Relatório - Centro de massa

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CENTRO DE MASSA
TOLEDO/PR
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MATHEUS ALLAN MAIOR
MATHEUS PIASECKI
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA
CENTRO DE MASSA
Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones.
TOLEDO/PR
2014
RESUMO.
	O centro de massa de um sistema de partículas é um ponto no qual toda a massa pode ser considerada concentrada para a finalidade de cálculos e considerações físicas. Ela depende da massa e da posição de cada partícula individual, sendo que o centro de massa do sistema é a soma de cada centro de massa individual.
	Para medir-se o centro de massa de modo experimental, montou-se um sistema composto de um disco de acrílico e três discos de bronze, com diâmetros e massas diferentes, podendo os discos serem dispostos em seis posições diferentes. Montou-se quatro configurações diferentes, medindo-se o centro de massa de cada disco de bronze, e então determinou-se o centro de massa baseado em uma linha de prumo, procurando a intersecção de três retas feitas pela linha de prumo em posições diferentes do disco de acrílico.
	Também calculou-se o centro de massa teórico do sistema, uma vez que se dispunha das massas e dos centros de massa individuais. Comparou-se os dados experimentais e teóricos, chegando-se a conclusão de que os dois métodos convergem, encontrando-se uma intersecção entre os intervalos de centro de massa encontrados pelos dois métodos.
INTRODUÇÃO.
	Entende-se por “centro de massa” de um sistema de partículas como sendo um ponto no qual toda a massa do sistema está concentrada (HALLIDAY, 2012). O centro de massa é aplicado em diversos cálculos e considerações físicas.
	Pode-se calcular o centro de massa de maneiras diferentes, sendo que na prática que se segue usa-se a forma experimental e as equações deduzidas durante as aulas ministradas. O centro de massa varia de acordo com a distribuição das massas das partículas nas coordenadas do plano cartesiano (NUSSENZVEIG, 2002).
	Considerando um sistema formado por N partículas com massas , cujos vetores de posição relativos ao referencial inercial O são 
	Para esse sistema de N partículas, o momento linear total é o resultado da soma dos momentos lineares de cada partícula, que podemos igualar ao momento linear de uma única partícula que concentra toda a massa do sistema, a qual é chamada de Centro de Massa (NUSSENZVEIG, 2002), conforme a equação (1).
	
	(1)
 	Considerando que as massas das partículas permanecem constantes dentro do sistema durante o tempo de observação, podemos simplificar a equação acima da seguinte forma, mostrada na equação (2).
	
	(2)
	O resultado será um vetor, que podemos decompor em termos de suas componentes, utilizando-se do fato de que o vetor posição de cada partícula é expresso conforme na equação (3).
	
	(3)
 	Assim sendo, substituindo-se (3) em (2), tem-se a equação (4).
	
	(4)
	Definindo cada componente do vetor posição Centro de Massa, têm-se as equações (5), (6) e (7).
	
	(5)
	
	(6)
	
	(7)
	Então, uma forma alternativa de determinar o vetor posição do Centro de Massa é encontrar cada uma de suas componentes. Assim,
	
	(8)
Objetivos.
	O objetivo desta prática é encontrar o Centro de Massa de um sistema de partículas, distribuindo-as em diferentes posições e a partir dos dados que devem ser anotados, calcular o centro de massa e comparar com os resultados obtidos através de métodos experimentais.
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais utilizados.
	Para a prática, utilizou-se os seguintes materiais listados a seguir.
•	Uma base quadrada, com parafusos niveladores e amortecedores e uma haste cilíndrica;
•	Um disco de acrílico de 30 cm de diâmetro, com os 06 furos internos e outros furos menores externos;
•	Papel milimetrado colado na superfície do disco acrílico;
•	Um pino para engate do disco à parte superior do conjunto de torções;
•	02 discos de bronze de diâmetro de 40 mm;
•	02 discos de bronze de diâmetro de 30 mm;
•	02 discos de bronze de diâmetro de 20 mm;
•	03 parafusos para fixação;
•	Um prumo de chumbo, caneta, régua e um transferidor.
Metodologia aplicada.
	Para o experimento, seguiu-se o roteiro descrito abaixo (ESPINOZA-QUIÑONES, 2014).
•	Fez-se o uso de um disco de acrílico com vários discos de bronze de diâmetros diferentes distribuídos sobre a face do disco. Cada disco foi representado pelo seu próprio centro de massa;
•	Antes de montar o esquema abaixo, figura 1, mediu-se as massas dos discos de bronze e os suportes dos mesmos, bem como a massa do disco de acrílico. Anotaram-se os valores;
•	Na superfície do disco de acrílico, há 06 furos com rosca onde foram colocados os parafusos de fixação dos discos de bronze;
•	Identificou-se no papel milimetrado, a posição de cada um dos 06 furos com a rosca;
•	Usando os parafusos de fixação, prendeu-se os discos de bronze na superfície do disco de acrílico, de modo a ter uma distribuição não uniforme dos discos;
•	Anotou-se a posição de cada par de discos de bronze fixados sobre o de acrílico;
•	Montou-se o esquema representado na figura abaixo (Figura 1);
Figura 1 – Módulo experimental.
•	Na periferia do disco de acrílico, há outros furos de diâmetro menor onde foi fixado o sistema com ajuda de um pino na parte superior de um conjunto;
•	Na parte superior do conjunto, fixou-se também a corda do prumo. Evitando encostar a corda com os parafusos de fixação;
•	Marcou-se com caneta sobre a superfície de acrílico a linha demarcada pelo prumo;
•	Para a mesma distribuição de massa, pendurou-se o disco de acrílico em outro furo de suporte na periferia dele, conforme a figura 2;
•	Marcou-se a direção do prumo com a caneta. Observando o ponto de cruzamento das linhas do prumo;
•	Realizando esse procedimento pelo menos para três pontos de suporte do disco de acrílico, como mostrado na Figura 2;
Figura 2 – Demonstrativo da utilização do módulo experimental.
•	Usando papel milimetrado, determinou-se a posição do cruzamento das linhas de prumo, chamado de Centro de Massa;
•	Com os mesmos discos e em outras posições, fez-se uma nova escolha de distribuição de massa;
•	Repita os procedimentos anteriores.
RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Massa do disco de acrílico.
	A massa do disco de acrílico e dos discos de bronze foram medidas com uma balança analítica. A Tabela 1 indica as massas encontradas.
Tabela 1: Massas dos discos de acrílico e bronze medidas.
	Disco
	Massa (g)
	Acrílico
	269,90
	Bronze 1
	113,04
	Bronze 2
	62,80
	Bronze 3
	39,48
Erro na medida da massa.
	 O erro embutido na medida da massa é o erro da balança. Por ser um instrumento digital, considerar-se-ia o erro como metade da menor medida, ou seja, 0,005 g. Entretanto, como a balança apresenta uma grande oscilação na medida, considera-se um erro maior. Logo, o erro na medida da massa considerado é de 0,05 g.
Medida do centro de massa dos discos.
	Primeiramente, determinou-se o centro de massa do disco de acrílico, uma vez que o mesmo apresentava danos nas laterais, e uma folha de papel milimetrado colada no seu verso, o que pode deslocar o centro de massa da origem.
	Utilizando-se a técnica proposta, encontrou-se o centro de massa do acrílico aproximadamente 1 milímetro deslocado para a direita e para cima, baseando-seem um eixo xy determinado no papel milimetrado. Assim,
CM acrílico = (0,1 î + 0,1 j) cm
	Para os discos de bronze, considerou-se que o centro de massa estava na origem de cada um, uma vez que não era possível determinar-se o centro de massa pelo método aplicado. Para as situações montadas, mediu-se no papel milimetrado a posição do centro de massa de cada um dos discos em suas devidas posições.
Erro na medida do centro de massa.
	Por ter se medido o centro de massa baseado no papel milimetrado, considera-se o erro da medida do centro de massa como sendo metade da medida mínima do papel. Como utilizou-se três retas para determinar-se o centro de massa, faz-se o erro do papel milimetrado vezes três. Soma-se ainda o erro da linha da caneta, o erro da linha de prumo e a oscilação da linha de prumo. Assim, considera-se um erro de aproximadamente 0,21 cm (SALUSSOGLIA et al., 2009).
Configurações montadas.
	Para testar-se o método de medida do centro de massa, montou-se quatro configurações diferentes, mudando-se a posição dos três discos de bronze conforme as opções possíveis mostradas na Figura 1 mostrada anteriormente.
	A Tabela 2 exprime as posições dos discos de bronze nas quatro configurações montadas.
Tabela 2: Posições dos discos de bronze nas configurações montadas.
	Configuração
	Corpo 1 (cm)
	Corpo 2 (cm)
	Corpo 3 (cm)
	1
	(5,5 î + 9,5 j)
	(-11,0 î + 0 j)
	(5,5 î + -9,7 j)
	2
	(-5,5 î + -9,6 j)
	(-11,0 î + 0 j)
	(5,5 î + -9,7 j)
	3
	(5,5 î + 9,5 j)
	(-5,5 î + -9,6j)
	(-5,6 î + 9,5 j)
	4
	(-5,6 î + 9,5 j)
	(11,1 î + 0,1 j)
	(-11,0 î + 0 j)
Centro de massa determinado pelo método experimental.
	Determinou-se o centro de massa de acordo com o método experimental, marcando-se três linhas a partir da linha de prumo. O erro embutido no centro de massa, conforme indicado anteriormente, é de 0,21 cm. Os valores estão expressos na Tabela 3.
Centro de massa determinado pelo cálculo teórico.
	Determinou-se o centro de massa das configurações montadas de forma teórica utilizando-se a equação 5, somando-se o produto da massa pelo centro de massa de cada elemento e dividindo-se o resultado pela massa total do sistema. Demonstrou-se o cálculo para a configuração 1.
	O mesmo cálculo foi feito para a posição y do centro de massa. Os valores estão expressos na Tabela 3.
Erro no cálculo do centro de massa teórico.
	Para determinar-se o erro do centro de massa teórico calculado, utiliza-se diferenciais de massa e de posição, expostos nas equações 9-23 no Apêndice I. Há também o erro embutido nos furos em que se anexou os discos de bronze, o que propicia erro na posição do centro de massa de cada disco. O erro calculado e considerado foi de 0,0991 cm, o qual arredondou-se para 0,1 cm. 
Tabela 3: Centros de massa calculado e experimental das configurações montadas.
	Configuração
	Centro de massa calculado (cm)
	Centro de massa experimental (cm)
	1
	(0,36 î + 1,47 j)
	(0,4 î + 1,4 j)
	2
	(-2,20 î + -2,97 j)
	(-2,5 î + -3,0 j)
	3
	(0,17 î + 1,79 j)
	(0 î + 1,5 j)
	4
	(-0,71 î + 2,25 j)
	(-1,1 î + 2,1 j)
Intervalo de intersecção.
	Ao comparar-se ambos os centros de massa para cada configuração, encontrou-se um intervalo de intersecção entre os intervalos de cada medida, levando em consideração o erro de cada centro de massa, na forma [XCM – erro; XCM + erro]. Fez-se, então, a intersecção de ambos os intervalos, a fim de averiguar-se a concordância dos dados. A Tabela 4 indica os intervalos para os centros de massa calculado e experimental, e a intersecção de ambos.
Tabela 4: Intersecção de intervalos de centro de massa calculado e experimental.
	Configuração
	Eixo
	Intervalo calculado (cm)
	Intervalo experimental (cm)
	Intersecção dos intervalos (cm)
	1
	x
	[0,26; 0,46]
	[0,19; 0,61]
	[0,26; 0,46]
	
	y
	[1,37; 1,57]
	[1,19; 1,61]
	[1,37; 1,57]
	2
	x
	[-2,30; -2,10]
	[-2,71; -2,29]
	[-2,30; -2,29]
	
	y
	[-3,07; -2,87]
	[-3,21; -2,79]
	[-3,07; -2,87]
	3
	x
	[0,07; 0,27]
	[-0,21; 0,21]
	[0,07; 0,21]
	
	y
	[1,69; 1,89]
	[1,29; 1,71]
	[1,69; 1,71]
	4
	x
	[-0,81; -0,61]
	[-1,31; -0,89]
	[-0,89; -0,81]
	
	y
	[2,15; 2,35]
	[1,89; 2,31]
	[2,15; 2,31]
	Considerando-se uma distribuição gaussiana dos valores de centro de massa nos intervalos de intersecção obtidos, pode-se afirmar que as coordenadas mais prováveis do centro de massa de cada uma das configurações são os pontos médios do intervalo. Assim, encontrou-se o centro de massa de cada configuração que está exposto na Tabela 5 em sequência.
Tabela 5: Centros de massa das configurações baseados no intervalo de intersecção.
	Configuração
	XCM (cm)
	YCM (cm)
	1
	0,36
	1,47
	2
	-2,29
	2,97
	3
	0,14
	1,70
	4
	-0,85
	0,22
Discussão dos resultados.
	Comparando-se os resultados teóricos com os experimentais, percebe-se que houve uma pequena divergência na maioria das coordenadas calculadas, embora algumas diferenças entre os valores chegassem à ordem de 0,4 cm. Um fator que provavelmente colaborou para essa divergência foi o fato da posição do centro de massa via cálculo ter maior precisão, uma vez que a massa foi pesada em balança analítica digital, incluindo mais algarismos significativos no seu resultado. 
	Quando comparou-se os intervalos de centro de massa, considerando-se o erro, pode-se perceber que, em todos os casos, existiu uma intersecção entre os intervalos, o que indicou certa concordância com os dois métodos. Em alguns casos, como na coordenada y da configuração 3 e na coordenada x da configuração 2, o intervalo de intersecção chegou à ordem de 0,5 a 1,0 cm de amplitude, o que indica certa divergência entre os valores experimentais e calculados.
	Uma maneira de se diminuir tal divergência, atingindo resultados com menos erros embutidos e mais precisos, seria a melhoria do módulo experimental utilizado. No método experimental, a linha de prumo oscilava muito quando se manipulada o disco de acrílico, devido ao peso improvisado anexado à sua ponta. Uma linha de prumo com um peso apropriado poderia propiciar melhor estabilidade, e resultados mais precisos. Quanto ao método teórico, os furos nos quais se anexa os discos de bronze apresentam certo diâmetro que causa um erro na medida do centro de massa dos mesmos. A utilização de parafusos (e consequentemente, furos) menores diminuiria esse erro.
CONCLUSÃO.
	Analisando-se os dados coletados, os cálculos feitos e os resultados discutidos, pode-se concluir que o experimento alcançou seu objetivo, determinando-se o centro de massa de quatro configurações de um sistema composto de um disco de acrílico e três discos de bronze, com massas diferentes.
	Apesar dos diversos erros relacionados e propagados na determinação do centro de massa, encontrou-se um intervalo de intersecção em todas as comparações entre o centro de massa calculado e o determinado experimentalmente.
	O experimento propiciou um melhor entendimento da definição de centro de massa e da influência da massa das partículas em suas devidas posições num sistema de partículas, evidenciando a credibilidade do exposto em sala de aula.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas I – Centro de Massa de um sistema de partículas, Toledo, 2014.
HALLIDAY, D. Fundamentos da Física, 9ª edição, Vol. 1, LTC, Rio de Janeiro, 2012.
NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Básica, 4ª edição, Editora Edgard Blücher, São Paulo, 2002.
SALUSSOGLIA, A.I.P.; FERRANDIN, A.T.; JÚNIOR, G.J.G.; de SOUZA, D.C.; de OLIVEIRA, J.F.S.; PALSIKOWSKI, P.A. Relatório de Física II – Centro de Massa, UNIOESTE – Campus Toledo, 2009.
APÊNDICE
Apêndice I – Equações para cálculo do erro de centro de massa teórico.
	
	(9)
	
	(10)(11)
	
	(12)
	
	(13)
	
	(14)
	
	(15)
	
	(16)
	
	(17)
	
	(18)
	
	(19)
	
	(20)
	
	(21)
	
	(22)
	
	(23)