Estatística - Teoremas-Limites

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Variáveis Aleatórias 
Reais – Complementos: Teoremas-Limites 
 
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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
Variáveis Aleatórias – Complemento: Teoremas-Limite 
Resumo Teórico - Nota Didática 
Professor: Juarez Figueiredo 
6.7 Desigualdade de Markov e Desigualdade de Chebychev 
6.7.1 Teorema – Desigualdade de Markov 
Seja X uma variável aleatória que assume apenas valores não negativos e de média 
 E X 
. Então, para qualquer valor 
0a 
 
 
 
( )E X
P X a
a
 
 ou 
 P X a
a

 
 
Demonstração 
 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
a
a a
E X x f x dx x f x dx x f x dx x f x dx          
 
donde 
  ( )
a
E X a f x dx

  
 
e assim 
  ( )
a
E X a f x dx

  
 
do que resulta 
   E X a P X a   
 
Portanto 
 
 E X
P X a
a
 
ou ainda 
 P X a
a

 
 
6.7.2 Teorema – Desigualdade de Chebychev 
Seja X uma variável aleatória de média 

 e variância 
2
. Tem-se, então, qualquer que 
seja 
0 
, 
 
 
2
2
P X
 

  
 
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2 
 
ou, equivalentemente, 
 
 
2
2
1P X
 

   
 
Demonstração 
Como 
 
2
X 
 é uma variável aleatória não negativa, pode-se aplicar a desigualdade 
de Markov (com 
2a 
). Assim fazendo, tem-se 
 
  
 
2
2 2
2
E X
P X

  
 
   
 
E como 
 
2 2X   
 se e somente se 
X   
, além de que
   
2 2E X Var X   
 então segue 
 
 
2
2
P X
 

  
 
6.7.3 Corolário – Desigualdade de Bienaimé-Chebychev 
Nas mesmas condições do teorema anterior, fazendo 
k 
, tem-se 
 
  2
1
P X k
k
   
 
qualquer que seja 
0k 
. 
Equivalentemente, 
 
  2
1
1P X k
k
    
 
qualquer que seja 
0k 
. 
Nota: A desigualdade de Chebychev somente é útil se 
2 2 . 
 Equivalentemente, a 
desigualdade de Bienaimé-Chebychev somente é útil se 
1.k 
 
 
6.8 Convergência em Cálculo de Probabilidade 
6.8.1 Sequência de Variáveis Aleatórias 
Denomina-se sequência ou sucessão de variáveis aleatórias uma coleção de variáveis: 
 
   1 1 1, , ,..., ,...n nX X X X X
 
 
 
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6.8.2 Convergência em Probabilidade 
Sejam 
 nX
uma sucessão de variáveis aleatórias e C um número real. Diz-se que a 
sucessão 
 nX
 converge em probabilidade para a constante C se, e somente se, 
 
 lim 1n
n
P X C 

  
 qualquer que seja 
0 
 
ou, equivalentemente, se 
 
 lim 0n
n
P X C 

  
 qualquer que seja 
0 
 
 
Notas: 
(i) Se 
 nX
 converge em probabilidade para C, escreve-se 
 nlim Xp C
 ou 
  PnX C
; 
(ii) 
 nlim Xp C
 equivale a 
 lim 0n
n
P X C 

  
 
 
6.8.3 Convergência em Distribuição 
Sejam 
 nX
uma sucessão de variáveis aleatórias e 
X
uma outra variável aleatória. 
Sejam 
( )
iX i
F x
 para i = 1,2,3,...,n,... as funções de distribuição acumuladas dessas 
variáveis que formam a sequência e 
( )XF x
 a função de distribuição de X. Diz-se que a 
sucessão 
 nX
 converge em distribuição de probabilidade para 
X
 se, e somente se, 
lim ( ) ( ) para todo para o qual (.) é contínua
nX Xn
F t F t t R F

 
 
 
Nota: 
Se 
 nX
 converge em distribuição de probabilidade para X, será aqui empregada a 
notação 
 
  distribnX X
 ou 
 ( ) ( )
nX X
F t F t
 
 
 
 
 
 
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6.9 Lei dos Grandes Números de Bernoulli 
6.9.1 Teorema de Bernoulli 
Seja 
 nS
a sucessão do número de ocorrências de um evento A em n (n = 1, 2, 3, ....) 
provas de Bernoulli independentes sobre A, nas quais a probabilidade de A em cada 
prova é uma constante p. Então, 
1
nS
n
 
 
 
 converge em probabilidade para p. 
Demonstração 
Nas condições anteriormente estabelecidas, a variável aleatória 
nS
(n = 1, 2, 3, ....) 
possui distribuição binomial de parâmetros n e p. Logo, tem-se que 
 nE S n p
 e 
   1nV S n p q n p p  
 e consequentemente 
1
( )n n
S
E E S p
n n
 
  
 
 e ainda 
2 2
1 1
( )n n
S p q
V V S n p q
n n n n
 
   
 
 
Aplicando a desigualdade de Chebychev, segue 
 
2 2
1
n
n
V S
S p qn
P p
n n

 
 
        
 
 para n = 1, 2, 3, ..., qualquer que seja 
0 
. 
Calculando o limite dessa sucessão de desigualdades, tem-se 
2
lim lim lim 0n n
n n n
S Sp q
P p P p
n n n
                  
 qualquer seja 
0 
 
isto é, 
lim 0n
n
S
P p
n


 
   
 
 , qualquer que seja 
0 
. 
6.9.2 Lei Fraca dos Grandes Números 
Seja 
   1 2 3, , ,..., ,...n nX X X X X
 uma sequência de variáveis aleatórias independentes 
e identicamente distribuídas, cada uma com média finita 
 iE X 
. Então, para 
qualquer 
0 
, 
 
1 2 3 ... 0 quandon
X X X X
P n
n
          
 
 
Demonstração 
A demonstração a seguir apresentada requer o pressuposto adicional de que as variáveis 
aleatórias tenham variância finita 
  2iV X 
. Nessas condições, 
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2
1 2 3 1 2 3... ...en n
X X X X X X X X
E V
n n n
              
   
 
Portanto, aplicando-se a desigualdade de Chebychev resulta 
2
1 2 3
2
... nX X X XP
n n
  
     
   
 
 
logo 
2
1 2 3
2
...
lim limn
n n
X X X X
P
n n
   
     
   
 
 
ou seja 
1 2 3 ...lim 0n
n
X X X X
P
n
 

     
   
 
 
Por outro lado, a probabilidade acima deve ser, também, maior ou igual a zero (axioma 
do Cálculo de Probabilidades) e assim 
1 2 3 ...lim 0n
n
X X X X
P
n
 

     
   
 
 
 
6.10 Aproximação Normal de Distribuição Binomial 
6.10.1 Teorema de De Moivre-Laplace 
Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n e p. Então, 
quando n cresce indefinidamente, a variável aleatória Y, com distribuição normal de 
parâmetros média 
n p 
 e variância 
2 (1 )n p q n p p   
, tem distribuição 
aproximadamente igual à da variável aleatória X. Isto é,
2( )
2 (1 )1Se ( , ) então lim (1 )
2 (1 )
x np
x x n x np p
n
n
X Binomial n p p p e
np p
C 


 



 
E portanto se 
( , ) ( , (1 )X Binomial n p Y Normal np np p 
 
Demonstração (apenas o esboço, em linhas gerais) 
!
Se ( , ) então ( ) (1 ) (1 )
!( )!
x x n x x n x
X n
n
X Binomialn p p x C p p p p
x n x
    

 
Nota-se que a expressão acima apresenta uma dependência complicada de fatoriais. 
A Fórmula de Stirling para aproximação dos fatoriais, apresentada a seguir, 
 1
2! 2 para grande
n
nn e n n  
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6 
 
fornece um modo de desenvolver cálculos algébricos para a expressão da função de 
probabilidade de X que contorna a dificuldade de lidar diretamente com os fatoriais. 
Empregando a referida fórmula para os fatoriais da expressão, após várias 
transformações algébricas pode-se provar que 
 2( )
2 (1 )1( ) (1 ) para grande
2 (1 )
x np
x x n x np p
X np x C p p e n
np p


  

 
Finalmente, pode-se mostrar que 
 
 
2(1 )
2
1
(1 ) (1 ) 2
x np
np p t
X np x np
P X x P e dt
np p np p 




  
   
   

 
6.10.2 Condições para uso da aproximação 
A aproximação é muito boa para n “grande” e 
1
2
p 
. Mas, em termos mais gerais, 
considera-se que a aproximação é boa se as seguintes condições forem cumpridas: 
10 e 10n p n q 
 
6.10.3 Correção de continuidade 
Como se trata da aproximação de uma distribuição discreta por uma contínua, alguns 
cuidados são necessários no seu emprego. Esses cuidados envolvem o uso da chamada 
correção de continuidade: 
- 
   0,5 0,5P X k P k Y k    
 
- 
   0,5 0,5P a X b P a Y b     
 
- 
     0 0,5 0,5P X c P X c P Y c       
 
 
6.11 Teorema do Limite Central 
Será enunciado apenas o Teorema de Lindeberg-Lévy, que é o mais importante caso 
particular do Teorema do Limite Central. 
6.11.1 Teorema de Lindeberg-Lévy 
 Sejam n variáveis aleatórias 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
independentes, com a mesma 
distribuição de probabilidade, de média 
iE(X ) μ
 e variância 
2
iV(X ) σ
. Faça-se: 
 n
n i
i=1
Y X
 
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Então, se n é suficientemente grande, 
nY
possui aproximadamente distribuição normal 
de média 
nE(Y ) nμ
e variância 
2
nV(Y ) nσ
. 
Nota: salvo raras exceções, a aproximação normal para a distribuição da soma 
nY
é 
muito boa para 
n 30
. 
6.11.2 Corolário 
Nas mesmas condições do teorema anterior, considere-se a média aritmética das n 
variáveis aleatórias 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
 
 n
n i
i=1
1
X X
n
 
 
Então, se n é suficientemente grande, 
nX
possui distribuição aproximadamente normal 
de média 
nE(X ) μ
 e variância 
2
n
1
V(X ) σ
n
