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1 ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 15-Testes sobre a variância de um universo normal Resumo Teórico Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 15.1 Distribuição de Qui-Quadrado Sendo n um inteiro positivo, diz-se que a variável aleatória 2 n possui distribuição de Qui-Quadrado com n graus de liberdade se sua função de densidade tiver por expressão: (1) 2 2 2 2 11 0 2 2nn x n f x x e x n 1,2,3,...n A distribuição de 2 n é assimétrica à direita e possui as seguintes características: (2) 2nE n 2nVar = 2n 2 2, para 3nModa n n 15.2 Teoremas Básicos sobre a distribuição do Qui-Quadrado Teorema 1 (3) Se X N(0,1) , então 2X 2 1 Teorema 2 (4) Se iX (0,1)N ( 1,2,3,...., )i n , independentes, então, 2 1 n i i X 2 n Teorema 3 (5) Se 2 m e 2 n são independentes, então 2 2 m n 2 m n Teorema 4 (Transformação de Fischer) Para 100n tem-se, aproximadamente, (6) 22 2 1 0,1n n N Teorema 5 Seja 1 2( , ,..., )nX X X uma amostra aleatória de tamanho n de um universo com dis- tribuição normal, de média e variância 2. Faça-se: 2 (7) 22 1 1 1 n j j S X X n Então, (8) 2 2 1 1 n j j Q X X 2 1n , ou seja, 2 2 ( 1)n S Q 2 1n 15.3 Universo Serão apresentados alguns testes de significância sobre uma variância, consideran- do apenas o caso de um universo X que possui distribuição normal: (9) X ~ 2,N onde 2 é desconhecida. 15.4 Estatística de decisão Represente-se por 1 2 nX ,X ,...,X uma amostra aleatória de tamanho n do universo X e considere-se variância amostral 2S , definida pela expressão (7). Faça-se: (10) 2 2 1n S Q Essa variável aleatória possui distribuição de qui-quadrado, com 1n graus de li- berdade, isto é Q ~ 2 onde 1, n . Ela será adotada como estatística de de- cisão nos testes referentes à variância de um universo com distribuição normal. Como a distribuição dessa estatística não depende de parâmetros desconhecidos, ela também será adotada como estatística do teste. Considere-se um teste de hipóteses no qual a hipótese nula especifica que a variân- cia do universo possui um determinado valor: (11) 2 2 0 oH : Se oH é verdadeira, a estatística de decisão (10) tem por expressão: (12) 2 2 1 o n S Q sendo Q ~ 2 com 1, n Em uma amostra efetiva, 1 2 nx ,x ,...,x , essa estatística assume a determinação: (13) 2 21* oQ n s onde (14) 2 2 j j=1 1 1 n s x x n 3 15.5 Teste unilateral à direita Especificação (15) 2 2 2 2 o 1H : H :o o Número crítico Arbitrado um nível de significância , o número crítico é dado por (16) 1 2 ,nC que corresponde ao valor da abscissa de uma distribuição de qui-quadrado com 1n graus de liberdade tal que (17) 2 21 1,n nP Os valores dessas abscissas podem ser lidos na Tabela III, com as seguintes entra- das: Linha: Número de graus de liberdade = 1ν n Coluna: Área = Regra de Decisão (18) (i) Se *Q C rejeita-se oH , ao nível de significância ; (ii) caso contrário, aceita-se oH , ao nível de significância . Nota: Se oH for rejeitada ao nível de significância , dizemos que a variância observada na amostra, 2s , é significantemente maior que 2 0 , ao nível de significância . Cálculo do P-Valor Seja 2 1,n A a abscissa da distribuição de qui-quadrado com 1n graus de liberda- de, tal que (19) 2 * 1,n A Q Então, (20) -P Valor A 15.6 Teste unilateral à esquerda Especificação 21) 2 2 2 2 o 1H : H :o o 4 Número crítico Arbitrado um nível de significância , o número crítico é dado por (22) 1 1 2 ,nC que corresponde ao valor da abscissa de uma distribuição de qui-quadrado com 1n graus de liberdade tal que (23) 2 21 1,1 1n nP Os valores dessas abscissas podem ser lidos na Tabela III, com as seguintes entra- das: Linha: Número de graus de liberdade = 1ν n Coluna: Área = 1 Regra de Decisão (24) (i) Se *Q C rejeita-se oH , ao nível de significância ; (ii) caso contrário, aceita-se oH , ao nível de significância . Nota: Se oH for rejeitada ao nível de significância , dizemos que a variância observada na amostra, 2s , é significantemente menor que 2 0 , ao nível de significância . Cálculo do P-Valor Seja 2 1,n A a abscissa da distribuição de qui-quadrado com 1n graus de liberda- de, tal que (25) 2 * 1,n A Q Então, (26) - 1P Valor A 15.7 Teste bilateral Especificação (27) 2 2 2 2 o 1H : H :o o Números críticos Arbitrado um nível de significância , os números críticos são dados por (28) 1 1 2 1 2 2 2 1 , / 2 , /en nC C 5 que correspondem aos valores da abscissa de uma distribuição de qui-quadrado com 1n graus de liberdade tais que (29) 2 2 2 21 1,1 / 2 1 1, / 22 21 / e /n n n nP P Os valores dessas abscissas podem ser lidos na Tabela III, com as seguintes entra- das: Linha: Número de graus de liberdade = 1ν n Coluna 1: Área = 21 / Coluna 2: Área = 2/ Regra de Decisão (30) (i) Se * 1 2C Q C aceita-se oH , ao nível de significância ; (ii) caso contrário, rejeita-se oH , ao nível de significância . Nota: Se oH for rejeitada ao nível de significância , dizemos que a variância observada na amostra, 2s , é significantemente diferente de 2 0 , ao nível de significância . Cálculo do P-Valor Seja 2 1,n A a abscissa da distribuição de qui-quadrado com 1n graus de liberda- de, tal que (31) 2 * 1,n A Q Então, (32) (i) Se 1/ 2 - 2A P Valor A (ii) Se 1/ 2 - 2(1 )A P Valor A ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
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