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Estatística - Resumo teórico 15.0

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1 
 
ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
 
15-Testes sobre a variância de um universo normal 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
15.1 Distribuição de Qui-Quadrado 
 Sendo n um inteiro positivo, diz-se que a variável aleatória
2
n 
possui distribuição 
de Qui-Quadrado com n graus de liberdade se sua função de densidade tiver por 
expressão: 
 (1) 
 
 
  2
2 2
2 11
0
2 2nn
x
n
f x x e x
n

 

 
1,2,3,...n 
 
 A distribuição de
2
n
 é assimétrica à direita e possui as seguintes características: 
 
 (2) 
 2nE n
 
 2nVar 
 = 
2n
 
 2 2, para 3nModa n n  
 
15.2 Teoremas Básicos sobre a distribuição do Qui-Quadrado
 Teorema 1 
 (3) Se 
X
 N(0,1) , então 2X 
2
1
 
 Teorema 2 
 (4) Se 
iX
 
(0,1)N ( 1,2,3,...., )i n
, independentes, então, 
2
1
n
i
i
X



2
n
 
 Teorema 3 
 (5) Se 
2
m
 e
2
n
 são independentes, então 
2 2
m n 
  
2
m n
 
 Teorema 4 (Transformação de Fischer) 
 Para 
100n 
 tem-se, aproximadamente, 
 (6) 
 22 2 1 0,1n n N  
 
 Teorema 5 
 Seja 
1 2( , ,..., )nX X X
uma amostra aleatória de tamanho n de um universo com dis-
tribuição normal, de média

 e variância 2. Faça-se: 
2 
 
 (7) 
 
22
1
1
1
n
j
j
S X X
n

 
 
 
 Então, 
 (8) 
 
2
2
1
1
n
j
j
Q X X


 
 
2
1n
, ou seja, 2
2
( 1)n S
Q



 
2
1n
 
15.3 Universo 
 Serão apresentados alguns testes de significância sobre uma variância, consideran-
do apenas o caso de um universo X que possui distribuição normal: 
 (9) X ~
 2,N  
 
 onde 2 é desconhecida. 
15.4 Estatística de decisão 
 Represente-se por 
 1 2 nX ,X ,...,X
 uma amostra aleatória de tamanho n do universo 
X e considere-se variância amostral 2S , definida pela expressão (7). 
 Faça-se: 
 (10)   2
2
1n S
Q



 
 Essa variável aleatória possui distribuição de qui-quadrado, com 
1n graus de li-
berdade, isto é 
Q
 ~ 
2 onde 1, n   
. Ela será adotada como estatística de de-
cisão nos testes referentes à variância de um universo com distribuição normal. 
Como a distribuição dessa estatística não depende de parâmetros desconhecidos, ela 
também será adotada como estatística do teste. 
 Considere-se um teste de hipóteses no qual a hipótese nula especifica que a variân-
cia do universo possui um determinado valor: 
 (11) 
2 2
0 oH : 
 
 Se 
oH
é verdadeira, a estatística de decisão (10) tem por expressão: 
 (12)   2
2
1
o
n S
Q



 sendo 
Q
 ~ 
2 com 1, n   
 
 Em uma amostra efetiva, 
 1 2 nx ,x ,...,x
, essa estatística assume a determinação: 
 (13) 
  2 21* oQ n s   
onde 
 (14) 
 
2
2
j
j=1
1
1
n
s x x
n
 
 
 
3 
 
15.5 Teste unilateral à direita 
 Especificação 
 (15) 
2 2 2 2
o 1H : H :o o    
 
 Número crítico 
 Arbitrado um nível de significância 
,
o número crítico é dado por 
 (16) 
1
2
,nC  
 
 que corresponde ao valor da abscissa de uma distribuição de qui-quadrado com 
1n
graus de liberdade tal que 
 (17) 
 2 21 1,n nP     
 
 Os valores dessas abscissas podem ser lidos na Tabela III, com as seguintes entra-
das: 
 Linha: Número de graus de liberdade = 
1ν n 
 Coluna: Área = 

 
 Regra de Decisão 
 (18) (i) Se 
*Q C
 rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
oH ,
ao nível de significância
.
 
 Nota: 
 Se 
oH
for rejeitada ao nível de significância
,
dizemos que a variância observada 
na amostra, 
2s ,
é significantemente maior que 
2
0 ,
 ao nível de significância 
. 
 Cálculo do P-Valor 
 Seja 
2
1,n A 
 a abscissa da distribuição de qui-quadrado com 
1n
graus de liberda-
de, tal que 
 (19) 
2 *
1,n A Q  
 
 Então, 
 (20) 
-P Valor A
 
 
15.6 Teste unilateral à esquerda 
 Especificação 
 21) 
2 2 2 2
o 1H : H :o o    
 
 
4 
 
Número crítico 
 Arbitrado um nível de significância 
,
o número crítico é dado por 
 (22) 
1 1
2
,nC   
 
 que corresponde ao valor da abscissa de uma distribuição de qui-quadrado com 
1n
graus de liberdade tal que 
 (23) 
 2 21 1,1 1n nP       
 
 Os valores dessas abscissas podem ser lidos na Tabela III, com as seguintes entra-
das: 
 Linha: Número de graus de liberdade = 
1ν n 
 Coluna: Área = 
1 
 
 Regra de Decisão 
 (24) (i) Se 
*Q C
 rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
oH ,
ao nível de significância
.
 
 Nota: 
 Se 
oH
for rejeitada ao nível de significância
,
dizemos que a variância observada 
na amostra, 
2s ,
é significantemente menor que 
2
0 ,
 ao nível de significância
. 
 Cálculo do P-Valor 
 Seja 
2
1,n A 
 a abscissa da distribuição de qui-quadrado com 
1n
 graus de liberda-
de, tal que 
 (25) 
2 *
1,n A Q  
 
 Então, 
 (26) 
- 1P Valor A 
 
 
15.7 Teste bilateral 
 Especificação 
 (27) 
2 2 2 2
o 1H : H :o o     
 Números críticos 
 Arbitrado um nível de significância 
,
os números críticos são dados por 
 (28) 
1 1 2 1 2
2 2
1 , / 2 , /en nC C     
 
5 
 
 que correspondem aos valores da abscissa de uma distribuição de qui-quadrado 
com 
1n
graus de liberdade tais que 
 (29) 
   2 2 2 21 1,1 / 2 1 1, / 22 21 / e /n n n nP P               
 Os valores dessas abscissas podem ser lidos na Tabela III, com as seguintes entra-
das: 
 Linha: Número de graus de liberdade = 
1ν n 
 
 Coluna 1: Área = 
21 /
 Coluna 2: Área = 
2/
 
 Regra de Decisão 
 (30) (i) Se 
*
1 2C Q C 
 aceita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 Nota: 
 Se 
oH
for rejeitada ao nível de significância
,
dizemos que a variância observada 
na amostra, 
2s ,
é significantemente diferente de 
2
0 ,
 ao nível de significância 
.
 
 Cálculo do P-Valor 
 Seja 
2
1,n A 
 a abscissa da distribuição de qui-quadrado com 
1n
graus de liberda-
de, tal que 
 (31) 
2 *
1,n A Q  
 
 Então, 
 (32) (i) Se 
1/ 2 - 2A P Valor A 
 
 (ii) Se 
1/ 2 - 2(1 )A P Valor A  
 
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