Conceitos básicos de matematica_eng_eletrica

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APOSTILA DE MATEMÁTICA – PROF. LUIZ FABIANO DOS ANJOS
PIN – ENGENHARIA ELÉTRICA
FUNÇÃO
 Dados dois conjuntos A e B, denomina-se função de A em B toda relação que a cada 
elemento de A associa um único elemento de B.
 X Þ variável independente Þ DOMÍNIO
 Y Þ variável dependente Þ IMAGEM
Empregando a linguagem das funções:
o O conjunto A é o domínio da função. 
o O conjunto B é o contradomínio da função. 
o O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x.
o O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é 
denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função.
 Exemplo: 
1) Diga em quais itens temos funções:
A) - Não
B) - Sim
C) - Sim
Classificação das funções
 
· Função injetora
 A função é injetora quando elementos diferentes de A correspondem a elementos diferentes 
de B.
· Função sobrejetora
A função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, 
isto é, quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio da função. Im(f) = CD(f).
· Função bijetora
 É toda função de A em B que é simultaneamente, injetora e sobrejetora.
 Somente a função bijetora admite inversa.
· FUNÇÃO SIMPLES
Quando uma função não é nem injetora, nem sobrejetora é dita simples.
Função crescente e decrescente
Função crescente 
 Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é 
crescente para f(x1) > f(x2), isto é aumentando valor de x, aumenta o valor de y.
Função decrescente
 Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é 
decrescente para f(x1) < f(x2), isso é aumentando x, diminui o valor de y.
Função Par e Ímpar
Função Par 
 Dizemos que a função f: A ® B é par se qualquer que seja x Î A Þ f(x) = f(-x), isto é, 
elementos opostos de A tem imagens iguais.
 Obs: O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo y).
Exemplo:
f(x)=x2
f(x)=f(-x)=x2 
Função Ímpar
A função f: A ® B é ímpar se qualquer que seja x Î A Þ f(x) = - f(-x), isto é, elementos 
opostos de A tem imagens diferentes.
Obs: O gráfico da função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
Exemplo:
f(x)= x3
f(x)=-f(-x)=x3 
EXERCÍCIOS
1. Dada as funções f: A è B onde A = { 1; 2; 3 } e f( x) = x - 1 , o conjunto imagem de f é:
a. { 1; 2; 3 } 
b. { 0; 1; 2 } 
c. { 0; 1 } 
d. { 0 } 
e. nda
 
2. Sejam V = { P, Q / P e Q } são vértices distintos de um hexágono regular e f uma função que 
associa a cada par ( P, Q ) de V a distância de P a Q. O número de elementos do conjunto 
imagem de f é:
a. 3 
b. 4 
c. 5 
d. 15 
e. 30
 
3. Dados os conjuntos A ={ a, b, c, d } e B ={ 1, 2, 3, 4, 5 }, assinale a única alternativa que define 
uma função de A em B .
a. { (a, 1 ), ( b , 3 ) , ( c, 2 ) } 
b. { (a, 3 ) , ( b, 1 ) , ( c, 5 ) , ( a, 1 )} 
c. { (a, 1 ) , ( b, 1 ) , ( c, 1 ) , ( d, 1 )} 
d. { (a, 1 ) , ( a, 2 ) , ( a, 3 ) , ( a, 4 ) , ( a, 5 )} 
e. { (1, a ) , ( 2, b ) , ( 3, c ) , ( 4, d ) , ( 5, a )}
 
4. Sendo uma função f: R è R definida por f( x ) = 2 - x, assinale a alternativa correta:
a. f(-2)=0 
b. f(-1)=-3 
c. f(0)=-2 
d. f(1)=3 
e. f(-3)=5 
 
5. A relação R = { (-2, -1), (-1, 0), (0, 1)} é ima função. O domínio e o conjunto imagem são, 
respectivamente:
a. Æ e Æ 
b. R e R 
c. { -2, -1, 0 } e { -2, -1, 0 } 
d. { -2, -1, 0 } e { -1, 0 , 1 } 
e. Æ e R
 
6. Qual é a imagem do elemento 5 na função f definida por f(x)= 1+ 2x2 ?
a. -10 
b. 51 
c. 41 
d. -31 
e. 21
 
7. Obtenha o elemento do domínio de f(x)= 4x-3, cuja imagem é 13:
a. -4 
b. -2 
c. 7 
d. 4 
e. 5
 
8. Sejam a s funções definidas por f(x)= 2x+a e g(x)= -3x+2b. Determine a + b de modo que se 
tenha g(1)=3 e f(0)=-1:
a. 1 
b. 2 
c. 3 
d. 4 
e. 5
 
Função Inversa
 Denomina-se função inversa da função bijetora f: A -> B a função f- -1: B -> A, que associa a 
cada x de B um elemento y de A, tal que y = f- -1 (x). 
Para se obter a inversa de uma função devemos realizar as seguintes tapas: 
1) Verificar se a função é bijetora ;
2) Trocar x por y e y por x; 
 
3) Isolar novamente o y, deixando-o em função de x;
 O gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função de origem, em relação à reta y 
= x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares.
Exemplo:
 1) Determinar a função inversa de f:R+->R+ onde f(x)=x2 onde x³0
 Sendo f, no domínio dado, bijetora temos:
 y= x2
x= y2 trocamos x por y
y= , que é a expressão da inversa de f
EXERCÍCIOS
1. Sendo f ( x ) = 2x - 1, f: IR è IR, então f-1(x) é igual a:
a.
b.
c.
d.
e. nda
 
2. Se f-1 é a função inversa de f e f( x ) = 2x + 3, o valor de f-1 ( 2 ) é de:
a. 1/2 
b. 1/7 
c. 0 
d. -1/7 
e. -1/2 
3. Sendo f ( x ) = 2 x + 1 e g ( x ) = -x2 - x o valor de f ( g ( -1 ) ) - f-1 (-5) é:
a. 3 
b. -2 
c. 2 
d. 8 
e. 4 
4. Dada a função f: IR → IR, bijetora definida por f ( x ) = x3 + 1 , sua inversa f-1: IR → IR é 
definida por:
a. f-1 (x)= 
b. f-1 (x)= 
c. f-1 (x)= 
d. f-1(x) = 
e. nda
 5. A função inversa da função f ( x ) = é:
a. f-1(x)= 
b. f-1(x)= 
c. f-1(x)= 
d. f-1(x)= 
e. f-1(x)= 
Função Composta
 Dadas as funções f : A -> B e g : B -> C, denominamos função composta de g e f a função 
gof : A -> C, que é definida por (gof)(x) = g(f(x)), com x pertencente a A. Podemos ter ainda fof, 
fog e gog. 
 Exemplo: Dadas f(x)=2x e g(x)= 3x2+1, calcule
a) f(g(x)) = f(g(x))=2(3x2+1)= 6x2+2
b) g(f(x)) g(f(x))= 3(2x)2+1=12x2+1
EXERCÍCIOS
1. Se f ( x ) = x2 + 1 então f ( f ( x ) ) é igual a:
a. x4 + 2x2 + 2 
b. x4 + 2 
c. x4 + 1 
d. x + 1 
e. 1 
2. Sendo f ( x ) = x2 + 2x e g ( x ) = 3x + 4 a função fog é:
a. 9x2 + 20x + 24 
b. x2 + 30 x + 24 
c. 9 x2 + 30 x + 24 
d. x2 + 20 x + 24 
e. nda
3. Se f( x ) = 2x -1 então f(f(x)) é igual a:
a. 4x -3 
b. 4x - 2 
c. 4x2 + 1 
d. 4x2 -1 
e. 4x2 - 4x + 1 
4. Dados os conjuntos A = { 0; 1; 2 } , B { 1; 2; 3; 4 } e C = { 0; 1; 2; 3; 4 } sejam as funções f: A è B 
e g: B è C definidas por f ( x ) = x + 1 e g ( x ) = 4 - x. Nestas condições, a função gof é igual a:
 
a. { ( 0, 2 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 1 ) } 
b. { ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 3 ) } 
c. { ( 0, 3 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 1 ) } 
d. { ( 0, 3 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) } 
e. { ( 0, 1 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 2 ) }
 
5. Se f ( g ( x ) ) = 4 x2 - 8x + 6 e g ( x ) = 2x - 1, então f ( 2 ) é igual a:
a. -2 
b. -1 
c. 3 
d. 5 
e. 6
 
Domínio de uma função
 O domínio consiste determinar os valores reais de x, para os quais as operações indicadas 
na lei de associação sejam possíveis em R, para isso teremos que determinar a condição de 
existência (C.E) da função dada. 
 Exemplos e determinação da C.E. nas diferentes situações:
1) f(x) = x -> D = R , determinar as raízes da função.
2) f(x) = (4x + 3) / x -> CE: x diferente de zero (denominador) -> D = R – {0}
3) f(x) = -> CE: x > 0 -> D = { x E R / x > 0}
4) f(x) = / x -> CE: Vx .: x > 0 e x diferente de zero
5) f(x) = / -> CE: numerador: x > 0 e denominador: x > 0
EXERCÍCIOS
1. O domínio da função real é:
a. x > 7 } 
b. x 2} 
c. 2 x < 7 } 
d. x 2 ou x > 7 } 
e. nda
2. Dada a função seu domínio ou campo de definição é:
a. x qualquer 
b. x 2 
c. x -2 
d. -2 x 2 
e. -2 < x < 3 
 
3. O domínio de definição da função com valores reais é um dos conjuntos 
abaixo. Assinale-o:
a. x -1 ou x 3 } 
b. -3 x 1 } 
c. x - 3 ou x 1} 
d. -1 x 3 } 
e. nda
 
4. Sendo y = uma função de valores reais, o seu conjunto de definição D é:
a. D = Æ 
b. D = {-1, 1 } 
c. D = [ -1, 1 ] 
d.D = IR 
e. nda 
5. O conjunto de todos os valores de x, para os quais é um número real, é:
a. -1 x < 2 
b. x 2 
c. x < -1 ou x > 2 
d. x -1 ou x > 2 
e. -1 < x < 2 
 
Função Constante
 Dado um número real k, chama-se função constante a função f : R -> R, definida por f(x) = 
k. O gráfico é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto de ordenadas y = k. 
 O domínio da função é D(f) = R e a imagem é Im(f) = {k}
Função do 1º grau ou Afim
 Denomina-se função do 1o grau toda função f : R -> R definida por f(x) = ax + b, com a e b 
pertencente aos R e a diferente de zero. 
 Exemplos:
1) f(x)=3x+2, calcule f(5)
f(5)=3(5)+2=17
2) f(x-1)=x, calcule f(2)
para x-1=2, temos x=3,
assim: f(3-1)=f(2)=3
 
Gráfico
 O gráfico da função do 1o grau é representado por uma reta não paralela ao eixo x nem ao 
eixo y, onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Quando a >0 a função é crescente 
e quando a<0 a função é decrescente.
 Zeros ou raízes da função
 O zero da função é o valor de x quando f(x) = 0
 F(x) = ax + b -> 0 = ax + b -> x = -b/a
 
 Estudo do sinal
 Para fazer o estudo do sinal da função do 1o grau y = ax + b, é preciso determinar os 
valores de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. O valor de x é o zero da função (x = -b
/a)
Função crescente ( a >0 )
 x > -b/a -> y > 0
 X = -b/a -> y = 0
 X < -b/a -> y <0
Função decrescente (a < 0)
 x > -b/a -> y <0
 X = -b/a -> y = 0
 X < -b/a -> y > 0
EXERCÍCIOS
1. No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas por y=3-x e y= kx+t, 
respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente:
 
a. 2 e 1 
b. -2 e 1 
c. 2 e 0 
d. -1/2 e 0 
e. 1/2 e 0 
 2. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico
 
 
a. f(x)= -x+2 
b. f(x) = -x/2 + 1 
c. f(x)= -x/2 + 2 
d. f(x)=4x 
e. f(x)= -x
3. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):
a. y= x/3 
b. y=-x/3 + 1 
c. y= 2x 
d. y= x/3 +1 
e. y= -x
 
4. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:
 
 
a. a = 0 ; b = 0 
b. a > 0 ; b > 0 
c. a < 0 ; b > 0 
d. a > 0 ; b = 0 
e. a > 0 ; b < 0 
 
5. A representação da função y = -3 é uma reta :
a. paralela aos eixo das ordenadas 
b. perpendicular ao eixo das ordenadas 
c. perpendicular ao eixo das abcissas 
d. que intercepta os dois eixos 
e. nda
 
6. O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :
 
 
a. a < 2 
b. a < 0 
c. a = 0 
d. a > 0 
e. a = 2 
 
Inequações do 1º grau
 A inequação do 1o grau de variável x se reduz as formas: ax + b > 0, ax + b > 0, ax + b < 0, 
ax + b <0, onde a e b são números reais quaisquer com a¹0. 
 
Exemplo: resolva a inequação 3x-2+2(x+2)>0
 
3x-2+2(x+2)= 3x-2+2x+4=5x+2>0 -> x>-2/5
 resp: S={x E R| x>-2/5}
 
 Obs: Inequações simultâneas, equações produto e quociente serão tratadas juntamente com as 
inequações do segundo grau devido a seu grau de semelhança.
Função do 2º Grau
 Denomina-se função do 2o grau, toda função f : R R, definida por f (x) = ax2+ bx+ c, com a,b 
e c pertencente a R e a¹0. 
 
 Gráfico
 Toda função do 2o grau tem como gráfico uma parábola, quando o a<0 esta terá sua 
concavidade voltada para baixo e quando a>0 sua concavidade estará voltada para cima. 
 
 Zeros ou raízes da função
 É o valor de x quando f (x) = 0 -> ax2= bx+ c =0 . Fazendo a igualdade f(x)=0, obteremos as 
raízes da função utilizando a fórmula de Báskara 
D > 0 -> duas raízes reais e diferentes 
 
 D = 0 -> duas raízes reais e iguais 
D < 0 -> não existem raízes reais
 
Observação:
1) As coordenadas do vértice V são dadas por: Xv = - b / 2a e Yv = (-D) / 4.
2) Se a > 0, temos: Im = { y E R / y > Yv } e o Yv será denominado de valor mínimo.
3) Se a < 0, temos: Im = { y E R / y < Yv } e o Yv será denominado de valor máximo.
 
 Exemplo:
Determine as raízes e os vértices das seguintes funções:
a) y=x2-4x-5
primeiro iguala-se y=0 e resolve-se a equação x2-4x-5=0
calculando o D, percebemos que D=36>0, ou seja existem duas raízes reais
usando a fórmula de báskara, chegamos aos seguintes valores: x´=5 e x´´=-1, que são os zeros 
da função.
V=(-b/2a,-D/4)=(2,-9)
b) y=x2-2x+6
primeiro iguala-se y=0 e resolve-se a equação x2-2x+6=0
calculando o D, percebemos que D=-20<0, ou seja não existem reais
V=(-b/2a,-D/4)=(1,5)
 
Estudo do sinal
o 1° Caso: a > 0 
· D > 0 :
y > 0 -> x < x’ ou x > x”
y = 0 -> x = x’ ou x = x”
y < 0 -> x ‘ < x < x”
D = 0 :
 
y > 0 -> x ¹ x’ 
y = 0 -> x = x’ 
y < 0 -> x ÏR
D < 0 :
y > 0 -> x ÎR
y = 0 -> x ÏR
y < 0 -> x ÏR
 
 2° Caso: a < 0
· D > 0 :
y > 0 -> x’< x < x”
y = 0 -> x = x’ ou x = x”
y < 0 -> x < x ‘ ou x > x”
· D = 0 :
y > 0 -> x ÏR
y = 0 -> x = x’ 
y < 0 -> x ¹ x’
· D < 0 :
y > 0 -> x ÏR
y = 0 -> x ÏR
y < 0 -> x ÎR
EXERCÍCIOS
1. A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:
a. 0 
b. 1 
c. 2 
d. 3 
e. 4
2. O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é: 
a. 2 
b. 3 
c. 4 
d. 5 
e. 6
3. - O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é:
a. 1 
b. 2 
c. 3 
d. 4 
e. 5
4. - Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a:
a. 5/6 
b. 31 /14 
c. 83/12 
d. 89/18 
e. 93/12 
5.- O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; então k pode ser: 
a. -2 
b. -1 
c. 2 
d. 3 
e. 4 
Inequações do 2º grau
 Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações 
são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < . 
 Ex: I) x2 – 3x +6 > 0 
Resolução:
x2 – 3x +6 = 0
x´= 1, x´´ = 2
Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço 
do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre.
 Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2
Resposta: {xÎR| x<1 ou x>2}
Inequações simultâneas
 Ex: -8 < x2 –2x –8 < 0
 Resolução:
1o passo) Separar as inequações , obedecendo o intervalo dado. 
Temos: I) x2 – 2x –8 > -8 e II) x2 –2x –8 <0 
2o passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação. 
I) x2 – 2x > 0 II) x2 –2x –8 <0 
x´ = 0 x´= x´´ = 1
x´´ = 2
3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada função.
I)x<0 ou x>2 II)x diferente de 1.
 
4o passo) Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2. 
Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado. 
Resposta: {xÎR| x<0 ou x>2}
 Inequação produto e inequação quociente,
 São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 
0. f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.
 
Ex: I) (x2 –9x –10) (x2 – 4x +4) < 0 
 Resolução:
1º passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente
x2 –9x –10 = 0 (I)
x2 – 4x +4 = 0 (II)
2º passo) Determinar as raízes das funções
(I) x´= -1, x´´ = 10
(II) x´= x´´ = 23º passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) x<-1 ou x>10 II) x¹2
4º passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto 
é: 
 > intervalo positivo e bolinha fechada 
 > intervalo positivo e bolinha aberta 
 < intervalo negativo e bolinha fechada 
 < intervalo negativo e bolinha aberta 
 
 
Obs1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x) positivo e 
g(x)positivo o h(x) será +, assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = + 
Obs2: Na inequação quociente observar a CE do denominador, que influenciará o resultado nos 
intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto
Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x<-1 e x>10
Resposta: {x E R | x<-1 ou x>10}
EXERCÍCIOS
1. O conjunto solução da inequação x2 - 3x - 10 < 0 é:
a. (- °° , - 2) 
b. (- °° , - 2) (5, °°) 
c. (- 2, 5) 
d. (0, 3) 
e. (3, 10)
 
2. - A solução da inequação x2 x é o intervalo real: 
a. (- °° , - 11] 
b. [- 1, °° ) 
c. [-1, 0 ] 
d. [-1, 1 ] 
e. [ 0, 1 ) 
 
 3. - O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentença 2x2 - x < 1, é:
a. {x IR /-1/2 < x < 1} 
b. {x IR / x > 1 ou x < -1/2 } 
c. {x IR / x < 1 } 
d. {x IR / 1/2 < x < 1} 
e. {x IR / x < -1/2 }
 
4.- As soluções de x2 - 2x < 0 são os valores de x pertencentes ao conjunto:
a. ( 0, 2 ) 
b. (- ºº, 0 ) 
c. (2, ºº ) 
d. (- ºº , 0 ) (2, ºº ) 
e. ( 0, ºº )
 
5. O conjunto-solução da inequação (x - 2)2 < 2x - 1, considerando como universo o conjunto IR, 
está definido por:
a) 1 < x < 5 
b) 3 < x < 5 
c) 2 < x < 4 
d) 1 < x < 4 
e) 2 < x < 5
 
Função Modular
 A função modular f : R -> R é definida por f (x) = |x|, se: 
• |x| = x , se x > 0
• -x , se x < 0 , portanto temos que a função modular é definida por duas sentenças: f (x) = 
x, se x>0 e f (x) = -x, se x<0.
 
Equação modular
 A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: Se a > 0 e |x| = a, então x = a 
ou x = -a; Se a=0 e |x| = 0, então x = 0.
 
 Exemplos: 
1) Resolver |3x – 2| = 2
• |3x – 1| = 2 -> 3x –1 = 2 -> x = 1, ou
• 3x –1 = -2 ->x = -1/3 
Resposta: S = {1, -1/3}
2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3| 
|2x – 1| = |x + 3| -> 
• 2x – 1 = x + 3 -> x = 4 
• 2x – 1 = - x – 3 -> x = -2/3 
 
Resposta: S = {4, -2/3}
Gráfico
 Para construir o gráfico da função modular procedemos assim:
1º passo: construímos o gráfico da função onde f(x)> 0
2º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de – f(x) (“rebate” para o outro lado na 
vertical).
3º passo: une-se os gráficos
Exemplos:
f(x) = |x| f(x) = |x – 2| 
f(x) = |x2 – 4|
 
Inequação modular
 |x| > a Û x < -a ou x > a 
 |x| < a Û -a < x < a 
Exemplos: 
1) Resolver a inequação: | x – 1| < 4
| x – 1| < 4 -> -4 < x – 1 < 4
-3 < x < 5
Resposta: S = {x E R| -3 < x < 5}
2) Resolver a inequação: | 2x – 3| > 7
| 2x – 3| > 7-> 2x – 3 < -7 -> x < -2
 2x – 3 > 7 -> x > 5
Resposta: S = {x E R| x < -2 ou x > 5 }
EXERCÍCIOS
1. A soma das raízes da equação | 2x+5| = 6
a. -5 
b. 9 
c. 4,5 
d. 6 
e. 0,5
 
2. O conjunto solução da inequação |x| < 3, tendo como universo o conjunto dos números inteiros, 
é:
a. { -3, 3 } 
b. { -1, 0, 1 } 
c. { -2, -1, 0, 1, 2 } 
d. { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } 
e. { 0, 1, 2, 3 }
3. A equação modular admite, como solução, somente:
a. uma raiz positiva e uma negativa 
b. duas raízes negativas 
c. duas raízes positivas 
d. uma raiz positiva 
e. uma raiz negativa
 
4. No conjunto IR a desigualdade | x-5| < 7 é verdadeira para:
a. x < 12 
b. X > -2 
c. -2 < x < 12 
d. -2 x 12 
e. nda
 5. Seja f a função definida no intervalo aberto ( -1, 1 ) por f ( x ) = . Então f ( 1/2 ) é:
a. 1/2 
b. 1/4 
c. -1/2 
d. -1 
e. -2
 
 
Função Exponêncial
 
Potenciação
 Termos da potenciação: an = b, onde a é a base, n o expoente e an ou b a potência.
 Potência com expoente natural: an = a.a.a. ... .a ( n fatores )
 
 Propriedades:
· a0 = 1 
· a1 = a
· (am)p = amp 
· a-n = 1 / an
· am : an = am-n
· am . an = am+n
· a1/ n = 
· (a .b) n = an . bn
· (a : b) n = a n / b n
 
 Função Exponencial
 A função f : R -> R*, definida por f (x) = a x, com a E R*+ e a 1 e x E R, é denominada 
função exponencial de base a. Exemplo: f (x) = 3x ( a base é 3).
 
Gráficos
o Quando a > 1 -> função crescente; D = R; Im = R*+. 
 Quando 0 < a < 1 -> função decrescente; D = R; Im = R*+. 
 f(x) = 2x 
 f(x) = (1/2)x
Equação exponencial
 Uma equação é denominada equação exponencial quando a incógnita aparecer no 
expoente.
Exemplo:
1) 5x – 125 = 0. 
Resolução: 5x = 125 -> 5x = 53 -> x = 3. 
Resposta: S = {3}
 
 
Inequação exponencial
 
 Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. 
Como por exemplo 2x-1 > 128. 
 Para resolvermos uma inequação devemos nos preocupar com as seguintes 
propriedades: 
 Quando a >1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 > x1 (conserva o sentido da desigualdade). 
 Quando 0 < a < 1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 < x1 (inverte o sinal da desigualdade).
Exemplos:
 1)2x-1 > 128 Resolução
2x-1 > 128 -> 2x – 1 > 27 (como a base é maior que 1, o sinal conserva)
x – 1 > 7 -> x > 8
Resposta: S = { x E R| x > 8}
2) (1/3)x < 27
Resolução
(1/3)x < 27-> (3-1)x < 33 -> 3-x < 33 -> -x < 3 -> x >-3
Resposta: S = { x E R| x > -3}
EXERCÍCIOS
1. Se 8x = 32, então x é igual a:
a. 5/2 
b. 5/3 
c. 3/5 
d. 2/5 
e. 4
2. Se 8x-9 = 16x/2, então é igual a:
a. 1 
b. 2 
c. 4 
d. 5 
e. nda 
3. O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 . 92x+3 = 273-x é:
a. 1 
b. 3 
c. 5/2 
d. 1/3 
e. 2/5 
4. Sendo x = (22)3 , y = e z = , calcule x . y . z :
a. 221 
b. 210 
c. 223 
d. 24 
e. 220
5. A solução da equação 0,52x = 0,251-x é um número x, tal que:
a. 0 < x < 1 
b. 1 < x < 2 
c. 2 < x < 3 
d. x > 3 
e. x < 0
6. Se f ( x ) = 161+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :
a. 11 
b. 13 
c. 15 
d. 17 
e. nda
7. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre:
 
a. -1 e 0 
b. 2 e 3 
c. 3 e 5 
d. 5 e 10 
e. 10 e 100
 
 
8. Os números reais x são soluções da inequações 251-x < 1/5 se, e somente se:
 
a. x > -3/2 
b. x > 3/2 
c. -3/2 < x < 3/2 
d. x < 3/2 
e. x < -3/2
 
Função Logarítmica
 
Logarítmos 
 
 Definição: log b a = c Û bc = a, com a > 0 e 1 b>0. Onde a é o logaritmando ou antilogarítmo, b 
é a base e c é o logaritmo.
Exemplo 1: log6 36 = x Û 6x = 36 Û 62 = 6xÛ x = 2
Exemplo 2: O domínio da função f(x) = log3 (x – 5) é restrito pela sua condição de existência. A 
base (3) já é positiva e diferente de 1, devemos então ver a restrição imposta ao logaritmando, 
oou seja:
x – 5 > 0 -> x > 5, assim: D = {x Î R| x > 5}
 
 Conseqüências da definição:
o log a1 = 0
o log aa = 1
o log aan = n
o aloga b = b 
o log ba = log bc <-> b = c 
Exemplo:
1) Calcular x na igualdade log5 (x –1 ) = log5 7
Resolução:
CE: x –1 > 0 -> x > 1
Como as bases são iguais , os logaritmandosdevem ser iguais, logo:
log5 (x –1 ) = log5 7 -> x – 1 = 7 -> x = 8
Resposta:
x = 8
EXERCÍCIOS
1. Se log3 1/27 = x, então o valor de x é:
a. -9 
b. -3 
c. -1/3 
d. 1/3 
e. 3
 
2. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente:
a. 2, 1 e -3 
b. 1, 0 e -2 
c. 3, 1 e -2 
d. 4, -2 e -3 
e. 3, 0 e -2
 
3. A expressão mais simples para alogax é:
a. a 
b. x ( x > 0 ) 
c. logax 
d. logxa 
e. ax
 
4. Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale:
a. 5 
b. 4 
c. 3 
d. 7/3 
e. 5/2
 
5. O valor de log9 27 é igual a:
a. 2/3 
b. 3/2 
c. 2 
d. 3 
e. 4
 
6. Se , então x + y é igual a:
a. 5/3 
b. 10/9 
c. 8/9 
d. 2/3 
e. 5/9
Propriedades operatórias:
o log a(M . N) = log aM + log aN
o log a(M / N) = log aM – log na
o log aMN = N . log aM
o Cologarítmo: log a1/b = - log ab = colog ab
o Mudança de base: log ab = log cb / log ca
 log ab . log ca = log cb
 log ab = 1 / log ba
Exemplo 
1) Calcular o valor de log3 (9 . 27)
Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos:
log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5
Resposta: 5
2) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular:
a) log 24
b) log 9Ö8
Resolução:
a) log 24 = log (23 . 3) = log 23 + log 3 = 3 log 2 + log 3 = 3x + y
b) log 9Ö8 = log 9 + log Ö8 = log 32 + log Ö(23) = 2 log 3 + 3/2 . log 2 = 2y + 3x/2 = (4y + 3x)/2
Respostas: a) 3x + y, b) (4y + 3x)/2
3) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6
Resolução:
Como log 2 e log 3 estão na base 10, vamos passar log2 6 para a base 10:
log26 = log 6/log 2 = log (2.3)/log 2 = (log 2 + log 3)/log 2 = (0,3 +0,4 )/0,3 = 7/3
Resposta:7/3
 
EXERCÍCIOS
1. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale:
a. 1,77 
b. 1,41 
c. 1,041 
d. 2,141 
e. 0,141 
2. Sendo log x = a e log y = b, então log é igual a:
a. a+b/2 
b. b/2a 
c. - a 
d.
e. /a 
3. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:
a. 376,29000 
b. 188,15000 
c. 1,9030900 
d. 2,9818000 
e. 3,0969100 
4. Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28 ?
a. 1,146 
b. 1,447 
c. 1,690 
d. 2,107 
e. 1,107 
5. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:
a. 0,6990 
b. 0,6880 
c. 0,6500 
d. 0,6770 
e. 0,6440 
Função logarítmica
 Toda função f : R -> R definida por f (x) = log ax, com a E R, 0 < a 1 e x E R, é 
denominada função exponencial de base a.
 
Gráfico
 Quando a > 1 -> crescente 
Quando 0 < a < 1 -> decrescente
 
 Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos:
 x > 0 , a > 0 e a 1
f(x) = log2 x
f(x) = log2 x
 
Equação logarítmica
 
 Resolução de uma equação: 
1) Observar a condição de existência (CE); 
2) Resolver a equação;
3) Verificar se as soluções satisfazem a condição de existência:
Log ab = x ->b = ax 
Exemplo: 
1) Resolver a equação log4 x = 2
Resolução: CE: x > 0
Log4 x = 2 -> x = 42 -> x = 16
Verificação: x > 0 -> 16 > 0 (verdadeiro)
Resposta: S = { 16 }
2) Determinar o conjunto solução da equação logx(3x2 – x) = 2
Resolução: CE 
• 3x2 – x > 0 
x>0 e x 1
 
logx (3x2 – x) = 2 -> 
• 3x2 – x = x2
• 2x2 – x = 0 
• x (2x – 1) = 0 
 x´= 0
x´´=1/2
Verificação:
Para x = 0
0 – 0 > 0 (F)
para x = ½
3.1/4 – ½ > 0 (V)
½ > 0 e ½ ¹1 (V)
Resposta: S = {1/2}
 
EXERCÍCIOS
1. Se log ( 2x - 5 ) = 0 então x vale:
a. 5 
b. 4 
c. 3 
d. 7/3 
e. 5/2
2. A equação logx ( 2x +3 )= 2 apresenta o seguinte conjunto solução:
a. { -1, 3 } 
b. { -1 } 
c. { 3 } 
d. { 1, 3 } 
e. nda
3. É correto afirmar que no universo IR o conjunto solução da equação lo3 ( -x2 -10x ) = 2:
a. é Æ 
b. é unitário 
c. tem dois elementos irracionais 
d. tem dois elementos inteiros 
e. tem dois elementos racionais e não inteiros
4. O valor de x tal que log648 = x é:
a. 2 
b. 3 
c. 2/3 
d. 1/2 
e. 3/2
5. Quanto a solução da equação ( logx )2 - 3. log x + 2 = 0 é verdade que :
a. só uma delas é real 
b. a maior delas é 1000 
c. a menor delas é 100 
d. a menor delas é 10 
e. a maior delas é 1
6. Sendo ( log2x)2 - 3 log2x - 4 = 0 então o produto entre as raízes da equação vale:
a. -8 
b. 16 
c. -1/4 
d. 4 
e. 8 
7. A solução da equação log8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:
a. -4/3 
b. 1/2 
c. -2 
d. 2 
e. nda
 
 Estudo do sinal
Quando a > 1 -> log a x > 0 « x > 1 Quando 0 < a < 1 -> log a x < 0 « x > 1
 log a x = 0 « x = 1 log a x = 0 « x = 1
 log a x < 0 « 0 < x <1 log a x > 0 « 0 < x < 1
 
 Inequação logarítmica
 
Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes 
propriedades:
 Quando a > 1 -> x2 > x1 « log a x2 > log a x1 (conserva o sentido da desigualdade)
 Quando 0 < a < 1 -> x2 > x1 « log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)
Exemplos: 
1) Resolver a inequação log3(5x – 1) > log3 4
Resolução: Devemos inicialmente resolver a condição de existência:
5x – 1 > 0 -> x > 1/5 (I)
Como a base é maior que 1, a função é crescente (conserva o sinal)
5x – 1>4
x > 1 (II)
Tomando a intersecção entre os intercalos (I) e (II): x>1
Resposta: {x Î R| x > 1}
2) Resolver a inequação log1/2 (x – 3) ³ log1/24
Resolução: 
CE: x – 3 > 0 -> x > 3 (I)
Como a base é menor que 1 , temos que a função é decrescente.
4 ³ x – 3
3 + 4 ³ x
7 ³ x (II)
tomando a intersecção de (I) e (II), 7 ³ x > 3.
Resposta: S ={x Î R| 7 ³ x > 3.}
EXERCÍCIOS
1. A desigualdade log2(5x-3) < log27 é verdadeira para:
a. x > 0 
b. X > 2 
c. x < 3/5 
d. 3/5 < x < 2 
e. 0 < x < 3/5
2. Qual o valor de x na inequação log1/2 x > log1/2 2 ?
a. x > 1/2 
b. x < 1/2 
c. x > 2 
d. x < 2 e x > 0 
e. x = 2
3. Se log1/3 (5x-2 ) > 0 então x pertence ao intervalo:
a. ( 0, 1 ) 
b. ( - , 1 ) 
c. ( 2/5, 3/5 ) 
d. ( 2/5 , ) 
e. (- , 3/5 )
4. A solução da inequação log1/3(x2-3 ) > 0 é:
a. x < - ou x > 
b. -2 < x < 2 
c. - < x < 
d. -2 < x < - ou < x < 2 
e. x < -2 ou x > 2
5. O domínio da função real : é:
a. x < -1 ou x > 1 
b. x - ou x 
c. 1 < x 
d. - x < -1 
e. nda
REFERÊNCIAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. São Paulo, Ática.
http://paginas.terra.com.br/educacao
http://www.ficharionline.com
http://br.geocities.com/fator00/Apostilas
http://apostilas.netsaber.com.br