Aula06 Rev2

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 6 – Capítulo 4 – Carga Axial
Deslocamento Axial
Corpo Indeformado Corpo Deformado
ENSAIO DE TRAÇÃO
Equações de Equilíbrio
4
Tensão Normal Uniforme em Barras Axialmente
Carregadas
5
Resultantes da Distribuição de Tensões
6
Resultantes da Distribuição de Tensões
( )
( )
( ) ∫∑
∫∑
∫∑
−=−
=
=
A
Rz
A
Ry
A
x
dAyxFyM
dAzxFzM
dAxFF
σ:
σ:
σ:
7
Resultante de uma Tensão Normal Constante em uma 
Seção Transversal
( ) ( )
yy
zz
xAdAxF
R
R
A
=
=
== ∫ σσ
A resultante é uma 
força axial igual a 
tensão multiplicada 
pela área, e que 
passa pelo centróide 
da área
8
Tensão Normal Uniforme em Barras Axialmente
Carregadas
Sob certas suposições uma barra carregada 
axialmente terá a mesma tensão normal 
uniforme em cada uma de suas seções 
transversais
( ) constantez,y == σσ
• A barra é prismática (reta com seção transversal constante).
• A barra é homogênea (mesmo material).
• O carregamento é aplicado como tensões uniformes iguais e 
opostas, nas duas extremidades das barras.
PRINCÍPIO DE SAINT VENANT
PRINCÍPIO DE SAINT VENANT
11
Exemplo
Duas barras sólidas circulares são soldadas a uma 
placa em B formando uma única barra. Considere 
que uma força de 30 kN está uniformemente 
distribuída ao longo da circunferência do colar em 
B e que a carga de 10 kN em C será aplicada no 
centróide da seção transversal. Determine a tensão 
axial em cada parte da barra. 
12
Exemplo – Planejar a Solução
Cada segmento da barra satisfaz as condições 
para tensão axial uniforme. Primeiro, computar 
as forças internas em cada segmento e aplicar a 
equação de tensão uniforme. 
13
Exemplo – Solução
Diagrama de 
Corpo Livre
Equações de 
Equilíbrio
( )
kNF
kNkNF
F
20
01030
0
1
1
1
−=
=+−−
=→∑
+
(a) Diagrama de corpo livre (1)
14
Exemplo – Solução
( )
kNF
kNF
F
10
010
0
1
2
2
=
=+−
=→∑
+
(b) Diagrama de corpo livre (2)
Diagrama de 
Corpo Livre
Equações de 
Equilíbrio
15
Exemplo – Solução
Áreas
( )
( ) 22222
222
11
7.17615
4
π
4
π
2.31420
4
π
4
π
mmmmdA
mmmmdA
===
===
16
Exemplo – Solução
Tensão Normal
( ) ( )TMPa
MPa
CMPa
MPa
mm
N
mm
N
mm
kN
A
F
mm
N
mm
N
mm
kN
A
F
6.56
6.56
7.63
7.63
6.56
7.176
100010
7.176
10
7.63
2.314
100020
2.314
20
2
2
1
1
222
2
2
2
222
1
1
1
=
=
=
−=
=
⋅
===
−=
⋅−
=
−
==
σ
σ
σ
σ
σ
σ
17
Exemplo – Revisão da Solução
Por inspeção podemos ver que AB está
sob compressão e BC está sob tração. 
Isto está de acordo com a solução.
DEFORMAÇÃO AXIAL
DEFORMAÇÃO AXIAL
DESLOCAMENTO AXIAL
DEFORMAÇÃO AXIAL
DEFORMAÇÃO AXIAL
DEFORMAÇÃO AXIAL
RESUMO DAS EQUAÇÕES
∫
∫∫
=−=
=⇒=⇒=
==
=
==
B
A
ABAB
B
A
B
A
x
xx
xx
dx
xEA
xN
uuu
dx
xEA
xNdudx
xEA
xNdu
xEA
xN
dx
du
xEA
xN
dx
du
x
xEx
xA
xN
x
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
/
ε
εσ
σσ Tensão Normal
Comportamento Linear-
Elástico do Material
Deformação Normal
Deslocamento axial 
relativo entre os 
pontos A e B
CONVENÇÃO DE SINAIS
EXEMPLO 1
A barra composta de aço A-36 mostrada 
ao lado, é formada por dois segmentos, 
AB e BD, com áreas de seção transversal 
conhecidas. Determinar o deslocamento 
vertical da extremidade A e o 
deslocamento de B em relação a C.
Da tabela de propriedades mecânicas(ao 
final do livro) temos o Módulo de 
Elasticidade do Aço A-36
E=29x103ksi
Dados: AAB=1 pol2 ; ABD=2 pol2
EXEMPLO 1
Diagramas de Corpo Livre 
de diferentes seções
Diagrama de 
Esforços Normais
EXEMPLO 1
∫=−=
A
D
DADA dx
xEA
xN
uuu )(
)(
/
Cálculo do Deslocamento axial relativo entre os pontos A e D
Como D é um apoio fixo uD=0, então temos:
∫==
A
D
ADA dx
xEA
xN
uu )(
)(
/
Observando que se o integrando for constante, ele sai da 
integral, podemos escrever:
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
ADA EA
LN
EA
LN
EA
LN
uu ++==/
Atenção: O trecho BD tem 
seção transversal constante, 
porém diferentes esforços 
normais, por isso temos dois 
termos na equação
EXEMPLO 1
Cálculo do Deslocamento axial relativo entre os pontos A e D:
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
ADA EA
LN
EA
LN
EA
LN
uu ++==/
Observando-se a convenção de sinais, temos:
pol0127,0u
pol2ksi10x29
)pé/pol12(pés1kip9
pol2ksi10x29
)pé/pol12(pés5,1kip7
pol1ksi10x29
)pé/pol12(pés2kip15
uu
A
23
2323AD/A
+=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
==
Deslocamento positivo � barra se alonga
EXEMPLO 1
Cálculo do Deslocamento axial relativo entre os pontos B e C:
BC
BCBC
C/B EA
LN
u =
Observando-se a convenção de sinais, temos:
pol00217,0u
pol2ksi10x29
)pé/pol12(pés5,1kip7
u
C/B
23C/B
+=
⋅
⋅
=
O ponto B se afasta do ponto C
EXEMPLO 2
O conjunto consiste de um tubo de alumínio AB e uma 
haste de aço rigidamente acoplada a um colar em B. 
Determinar o deslocamento da extremidade C ?
Dados:
Ealum=70 GPa
Eaço=200 GPa
Aalum=400 mm2
Aaço= 78,54 mm2
EXEMPLO 2
Podemos observar por equilíbrio, que o tubo de alumínio estará comprimido 
e a barra de aço tracionada. O deslocamento do ponto C em relação a um 
ponto fixo, é determinado pelo alongamento da barra e pelo encurtamento 
do tubo. Se utilizarmos a convenção de sinais cegamente, iremos cometer 
um erro no cálculo do deslocamento. Pois o sinal negativo proveniente do 
encurtamento do tubo, significa que B se aproxima de A, aumentando 
portanto o deslocamento do ponto C.
EXEMPLO 2
Inicialmente iremos determinar o deslocamento do ponto C em relação a B, 
devido ao alongamento da barra BC.
BC
BCBC
C/B EA
LN
u = ( ) mm06,3
4
10200000
60080000
2 +=
⋅
⋅
⋅
=
pi
O sinal positivo indica que a extremidade C move-se para a direita em 
relação à extremidade B, visto que a barra se alonga.
EXEMPLO 2
Agora iremos determinar o deslocamento do ponto B em relação a 
extremidade fixa A
BA
BABA
A/B EA
LN
u = mm14,1
40070000
40080000
−=
⋅
⋅−
=
O sinal negativo indica que o tubo se encurta, e dessa forma o ponto B se 
aproxima do ponto A, movendo-se para a direita. Como ambos se deslocam 
para a direita, o deslocamento do ponto C será dado por:
mm20,414,106,3C =+=δ
EXEMPLO 3
Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos AC 
(aço, dAC=20 mm) e BD(alumínio, dBD=40 mm). Determinar o 
deslocamento do ponto F?
Dados:
Ealum=70 GPa
Eaço=200 GPa
dAC=20 mm
dBD=40 mm
EXEMPLO 3
Determinação das Forças 
atuantes nos postes por:
∑
∑
=
=
0
0
M
FV
D.C.L.
Conhecendo-se os 
esforços normais em 
cada poste, podemos 
calcular o deslocamento 
de cada poste
EXEMPLO 3
Deslocamento de A em relação a C:
ACAC
ACAC
C/A AE
LN
u =
mm286,0
4
20.200000
30060000
u
2C/A
−=




 ⋅
⋅−
=
pi
Dados:
Ealum=70 GPa; Eaço=200 GPa
dAC=20 mm ; dBD=40 mm
Deslocamento de A em relação a D:
BDBD
BDBD
D/B AE
LN
u =
mm102,0
4
40.70000
30030000
u
2D/B
−=




 ⋅
⋅−
=
pi
O deslocamento do 
ponto F é então obtido 
da figura acima.
mm225,0
600
400
184,0102,0F =⋅+=δ
EXEMPLO 4
Para a barra composta de material 
de peso específico g e módulo de 
elasticidade E, determinar a 
deslocamentode sua extremidade 
sofre devido a ação do peso próprio?
A
B
∫=
B
A
AB dyyEA
yN
u )(
)(
/
Para resolvermos a equação acima é
necessário determinar:
- Variação do esforço normal com a 
posição y, ou seja N(y)=P(y);
- Variação da área da seção 
transversal com a posição y � A(y);
- Resolver a integral.
EXEMPLO 4
Para esse exemplo, o esforço normal ao 
longo de y é constante ou variável?
Variação do raio com a altura:
EXEMPLO 4
O esforço normal varia ao longo de y, 
uma vez que depende do peso W(y) de 
um segmento do elemento abaixo de 
qualquer seção
y
L
r
x
L
r
y
x 00
⋅=⇒=
Volume de um cone de raio x e 
altura y
3
2
2
0
2
02 y
L3
r
yy
L
r
3
yx
3
)y(V
⋅
⋅
=⋅





⋅=⋅=
pipipi
O peso W(y) é dado por g.V, e como 
por equilíbrio, N(y)=W(y), tem-se:
3
2
2
0 y
L3
r
)y(N
⋅
⋅
=
piγ
A variação da área é dada por
2
2
2
02 y
L
r
x)y(A
⋅
=⋅=
pi
pi
∫=
B
A
A/B dy)y(EA
)y(N
u
EXEMPLO 4
Cálculo do deslocamento
E6
L
u
dyy
E3
dy
y
L
r
E
y
L3
r
u
2
A/B
L
0
L
0 2
2
2
0
3
2
2
0
A/B
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
= ∫∫
γ
γ
pi
piγ
3
2
2
0 y
L3
r
)y(N
⋅
⋅
=
piγ 22
2
02 y
L
r
x)y(A
⋅
=⋅=
pi
pi