Lista 7 / 3º TVC de prob.

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EST029 - Cálculo de Probabilidades I
Lista 07
Marcus Nunes
11/11/2014
Exercícios retirados do livro Probabilidade - Um Curso Moderno com Aplicações, de
Sheldon Ross, com a seguinte legenda:
• P : Problemas
• ET : Exercícios Teóricos
• PAE: Problemas de Autoteste e Exercícios
• Exemplo: [PAE − 1.4] significa Problemas de Autoteste e Exercícios, Capítulo 1,
Exercício 4
[P − 6.1] Dois dados honestos são rolados. Determine a função de probabilidade
conjunta de X e Y quando
(a) X é o maior valor obtido em um dado e Y é a soma dos valores.
(b) X é o valor no primeiro dado e Y é o maior dos dois valores.
(c) X é o menor e Y é o maior valor obtido com os dados.
[P − 6.7] Considere uma sequência de tentativas de Bernoulli independentes, cada
uma com probabilidade de sucesso p. Sejam X1 o número de fracassos precedendo
o primeiro sucesso e X2 o número de fracassos entre os dois primeiros sucessos.
Determine a função de probabilidade conjunta de X1 e X2.
1
[P − 6.8] A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
fX,Y (x, y) = c(y
2 − x2)e−y, −y ≤ x ≤ y; 0 < y <∞
(a) Determine c.
(b) Determine as densidades marginais de X e Y .
(c) Determine E(X).
[P − 6.9] A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
fX,Y (x, y) =
6
7
(
x2 +
xy
2
)
, 0 < x < 1; 0 < y < 2
(a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.
(b) Calcule a função densidade de X.
(c) Determine P (X > Y ).
(d) Determine P (Y > 1
2
|X < 1
2
).
(e) Determine E(X).
(f) Determine E(Y ).
[5] A função densidade conjunta de X e Y é
fX,Y (x, y) =
{
e−(x+y), se 0 < x <∞; 0 < y <∞
0, caso contrário
Calcule FZ(z), onde Z = X + Y .
2
[PAE − 6.7] A função densidade conjunta de X e Y é
fX,Y (x, y) =
{
xy, se 0 < x < 1; 0 < y < 2
0, caso contrário
(a) X e Y são independentes?
(b) Determine a função densidade de X.
(c) Determine a função densidade de Y .
(d) Determine a função distribuição conjunta.
(e) Determine E(Y ).
(f) Determine P (X + Y < 1).
[PAE − 6.15] Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e uniformes no
intervalo (0; 1).
(a) Determine a densidade conjunta de U = X e V = X + Y .
(b) Use o resultado obtido na letra (a) para calcular a função densidade de V .
3