Lista 8 / 3º TVC de prob.

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EST029 - Cálculo de Probabilidades I
Lista 08
Marcus Nunes
11/11/2014
Exercícios retirados do livro Probabilidade - Um Curso Moderno com Aplicações, de
Sheldon Ross, com a seguinte legenda:
• P : Problemas
• ET : Exercícios Teóricos
• PAE: Problemas de Autoteste e Exercícios
• Exemplo: [PAE − 1.4] significa Problemas de Autoteste e Exercícios, Capítulo 1,
Exercício 4
[P − 7.5] O hospital municipal está localizado no centro de um quadrado cujos
lados tem 3km de extensão. Se um acidente ocorrer no interior deste quadrado,
então o hospital envia uma ambulância. A disposição das ruas é retangular, então
a distância de viagem ao hospital, que está nas coordenadas (0, 0), ao ponto x, y
é |x| + |y|. Se um acidente ocorre em um ponto uniformemente distribuído no
interior do quadrado, determine a distância de viagem esperada pela ambulância.
[P − 7.6] Um dado honesto é rolado 10 vezes. Calcule a soma esperada das 10
jogadas.
[P − 7.38] As variáveis aleatórias X e Y possuem função densidade conjunta dada
por
fX,Y (x, y) =

2e−2x
x
, se 0 ≤ x <∞; 0 ≤ y < x
0, caso contrário
Calcule Cov(X,Y ).
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[P − 7.41] Um lago contém 100 peixes, dos quais 30 são carpas. Se 20 peixes são
pescados, qual é a média e a variância no número de carpas entre esses 20? Que
hipóteses você está adotando?
[5] A correlação ρ(X, Y ) entre duas variáveis aleatórias X e Y é definida como
ρ(X,Y ) =
Cov(X, Y )√
Var(X)Var(Y )
.
Mostre que
a) ρ(X,Y ) = 0 se X e Y são independentes.
b) ρ(X,Y ) = 1 se Y = X.
[ET − 7.19] Mostre que, se X e Y são identicamente distribuídas e não necessari-
amente independentes, então
Cov(X + Y,X − Y ) = 0.
[ET − 7.54] Se Z é uma variável aleatória normal padrão, calcule Cov(Z,Z2).
[8] Mostre que a função geradora de momentos de X ∼ Exp(λ) é dada por
MX(t) =
λ
λ− t
Verifique, através de MX(t), os valores de E(X) e Var(X).
[9] Obtenha a função geradora de momentos de Y ∼ Geo(p).
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