Estatística - Resumo teórico 3.1

Prévia do material em texto

1 
 
ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
 
3-Expectância, Variância, Desvio Padrão e Momentos 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
 
3.1 Expectância de X 
 Definição: 
 (I) para X discreta: 
 
   
X
X
x S
E X x p x

 
 
 (II) para X contínua: 
 
     
X
X X
x S
E X x f x dx x f x dx



  
 
 Notas: 
 Se X é discreta, a expectância pode não existir, caso a expressão que a define seja 
 uma série divergente. Nesse caso, diz-se que a expectância é infinita. 
 Se X é contínua, a expectância pode não existir, caso a expressão que a define seja 
 uma integral divergente. Nesse caso, diz-se que a expectância é infinita. 
 Se existe, a expectância é um número real; diz-se então que a expectância é finita 
 A expectância também pode ser denominada: Expectativa, Esperança Matemática, 
 Valor Esperado ou Média. 
 Descritivamente, a expectância é uma medida de posição (ou de localização) da 
 distribuição da variável aleatória. 
 A expectância de X é o valor para o qual tende a média aritmética dos valores as-
sumidos por essa variável aleatória, quando o número de observações tende a in-
finito. 
 É usual representar-se os valores numéricos da expectância pela letra grega µ 
 
2 
 
3.2 Expectância de uma Função de X 
 Considere-se a variável aleatória unidimensional 
 g X
, onde g(.) é uma função real 
de uma variável aleatória real X. Prova-se que a expectância de 
 g X
pode ser calcu-
lada da seguinte maneira: 
 (I) para X discreta: 
 
   
X
X
x S
E g X g(x) p x

    
 
 (II) para X contínua: 
 
         
X
X X
x S
E g X g x f x dx g x f x dx



      
 
3.3 Independência de Variáveis Aleatórias 
 Diz-se que as variáveis aleatórias 
Xe Y
são independentes se e somente se 
 
     P X A ; Y B P X A P Y B     
 
 quaisquer que sejam
1 1A R e B R ,  
tais que 
A B.
 
3.4 Variável Aleatória Quase Certamente Constante 
 Uma variável aleatória X é denominada “Quase certamente constante” se existe um 
 número real K tal que 
 
 P X K 1  
 
Diz-se, então, que X é “Quase certamente igual a K”. 
3.5 Propriedades da Expectância 
 Sejam X e Y variáveis aleatórias que possuem expectâncias finitas. Então, 
 a) 
 E X K,
se X é uma variável aleatória quase certamente igual a K. Neste caso, 
 escreve-se: 
 E K K
 
 b) 
   E aX a E X ,
onde 
a
é qualquer constante real 
 c) 
     E X Y E X E Y  
 
 d) 
SeXeYsão independentes,     E XY E X E Y
 
 Nota: 
3 
 
 As três primeiras propriedades caracterizam
 E X
como um operador linear. 
3.6 Variância de X 
 Definição: 
 
  2Var(X) E X-E(X)
 
 Cálculo: 
 (I) para X discreta: 
 
   
X
2
X
x S
Var(X) x E(X) p x

 
 
 (II) para X contínua: 
 
   
2
XVar(X) x E X f x dx


   
 
 Notas: 
 Descritivamente, a 
Var(X)
é uma medida de dispersão da distribuição de X em 
torno de 
 E X .
 Quanto mais dispersa (ou menos concentrada) for a distribuição 
de X em torno de 
 E X ,
 maior será a 
Var(X)
 
 A variância de X pode não existir. Se 
E(X)
não existe, então a 
Var(X)
também 
não existe. Entretanto, a existência de 
E(X)
não é suficiente para que 
Var(X)
exis-
ta. 
 Se 
Var(X)
existe, diz-se que X possui variância finita 
 
Var(X)
 está expressa no quadrado da unidade de medida de X. 
 É usual representar-se os valores numéricos da variância por 2σ (letra grega σ
elevada ao quadrado) 
3.7 Propriedades da Variância 
 Sejam X e Y variáveis aletórias que possuem variância finita. Então, 
 a) 
Var(X) 0
 e 
Var(X) 0 se e somente se X é quase certamente constante. 
 b) se X e Y são independentes, 
Var(X Y) Var(X) Var(Y)  
 
 c) 
2Var(aX) a Var(X), onde a é uma constante real
 
 d) 
   2 2Var(X) E X E X 
 
 
4 
 
 Regra mnemônica: 
 A variância de X é igual à média dos quadrados de X menos o quadrado da média 
 de X. 
3.8 Desvio Padrão de X 
 Definição: 
 
  XDP X Var(X) σ  
 
 Notas: 
 
  XDP X σ
 é uma medida de dispersão da distribuição de X em torno de sua 
expectância. 
 
  XDP X σ
 está expresso na mesma unidade de medida de X. 
3.9 Propriedades do Desvio Padrão 
 a) 
   0DP X 
 
  0DP X 
se e somente se X é quase certamente constante 
 b) 
   DP X DP Xa a
 onde 
a
é qualquer número real 
3.10 Coeficiente de Variação de X 
 Definição: 
 
 
 
 
 
DP X σ
γ X , para E X μ 0
E X μ
   
 
 Notas: 
 
 γ X
é uma medida relativa de dispersão, adimensional 
 
 γ X
é utilizado para comparar dispersões de distribuições que são expressas em 
unidades de medida distintas 
 É usual expressar 
 γ X
na forma de um percentual 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3.11 Expectância e Variância de uma Combinação Linear de Variáveis Aleatórias 
Independentes 
Sejam 
1 2 3 nX ,X ,X ,...,X
 n variáveis aleatórias independentes e 
1 2 3 na ,a ,a ,...,a
 n núme-
ros reais. Então, a variável aleatória Y definida por 
 n
1 1 2 2 3 3 n n i i
i=1
Y a X a X a X ... a X a X      
 
é denominada combinação linear das variáveis 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. 
5 
 
Sejam 
 i iE X μ (com i 1,2,3, ...,n) 
 as médias e 
  2i iV X σ (com i 1,2,3, ...,n) 
 as 
variâncias das variáveis aleatórias componentes da combinação linear Y. Então, em 
decorrência das propriedades anteriormente vistas da expectância e da variância, tem-se 
que a expectância e a variância da combinação linear Y, são, respectivamente: 
(i) 
   
n n
i i Y i i
i=1 i=1
E Y a E X ou seja μ a μ  
 
(ii) 
   
n n
2 2 2 2
i i Y i i
i=1 i=1
V Y a V X ou seja σ a σ  
 
Dois casos particulares importantes são analisados a seguir. 
a) O primeiro corresponde àquele em que todas as variáveis componentes da combina-
ção linear tem a mesma expectância e a mesma variância, isto é: 
 
 iE X μ (com i 1,2,3, ...,n) 
 e 
  2iV X σ (com i 1,2,3, ...,n) 
 
Nesse caso, tem-se: 
(i) 
 
n n
i Y i
i=1 i=1
E Y a μ ou seja μ a μ
 
  
 
 
 
(ii) 
 
n n
2 2 2 2 2
i Y i
i=1 i=1
V Y a σ ou seja σ a σ
 
  
 
 
 
b) O segundo corresponde àquele em que todas as variáveis componentes da combina-
ção linear tem a mesma expectância e a mesma variância e, além disso, todos os coefi-
cientes da combinação linear são iguais, isto é: 
 iE X μ (com i 1,2,3, ...,n) 
,
  2iV X σ (com i 1,2,3, ...,n) 
 e, ainda, os coeficien-
tes 
ia a (para i 1,2,3, ...,n) 
 
Nesse caso, tem-se: 
(i) 
 
n
Y
i=1
E Y a μ ou seja μ n a μ 
 
(ii) 
 
n
2 2 2 2 2
Y
i=1
V Y a σ ou seja σ n a σ 
 
6 
 
Como aplicações importantes desse último caso tem-se as duas seguintes combinações 
lineares, frequentemente encontradas no emprego da Estatística: 
1) a soma das variáveis aleatórias n
1 2 3 n i
i=1
S X X X ... X X      
, para a qual tem-
se: 
(i) 
 
n
S
i=1
E S μ ou seja μ nμ 
 
(ii) 
 
n
2 2 2
Si=1
V S σ ou seja σ n σ 
 
Note-se que a soma corresponde ao caso particular em que a combinação linear tem 
todos os coeficientes iguais a 1. 
2) a média aritmética das variáveis aleatórias 
 
n
1 2 3 n i
i=1
1 1
X X X X ... X X
n n
      
para a qual tem-se: 
(i) 
 
n
X
i=1
1 1
E X μ nμ μ ou seja μ μ
n n
   
 
(ii) 
 
n
2 2 2 2 2
X2 2
i=1
1 1 1 1
V X σ n σ σ ou seja σ σ
n n n n
   
 
Note-se que a média aritmética corresponde ao caso particular em que a combinação 
linear tem todos os coeficientes iguais a 1/n. 
 
3.12 Momentos de X 
3.12.1 Momentos Ordinários de X 
Definição: 
O momento ordinário de ordem k de X é definido por 
 
 kkμ E X para k 0,1,2,3,.... 
 
O cálculo dos momentos é indicado a seguir. 
 
7 
 
Cálculo: 
 (I) para X discreta: 
 
   
X
k k
k X
x S
μ E X x p x

  
 
 (II) para X contínua: 
 
     
X
k k k
k X X
x S
μ E X x f x dx x f x dx



   
 
 Em particular, tem-se 
 
 
 
 
0
0
1
1
2
2
μ E X E(1) 1
μ E X E(X) (comumente denotado simplesmente por μ) 
μ E X
   


 


 
 Notas: 
 Se X é discreta, o momento ordinário de ordem k pode não existir, caso a expres-
são que o define seja uma série divergente. Nesse caso, diz-se que o momento é in-
finito. 
 Se X é contínua, o momento ordinário de ordem k pode não existir, caso a expres-
são que o define seja uma integral divergente. Nesse caso, diz-se que o momento é 
infinito. 
 Se existe, o momento ordinário de ordem k é um número real; diz-se então que o 
momento é finito. 
 Prova-se que se existe o momento ordinário de ordem k, então existem todos os 
momentos ordinários de ordem inferior a k. 
 Descritivamente, cada momento ordinário caracteriza um particular aspecto da dis-
tribuição da variável aleatória X, sendo que: (i) o primeiro relaciona-se à posição; 
(ii) o segundo relaciona-se à dispersão; (iii) o terceiro relaciona-se à simetria; e (iv) 
o quarto relaciona-se à curtose (grau de achatamento). 
 O momento ordinário de ordem k de X é o valor para o qual tende a média aritmé-
tica dos valores assumidos pela k-ésima potência dessa variável aleatória, quando 
o número de observações tende a infinito. 
 É usual representar-se os valores numéricos da expectância pela letra grega µ. 
8 
 
3.12.2 Momentos Centrais de X 
Definição: 
O momento central de ordem k de X é definido por 
 
   
k k
kν E X-E(X) E X-μ para k 0,1,2,3,....        
 
Cálculo: 
 (I) para X discreta: 
 
     
X
k k
k X
x S
ν E X E(X) x E(X) p x

    
  
 
 (II) para X contínua: 
 
         
X
k k k
k X X
x S
μ E X E(X) x E(X) f x dx x E(X) f x dx



      
    
 
 Em particular, tem-se 
 
 
 
 
0
0
1
1
2
2
ν E X E(X) E(1) 1
ν E X E(X) E(X) E(X) 0 
ν E X E(X) V(X)
     
 
        

    
 
 
Nota: Quanto à existência, aplicam-se aos momentos centrais as mesmas observa-
ções anteriormente feitas para os momentos ordinários. 
 
3.13 Função Geratriz de Momentos de X 
Definição: 
A função geratriz de momentos de uma variável aleatória X é definida por 
 
 t XX (t) E para todo t real, isto é tM e    
 
A determinação da função geratriz de momentos, conforme a variável aleatória X seja 
discreta ou contínua, baseia-se no cálculo indicado a seguir. 
 
9 
 
Cálculo: 
 (I) para X discreta: 
 
   
X
tX tx
X X
x R
(t) E p xM e e

  
 
 (II) para X contínua: 
 
     
X
tX tx tx
X X X
x R
(t) E f x dx f x dxM e e e



   
 
Notas: 
 Se X é discreta, a função geratriz de momentos pode não existir, caso a expressão 
que a define seja uma série divergente. 
 Se X é contínua, a função geratriz de momentos pode não existir, caso a expressão 
que a define seja uma integral divergente. 
 A função geratriz de momentos pode não ser definida para todos os valores de t no 
conjunto dos reais. 
 A função geratriz de momentos existe sempre para t = 0 e seu valor é 1, isto é 
X (0) 1M 
 
 Se a função geratriz de momentos existe, a sua k-ésima derivada em t = 0 fornece o 
valor do momento ordinário de ordem k. 
 
Propriedades da Função Geratriz de Momentos 
A função geratriz de momentos possui várias importantes propriedade e algumas das 
principais são apresentadas a seguir. 
A função 
X (t)M
 é denominada função geratriz de momentos devido a seguinte proprie-
dade, que mostra como podem ser determinados os momentos de uma variável aleatória 
X. 
Propriedade 1. 
O momento ordinário de ordem k de X pode ser obtido calculando-se o valor da k-ésima 
derivada da função 
X (t)M
 no ponto t = 0. Isto é, 
10 
 
 k
(k)
k X Xk t 0
d
μ (t) (0) para k 1,2,3,...
dt
M M

  
 
Em particular, para os dois primeiros momentos ordinários tem-se: 
(i) 
(1)
1 X Xt 0
d
μ (t) (0)
dt
M M

 
 
(ii) 2
(2)
2 X X2 t 0
d
μ (t) (0)
dt
M M

 
 
A função geratriz de momentos fornece um modo alternativo de obter a distribuição de 
funções de variáveis aleatórias, sob certas condições. 
Propriedade 2. 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias cujas funções geratrizes de momentos 
X (t)M
e 
Y (t)M
existem para algum intervalo dos reais, 
I
, em torno de t = 0. Se 
X Y(t) (t)M M
para 
t I 
 então X e Y tem a mesma distribuição. 
Essa propriedade mostra que a função geratriz de momentos, quando existe, é única e 
determina univocamente uma distribuição de probabilidade, ou seja a fgm constitui uma 
forma alternativa de caracterizar completamente a distribuição de uma variável aleató-
ria. 
Propriedade 3. 
Seja X uma variável aleatória com função geratriz de momentos 
X (t)M
e Y uma outra 
variável aleatória, função de X, definida por Y = aX + b, sendo a e b constantes reais. 
Então a função geratriz de momentos de Y é expressa em termos de 
X (t)M
por 
 
bt
Y X(t) (a t)M e M
 
Propriedade 4. 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes cujas funções geratrizes de mo-
mentos existem e são 
X (t)M
 e 
Y (t)M
, respectivamente. Seja Z = X + Y, então a função 
geratriz de momentos de Z existe e é expressa por 
 
Z X Y(t) (t) (t)M M M
 
11 
 
Nota. Essa propriedade pode ser estendida para o caso da soma de n variáveis aleatórias 
independentes, nas mesmas condições estabelecidas.