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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 22 – Capítulo 12 – Deflexão de Vigas
1
Deflexão - Viga Deformada
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Deflexão - Viga Deformada
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Linha Elástica
Linha Elástica – O diagrama de deflexão do eixo 
longitudinal que passa pelo centróide de cada área da 
seção transversal da viga.
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Sugestão: Fazer esboço da 
linha elástica da viga antes 
de calcular os resultados
Linha Elástica
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Linha Elástica
A partir do diagrama de 
momento fletor observar:
- Sinal do Momento – indica 
curvatura 
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curvatura 
-Momento nulo – indica 
mudança de curvatura
- Apoios – Restringem 
deslocamentos/rotações
- Deslocamentos ∆E e ∆A
Linha Elástica
A partir do diagrama de 
momento fletor observar:
- Sinal do Momento –
indica curvatura 
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indica curvatura 
- Momento nulo – indica 
mudança de curvatura
- Apoios – Restringem 
deslocamentos/rotações
- Deslocamentos ∆D e ∆C
Relação – Momento x Curvatura
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Relação – Momento x Curvatura
( )
( ) curvatura de raiox
x
y
x
ρ
ρ
ε
=
−=
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( )
y
1 xε
ρ −=
zEI
M
ρ
1
=
Relação – Momento x Curvatura
zEI
M
ρ
1
=
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Método da Integração Direta
Linha elástica expressa por �v=f(x) 
Curvatura: 
EI
M
ρ
1
=
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�Equação diferencial não-linear de 
segunda ordem – solução não-trivial
zEIρ
Método da Integração Direta
Linha elástica expressa por �v=f(x) 
Curvatura: 
EI
M
ρ
1
=
©2004 by Pearson Education 12-12
�Equação diferencial não-linear de 
segunda ordem – solução não-trivial
zEIρ
Método da Integração Direta
Linha elástica expressa por �v=f(x) 
�Equação diferencial não-linear de 
segunda ordem – solução não-trivial
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dv/dx é muito pequena
�Equação diferencial linear de 
segunda ordem – solução trivial
Método da Integração Direta
Linha elástica expressa por �v=f(x) 
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Método da Integração Direta
Três opções de Equação Diferencial da Linha elástica 
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Método da Integração Direta
Três opções de Equação Diferencial da Linha elástica 
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Método da Integração Direta
Três opções de Equação Diferencial da Linha elástica 
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Condições de Contorno
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Exemplo 1
©2004 by Pearson Education 12-19
Exemplo 1
©2004 by Pearson Education 12-20
Exemplo 1
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Funções de Descontinuidade
22
Funções de Descontinuidade
23
Funções de Descontinuidade
24
Funções de Descontinuidade
25
Funções de Descontinuidade
26
Funções de Descontinuidade
27
Funções de Descontinuidade
28
Validação:
Exemplo 1
29
Exemplo 2
Integrando duas vezes:
30
Integrando duas vezes:
Raio de curvatura
O raio ρ de curvatura médio e instantâneo se definem, respectivamente,
Se o ângulo compreendido entre as duas tangentes é dθ, este é o ângulo que
formam as duas normais. O comprimento do arco entre os dois pontos
considerados é ds=ρ·dθ .
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considerados é ds=ρ·dθ .
Dada a função y=f(x), vamos determinar a fórmula que nos permite calcular o
raio de curvatura ρ da curva na posição de abscissa x.
Como vemos na figura, no triângulo retângulo de base dx, altura dy e
hipotenusa ds, estabelecemos as seguintes relações