Estatística - Resumo teórico 7.0

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
1 
 
ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
UNIDADE I – Cálculo de Probabilidades 
7. Distribuições Bidimensionais 
Referências: Resumo Teórico 7, Rice – Cap. 3, Montgomery e Runger – Cap. 5, Larson 
– Cap. 5 e Meyer – Cap. 6 e Cap. 7 
 
Variáveis aleatórias bidimensionais (RT7 – Seção 7.1) 
 
Variáveis aleatórias bidimensionais discretas (RT7 – Seção 7.2) 
Distribuições conjunta e marginais. 
Exemplo 1. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo discreto, com a 
seguinte função de probabilidade conjunta: 
 
 
X 
Y 
1 2 3 
1 0,0 0,1 0,1 
2 0,1 0,2 0,1 
3 0,2 0,1 0,1 
 
a) Verificar que essa função atende as condições para ser uma função de probabilidade 
conjunta; 
b) Determinar P(X=1,Y=2), P(X=2,Y<3) e P(Y=2); 
c) Determinar as funções de probabilidade marginais de X e de Y. 
Solução 
a) Verificação 
A função 
XYp (x,y)
definida na tabela acima atende as duas seguintes condições: 
i) 
2
XY XYp (x,y) 0 , para todo(x,y) R 
 
ii) 3 3
XY
x=1 y=1
p (x,y) 1
 
Juliana
Realce
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Distribuições Multidimensionais 
 
2 
 
 
b) 
 As probabilidades a serem determinadas são: 
 
  XYP X=1,Y=2 = p (1,2) 0,1
; 
 
XY XYP(X=2,Y< 3) P(X=2,Y 2) p (2,1) p (2,2) 0,1 0,2 0,3      
; 
 P(Y=2) = P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=2) = 0,4 
 
c) As distribuições marginais de X e de Y são apresentadas a seguir 
 
X
0,2 se x = 1
p (x) = 0,4 se x = 2
0,4 se x = 3





 e 
Y
0,3 se y = 1
p (y) = 0,4 se y = 2
0,3 se y = 3





 
 
O mesmo resultado pode ser obtido diretamente pela tabela, efetuando-se as somas dos 
valores das células, por linha e por coluna, como indicado a seguir. 
 
 
X 
Y 
Xp (x)
 
1 2 3 
1 0,0 0,1 0,1 0,2 
2 0,1 0,2 0,1 0,4 
3 0,2 0,1 0,1 0,4 
Yp (y)
 0,3 0,4 0,3 1,0 
 
 
Exemplo 2. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo discreto com a 
seguinte função de probabilidade conjunta: 
 
x y
p(x,y) =
4

 , para x = 1,2 e y = 0,1 
Determinar as expressões analíticas das funções de probabilidade marginais de X e de 
Y. 
Solução 
Juliana
Realce
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3 
 
 
 
1 1 1
X
y=0 y=0 y=0
x y 1 1 2x 1
p (x) = x y 2x 1 , para x = 1, 2
4 4 4 4
  
     
 
  
 
 
 
2 2 2
Y
x=1 x=1 x=1
x y 1 1 3 2y
p (y) = x y 3 2y , para y = 0, 1
4 4 4 4
  
     
 
  
 
 
Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas (RT7 – Seção 7.3) 
Distribuições conjunta e marginais. 
Exemplo 3. Seja (X, Y) uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função 
de densidade de probabilidade: 
 XYf (x,y) = 2 x y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1  
a) Verificar que a função acima satisfaz as condições necessárias para ser uma função 
de densidade de probabilidade conjunta; 
b) Determinar as funções de densidade marginais de X e de Y. 
Solução 
a) verificação 
a-i) A função atende a condição de que 
2
XY XYf (x,y) 0 , para (x,y) R 
 
e 
a-ii) verifica-se também que a integral da função de densidade conjunta em 
2
XYR
é 1 
 
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
1 1 1
11 1 2
0 0 0
0 0 0
1 1
11 2
0 0
0 0
(2 x-y)dydx 2 dy- x dy- ydy dx
1 1 3
2 y x y y dx 2- x - dx x dx
2 2 2
3 3 1 3 1
dx x dx x x 1
2 2 2 2 2
 
   
 
     
            
     
      
     
  
 
 
 
b) as distribuições marginais são 
 b-i) 
Juliana
Realce
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Distribuições Multidimensionais 
 
4 
 
 
1 1 1 1
11 1 2
X 0 0 0
0 0 0 0
X
1
f (x) (2 x y)dy 2 dy- x dy- ydy 2 y x y y
2
1 3
2 x donde f (x) x , para 0 x 1
2 2
       
     
   
 
 b-ii) 
 
1 1 1 1
11 12
Y 0 00
0 0 0 0
Y
1
f (y) (2 x y)dx 2 dx - x dx - y dx 2 x x y x
2
1 3
2 y donde f (y) y, para 0 y 1
2 2
       
     
   
 
 
Exemplo 4. Seja (X, Y) uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função 
de densidade de probabilidade: 
 XY
3x
f (x,y) = , para 0 < y < x < 2 
8 
a) Calcular P ( X > 0,5 e Y < 1 ); 
b) Determinar as funções de densidade de probabilidade marginais de X e de Y. 
Solução 
a) Cálculo da probabilidade do evento (X > 0,5 ; Y < 1) 
1 x 2 1 1 x 2 1
0,5 0 1 0 0,5 0 1 0
3 3 3
P(X >0,5;Y <1)= x dydx x dydx x dy dx + x dy dx
8 8 8
 
   
  
       
 
 
   
1 2 1 2
x 1 2
0 0
0,5 1 0,5 1
3 3
x y dx + x y dx x dx + x dx
8 8
   
     
      
   
 
 
 
1 2
3 2
0,5 1
3 1 1 3 1 1 1 3 1 7 1
x x 1 4 1 3
8 3 2 8 3 8 2 8 3 8 2
      
            
      
 
 
3 7 3 3 7 36 3 43 43
8 24 2 8 24 8 24 64
 
     
 
 
 
b) Determinação das funções de densidade marginais de X e de Y 
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5 
 
b-i) 
 
x
x 2
X 0
0 0
3 3 3 3 3
f (x) x dy x dy x y x x x , para 0< x < 2
8 8 8 8 8
x
     
 
b-ii) 
 
2 2
2
2 2
Y y
y y
3 3 3 1 3
f (y) x dx x dx x (4 y ) , para 0< y< 2
8 8 8 2 16
     
 
 
Variáveis aleatórias bidimensionais discretas (RT7 – Seção 7.2) 
Distribuições conjunta, marginais e condicionadas. 
Exemplo 5. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo discreto, com a 
seguinte função de probabilidade conjunta: 
X 
Y 
2 5 
1 1/8 2/8 
3 3/8 2/8 
 
a) Determinar as funções de probabilidade marginais de X e de Y; 
b) determinar as funções de probabilidade condicionais associadas a (X,Y). 
 
Solução 
a) As distribuições marginais de X e de Y são mostradas na tabela abaixo. 
 
X Y 
Xp (x)
 
2 5 
1 1/8 2/8 3/8 
3 3/8 2/8 5/8 
Yp (y)
 4/8 4/8 1 
 
b) As distribuições condicionadas associadas a (X,Y) são mostradas a seguir. 
 
X|Y
1
, se x=1
4
p (x|2)
3
, se x=3
4





 
X|Y
2 1
, se x=1
4 2
p (x|5)
2 1
= , se x=3
4 2





 
Juliana
Realce
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Distribuições Multidimensionais 
 
6 
 
 
 
Y|X
1
,se y 2
3
p (y|1)
2
,se y 5
3



 

 
Y|X
3
,se y 2
5
p (y|3)
2
,se y 5
5



 

 
 
Exemplo 6. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo discreto, com a 
seguinte função de probabilidade conjunta: 
  XY yp 1/8 x para x =1,2 e y=1, 2 
a) Determinar as funções de probabilidades marginais de X e de Y; 
b) determinar as funções de probabilidades condicionais associadas a (X,Y). 
 
Solução 
A função de probabilidade conjunta de X e Y é: 
 
 XY
y
p 1/8 x para x =1,2 e y=1, 2
 
Então: 
a) 
a-i) 
 X
2
y
y=1
1
p x = x
8  
21 x+x
8

 
 
1
x x+1 , para x =1, 2
8

 
a-ii) 
 Y
2
y
x=1
1
p y = x
8    
y y y1 11 +2 1+2 , paray = 1,2
8 8
 
 
b) 
b-i) 
 Y|Xp y|x
  
   
y1/8 x
1/8 x x+1

 y-1x
, para y=1,2 com x = 1,2
x+1

 
b-ii) 
 
 
  
y y
X|Y yy
1/8 x x
p x|y = , para x = 1,2 com y = 1,2
1 21/8 1+2


 
Alternativa: 
Determinação Numérica das Distribuições 
 
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7 
 
X 
Y 
Soma 
1 2 
1 1/8 1/8 2/8 
2 2/8 4/8 6/8 
Soma 3/8 5/8 1 
 
a) 
X
1/4 x=1
p (x)=
3/4 x=2



 
 Y
3/8 y=1
p y =
5/8 y=2



 
b) 
X|1
1/3 x=1
p (x)=
2/3 x=2



 
 X/2
1/5 x=1
p x =
4/5 x=2



 
 
 Y/1
1/2 y=1
p y =
1/2 y=2



 
Y/2
1/3 y=1
p (x) =
2/3 y=2



 
 
Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas (RT7 – Seção 7.3) 
Distribuições conjunta, marginais e condicionadas. 
Exemplo 7. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo, com a 
seguinte função de densidade de probabilidade conjunta: 
 XY
1
f (x,y) = x , para 0 < x < 2 e 1 < y < 3
4 
a) Determinar as funções de densidade marginais de X e de Y; 
b) determinar as funções de densidade condicionais associadas a X e Y; 
c) verificar se X e Y são independentes. 
 
Solução 
A função de densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) é: 
 
1
f(x,y) = x para 0 < x < 2 e 1 < y < 3
4
 
Então: 
a) 
a-i) 
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Distribuições Multidimensionais 
 
8 
 
 
   
3
X
1
x
f x x / 4 dy 0 x 2
2
   
 
a-ii) 
 
      
2
2
y
0
2 1
f y 1/ 4 x dx 1/ 4 x / 2 1 y 3
1 2
     
 
 
b) 
b-i) 
 X|Y
x / 4 x
f x , para 0 x 2
1/ 2 2
   
 
b-ii) 
 Y|X
x / 4 1
f y , para 1 y 3
x / 2 2
   
 
c) 
   X|Y Xf x f x
, logo X e Y são independentes. 
 
Exemplo 8. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo, com a 
seguinte densidade de probabilidade: 
 XYf (x,y) = 2 , para 0 < x < 1 e 0 < y < x 
 a) Verificar se X e Y são independentes; 
 b) determinar a distribuição de Y condicionada a X. 
Solução 
A função de densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) é: 
 
XYf (x,y) = 2 para 0 < x < 1 e 0 < y < x
 
Portanto: 
a) 
a-i) 
 
x
X
0
f x 2 dy = 2x 0 x 1  
 
a-ii) 
   
1
Y
y
f y 2 dx = 2 1-y 0 y 1  
 
a-iii) Como 
   X Yf x f y 4x(1-y) 0 x 1 0 y x    
 então 
 
     X Y XYf x f y f x,y
 e portanto X e Y não são independentes 
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Distribuições Multidimensionais 
 
9 
 
b) 
 
 
 
 
XY
Y|X
Y
f x,y 2 1
f y|x = = para 0 y x com 0 < x < 1
f y 2x x
  
 
 
Exemplo 9. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo, cuja 
função de densidade tem a seguinte expressão: 
 
2 2
XYf (x, y) 5 x , para 0 x 1 e 0 y x    
 
Determinar: 
a) as funções de densidades marginais de X e de Y; 
b) as funções de densidades condicionais associadas à variável aleatória (X,Y). 
 
Solução 
A função de densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) é: 
 
2 2
XYf (x,y) = 5x para 0 < x < 1 e 0 < y < x
 
a) 
a-i) 
   
2x 4
X 0
0 0
2 2 2
2 2x x
f x 5 x dy 5x dy 5x y 5x para 0 x < 1     
 
a-ii) 
   
11
3 3
Y
yy
2 1 5f y 5 x dx 5 x 1 y para 0 y < 1
3 3
 
     
 
 

 
b) 
b-i) 
 
 
2 2
X|
3
3
y
5x 3x
f x|y para y x < 1 , com 0 < y 1
5 1 y1 y
3
   

 
b-ii) 2
2
Y|X 24
5x 1
f (y|x) para 0 y < x , com 0 < x < 1
x5 x
  
 
Examinando a expressão da função de densidade de probabilidade da variável aleatória 
condicionada (Y|X) verifica-se que 
 Y |X x (Y|x) 
 ~ 
2Uniforme(0,x )
 para os 
seguintes valores de x: 
0 x 1 
 
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Distribuições Multidimensionais 
 
10 
 
 
Distribuições bidimensionais – funções de variáveis aleatórias (RT 7 – Seção 7.6) 
Exemplo 10. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
XYf (x,y) 1 para 0 x 1 e 0 y 1    
. Sejam as 
duas seguintes funções de (X, Y): 
i) 
 1S h X,Y X Y  
 
ii) 
 2T h X,Y X Y  
 
Determinar a função de distribuição conjunta de (S, T). 
Solução 
Considerando o relacionamento funcional de S e de T em relação a X e Y, tem-se: 
 
 1s h x, y x y  
 e 
 2t h x, y x y  
 
A solução desse sistema de equações em termos das variáveis transformadas s e t é 
 
 1
s t
x g s, t
2

 
 e 
 1
s t
y g s, t
2

 
 
Portanto, o jacobiano da transformação é 
 
1 1
2 2
h (x,y) h (x,y)s s
1 1x y x y
(x,y) 2
t t h (x,y) h (x,y) 1 1
x y x y
J
  
   
   
    
   
 
Consequentemente, aplicando-se o teorema da transformação segue 
   ST XY 1 2 XY 1 2
1
f (s,t) f g (s,t),g (s,t) (s,t) f g (s,t),g (s,t)
(x,y)
J
J
 
 
Ou seja 
 ST XY 1 2 XY
s t s t 1 1 1
f (s,t) f g (s,t),g (s,t) (s,t) f , 1
2 2 2 2 2
J
  
    
 
 
do que resulta 
ST
1
f (s,t) para 0 < s t < 2 e 0 s t < 2
2
   
 
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Distribuições Multidimensionais 
 
11 
 
 
Exemplo 11. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua em que as duas 
componentes, X e Y, são independentes e tem distribuição exponencial, de parâmetros 
1α
 e 
2α
respectivamente. Considerem-se as duas funções S e T definidas no exemplo 
anterior. Determinar a função de densidade de probabilidade conjunta de (S, T). 
Solução 
A solução é análoga àquela do exemplo anterior. 
A densidade conjunta de (X, Y) é 
1 2α x α y
ST 1 2f (s,t) α α para x > 0 e y 0e e
 
 
 
O jacobiano da transformação é o mesmo e assim tem-se 
 ST XY 1 2 XY
s t s t 1 1 1
f (s,t) f g (s,t),g (s,t) (s,t) f , 1
2 2 2 2 2
J
  
    
 
 
do que resulta 
1 2
s t s t
α α
1 2 2 2
ST
α α
f (s,t) para 0 < s t < 2 e 0 s t < 2
2
e e
    
    
      
 
 
Distribuições bidimensionais –expectância e momentos conjuntos (RT7 – Seção 7.4) 
Exemplo 11. Considere-se a variável aleatória bidimensional do exemplo 2. Determinar 
a sua expectância E(XY). 
A função de probabilidade conjunta de (X, Y) é 
 
x y
p(x,y) =
4

 , para x = 1,2 e y = 0,1 
Portanto, tem-se: 
 
   
2 1 2 1 2 1
XY
x=1 y=0 x=1 y=0 x=1 y=0
x y 1
E XY x y p (x,y) x y x y x y
4 4

     
 
 
   
2 1 2 1 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2
x=1 y=0 x=1 y=0 y=0 x=1 y=0 y=0
1 1 1
E XY x y xy x y xy x y x y
4 4 4
   
        
   
      
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
12 
 
 
       
2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
x=1 y=0 y=0 x=1 x=1
1 1 1
E XY x y x y x 0 1 x 0 1 x x
4 4 4
 
          
 
    
 
 
       
2 2 2
2 2 2 2
x=1 x=1 x=1
1 1 1 5 3 2 1
E XY x x x x 1 2 1 2
4 4 4 4 4 2
 
              
 
  
 
 
Exemplo 12. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
2 αy
XYf (x,y) α para 0 x ye
  
 
Determinar o valor esperado de XY. 
 
y y
2 αy 2 αy
XY
y=0 x=0 y=0 x=0 y=0 x=0
E XY x y f (x,y)dx dy x yα dxdy yα x dxdye e
   
        
 
 
y
y
2 αy 2 αy 2 2 αy 2
0
y=0 x=0 y=0 y=0
1 1
E XY yα x dxdy yα x dy yα y dy
2 2
e e e
  
  
 
   
 
    
 
  2 αy 2 3 2 αy 3 u2 2 2 2
y=0 y=0 0
1 1 1 (4) 3! 3
E XY yα y dy y α dy u du
2 2 2α 2α 2α α
e e e
  
          
 
 
Exemplo 13. Considere-se um investidor do mercado acionário que compra ações e as 
vende rapidamente, visando realizar uma operação lucrativa em curto prazo. Sejam X e 
Y as variáveis aleatórias que representam os preços de compra e de venda, 
respectivamente. Admita-se que o investidor realiza a operação completa (compra e 
venda) durante um período de tempo em que o mercado acionário se mantém em 
condições uniformes e de forma lucrativa, isto é com o preço de venda maior do que o 
de compra. Suponha-se, ainda, que tanto o preço de compra, X, quanto o preço de 
venda, Y, possuem distribuição uniforme no intervalo (0, 1) unidades monetárias. 
Nessas condições, determine: 
a) a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y; 
b) o valor esperado do lucro obtido pelo investidor (desconsiderando o custo de 
corretagem). 
Solução 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
13 
 
a) 
É fácil verificar que, nas condições estabelecidas, a variável bidimensional 
 X,Y
 
possui, a seguinte função de densidade conjunta 
 
XYf (x, y) 2 , para 0 < x <1 e 0 < x < y
 
b) Seja 
Z=Y X
 a variável aleatória que representa o lucro na operação (sem 
considerar o custo de corretagem). Então tem-se, 
 
   
1 1 1 1 1
0 x 0 x x
E Z E Y X (y x) 2 dy dx = 2 y dy x dy dx 
 
     
  
 
   
 
 
     
1 1
1
12 2
x
x
0 0
1 1
E Z 2 y x y dx 2 1 x x 1 x dx
2 2
   
             
 
 
         
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
E Z 2 1 x x 1 x dx 2 1 x dx x 1 x dx
2 2
 
                
 
  
 
 
 
1 1 11 3 2 3
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2
E Z 2 x x x x 2 1 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 6
             
                     
            
 
 
 
1 1 1 1
E Z 2 2
3 6 6 3
 
    
 
 
 
Exemplo 14. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte 
função de probabilidade conjunta 
 
XY
y1
p x para x =1,2 e y=1, 2
8

 
Determinar a expressão geral dos momentos conjuntos dessa variável. 
Solução 
   
2 2 2 2 2 2
i j y i j y i j 1 j 2 i j 2
i,j
x 1 y=1 x 1 y=1 x=1 x=1
1 1 1 1
μ x y x x y x x 1 x 2 x x x+2 x
8 8 8 8
 
        
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
14 
 
     
2 2 2
i j 2 i+1 j i+2 i 1 i 1 j i 2 i 2
i,j
x=1 x=1 x=1
1 1 1
μ x x+2 x x 2 x 1 2 2 1 2
8 8 8
   
 
        
  
 
  
 
 
     i 1 i 1 j i 2 i 2 i 1 j i+j+2i,j
1 1
μ 1 2 2 1 2 1 2 2 2 para i, j 0,1,2,3,...
8 8
             
 
 
 i 1 j i+j+2i,j
1
μ 1 2 2 2 para i, j 0,1,2,3,...
8
    
 
 
Então: 
(i) 
   2 0 31,0
1 1 14 7
E(X) μ 1 2 2 2 1 4 1 8
8 8 8 4
          
 
(ii) 
   2 3 0 42,0
1 1 8 1 16 26 13
E X μ 1 2 2 2
8 8 8 4
  
       
 
(iii) 
     
2
2 2 13 7 13 49 52 49 3V X E X E X
4 4 4 16 16 16
 
        
 
 
(iv) 
   1 1 30,1
1 1 2 2 8 13
E Y μ 1 2 2 2
8 8 8
  
      
 
(v) 
   2 1 2 40,2
1 1 2 4 16 23
E Y μ 1 2 2 2
8 8 8
  
      
 
(vi) 
     
2
2 2 23 13 23 169 184 169 15V Y E Y E Y
8 8 8 64 64 64
 
        
 
 
(vii) 
   2 1 41,1
1 1 4 2 16 23
E XY μ 1 2 2 2
8 8 8
  
      
 
 
Exemplo 15. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
 
XYf (x,y) = x + y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1
 
Determinar a expressão geral dos momentos conjuntos ordinários de (X, Y) 
Solução 
A expressão geral dos momentos ordinários mistos é 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
15 
 
 1 1 1 1 1
i j i j i+1 j i j+1
ij
0 0 0 0 0
E(X Y ) x y (x + y)dx dy x y dx + x y dx dy =      
 
    
 
 1 11 1 1 1 i+2 i+1
j i+1 j+1 i j j+1
0 0 0 0 0 0
x x
y x dx + y x dx dy = y y dy
i+2 i 1
  
    
    
   
 
 1 1 1
j j+1 j j+1
0 0 0
1 1 1 1
y y dy y dy y dy
i 2 i 1 i 2 i+1
 
     
   
  
 
 
1 1
j+1 j+2
0 0
1 1 1 1
y y
i 2 j+1 i+1 j+2
  

 
 
    ij
1 1 1 1 1 1
μ para i,j 0,1,2,3,...
i+2 j+1 i+1 j+2 i+2 ( j+1) i+1 j+2
    
 
Portanto, tem-se: 
     
i j
ij
1 1
μ E(X Y ) para i,j 0,1,2,3,...
i +2 j+1 i +1 j+2
   
 
Fixando-se valores para i e j na expressão acima, segue: 
10 01
7 7
E(X)=μ = e E(Y)=μ =
12 12 
2 2
20 02
5 5
E(X )=μ = e E(Y )=μ =
12 12 
2
2 2 5 7 11V(X) E(X ) E (X) V(Y)
12 12 144
 
      
  
11
1
E(XY) =μ
3

 
 
Distribuições bidimensionais – função geratriz de momentos (RT7 – Seção 7.5) 
Exemplo 16. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
 x yXYf (x,y) para x 0 e y 0e    
Determinar a função geratriz de momentos de (X, Y). 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
16 
 
Solução 
 1 2 1 2 1 2t X t Y t x t y (t 1)x (t 1)yx yXY 1 2
1 2
0 0 0 0
1 1
(t , t ) E dx dy dx dy
1 t 1 t
M e e e e e
   
       
   
 
Portanto, 
 
 1 2t x t yXY 1 2 1 2
1 2
1
(t , t ) E para t 1 e t 1
(1 t ) (1 t )
M e    
 
 
Então segue: 
i) 
 
1 2 1 2
1,0 XY 1 2 2
1 1 2t t 0 t t 0
1
E X μ (t , t ) 1
t (1 t ) (1 t )
M
   

   
  
 
ii) 
 
1 2 1 2
0,1 XY 1 2 2
2 1 2t t 0 t t 0
1
E Y μ (t , t ) 1
t (1 t ) (1 t )
M
   

   
  
 
iii) 
 
1 2 1 2
2
1,1 XY 1 2 2 2
1 2 1 2t t 0 t t 0
1
E XY μ (t , t ) 1
t t (1 t ) (1 t )
M
   

   
   
 
 
Exemplo 17. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
 
2 αy
XYf (x,y) α para 0 x ye
  
 
Determinar a função geratriz de momentos de (X, Y). 
Solução 
 1 2 1 2 1 2t X t Y t x t y t x t y2 αy 2 αyXY 1 2
0 x 0 x
(t, t ) E α dydx α dy dxM e e e e e e
   
       
1 2 1 2t x (α t )y t x (α t )y2 2
XY 1 2 2
2
0 x 0 x
1
(t , t ) α dy dx α (α t ) dy dx
α t
M e e e e
   
     
   
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
17 
 
1 2 1 2
x
t x (α t )y t x (α t )y2 2
XY 1 2
x
2 2
0 0
1 1
(t , t ) α dx α dx
α t α t
M e e e e
 

   

     
        
1 2 1 2t x (α t )x (α t t )x2 2
XY 1 2
2 2
0 0
1 1
(t , t ) α dx α dx
α t α t
M e e e
 
     
  
1 2
2 2
0
(α t t )x
XY 1 2
2 1 2 2 1 2
α α
(t , t )
(α t ) (α t t ) (α t ) (α t t )
M e  

 
     
 
Portanto, 
 2
XY 1 2 1 2 2
2 1 2
α
(t , t ) para t α t e t α
(α t ) (α t t )
M    
  
 
Assim sendo, tem-se: 
(i) 2 2
1
XY 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1
α α
(t , t ) (α t t )
t t (α t t ) (α t ) (α t ) t
M 
   
              
 
 2 2
2
XY 1 2 1 2 2
1 2 2 1 2
α α
(t , t ) ( 1)(α t t ) ( 1)
t (α t ) (α t ) (α t t )
M 

           
 
 (ii) 2
2 1 1
XY 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 2
α
(t , t ) α (α t ) (α t t )
t t (α t t ) (α t ) t
M  
   
              
 
2 2 1 1 2
XY 1 2 2 1 2 2 1 2
2
(t , t ) α ( 1)(α t ) ( 1) (α t t ) (α t ) ( 1)(α t t ) ( 1)
t
M    

             
 
 
2 2 1 1 2
XY 1 2 2 1 2 2 1 2
2
(t , t ) α (α t ) (α t t ) (α t ) (α t t )
t
M    

         
 
2 2 1 2 2
XY 1 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
α t t α t1 1 1 1
(t , t ) α α
t (α t ) (α t t ) (α t ) (α t t ) (α t ) (α t t )
M
      
     
            
  2 12
XY 1 2 2 2
2 2 1 2
2 α t α t
(t , t ) α
t (α t ) (α t t )
M
   
  
    
 
(iii) 
XY 1 2 XY 1 2 XY 1 2
1 2 2 1 2 1
(t , t ) (t , t ) (t , t )
t t t t t t
M M M
    
   
      
2
2 1 2
XY 1 2 2 1 22
1 2 2 2 1 2 2
α
(t , t ) α (α t ) (α t t )
t t t (α t ) (α t t ) t
M  
  
             
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
18 
 
2 2 2 1 3
XY 1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
(t , t ) α ( 1)(α t ) ( 1)(α t t ) (α t ) ( 2)(α t t ) ( 1)
t t
M    

              
 
2 2 2 1 3
XY 1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
(t , t ) α (α t ) (α t t ) 2(α t ) (α t t )
t t
M    

          
 
2
XY 1 2 2 2 3
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
(t , t ) α
t t (α t ) (α t t ) (α t )(α t t )
M
 
  
        
 
2 21 2 2 2 1
XY 1 2 2 3 2 3
1 2 2 1 2 2 1 2
α t t 2(α t ) 3(α t ) t
(t , t ) α α
t t (α t ) (α t t ) (α t ) (α t t )
M
        
    
          
 
(iv) Por meio de um desenvolvimento análogo determina-se
3
2 21 2 2 2 1
XY 1 22 2 4 2 4
1 2 2 1 2 2 1 2
α t t 7(α t ) 8(α t ) t
(t , t ) α α
t t (α t ) (α t t ) (α t ) (α t t )
M
        
    
          
 
Então: 
i) 
 
1 2 1 2
2 2
1,0 XY 1 2 2 2
1 1 2 2t t 0 t t 0
α α 1
E X μ (t , t )
t (α t t ) (α t ) α α α
M
   

    
   
 
ii) 
 
 
1 2 1 2
2 12 2
0,1 XY 1 2 2 2 4
2 1 2t t 0 t t 0
2 α t t 2α 2
E Y μ (t , t ) α α
t (α t ) (α t ) α α
M
   
        
  
 
iii) 
 
1 2 1 2
2
2 22 1
1,1 XY 1 2 3 2 3 2 2
1 2 1 2 2t t 0 t t 0
3(α t ) t 3α 3
E XY μ (t , t ) α α
t t (α t t ) (α t ) α α α
M
   
 
    
    
 
iv) 
 
1 2 1 2
3
2 2 22 1
1,1 XY 1 22 4 2 4 2 3
1 2 1 2 2t t 0 t t 0
8(α t ) t 8α 8
E X Y μ (t , t ) α α
t t (α t t ) (α t ) α α α
M
   
 
    
    
 
 
Distribuições bidimensionais –expectância e variância condicionadas (RT7 – Seção 7.7) 
Exemplo 18. Considere-se a variável aleatória (X, Y) referente ao exemplo 5. 
Determinar as expectâncias condicionadas E(X|y) e E(Y|x) e as distribuições das 
variáveis aleatórias E(X|Y) e E(Y|X). Aplicar a lei das expectâncias iteradas a E(X|Y) e 
E(Y|X). 
Solução. 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
19 
 
Como esse exercício se relaciona ao exemplo 5, anteriormente visto, deve-se começar 
recapitulando os resultados já obtidos, os quais são apresentados a seguir. 
A distribuição conjunta e as distribuições marginais de X e de Y são mostradas na 
tabela abaixo. 
 
X Y 
Xp (x)
 
2 5 
1 1/8 2/8 3/8 
3 3/8 2/8 5/8 
Yp (y)
 4/8 4/8 1 
 
As distribuições condicionadas associadas a (X|Y) são mostradas a seguir. 
 
X|Y
1
, se x=1
4
p (x|2)
3
, se x=3
4





 
X|Y
2 1
, se x=1
4 2
p (x|5)
2 1
= , se x=3
4 2





 
 
 
Y|X
1
,se y 2
3
p (y|1)
2
,se y 5
3



 

 
Y|X
3
,se y 2
5
p (y|3)
2
,se y 5
5



 

 
 
Então, as expectâncias condicionadas de (X|Y=y) são: 
 
1 3 1 9 10 5
E(X|Y=2)= E(X|2)=1. 3.
4 4 4 4 2

   
 
 
1 1 1 3 4
E(X|Y=5)= E(X|5)=1. 3. 2
2 2 2 2

   
 
 
E as expectâncias condicionadas de (Y|X=x) são: 
 
1 2 2 10 12
E(Y|X=1)= E(Y|1)= 2. 5. 4
3 3 3 3

   
 
 
3 2 6 10 16
E(Y|X=3)= E(Y|3)= 2. 5. 3,2
5 5 5 5

   
 
 
Portanto, as variáveis aleatórias associadas às expectâncias condicionadas são: 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
20 
 
 
Y
Y
5 1
, se y 2 ;com P(Y=2) p (2)
2 2
E(X|Y) =
1
2 , se y 5 ; com P(Y=5) p (5)
2

  

   

 
 
 
X
X
3
4 , se x 1 ; com P(X=1) p (x)
8
E(Y|X) =
16 5
, se x 3 ; com P(X=3) p (x)
5 8

  

   

 
 
Aplicando agora a lei das expectativas iteradas, tem-se: 
 
 E[E(X|Y)] = 
5 1 1 5 5 4 9
2 1
2 2 2 4 4 4

    
 
 E[E(Y|X)] = 
3 16 5 3 3 4 7
4 2
8 5 8 2 2 2

    
 
 
Deve-se observar que E[E(X|Y)] = E(X) e E[E(Y|X)] = E(Y) , pois 
 
3 5 3 15 18 9
E(X)=1 3
8 8 8 8 4

   
 
 
1 1 2 5 7
E(Y)= 2 5
2 2 2 2

  
 
 
Exemplo 19. Seja (X, Y) uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de 
probabilidade conjunta: 
 
XY
1
f (x,y) = , para 0 < x < 2 e 0 < y < x
2
 
a) Determinar as funções de densidade de probabilidade marginais de X e de Y; 
b) determinar as funções de densidade de probabilidade condicionadas associadas à 
variável aleatória (X,Y); 
c) determinar as expectâncias condicionadas E(X | y) e E(Y | x); 
d) aplicar a lei das expectâncias iteradas a E(X | Y) e E(Y | X). 
Solução 
A função de densidade de probabilidade conjunta é 
Juliana
Realce
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
21 
 
 
XY
1
f (x, y) , para 0 < x < 2 e 0 < y < x
2

 
Então segue: 
a) as funções de densidade marginais de X e de Y são: 
 x x
x
X 0
0 0
1 1 1 1
f (x) dy dy y x , para 0 < x < 2
2 2 2 2
    
 
 
X
1
f (x)= x , para 0< x <2
2
 
  
2
2
Y y
y
1 1 1
f (y) dx x 2- y , para 0< y <2
22 2
  
 
  Y 1f (y)= 2- y , para 0< y<2
2
 
b) as funções de densidade condicionais associadas a (X,Y) são: 
 
 
X|Y
1
12f (x|y) , para y < x <2, com 0 y 2
1 2- y
2 y
2
   

 
 
X|Y
1
f (x|y)= , para y< x <2, com 0 y 2
2- y
  
 
Y|X
1
12f (y|x) , para 0< y < x , com 0< x 2
1 x
x
2
  
 
 Y|X
1
f (y|x) , para 0< y< x , com 0< x 2
x
 
 
c) as expectâncias condicionadas são calculadas a seguir: 
c-i) pelo método direto 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
22 
 
2 2
2
2
X y
y y
1 1 1 1
E(X|Y y) E(X|y) (y) x dx x dx x
2- y 2- y 2- y 2
        
 
  2 2+ y 2 y1 1 1 2 y4 y , com 0 y x
2 2- y 2 2 y 2
 
     

 
 X
1 2 y
E(X|Y y) E(X|y) (y) 2 y , com 0 y 2
2 2
         
e 
x x
x
2
Y 0
0 0
1 1 1 1
E(Y|X x) E(Y|x) (x) y dy y dy y
x x x 2
       
 
21 xx , com 0 x 2
2x 2
   
 
Y
1
E(Y|X=x)= E(Y|x)= (x) x , com 0 < x < 2
2
 
 
c-ii) pelo método alternativo 
Examinando a expressão da função de densidade de (X|y) verifica-se que essa variável 
aleatória tem distribuição uniforme no intervalo (y , 2). Portanto, tem-se, diretamente, 
 
 X
1 2 y
E(X|Y y) E(X|y) (y) 2 y , com 0 y 2
2 2
         
e 
Examinando a expressão da função de densidade de (Y|x) verifica-se que essa variável 
aleatória tem distribuição uniforme no intervalo (0 , x). Portanto, tem-se, diretamente, 
 
Y
1
E(Y|X=x)= E(Y|x)= (x) x , com 0 < x < 2
2
 
 
d) Lei das expectâncias iteradas
 
Considerando a variável aleatória E(X|Y), tem-se: 
i) pelo método direto 
 
   
2 2 2
2
Y
0 0 0
2 y 2 y 1 1
E[E(X|Y)] f (y) dy 2 y dy 4 y dy
2 2 2 4
 
       
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
23 
 
 2 2
222 3
0 0
0 0
1 1 1 1 8 2 4
4 dy y dy 4 y y 8 2
4 4 3 4 3 3 3
     
             
    
 
 
 2 2
2
2 3
0
0 0
1 1 1 1 8 4
E(X) x x dx x dx x
2 2 2 3 6 3
     
 
ii) pelo método alternativo 
 
   
1 1
E(X|y) 2 y donde E(X|Y) 2 Y
2 2
   
 
e portanto 
 
     
1 1
E E(X|Y) E 2 Y 2 E(Y)
2 2
 
    
 
 
mas 
 2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1
E(Y) y (2 y)dy y(2 y)dy 2 ydy y dy
2 2 2
 
       
 
   
 
 
2 2
2 3
0 0
1 1 1 8 4 2
y y 4 2
2 3 2 3 3 3
   
         
   
 
logo 
 
   
1 1 2 1 4
E E(X|Y) 2 E(Y) 2 1 E(X)
2 2 3 3 3
 
        
 
 
Considerando a variável aleatória E(Y|X), tem-se: 
i) pelo método direto 
2 2 2
2
2 3
X 0
0 0 0
x x 1 1 1 1 8 2
E[E(Y|X)] f (x)dx x dx x dx x
2 2 2 4 4 3 12 3
       
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1
E(Y) y (2 y)dy y(2 y)dy 2 ydy y dy
2 2 2
 
       
 
   
 
 
2 2
2 3
0 0
1 1 1 8 4 2
y y 4 2
2 3 2 3 3 3
   
         
   
 
ii) pelo método alternativo 
 
1 1
E(Y|x) x donde E(Y|X) X
2 2
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
24 
 
e portanto 
 
1 1
E[E(Y|X)] E X E(X)
2 2
 
  
 
 
mas 
 2 2
2
2 3
0
0 0
1 1 1 1 8 4
E(X) x x dx x dx x
2 2 2 3 6 3
     
 
 
1 4 2
E[E(Y|X)] E(Y)
2 3 3
  
 
 
Covariância e coeficiente de correlação linear (RT7 – Seção 7.8) 
Exemplo 20. Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta de 
probabilidades: 
 
X 
Y 
2 5 
1 1/8 2/8 
3 3/8 2/8 
 
Pede-se: 
a) A covariância entre X e Y; 
b) o coeficiente de correlação linear entre X e Y; 
c) verificar se X e Y são independentes. 
 
Solução 
 
A função de probabilidade conjunta de X e de Y é 
X 
Y 
Soma 
2 5 
Juliana
Realce
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
25 
 
1 1/8 2/8 3/8 
3 3/8 2/8 5/8 
Soma 4/8 4/8 1 
 
Então: 
a) 
 
   X Y
3/8 x 1 1/ 2 y 2
p x p y
5/8 x 3 1/ 2 y 5
  
  
  
 
 
             
1 2 3 2
E XY 1 2 1 5 3 2 3 5
8 8 8 8
       
          
       
 
 
    
2
8
10
8
18
8
30
8
15
2
 
 
   
3 5 9
E X (1) 3
8 8 4
   
     
   
 
   
1 1 7
E Y (2) 5
2 2 2
   
     
   
 
 
       
15 9 7 3
Cov X,Y = E XY -E X E Y
2 4 2 8
    
       
    
 
 
     2 2 23 5 48E X 1 3 6
8 8 8
   
      
   
 
 
     2 2 2
1 1 29
E Y 2 5
2 2 2
   
     
   
 
 
     
2
2 2 9 15Var X = E X -E X 6
4 16
 
   
 
 
 
     
2
2 2 29 7 9Var Y = E Y -E Y
2 2 4
 
   
 
 
 
 
   
XY
3
Cov X,Y 18
0,2582
15 9 15Var X Var Y
16 4

 
 
       
c) XY 0 XeYnãosãoindependentes.   
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
26 
 
 
Exemplo 21. Seja 
 X,Y
uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo com a 
seguinte densidade de probabilidade conjunta: 
 
 XYf x,y 3x para 0 x 1 e 0 y x    
 
Pede-se: 
a) Determinar a covariância entre X e Y 
b) Verificar se X e Y são independentes. 
 
Solução 
A função de densidade de probabilidade conjunta de X e de Y é 
 
 XYf x,y 3x para 0 x 1 e 0 y x    
 
   
x x
2
X
0 0
x
a) f x 3xdy 3x dy 3x y 3x para 0 x 1
0
      
 
 
      
1 1
2 2
Y
y y
1
f y 3xdx 3 xdx 3 x /2 3/ 2 1-y para 0 y 1
y
      
  
 
 
     
1 1
2 3 4
0 0
1
E X (3x )dx 3 x dx 3 x /4 3/ 4
0
x     
  
 
 
       
1 1 1
2 3
0 0 0
E Y 3/ 2 y 1-y dy 3/ 2 ydy y dy
 
    
 
 
  
 
 
  2 4
1 1
3/ 2 y /2 - y /4
0 0
 
        
 
   3/ 4 3/8 3/8  
 
 
    
1 1 x 1
2 2 2
0 0 0 0 0
x
E XY xy 3x dydx 3 x ydydx 3 x y /2 dx
0
x
    
    
 
 
   
1
4 5
0
1
3/ 2 x dx 3/ 2 x /5 3/10
0
   
 
 
 
            Cov X,Y =E XY -E X E Y = 3/10 3/ 4 3/8 1/180 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
27 
 
b) Como 
 Cov X,Y 0,
X e Y não são independentes. 
 
Exemplo 22. (ex. 7.15) 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que 
2Y = X
. Considere-se, ainda, que X tem a 
seguinte função de probabilidade: 
 
X
1
p (x)= , para x 2, 1, 1, 2
4
 
 
 Determinar: 
a) a função de probabilidade conjunta de X e de Y; 
b) a covariância de X e Y; 
Solução 
A função de probabilidade marginal de X é 
X
1
p (x)= , para x 2, 1, 1, 2
4
 
 
e as duas variáveisaleatórias X e Y são relacionadas por 
2Y = X .
 
Então: 
a) A distribuição marginal de Y é 
 
Y
1
p (y)= , para y =1,4
2
 
b) A distribuição conjunta de X e Y é expressa por 
 
    XY
1
p (x,y)= , para x,y (-2,4),(-1,1), (1,1), 2,4)
4

 
c) A covariância entre X e Y é calculada a seguir 
 
 
   
1 1
E(X Y)= ( 2).4 ( 1).1 1.1 2.4 8 1 1 4 0
4 4
          
 
 
 
1 1 5
E(X)= ( 2) ( 1) 1 2 0 e E(Y)= (1 4)
4 2 2
       
 
donde 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
28 
 
 
5
Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)=0-0. 0
2

 
 ou seja, 
Cov(X,Y)=0
 
d) Portanto, o coeficiente de correlação é nulo 
 
XY 0  
Isso mostra que o coeficiente de correlação (linear) pode ser nulo mesmo para variáveis 
aleatórias inter-relacionadas (não linearmente). 
 
Exemplo 23. Seja (X, Y) uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função 
de densidade de probabilidade: 
 
XYf (x,y) = x + y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1
 
a) Verificar que a função acima atende as condições de uma função de densidade 
de probabilidade conjunta; 
b) as funções de densidade de probabilidade marginais de X e de Y; 
c) as funções de densidade de probabilidade condicionadas associadas à variável 
aleatória (X,Y); 
d) calcular a covariância e o coeficiente de correlação. 
 
Solução 
A função de probabilidade conjunta de (X,Y) é 
 
XYf (x,y) = x + y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1
 
a) sim, pois 
2
XY XY XYf (x,y) 0,para todo (x,y) R e f (x,y)dx dy = 1  
 pois 
 
2
XY
1 1 1 1 1
XY
R
0 0 0 0 0
f (x,y)dx dy x + y dx dy x dx y dx dy
 
    
 
     
 
 
1 1 1 1
1 11 12 2
0 00 0
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
x y x dy dy dy ydy y y 1
2 2 2 2 2 2 2
y
    
              
    
   
 
 
b) 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
29 
 
 
1
2
X
0
1 11 1
f (x) = x+y dy = x y y x + , para 0 < x < 1
0 02 2
  
 
1
2
Y
0
1 11 1
f (y) = x+y dx = x y x y , para 0 < y < 1
0 02 2
   
c) 
X | Y
x + y
f (x | y) = , para 0 < x < 1 , com 0 < y < 1
1
y + 
2
 
Y | X
x + y
f (y | x) = , para 0 < y < 1 , com 0 < x < 1
1
x + 
2
 
d) a expressão geral dos momentos ordinários mistos 
 1 1 1 1 1
i j i j i+1 j i j+1
ij
0 0 0 0 0
μ E(X Y ) x y (x + y)dxdy x y dx + x y dx dy=
 
    
 
    
 
 1 11 1 1 1 i+2 i+1
j i+1 j+1 i j j+1
0 0 0 0 0 0
x x
y x dx + y x dx dy = y y dy
i+2 i 1
  
    
    
   
 
 1 1 1
j j+1 j j+1
0 0 0
1 1 1 1
y y dy y dy y dy
i 2 i 1 i 2 i+1
 
     
   
  
 
 
1 1
j+1 j+2
0 0
1 1 1 1
y y
i 2 j+1 i+1 j+2
  

 
 
    ij
1 1 1 1 1 1
μ
i+2 j+1 i+1 j+2 i+2 ( j+1) i+1 j+2
   
 
Portanto, tem-se: 
     
i j
ij
1 1
μ E(X Y )
i +2 j+1 i +1 j+2
   
10 01
7 7
E(X)=μ = e E(Y)=μ =
12 12 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
30 
 
2 2
20 02
5 5
E(X )=μ = e E(Y )=μ =
12 12 
2
2 2 5 7 11V(X)= E(X )-E (X)= V(Y)
12 12 144
 
   
  
11
1
E(XY) =μ
3

 
2
1 7 -1
Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)=
3 12 144
 
  
  
XY
1
E(XY)-E(X) E(Y) -1144= Cor(X,Y) =
11V(X) V(Y) 11 11
144 144


 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Variáveis Aleatórias Bidimensionais – Exemplos Complementares 
Exercícios Adicionais Resolvidos 
Exercício resolvido 1. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo discreto 
com a seguinte função de probabilidade conjunta: 
 XY
1
p (x,y) xy , para x =1, 2, 3 e y =1, 2, ...,x
25
 
a) Determinar as funções de probabilidade marginais de X e de Y; 
b) Determinar as expressões analíticas das funções de probabilidade condicionadas 
associadas a (X,Y). 
Solução 
A função de probabilidade conjunta de X e de Y tem a seguinte expressão 
XY
1
p (x,y)= x y , para x =1,2,3 e y=1,2,...,x
25
 
Então: 
a) Determinação das distribuições marginais: 
a-i) x x
2
X
y=1 y=1
(1+ x) x1 1 1 1
p (x) xy= x y x x (1 x),para x 1,2,3
25 25 25 2 50
     
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
31 
 
a-ii) 
3 3
Y
x=y x=y
1 1 1
p (y) xy= y x y(y +...+3)
25 25 25
   
 
 
(y+3)(4- y)1 1
y y(y+3)(4- y), para y=1, 2, 3
25 2 50
 
 
 
b) Determinação das distribuições condicionais: 
b-i) 
X|Y
1
x y
2 x25p (x|y) , para x = y, y +1, ...,3 ; com y 1,2,3
1 (y +3) (4- y)
y(y +3) (4- y)
50
   
b-ii) 
Y|X
2
1
x y
2 y25p (y|x) , para y 1,2, ..., x ; com x =1,2,3
1 x (1+ x)
x (1+ x)
50
   
 
Exercício resolvido 2. Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são 
escolhidas ao acaso dessa urna, observando-se os números nelas inscritos. Sejam X e Y as 
variáveis aleatórias que representam os números eventualmente inscritos na primeira e na 
segunda, respectivamente. Considerem-se as duas situações que correspondem à escolha ser 
efetuada com e sem reposição. Para cada uma delas determine: 
a) a distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória (X,Y); 
b) as distribuições marginais de X e de Y; 
c) as expectâncias e as variâncias de X e de Y; 
d) a covariância de X e Y. 
Solução 
Nas condições estabelecidas, tem-se: 
a) distribuição conjunta de (X,Y) nos dois casos a serem considerados. 
 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
32 
 
 
a-i) na seleção com reposição 
 
 X 
Y 
1 2 3 4 5 
1 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
2 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
3 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
4 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
5 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
 
e 
a-ii) na seleção sem reposição 
 
 
 X 
Y 
1 2 3 4 5 
1 
0
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
2 
1
20
 
0 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
3 
1
20
 
1
20
 
0 
1
20
 
1
20
 
4 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
0 
1
20
 
5 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
0 
 
Portanto, segue: 
 
b) distribuições marginais de X e de Y 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
33 
 
 
 
b-i) na seleção com reposição 
 
 
 X 
Y 
Xp (x)
 
 
1 2 3 4 5 
1 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
5
 
2 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
5
 
3 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
5
 
4 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
5
 
5 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
1
25
 
125
 
1
5
 
Yp (y)
 
 
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
 1 
 
Ou seja, as distribuições marginais de X e de Y são iguais, tendo, ambas, a mesma 
função de probabilidade: 
 
 
X
1
p (x) ; para x 1,2,3,4,5
5
 
 
 
 
Y
1
p (y) ; para y 1,2,3,4,5
5
 
 
 
e 
 
b-ii) na seleção sem reposição 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
34 
 
 
 
 
 X 
Y 
Xp (x)
 1 2 3 4 5 
1 
 
0
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
1
5
 
2 
1
20
 
 
0
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
1
5
 
3 
1
20
 
1
20
 
 
0
 
1
20
 
1
20
 
1
5
 
4 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
 
0
 
1
20
 
1
5
 
5 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
1
20
 
 
0
 
 
1
5
 
 
Yp (y)
 
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
 1 
 
 
Ou seja, as distribuições marginais de X e de Y são iguais, tendo, ambas, a mesma 
função de probabilidade: 
 
X
1
p (x) ; para x 1,2,3,4,5
5
 
 
 
Y
1
p (y) ; para y 1,2,3,4,5
5
 
 
Como se pode verificar, as funções de probabilidade marginais de X e de Y são iguais 
nos dois casos – com e sem reposição. 
c) cálculo das expectâncias e variâncias 
 
  5 5
y=1 1
1 5 .51 1 1
E(X)= x x 3
5 5 5 2x

    
 
  5 5
y=1 1
1 5 .51 1 1
E(Y)= y y 3
5 5 5 2x

   
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
35 
 
 
5 5
2 2 2
x=1 1
1 1 1 5.6.11
E(X )= x x 11
5 5 5 6x
    
 
 
5 5
2 2 2
x=1 1
1 1 1 5.6.11
E(Y )= y y 11
5 5 5 6x
    
 
 
   2 2 2V(X)= E X -E X 11 3 11 9 2    
 
 
 
   2 2 2V(Y)= E Y -E Y 11 3 11 9 2    
 
Como se pode verificar, as expectâncias e variâncias de X e de Y são iguais, nos dois 
casos – com e sem reposição. 
 Porém, no que diz respeito ao momento misto de ordens 1 e 1, o mesmo não ocorre, 
tendo-se 
 5 5 5 5 5 5
x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 x=1
1+5 51 1 1 15 3 (1 5)5 3
E(X Y)= x y x y x x 15 9
25 25 25 2 25 5 2 5

          
no caso de extração com reposição 
e 
2
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2 2 2
x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 x=1 y=1 x=1 x=1 x=1
y
1 1 1 1
E(X Y)= x y x y- x x y x x - x
20 20 20 20
x
      
          
       
        
2
21 (1 5).5 5.6.11 1 225 55 170 1715 55 8,5
20 2 6 20 20 20 2
     
             
      
no caso de extração sem reposição 
d) cálculo da covariância 
d-i) no caso com reposição 
 
E(XY)-E(X)E(Y) 9 3.3
Cov(X,Y)= 0
V(X)V(Y) 2.2

 
 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
36 
 
Resultado que era esperado pois na extração com reposição as variáveis X e Y são 
independentes. 
d-ii) no caso sem reposição 
 
17 17 18
3.3
E(XY)-E(X) E(Y) 12 2Cov(X,Y) = 0,25
2 4V(X) V(Y) 2.2


   
 
 
Exercício resolvido 3. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo 
cuja função de densidade de probabilidade tem por expressão: 
 x(1+y)XYf (x,y) = x , para x > 0 e y > 0e  
Determinar: 
a) As funções de densidade marginais de X e de Y; 
b) as funções de densidade condicionais associadas a (X,Y); 
c) E(Y|x) e V(Y|x). 
Solução 
A função de densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) tem por expressão: 
 
x(1+y)
XYf (x,y) = x , para x > 0 e y > 0e

 
Portanto: 
a) as funções de densidade marginais de X e de Y são: 
a-i) 
 
0
x(1+y) x xy x xy x
X
0 0
1
f (x) x dy x dy x , para x 0
x
e e e e e e
 
     

 
     
 
 
 
e 
a-ii) 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
37 
 
x(1+y) 2 (1+y)x
Y
0 0
2 u
Y 2 2 2
0
f (y) x dx (1 y) (1 y) x (1 y)dx e fazendo u (1 y) x
tem-se que du (1 y)dx e segue
1 1 1
f (y) (1 y) u du (2) 1! , para y 0
(1 y) (1 y) (1 y)
e e
e
 
  

 
      
 
      
  
 

 
 
b) as funções de densidade condicionais associadas a (X,Y) são: 
b-i) 
 x(1+y)
2 (1+y)x
X|Y
2
x
f (x|y) (1+ y) x , para x 0 com y 0
1
(1 y)
e
e

   

 
e 
b-ii) 
 x(1+y) x x y
x y
Y|X x x
x x
f (y,x) x , para y 0 com x 0
e e e
e
e e
  

 
    
 
 
c) a expectância e a variância condicionadas de (Y|X=x) são facilmente obtidas 
observando-se que a distribuição de (Y|X=x) é exponencial de parâmetro x; logo 
c-i) 
 
1
E(Y|X=x) E(Y|x)
x
 
 
c-ii) 
 
2
1
V(Y|X=x) V(Y|x) , para x >0
x
 
 
d) a expectância e a variância condicionadas de (X|Y=y) são facilmente obtidas 
observando-se que a distribuição de (X|Y=y) é gama de parâmetros (1+y) e 2; logo 
d-i) expectância condicionada 
 
2
E(X|Y=y) E(X|y) , para y 0
(1 + y)
  
 
d-ii) variância condicionada 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
38 
 
 
2
2
V(X|Y=y) V(X|y) , para y>0
(1 y)
 

 
 
Exercício resolvido 4. Certa loja recebe diariamente uma remessa de determinado artigo 
que é muito procurado pela clientela. O número de artigos de cada remessa é uma 
variável aleatória com a seguinte distribuição. 
x 10 11 12 13 14 15 
p(x) 0,05 0,10 0,10 0,20 0,35 0,20 
 
A probabilidade de que qualquer artigo seja defeituoso é a mesma para todos os artigos, 
sendo igual a 0,10. Representando por Y o número de artigos defeituosos recebidos em 
um dia, determinar o valor esperado de Y. 
Solução 
Tem-se no caso uma variável aleatória bidimensional (X,Y) onde X representa o 
número eventual de artigos de uma remessa diária e Y o número eventual de artigos 
defeituosos. A distribuição marginal de X é conhecida e a correspondente função de 
probabilidade é. 
 
x 10 11 12 13 14 15 
p(x) 0,05 0,10 0,10 0,20 0,35 0,20 
 
Supondo que cada artigo tem (ou não) defeito de forma independente dos demais, a 
variável aleatória Y, para um valor fixado do número de artigos recebidos na remessa 
diária, possui distribuição binomial de parâmetros n = x, valor de X fixado, e p = 0,10. 
Então, a distribuição condicionada de Y dado X=x é: 
 
y y x-y
Y|X xp (y|x) C 0,10 0,90 para y 0,1,2, ... , x 
 
Portanto, a expectância de (Y|X=x) = (Y|x) é 0,10x, ou seja E(Y|x) = 0,10x e desse 
modo, considerando todos os valores possíveis de X tem-se a variável aleatória E(Y|X), 
expressa por 
 E(Y|X) = 0,10 X 
A expectância de Y pode ser assim obtida pela aplicação da lei das expectâncias iteradas 
 E[E(Y|X)] = E[0,10 X] = 0,10 E(X) 
Mas a expectância de X pode ser facilmente determinada por 
Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
39 
 
 E(X) = 10.0,05+ 11.0,10 + 12.0,10 + 13.0,20 + 14.0,35 + 15.0,20 = 
 = 0,5 + 1,1 + 1,2 + 2,6 + 4,9 + 3,0 = 13,3 
Logo, finalmente, tem-se E(Y) = 0,10.13,3 = 1,33 artigo 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------