Gabarito-prova2

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Prova 2
1. Estudar os seguintes limites.
(a) limx→1
tan(x2−1)
x−1
lim
x→1
tan(x2 − 1)
x− 1 = limx→1(x+ 1)
tan(x2 − 1)
(x− 1)(x+ 1)
= lim
x→1
(x+ 1)
tan(x2 − 1)
x2 − 1
= lim
x→1
(x+ 1)
cos(x2 − 1)
sin(x2 − 1)
x2 − 1
= lim
x→1
(x+ 1)
cos(x2 − 1) · 1 usamos limh→0
sin(h)
h = 1
=
2
cos(0)
= 2. (1)
(b) limx→∞
(a+x)m+(a+x)m−1+...+(a+x)+1
xn+xn−1+...+x+1 (estude os casos n = m, n > m e n < m),
Para comec¸ar, suponha m > n. Neste caso
lim
x→∞
(a+ x)m + (a+ x)m−1 + . . .+ (a+ x) + 1
xn + xn−1 + . . .+ x+ 1
= lim
x→∞
(a+ x)m
xn
[1 + 1(a+x) + . . .+
1
(a+x)m−1 +
1
(a+x)m ]
[1 + 1x + . . .+
1
xn−1 +
1
xn ]
= lim
x→∞(a+ x)
m−n(
a+ x
x
)n
[1 + 1(a+x) + . . .+
1
(a+x)m−1 +
1
(a+x)m ]
[1 + 1x + . . .+
1
xn−1 +
1
xn ]
= lim
x→∞(a+ x)
m−n(
a
x
+ 1)n
= lim
x→∞(a+ x)
m−n = lim
x→∞x
m−n(
a
x
+ 1)m−n = lim
x→∞x
m−n =∞. (2)
Vejamos agora o caso onde m < n. Do ca´lculo anterior, vemos que
lim
x→∞
(a+ x)m + (a+ x)m−1 + . . .+ (a+ x) + 1
xn + xn−1 + . . .+ x+ 1
= lim
x→∞
(a+ x)m
xn
[1 + 1(a+x) + . . .+
1
(a+x)m−1 +
1
(a+x)m ]
[1 + 1x + . . .+
1
xn−1 +
1
xn ]
= lim
x→∞(
a+ x
x
)m
1
(a+ x)n−m
[1 + 1(a+x) + . . .+
1
(a+x)m−1 +
1
(a+x)m ]
[1 + 1x + . . .+
1
xn−1 +
1
xn ]
1
= lim
x→∞(
a
x
+ 1)m
1
(a+ x)n−m
= lim
x→∞
1
(a+ x)n−m
= 0.
No caso n = m, e´ fazil ver que o limite e´ 1. De fato
lim
x→∞
(a+ x)m + (a+ x)m−1 + . . .+ (a+ x) + 1
xn + xn−1 + . . .+ x+ 1
= lim
x→∞
(a+ x)m
xn
[1 + 1(a+x) + . . .+
1
(a+x)m−1 +
1
(a+x)m ]
[1 + 1x + . . .+
1
xn−1 +
1
xn ]
= lim
x→∞(
a+ x
x
)m
[1 + 1(a+x) + . . .+
1
(a+x)m−1 +
1
(a+x)m ]
[1 + 1x + . . .+
1
xm−1 +
1
xm ]
= lim
x→∞(
a
x
+ 1)m = 1.
(c) limx→∞ x sin( 1x2 ),
lim
x→∞x sin(
1
x2
) = lim
x→∞
1
x
x2 sin(
1
x2
)
= lim
x→∞
1
x
sin( 1
x2
)
1
x2
= lim
x→∞
1
x
= 0. (3)
Note que no ca´lculo anterior usamos que limx→∞
sin( 1
x2
)
1
x2
= 1 pois limx→∞ 1x2 = 0.
(d) limx→4
(
√
5 + x− 3)√
5− x− − 1
.
lim
x→4
(
√
5 + x− 3)√
5− x− 1 = limx→4
(
√
5 + x− 3)
5− x− 1 (
√
5− x+ 1)
= lim
x→4
(
√
5 + x− 3)
(4− x) (
√
5− x+ 1)(
√
5 + x+ 3)
(
√
5 + x+ 3)
= lim
x→4
5 + x− 9
(4− x)(√5 + x+ 3)(
√
5− x+ 1)
= lim
x→4
−(√5− x+ 1)
(
√
5 + x+ 3)
=
−2
6
=
−1
3
.
2. Seja a ∈ (0,∞) e f : [−a,∞)→ R a func¸a˜o dada por
f(x) =
{ √
x−√a√
x+a−√2a , x 6= a.
L, x = a,
2
A func¸a˜o e´ continua em x 6= a? Existe L de modo que a func¸a˜o seja cont´ınua em a.
Seja c 6= a. As func¸o˜es √x−√a e √x+ a−√2a sa˜o cont´ınuas em R e a segunda na˜o e´ zero
em c. Logo, da teoria de func¸o˜es cont´ınuas segue que f e´ cont´ınua em c.
Estudemos agora o caso c = a. A func¸a˜o sera´ cont´ınua em a se o limite limx→a
√
x−√a√
x+a−√2a
existe e se definirmos L = limx→a
√
x−√a√
x+a−√2a . Como
lim
x→a
√
x−√a√
x+ a−√2a = limx→a
√
x−√a
(x+ a)− 2a(
√
x+ a+
√
2a)
= lim
x→a
√
x−√a
(
√
x−√a)(√x+√a)(
√
x+ a+
√
2a)
= lim
x→a
√
x+ a+
√
2a
(
√
x+
√
a)
=
2
√
2a
2
√
a
=
√
2,
segue que f sera´ cont´ınua em a se definirmos L =
√
2.
3