3.14) 
 1
1
2
0
0
1 1
E(X)= x1dx = x 0,5
2 2
 
 
 
1
1
2 2 3
0
0
2
2 2
1 1
E(X ) = x 1dx = x e entãosegue
3 3
1 1 1 1 4 3 1
V(X) E(X ) E (X) 0,0833 0,08
3 2 3 4 12 12
1 1 3
eassim σ V(X) 0,2887 0,29
12 62 3

 
          
 
     

 
 Além disso, segue também 
σ 0,29
γ 0,58
μ 0,5
  
 
Exemplo 12 (ex.3.15) 
 1 1
1
2 3
0
0 0
1 2
E(X) x 2x dx 2 x dx 2 x 0,6667 0,67
3 3
 
      
 
 
 
 
11 1
1
2 2 3 4 4
0
0 0 0
2
2 2
1 1 1
E(X ) = x 2 x dx = 2 x dx 2 x x e entãosegue
4 2 2
9 81 2 1 4 1
V(X) E(X ) E (X) 0,0556 0,06
2 3 2 9 18 18
1 1 2
bem como σ V(X) 0,2357 0,24
18 63 2
 
   
 
 
          
 
     
 
 
 bem como 
σ 0,2357
γ 0,3535
μ 0,6667
  
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
8 
 
Expectância de uma Função de X (RT 3 – Seção 3.2) 
Propriedades da Expectância (RT 3 – Seção 3.5) 
Propriedades da Variância e do Desvio Padrão (RT 3 – Seção 3.7 e Seção 3.9) 
Exemplo 13 (ex. 3.17) 
Sejam Y = peso do líquido e X = peso de uma garrafa; então o peso bruto de uma 
garrafa do produto é W = Y + X. Logo, supondo independência entre os pesos do 
líquido e da garrafa vazia, tem-se 
 
     E W = E(Y+X) = E Y + E X 650 220 870g  
 
 
      2 2 2V W = V(Y+X) = V Y + V X 4,5 2,7 20,25 7,29 27,54g    
 
 
 Wdonde σ = V W 27,54 5,2479 5,25g 
 
 
Exemplo 14 Certa indústria produz determinado tipo de tubo empregado na fabricação 
de um equipamento. Por contrato, esse tubo deve atender a especificações técnicas, em 
particular quanto ao seu comprimento, que deve ser igual a 30cm, com tolerância de 0,3 
cm, para mais ou para menos. Assim, cada tubo produzido é em seguida examinado 
pelo setor de controle de qualidade para verificar se atende àquela especificação. O 
custo de produção de um tubo é R$ 10,00. Se o tubo for produzido dentro das 
especificações ele é vendido por R$ 20,00. Por outro lado, se o tubo tiver comprimento 
maior que 30,3 cm ele poderá ter seu comprimento ajustado à especificação, ao custo 
adicional de R$ 5,00; porém, se o seu comprimento for inferior a 29,7 cm ele deverá ser 
refugado, com prejuízo total. Admita-se que o comprimento, expresso em centímetros, 
de um tubo fabricado na indústria considerada é uma variável aleatória com função de 
densidade de probabilidade 
 
f(x)=1 , para 29,5< x < 30,5
 
Nessas condições, determine o lucro médio (por tubo) do fabricante. 
 
Seja Y a variável aleatória que expressa o lucro eventual de um tubo produzido. Então, 
a expressão do lucro em função de X é 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
9 
 
 
0 10,00 10,00 se X < 29,7
L 20,00-10,00=10,00 se 29,7 X 30,3
20,00-15,00 5,00 se X >30,3
 

  
 
 
Além disso, tem-se 
29,7
29,7
29,5
29,5
P(X < 29,7)= 1 dx = x 29,7 29,5 0,2  
 
30,3
30,3
29,7
29,7
P(29,7 X 30,3) = 1 dx = x 30,3 29,7 0,6    
 
30,5
30,5
30,3
30,3
P(X 30,3)= 1 dx = x 30,5 30,3 0,2   
 
Portanto, o lucro médio é 
E(L) = 10,00.0,2 10,00.0,6 5,00.0,2 2,00 6,00 1,00 5,00       
 
Ou seja, R$ 5,00 por tubo. 
 
Exemplo 15 (exercício 3.21) 
A função de probabilidade da demanda diária do produto é 
 
1 x
p(x) , para x 0,1,2,3
10

 
 
O custo diário de aquisição das 3 unidades do produto é R$ 15,00. Denotando por a o 
valor do preço unitário de venda, a ser determinado, e sendo X a variável aleatória que 
representa o número eventual de unidades do produto vendidas em um dia, então o lucro 
diário, Y, é expresso por 
Y aX-15 
. 
Portanto, o valor esperado do lucro diário é 
 
E(Y) E(aX-15) a E(X) 15  
 
O valor esperado do número de unidades vendidas é 
 3
x 0
x +1 1 2 3 4 0 2 6 12 20
E(X) x 0 1 2 3 2
10 10 10 10 10 10 10
  
       
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
10 
 
Logo 
25
E(Y) = a 2 15 10,donde 2a 25 eassim a 12,5
2
    
. Ou seja, a = R$ 12,50 
 
Exemplo 16 (ex. 3.22) 
Seja X a variável aleatória que representa a demanda eventual do produto durante uma 
semana. 
 A distribuição de probabilidade de X é 
 x p(x) 
 0 0,1 
 1 0,1 
 2 0,3 
 3 0,4 
 0,1 4 
 Total 1,0 
 
Para determinar o valor ótimo da encomenda semanal pode-se recorrer a uma pesquisa 
exaustiva. Nesse sentido, verifica-se que cada unidade vendida fornece um lucro igual a 
 2,00 – 1,50 = 0,50 u.m. 
 e cada unidade não vendida acarreta um prejuízo de 1,50 u.m. 
Denotando por Y o lucro por unidade e por r a quantidade encomendada do produto, 
tem-se a análise mostrada a seguir, para r = 1, 2, 3, 4 . 
 
 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 
 x p(x) y y p(x) y y p(x) y y p(x) y y p(x) 
 0 0,1 - 1,50 - 0,15 - 3,00 - 0,30 - 4,50 - 0,45 - 6,00 - 0,60 
 1 0,1 0,50 0,05 - 1,00 - 0,10 - 2,50 - 0,25 - 4,00 - 0,40 
 2 0,3 0,50 0,15 1,00 0,30 - 0,50 - 0,15 - 2,00 - 0,60 
 3 0,4 0,50 0,20 1,00 0,40 1,50 0,60 0,00 0,00 
 4 0,1 0,50 0,05 1,00 0,10 1,50 0,15 2,00 0,20 
total 1,0 0,30 0,40 - 0,10 - 1,40 
 
Portanto, verifica-se que o lucro unitário esperado é máximo quando r = 2. 
Prova-se que esse tipo de problema pode ser resolvido pelo exame da função de 
distribuição da demanda, procurando o maior valor x* de X tal que 
a
F(x*)
a + b

onde a 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
11 
 
é o lucro líquido unitário e b a perda líquida unitária e tomando-se como máximo o 
valor r = x* + 1. Nesse caso, tem-se 
 
a 0,50 0,50
0,25 ou seja F(x) 0,25
a +b 0,50 1,50 2,00
   

 
 x p(x) F(x) 
 0 0,1 0,1 
 1 0,1 0,2 
 2 0,3 0,5 
 3 0,4 
 0,1 
 0,9 
 4 1,0Total 1,0 
 
Verifica-se facilmente que x* = 1, pois F(1) = 0,20 e F(2) = 0,50, donde o ponto de 
máximo é r = x* + 1 = 1+1 = 2 
 
Momentos de uma Variável Aleatória (RT 3 – Seção 3.12) 
Exemplo 17 (ex. 3.26) 
A função de probabilidade de X é 
 
x
p(x)= , para x 1,2,3
6

 
Logo, a expressão geral dos momentos ordinários de X é 
 
3 3
k k k+1 k+1 k 1 k 1 k 1 k 1
k
x 1 x 1
x 1 1 1 1 1
μ E(X ) x x 1 2 3 (1 2 3 ) para k 0,1,2,3,...
6 6 6 6 6 6
   
 
          
 
Exemplo 18 (ex. 3.28) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 
f(x)=1 , para 0< x < 1
 
Então, a expressão geral dos momentos ordinários de X é 
 1
1
k k k 1
k
0
0
1 1
μ E(X )= x 1dx = x para k 0,1,2,3,...
k+1 k 1
  

 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
12 
 
Exemplo 19 (ex. 3.29) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 
1
f(x)= , para 1 < x < 1
2
 
A expressão geral dos momentos ordinários de X é 
  k 1k 11 1k k k 1
k
1
1
1 11 1
μ E(X )= x dx = x para k 0,1,2,3,...
2 2(k+1) 2(k 1)




 
  

 
portanto 
 
k
k
1
, para k 0,2,4,...
μ E(X ) k 1
0 , para k 1,3,5,...


  
 
 
 
Função Geratriz de Momentos de uma Variável Aleatória (RT 3 – Seção 3.13) 
Exemplo 20 (ex. 3.32) 
A função de probabilidade da variável X é 
 
X
1
p (x) x para x 1,2,3
6
 
 
A função geratriz de momentos de X é 
 
   
3 3
t X t x t x t 2t 3t
X
x 1 1
1 1 1
(t) E x x 1 2 3 para t
6 6 6x
M e e e e e e
 
          
 
Então segue 
 
    (1) t 2t 3t t 2t 3t1 X Xt 0
t =0
t 0
d d 1 1
μ (t) (0) 2 3 4 9
dt dt 6 6
M M e e e e e e


                    
 
  t 2t 3t1
t =0
1 14 7
μ 4 9 2,33
6 6 3
e e e      
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
13 
 
   
2 2
(2) t 2t 3t t 2t 3t
2 X X2 2t 0
t =0t 0
d d 1 1 d
μ (t) (0) 2 3 4 9
dt dt 6 6 dt
M M e e e e e e


                        
 
   
2
t 2t 3t
2 X2 t 0
t 0
d 1 1 36
μ (t) 8 27 1 8 27 6
dt 6 6 6
M e e e


         
 
 
2 2 1
7 18 7 11
V(X) ν μ μ 6 3,67
3 3 3

       
 
 
Exemplo 21 (ex. 3.33) 
A função de probabilidade da variável aleatória X é 
 
x 1 x
Xp (x) p (1 p) para x 0,1
  
 
A função geratriz de momentos de X então é 
 
1 1
t X t x t x x 1 x 0 t t
X X
x 0 0
(t) E p (x) p (1 p) (1 p) p (1 p) p
x
M e e e e e e
 
          
para 
todo t real. 
Logo tem-se 
 (1) t t1 X Xt 0 t =0
t 0
d d
μ (t) (0) 1 p p 0 p p
dt dt
M M e e


  
              
  
 
 
2
(2) t t t
2 X X 2t 0 t 0
t =0t 0
d d d
μ (t) (0) 1 p p 0 p p p
dt dt dt
M M e e e
 

    
                 
   
 
2 2 2 2
2 2 1ν V(X) E(X ) E (X) μ μ p p p(1 p)        
 
 
Exemplo 22 (ex. 3.34) 
A variável aleatória X é do tipo contínuo e possui a seguinte função de densidade de 
probabilidade 
 
x
Xf (x) para x 0e
 
 
A sua função geratriz de momentos é. 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
14 
 
 
 
0
t X t x x (t 1)x (1 t)x (1 t)x
X
0 0 0
1 1 1
(t) E dx dx ; t 1
1 t 1 t 1 t
M e e e e e e
 
     


      
   
expressão que é válida para todo t real tal que t < 1, condição necessária para a 
convergência da integral. 
Consequentemente, tem-se 
 
   
 
1 2(1)
1 X X 2t 0
t 0t 0 t 0
d d 1 d 1
μ (t) (0) 1 t 1 t ( 1) 1
dt dt 1 t dt 1 t
M M
 

 
          
  
 
 
   
 
2 2
2 3(2)
2 X X2 2 3t 0
t 0
t 0t 0 t 0
d d 1 d 2
μ (t) (0) 1 t 2 1 t ( 1) 2
dt dt 1 t dt 1 t
M M
 


 
          
  
1E(X) μ 1 
 
2
2 2 1ν μ μ 2 1 1 V(X)     
 
 
Exemplo 23 (ex. 3.35) 
X é uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função de densidade de 
probabilidade 
 
X
1
f (x) para 1 x 1
2
   
 
A função geratriz de momentos de X é 
   
11
t X t x t x t t
X
11
1 1 1
(t) E dx para todo t R, com t 0
2 2t 2t
M e e e e e

      
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercícios Adicionais Resolvidos 
 
Exercício resolvido 1 (ex. 3.3) 
A função de probabilidade de X é 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
15 
 
 
1
p(x)= , para 1,2,3, ... ,6
6
x
 
Logo, tem-se 
 6 6
x 1 x 1
1 1 1 (1 6).6 7
E(X) = x x 3,5
6 6 6 2 2 

    
 
Quando a variável aleatória é do tipo discreto pode ser utilizado um dispositivo prático 
para cálculo do valor esperado, por meio de uma tabela, como é mostrado a seguir 
 
x
 
p(x)
 
x p(x)
 
1 1/6 1/6 
2 2/6 2/6 
3 3/6 3/6 
4 4/6 4/6 
5 5/6 5/6 
6 6/6 6/6 
Total 21/6 
 
Assim 
 6
x 1
21
E(X) = x p(x) 3,5
6
 
 
 
Exercício resolvido 2 (ex. 3.4) 
A função de probabilidade de X é 
 
x -1
p(x)= , para x 2,3,4,5,6
15

 
Então 
6 6 6 6
2 2 2
x 2 x 2 x = 2 x = 2
x -1 6.(6 1).(2.6 1) (6 2).51 1 1
E(X) = x (x x)= x x 1
15 15 15 15 6 2 
     
         
  
   
 
 
1 70 14
E(X) 90 20 4,67
15 15 3
    
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
16 
 
Exercício resolvido 3 (ex. 3.5) 
A função de probabilidade de X é 
 
x
3
1
p(x)= , para x =0, 1, 2, 3
8
 
Portanto, a média (ou expectância) de X é 
 x3 3
3
x 0 x 0
1 1 3
E(X) = x (0.1+1.3+2.3+3.1) 12 1,5
8 8 8 2 
    
 
 
Exercício resolvido 4 (ex. 3.9) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 
2
1
f(x) = , para x >1
x
 
Então, a variável aleatória X não possui expectância pois 
 
2 1 x
1 1 1
1 1
x f(x)dx = x dx dx ln x lim ln ln1 0
x x
x
  


       
 
Ou seja, a integral acima é divergente. 
Exercício resolvido 5 (ex. 3.11) 
A função de probabilidade de X é 
 
x
3
1
p(x)= , para x =0, 1, 2, 3
8
 
Já foi visto anteriormente (no exemplo 7) que 
3
μ E(X) 1,5
2
  
. Portanto, o cálculo da 
variância pelo emprego direto da definição é como apresentado a seguir 
 
   
3
2 2 2 x
x=0
1
V(X)= E X-E(X) E X-1,5 (x -1,5)
8
    
    
 
 
       
3
2 2 2 22 x
x=0
1 1 1
V(X)= (x -1,5) 0 1,5 .1 1 1,5 .3 21,5 .3 3 1,5 .1
8 8 8
         
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
17 
 
 
1 1 3
V(X) 2,25.1 0,25.3 0,25.3 2,25.1 6 0,75
8 8 4
      
 
Assim, o desvio padrão é 3 3 1,7321
0,8660 0,87
4 2 2
     
 
Como se pode perceber, o cálculo da variância pela definição é, em geral, bastante 
trabalhoso. 
 
Exercício resolvido 6 (ex. 3.13) 
A função de densidade de probabilidade de X é 
 
1
f(x) , para 1< x 3.
2
 
 
Então, tem-se que: 
i) a expectância de X é 
 33 3
2
11 1
1 1 1 1 1 8
= E(X) x dx x dx x (9 1) 2
2 2 2 2 4 4
          
 
 
 
ii) a variância de X é 
 
   
3 3
2 22 2 2
1 1
1 1
= V(X)= E X-E(X) E X-2 (x -2) dx (x -2) dx
2 2
      
     
 
 donde 
3
2 3 3 3
1
1 1 1 2 1
= V(X) = (x -2) 1 ( 1)
2 3 6 6 3
       
 
iii) o desvio padrão e o coeficiente de variação, são, respectivamente, 
 
1 1 3
0,5774 0,58
3 33
     
 
 
0,58
0,29
2


  
 
 
Exercício resolvido 7 (ex. 3.16) 
A caixa contém 6 peças, sendo duas de ferro e quatro de bronze. São selecionadas três 
peças do lote, ao acaso, sem reposição. Seja X a variável aleatória que representa o 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
18 
 
número eventual de peças de ferro selecionadas. Então, a função de probabilidade de X 
é 
 
x x
2
3
p(x)= , para x 0,1,2

 
Portanto: 
 0 3
2 4
3
6
1.4 1
p(0)
6.5.4 5
3.2.1
  
 
 
1 2
2 4
4.3
2
12 32.1
p(1)
6.5.4 20 5
3.2.1
    
 2 1
2 4 1.4 1p(2)
6.5.4 5
3.2.1
  
 
Logo, tem-se 
 
1 3 1 3 2 5
E(X)=0 1 2 1
5 5 5 5 5

     
 
2 2 2 21 3 1 3 4 7E(X )=0 1 2
5 5 5 5 5

    
 
2 2 2 7 57 2V(X)= E(X ) E (X) 1 0,4
5 5 5

      
 
Exercício resolvido 8 (ex. 3.18) 
No caso, tem-se 
2Z=3X +8 e W 2X 7 
 
Portanto, segue 
 a) 
  2 2 2E Z = E(3X +8) = 3E(X ) + 8 = 3 Var(X)+E (X) +8 =  
 
 
23 10 2 8 3. 14 8 42 8 50        
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
19 
 
 b) 
  2(W) = (2X-7) = 2X +0 = 2 = 4. 10 = 40Var Var Var Var(X)
 
 
Exercício resolvido 9 (ex. 3.20) 
A expressão da função de densidade de probabilidade do teor de sódio é: 
 
   Xf x 6x 1 x 0 x 1   
 
Então, segue: 
 a) 
   
1 1
3 41 1 1
2 3
0 0 0
0 0
x x
E X x 6x(1 x) dx 6 x dx x dx 6
3 4
       
          
          
  
 
 
1 1 1
6
3 4 2
 
   
 
 
 b) 
 
1 1
4 51 1 1
2 2 3 4
0 0 0
0 0
x x
E(X ) x 6x(1 x) dx 6 x dx x dx 6
4 5
       
          
          
  
 
 
1 1 3
6
4 5 10
 
   
 
 
 
 
2
2 2 3 1 1X E(X ) E (X)
10 2 20
Var
 
     
 
 
 c)  
 X
DP X 1/ 20 5
E X 1/ 2 5
γ   
 
 d) 
     
X
X
x S
E g X g x f x dx

   
 
 
       
1 1 1 1
2
0 0 0 0
E 1/ X 1/ x 6x 1 x dx 6 1 x dx 6 dx 6 x dx          
 
 13
0
x
6 6 3
3
 
   
  
 
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
20 
 
Exercício resolvido 10 (ex. 3.25) 
A função de densidade de probabilidade do consumo mensal do produto, X, é 
 
3
f(x) 1 x , para 0 x 1
2
    
Então o consumo mensal médio é 
1 1 1
1/ 2
0 0 0
3 3 3
E(X) x 1 x dx x 1 x dx x (1 x) dx
2 2 2
        
Fazendo u 1 x, tem-se dx du e segue  
 
0 0 1
1/2 1/2
1 1 0
3 3 3
E(X) (1 u) u ( du) (1 u)u du (1 u)u du
2 2 2
           
1
1 1 3/2 5/2
1/2 3/2
0 0 0
3 3 u u 3 2 2
E(X) u du u du
2 2 3/2 5/2 2 3 5
     
         
   
 
 
3 10 6 3 4 2
E(X) 0,4milhar deunidadesouseja 400unidades
2 15 2 15 5

    
 
Exercício resolvido 11 (ex. 3.24) 
A função de densidade de probabilidade da demanda mensal do produto, X, é 
 
6f(x) 5x , para x >1
 
Então 
a) A demanda mensal média é 
 
4
1
-6 5 4
1 1 1
x 5 5
E(X) x 5x dx 5 x dx 5 x 1,25 milhar de unidades
4 4 4
  
 

 
      
 
 
  
b) A variância da demanda mensal é 
3
1
2 2 6 4 3
1 1 1
x 5 5
E(X ) x 5x dx 5 x dx 5 x
3 3 3
  
  

 
     
 
 
  
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
21 
 
2
2 2 5 5 5 25 80 75 5V(X) E(X ) E (X)
3 4 3 16 48 48
 
        
  
 
Exercício resolvido 12 (ex. 3.19) 
Lança-se uma moeda duas vezes. Represente-se por X o número de caras e por Y o 
número de coroas obtidas. Faça-se: Z = X-Y. 
 Determinar: 
a) a expectância Z; 
b) a variância de Z. 
 
Sejam X e Y o número eventual de “caras” e de “coroas”, respectivamente. Então, 
fazendo Z = X – Y, tem-se 
 
x
 y
 z 
p(z) z p(z) 2z p(z) 
0 2 - 2 1/4 - 2/4 4/4 
1 1 0 2/4 0 0 
2 0 2 1/4 2/4 4/4 
Total 1 0 2 
 
 
2
z=-2
E(Z) z p(z) 0  
 
2 2 2 2E(Z )=2 e V(Z) E(Z ) E (Z) 2 0 2    
 
 
Outra solução 
Uma solução alternativa é obtida observando-se que X + Y = 2, donde Y = 2 – X e Z = 
X – Y = 2 X – 2 = 2 (X – 1). Logo E(Z) = 2 E(X) – 2 e V(Z) = 4 V(X). Como E(X) = 1 
e V(X) = 1/2 segue que E(Z) = 0 e V(Z) = 2. 
 
 
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
22 
 
Exercício resolvido 13 (ex. 3.23) 
A variável aleatória X, que representa a demanda anual do produto considerado, tem a 
seguinte função de densidade de probabilidade 
 1 , para 2 x 4
f(x) 2
0 , para outros valores

 


 
Sejam r a quantidade a ser produzida pelo fabricante e Y a variável aleatória que 
representa o lucro (unitário). Então, o lucro é função da demanda, X, tendo como 
expressão: 
 300 r , se X r
Y h(X)
300X - 100(r -X) , se X r

 

 
ou seja 
 300 r , se X r
Y h(X)
400X - 100 r , se X r

 

 
Logo o valor esperado de Y é 
 
 
XR
E(Y) E h(X) h(x)f(x)dx  
 
Para calcular essa integral acima devem ser considerados três casos: 
i) 
r 2
 
Nesse caso, 
XX r , pois R (2,4) 
então 
 
Y h(X) 300 r e E(Y) 300 r  
 
ii) 
2 r <4
 
 
 
     
r 4
2 r
r r 4
r r 42
2 r2
2 2 r
2 2 2 2
2
1 1
E(Y) E h(X) (400 x -100r) dx 300r dx
2 2
1
200 x dx 50r dx +150r dx 200 x 50r x 150r x
2
100(r 4) 50r (r 2) 150r (4- r) 100r 400 50r 100r600 r -150r
100r 700r -400
   
    
         
 
 
  
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
23 
 
iii) 
r 4
 
nesse caso 
XX r , uma vez que R (2,4) 
 
logo 
     
4 4 4
4 42
22
2 2 2
1 1
E(Y) E h(X) (400 x -100r) dx 200 x dx 50r dx 200 x 50r x
2 2
100(16 4) 50r (4-2) 1200 100r
      
    
  
 
Portanto 
 2
300r , se r 2
E(Y) -100r 700r -400 , se 2< r 4
1200-100r , se r 4


  
 
 
O ponto extremo é encontrado fazendo 
d E(Y)
0
dr

 ou seja 
200r +700 0 
 
donde 
700 7
r 3,5
200 2
  
 isto é 35.000 litros de óleo 
 
Exercício resolvido 14 (ex. 3.27) 
A função de probabilidade de X é 
 
1
p(x)= , para 1,2,3, ... ,6
6
x
 
Logo, tem-se 
 
 
6 6
k k k k k k k k k
k
x 1 x 1
1 1 1
μ E(X ) = x x 1 2 3 4 5 6 para k 0,1,2,3,...
6 6 6 
         
 
 
Exercício resolvido 15 (ex. 3.30) 
A função de densidade de probabilidade de X é expressa por 
 
f(x)=2x , para 0< x < 1
 
Então, a expectância (ou média) de X é 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 3 – 
Expectância, Variância e Momentos de uma Variável Aleatória 
 
24 
 
 1 1
1
k k+2 3
0
0 0
2 2
E(X)= x 2x dx = 2 x dx = x para k 0,1,2,3,...
k+2 k 2
 
 

Outros materiais