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LIVRO- SOLO, PLANTA E ATMOSFERA = Capitulo 7

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I '
7
oMOVIMENTO DA ÁGUA
INTRODUÇÃO
A água move-se no sistema solo-planta-
atmosfera em qualquer uma de suas fases. No solo
e na planta, os principais movimentos dão-se na
fase líquida, apesar de os fluxos de vapor poderem
assumir grande importância quando o solo se
encontra "mais seco" e em certas partes da planta,
como é o caso das câmaras estomatais na folha.
a atmosfera, o principal movimento dá-se na
fase gasosa (vapor d'água), mas também nas fases
líquida (chuva) e sólida (granizo ou neve), poden-
do assumir proporções importantes.
Neste capítulo será dada ênfase ao movimento
na fase líquida, que ocorre em resposta a dife-
renças de potencial total da água \f. Vimos no
Capítulo 6 que toda vez que \f é constante, há
equilíbrio, e toda vez que \f é variável, há movi-
mento. Porém, nessas considerações é necessário
discutir o problema das "membranas serniper-
meáveis", estruturas que permitem a passagem da
água, mas não dos solutos. No sistema solo-plan-
ta-atmosfera, as principais membranas encon-
tram-se nas células das plantas e nas interfaces
água-ar, nas quais a água passa na forma de vapor,
deixando para traz os solutos. Quando não há
membranas, os solutos movem-se com a água e
mesmo na existência de diferenças de potencial
osmótico de uma região para outra, o movimento
de água é desprezível; o movimento de sais é mais
importante e estes se movem procurando o
equilíbrio. Por isso, no caso de movimento de
água na fase líquida, sem a presença de membra-
nas, para efeito de quantificação do movimento,
o potencial total da água não inclui a componente
osmótica (mesmo sendo ela não desprezível).
Havendo membranas, a componente osmótica
torna-se a mais importante e precisa ser incluída.
Define-se, então, o potencial hidráulico H,
que é o potencial total \f, sem a inclusão da
componente osmótica. Nessas condições, a
equação 6.12 se simplifica em:
Como ambos \f p e 'I'm se referem a pressões,
o primeiro às positivas e o segundo às negativas,
podem ser agrupados em uma única componente
h = \f p + \f mi que cobre toda faixa de pressões. A
componente gravitacional \fg pode ser expressa
Tiago
Realce
Tiago
Realce
Tiago
Nota
lembrar que a água se move para onde o potencial é maior, nesse caso onde o número negativo é menor. A energia da água é máximo quando o potencial mátrico é 0.nullnulla água vai de onde há mais energia para onde há mais energia.nullnullO potencial mátrico varia conforme a umidade do solo, e é máximo, quando quando o potencial mátrico é 0
Tiago
Nota
a drenagem é em função da diferença de potencial da água no solo em determinados pontos. O solo na capacidade de campo propicia a drenagem da águanull15 atm= 150 m de coluna de H2Onullágua útil= água na capacidade de campo menos agua no ponto de murcha permanente
Tiago
Nota
a água vai de onde há mais energia para onde há menos energia
Tiago
Nota
energia potencial, energia de posição;nullenergia cinética, energia de movimento;
148 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
em termos de altura e, se a superfície do solo é
tomada como referência, ela se identifica com a
profundidade z. Assim, a forma mais comum de
apresentar a equação 7.1 na literatura é:
H=h+z (7.2)
Nessa forma é que desenvolveremos, daqui para
a frente, as equações referentes ao fluxo de água
na fase líquida, sem a presença de membranas
semipermeáveis.
o MOVIMENTO DA ÁGUA
NO SOLO
Equação de Darcy
A água no estado líquido move-se sempre
que existirem diferenças de potencial hidráulico
Hnos diferentes pontos no sistema. Esse movi-
mento se dá no sentido do decréscimo do poten-
cial H, isto é, a água sempre se move de pontos de
maior potencial para pontos de menor potencial.
Darcy (1856) foi o primeiro a estabelecer uma
equação que possibilitasse a quantificação do
movimento de água em materiais porosos saturados.
Eleverificou que a densidade de fluxo de água é pro-
porcional ao gradiente de potencial hidráulico no
solo. Sua equação foi adaptada mais tarde para
solos não saturados (Buckingham, 1907), passan-
do a chamar-se equação de Darcy-Buckingham,
e, apesar de suas limitações, é a equação que me-
lhor descreve o fluxo de água no solo. De maneira
mais geral, ela pode ser escrita na forma:
q = -K· VH = -K· grad H (7.3)
em que q é a densidade do fluxo (flux density) de
água (L . m" dia-I = mm . dia-I), VH ou grad H,
gradiente de potencial hidráulico (m m') e K a
condutividade hidráulica do solo (mm· dia-I).
A densidade de fluxo de água q é uma gran-
deza vetorial e deveria ser simbolizada por ct
tendo módulo, direção e sentido. Seu módulo é o
volume de água V que passa por unidade de tem-
po e pela unidade de área de seção transversal
(perpendicular ao movimento). Assim.:
q= l =~=L.Tl (7.4)
A· t L·T
Obs.: Não confundir o L da análise dimensional
(comprimento) com L = litro.
Dessa forma, se 10 L de água atravessam 5 m2
de solo em 0,1 dia, a densidade de fluxo será 20
mm· dia-I.
Apesar desse fluxo ter dimensões de uma
velocidade, ele não representa a velocidade com
que a água se move no solo. A velocidade real da
água no solo v é o volume de água V que passa
por unidade de tempo pela área disponível ao
fluxo, isto é, seção transversal de poros ocupados
pela água. Para um solo saturado, esta seção trans-
versal de poros é o produto da área efetiva A pela
porosidade (ver equação 3.12) do solo.
Se o exemplo anterior se referir ao movimento
de água por uma área de 5 rrr' de seção transversal
sem a presença de solo (Figura 7.1), teremos q =
v = 20 mrn . dia-I.A vazão Q que é definida por V/t,
é 100 L . dia-I. Se a área for estrangulada para a
metade da seção transversal, isto é, N = 2,5 m? é
fácil verificar que a vazão Q permanece a mesma
e que a densidade de fluxo dobra para q' = V/NT
= 40 mm. dia-I-Mesmo assim q' = v'.
É fácil verificar que q . A = q' . N.
A redução de área disponível ao fluxo tam-
bém pode ser feita pela introdução de solo na
tubulação. Se o tubo de seção transversal A = 5 m?
for preenchido com solo de porosidade (a = 0,5),
pode-se demonstrar que a área A disponível ao
Tiago
Realce
Tiago
Realce
Figura 7.1. Exemplo de fluxo de água em tubulação com redução de diâmetro.
Figura 7.2. Exemplo de fluxo de água em tubo com solo de porosidade 50%.
I.,/1\
, I
: k \
I I
i I
I •
~ . :, ., .
• !
'<
HzÜ. .
-1Q = 100 L· dia
fluxo fica reduzida em X = cx .A =~0,5 x 5 = 2,5 rrr'
(ver Figura 7.2).
Como no solo se mede A (não 1'\), a densida-
de de fluxo q permanece a mesma, igual a 20 mm
. dia:', mas a velocidade v passa para v'. Portanto,
a velocidade da água no poro v' é diferente de q.
Por isso, a densidade de fluxo de água no solo,
que tem dimensões de velocidade, não é igual à
velocidade de água nos poros. Assim:
v= V =L.Y-'
A· cc- t
v = -.5L
o.
(7.5)
. 20 di -1- H20q ~ v = . mm_._la_-+ __ r-..•.
" I .
I
I .,
I .
I, ,
I
, "
-1
Q = 100 L· dia
o MOVIMENTO DA ÁGUA 149
/
A' =2,5 m2
~~----~~------. rr' -1.. f. r' q' = v' =.40 mm· dia
i o; •.
.. "
>/
., I . H O .. \. I _ 2 •.... =J
-1Q' = 100 L . dia
Se o solo não está saturado, a área disponível
ao fluxo é menor ainda, 1'\ = A . e (em que e é a
umidade % volume definida pela equação 3.15), pois
a água só caminha pelos poros cheios de água, e:
q
v= -e (7.6)
Em virtude das variações de forma, direção e
largura dos poros, a velocidade atual da água no
solo é altamente variável de ponto para ponto e
não se pode falar em uma única velocidade do
líquido, mas, na melhor das hipóteses, em uma velo-
cidade real média. No exemplo anterior, a velo-
cidade real média da água nos poros do solo é de -
40 mm . dia I e a densidade de fluxo é 20 mm . dia-I .
Q' = 100 L· dia-1
Tiago
Realce
150 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
Define-se tortuosidade de um meio poroso
ao quadrado da relação entrea distância realmente
percorrida por uma molécula de água e a distân-
cia em linha reta. Esse parâmetro é adimensional
e, em geral, varia de 1 a 2. Também devido a esse
fato, q difere de v.
Fica clara, portanto, a definição de q na equa-
ção de Darcy. Muitas vezes q é chamado simples-
mente de taxa. Se um solo estiver perdendo 5 L
de água por evaporação em cada m', em cada dia,
sua taxa de evaporação é de 5 mm . dia-I. Essa é a
densidade de fluxo de evaporação. Um solo pode,
ainda, estar perdendo por drenagem 2mm dia-I.
Esse é outro exemplo de q.
Vejamos, agora, na equação de Darcy (equa-
ção 7.3) o significado do gradiente de H ou V'H.
O gradiente de potencial V'H também é uma gran-
deza vetorial e deveria ser simbolizado por VH.
Ele é definido no sistema cartesiano de três di-
mensões (ver sistemas de coordenadas no Capí-
tulo 18), pela equação:
z
-> aH -> aH --> aH-->
gradH=V'H= ax i+ ay j+ az k (7.7)
Vejamos melhor a definição de gradiente. No
sistema cartesiano, todo vetor ltde direção e senti-
do quaisquer, pode ser decomposto em três com-
ponentes ortogonais:
em que u., u, e u, são os módulos das compo-
nentes; 1, r e k ,vetores unitários (módulo = 1)
de direção x, y e z, respectivamente (Figura 7.3).
O operador V é um operador vetorial, que
decomposto nas direções x, y e z pode ser simbo-
lizado por:
--> a -;> a -;> a->
V'=-l+-J+-k
ax ay az
Quando ele opera sobre uma grandeza esca-
lar, o resultado é o gradiente. Seja, por exemplo, a
._._._._._.-.--_._--.----_.
/.:.:.:
./
.',.:.:
L _
Ii / /j--"
i ./ ./ i U
i ~<_._.;-:-:JIt-_ ...../" !
i i k ! f !i j -+ !. Ux r.
i t J -+ i ./! ,,/
i i i. i./'; //
! I ,,/
! ! ,,/
!_._._.~~_._._._._._._._. .1-/
y
x
Figura 7.3. Decomposição de um vetor 11em três componentes ortogonais.
Tiago
Nota
I, J e K, representam as três dimensõesnullnulla leitura da equação é o gradiente da derivada parcial da pressão hidróstática em relação a x, y e Z; na direção (i, j, k)
Tiago
Nota
grandeza vetorial, direção e sentidonullgradeza escalar, ?????
grandeza escalar T = temperatura. Então VT é o
gradiente de temperatura:
---7
VT = grad T
Para efetuar a operação, basta operar V so-
bre T, isto é:
-> dT ~ dT ~ dT->
VT = dx 1+ dy J + dz k = vetor
Vê-se, então, que o gradiente é o resultado da
operação de V sobre uma grandeza escalar e o
resultado é uma grandeza vetorial. Não é possível
obter o gradiente de uma grandeza vetorial. No
exemplo que vimos, a temperatura é uma gran-
deza escalar e o gradiente de temperatura é uma
grandeza vetorial, com módulo, direção e sentido.
O potencial da água do solo H é escalar (ener-
gia). Seu gradiente VH é vetor (força).
Muitas vezes, para simplificar a notação, não
se indicam as setas ---7 nem vetores unitários i, j e k,
mesmo porque seus módulos são unitários. Fre-
qüentemente, também se deseja o gradiente em
uma direção apenas.
A equação de Darcy pode, então, ser apresen-
tada nas seguintes formas, que são equivalentes:
dHq = - K - = - K .grad H = - K .VH
dx
Dimensionalmente, o gradiente de potencial
da água vem a ser uma força, pois ele representa
uma energia por unidade de comprimento: J/m =
(N . ml/m = N. Quando H é expresso em altura de
água, de dimensão L, o grad H tem dimensões L/L,
isto é, é adimensional. Não se deve esquecer que,
mesmo assim, ele é uma força. Ele é, então, a força
responsável pelo movimento da água no solo.
Quando o gradiente é nulo, não há força e, conse-
qüentemente, não há movimento de água:equilíbrio.
A equação de Darcy-Buckingham (equação
7.3) nos diz apenas que a densidade de fluxo q é
em que:
o MOVIMENTO DA ÁGUA 151
proporcional à força que atua sobre a água, isto é,
o gradiente de potencial. O coeficiente de propor-
cionalidade K é a condutividade hidráulica do
solo. Aparece, ainda, um sinal negativo na equa-
ção, que indica tão-somente que o sentido da
densidade de fluxo é o inverso do gradiente. O
sentido do gradiente é tomado, por definição,
como aquele no qual o campo potencial cresce, isto
é, de um valor menor de H para um valor maior
de H. Como já dissemos, a água se move de um
ponto com maior H para outro de menor H, isto
é,no sentido contrário do gradiente. Daí a inclusão
do sinal negativo na equação de Darcy. A conduti-
vidade hidráulica pode, portanto, ser definida pela
relação entre a densidade de fluxo e o gradiente:
K=~= L'T
I
=L·TI
VH L/L
(7.8)
sendo suas dimensões iguais às do fluxoL .TI,quan-
do o potencial H é medido em energia por uni-
dade de peso ou carga hidráulica (em ou m H20).
A condutividade hidráulica depende das pro~
priedades do fluido e do material poroso. Experi-
mentalmente verificou-se que para um material
poroso rígido:
(7.9)
k = propriedade do solo chamada permeabi-
lidade intrínseca (rn") que depende do
arranjo geométrico das partículas e da
umidade, que determinam a seção trans-
versal útil para o fluxo;
p, = densidade do fluido (água), em kg. m';
g = aceleração da gravidade, em m . S-2;
11 = viscosidade do fluído, em kg . m' . S-I.
Aviscosidade e a densidade da solução do solo
dependem da temperatura, pressão, concentração -
Tiago
Realce
Tiago
Nota
unidimensional
Tiago
Nota
tridimensional
Tiago
Nota
seção está relacionado a área (unidade de m2)
152 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
de sais solúveis, teor de água do solo etc. Com ex-
ceção de solos que se expandem e se contraem, o
valor de k de um solo é tido como constante para
cada amostra a uma dada umidade. Para efeito
prático, assume-se que Pe' g e11são constantes para
um dado experimento, e k varia apenas com a
umidade (área útil para o fluxo). Já dissemos que
para um solo saturado, a área útil é proporcional à
porosidade a e que para um solo não saturado, a
área útil para fluxo é proporcional à umidade 8.
Assim, podemos dizer que, com as condições
mencionadas, a condutividade hidráulica de uma
amostra de solo é uma função só de 8, ou K= K(8).
Normalmente, a condutividade hidráulica de
um solo saturado é simbolizada por K; que é
chamada de infiltração básica em manuais de
irrigação. Esse é o valor máximo de K. Ele decresce
ar
partícula
rapidamente com o decréscimo da umidade (ou
potencial matricial h), pois como h = h(8) (curva
de retenção da água no solo), a condutividade
também pode ser expressa em termos do poten-
cial matricial h, K = K(h). Na Figura 7.4 são
apresentados valores de K para um dado solo,
tomado como exemplo.
Além da diminuição da área útil por causa da
redução de 8, a tortuosidade do solo e os fenôme-
nos de retenção de água fazem K diminuir dras-
ticamente com 8.
Como K depende da geometria do espaço
poroso, ele varia bastante de solo para solo e,
também, para o mesmo solo com variações es-
truturais, de compactação etc. Pelo fato de K variar
bruscamente com 8, a ponto de ser conveniente
fazer o gráfico do logaritmo de K versus 8 (como
A = 100 cm
2
A' = 55 em2
3 -3
a = 0,55 cm . em
3 -3
80 = 0,55 cm . em saturado
-1
Ko= 4,91 em . dia
A = 100 em2
A' = 40 em2
3 -3
a = 0,55 em . em
3 -38 = 0,40 em . em não saturado
-1
K(8) = 0,38 em . dia
A = 100 cm2
A' = 20 cm2
3 -3a = 0,55 em . em
3 -3
8 = 0,20 em . em não saturado
-1
K(8) = 0,01 37 em . dia
Figura 7.4. Esquema mostrando a diminuição da área útil para o fluxo de água, com a diminuição da
umidade do solo.
Tiago
Nota
K(h) e h (de teta) estão relacionadas null
indica a Figura 7.5), equações exponenciais em
geral são bons modelos para K(8). A Figura 7.5
foi obtida com dados de K e de 8 da Figura 7.4,
podendo ser descrita por uma linha reta. Nessas
condições temos:
log K (8) = a + b8
Sendo a o valor de log Kpara 8 = O(solo seco),
que é o coeficiente linear da reta, no presente caso
igual a-3,34.Assim,10gKs = -3,34 e K, = 0,00046
cm . dia-I. O coeficiente angular b, no presente
caso,é b = 7,28, e é adimensional. Portanto:
log K (8) = -3,34 + 7,28 . 8
o
-1
E
u'--'~ -2
Ol.2
-3
(Iog 0,0137 e 0,20)
o MOVIMENTO DA ÁGUA I 153
ou
K (8) = 0,00046 . 107,288 (7.10)
A Figura 7.5 também poderia ser feita com
logaritmos neperianos ou naturais (ln) (Figura
7.6). Nesse caso, aplicando ln aos três dados de K
da Figura 7.4, teríamos:
ln K (8) = a' + b' . 8
ou
ln K(8) = -7,68 + 16,8 . 8
(log 4,91 e 0,55)
(Iog 0,38 e 0,40)
Figura 7.5. Gráfico de K(9) para o solo do esquema da Figura 7.4, utilizando logaritmo decimal.
0,2 0,4 3 -39 (cm . cm )0,6
Tiago
Nota
logarítimo é utilizado para poder graficar números muito grande, ou muito pequeno
Tiago
Nota
ln= uma constante relacionada ao log; estão relacionados pela utilização de alguma constante
2
(ln 4,91 e 0,55)
°
(ln 0,38 e 0,40)
•.......
n:l -2'õ
E
u
'-"
:::.:: -4 (In 0,0137 e 0,20)c
154 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
ou ainda:
K (8) = 0,00046 . eI6,8.6 (7 ..1'1)
que muitas vezes é escrita na forma:
K (8) = 0,00046 . exp (16,8 . 8)
Note que nas equações 7.10 e 7.11, na pri-
meira' a base do expoente é 10 e na segunda é e,
sendo K, o mesmo e b -:t b' e, mesmo assim,
representam a equação K(8) do mesmo solo e,
por isso, para qualquer valor de 8 devem fornecer
o mesmo valor de K. Por exemplo, se 8 = 0,5, então
K = 2,05 cm . dia-I, por ambas as equações,
aproximadamente, é claro, dependendo das apro-
ximações de casas decimais utilizadas.
-6
Como pode ser verificado, as equações 7.10 e
7.11 incluem o parâmetro K, = condutividade
hidráulica do solo seco. Esse parâmetro não
possui significado físico, pois se o solo estiver
totalmente seco nem se pode falar em movimento
de água. Como vimos, K, é um valor obtido por
extrapolação e, por isso, as equações K(8), na
maioria das vezes, são escritas in~luindo outro
parâmetro, o K, (condutividade hidráulica do
solo saturado), um parâmetro importantíssimo
e de significado físico bem definido. Isso pode ser
feito pela introdução de uma nova variável (8 - 80)
no lugar de 8, em que 80 é a umidade do solo na
saturação, que também é um parâmetro impor-
tante. Essa nova variável, nula (na saturação)
quando 8 = 80, é negativa para os demais valores
de 8, pois 8 < 80• Essa passagem de 8 para (8 - 80)
0,2 0,4 3 -39 (cm . cm )
Figura 7.6. Gráfico de K(9) para o solo do esquema da Figura 7.4, utilizando Iogaritmo neperiano.
- -.---- --- - "-~ " __ O _
2 o:",:
.f:
°
(In 0,38 e -0,15)
,.--..
-2 C\l'õ
E
~
:",:
-4 c
(In 0,0137 e -0,35)
-6
-0,6 -0,4, -0,2
3 -3(8 - 80) em . em
Figura 7.7. Gráfico de K(8) para o solo da Figura 7.4, utilizando logaritmo neperiano, em função de (8 - 8
0
).
implica apenas uma translação da coordenada
ln K de um lugar para outro. Por exemplo, para os
pontos da Figura 7.4, teremos: I) 8 - 80 = O;Il)
8 - 80 = -0,15; e III) 8 - 80 = -0,35, e o gráfico de
ln K versus (8- 80) ficacomo indicado na Figura 7.7.
Nesse caso temos:
ln K (8) = a" + b" (8 - 80)
ou
ln K (8) = 1,59 + 16,8 (8 - 80)
É importante notar que a" é diferente de a' e
que b" é igual a b', pois trata-se de uma simples
translação. Tornando ambos os membros expoen-
tes de e, resulta na seguinte equação:
K(8) = 4,91· e 16.8·(9-90J (7.12)
o MOVIMENTO DA ÁGUA I 155
Por isso, na literatura, são encontradas mui-
tas vezes equações do tipo:
K (8) = Ko· ey(9-90J
que, também, é escrita na forma:
K (8) = Ko· exp [y(8 - 80)]
ou, utilizando o logaritmo decimal:
Além disso, como 8 é uma função de h (cur-
va característica ou de retenção), e vice-versa,
muitas vezes é mais conveniente expressar K em
função de h, isto é, estabelecer a função K(h). Sua
156 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
equação vai depender da função h(8), mas, em
geral, também é exponencial.
Feitas essas considerações, reescreveremos a
equação de Darcy na forma pela qual iremos usá-
Ia de maneira intensiva, isto é, para uma dimensão
x (na horizontal) ou z (na vertical):
q = _ K (8) oH = _ K (8) oHox oz (7.13)
em que x é a coordenada horizontal de posição
para casos de fluxo horizontal e que poderá ser
substituída por z, coordenada de posição para
fluxo vertical.
Exemplo: Na Figura 7.8 a seguir, temos uma
coluna de solo montada na vertical com o solo da
Figura 7.4, pela qual passa um fluxo de água que se
mede na proveta graduada. A coluna de solo tem
seção transversal A = 100 em? e comprimento
nível constante
150 cm
L = 50 cm. Um volume V = 982 em' é coletado em
um dia. Qual a condutividade do solo?
Resposta: Como o solo se acha saturado, de-
terminaremos K; Na equação de Darcy, o gra-
diente dH/dZ pode ser aproximado por uma
diferença finita ~H/ ~z, ou ainda, por (HB - HA)/L,
e a equação 7.13 fica:
~ =-K (HB-HA)
A· t o L
q = A~ t = 1~08~ 1= 9,82 em . dia-I
HA = ZA + h, = O+ 150 = 150 em H20
HB = ZB + h, = 50 + O= 50 em H20
982 = _ K (50 - 150)
, o 50
K, = 4,91 cm· dia-I
+z
placa porosa grossa
Figura 7.8. Fluxo saturado no solo com coluna na vertical.
Tiago
Nota
variação de H em relação a variação de xnullnullvariação de H em relação a variação de z;
Nas operações anteriores, vemos que o grad H
tem sinal negativo que, com o sinal menos da
equação levou a um valor positivo de K; É que,
nesse caso, optamos escolher q como positivo de
baixo para cima. K, sempre precisa ser positivo, pois
é uma propriedade do solo. O grad H tem sinal
negativo porque, ao calculá-lo, fizemos HB - HA•
Se tivéssemos feito HA - HB' o grad H seria po-
sitivo e K, negativo. O melhor critério a seguir
é primeiro escolher o sinal de q de acordo com
a conveniência do problema em questão e, de-
pois, calcular grad H de tal forma que K, sem-
pre seja positivo (o valor absoluto sempre estará
correto).
No exemplo anterior obtivemos K, = 4,91 cm .
dia-I,que é a condutividade hidráulica do solo sa-
80 cm
o MOVIMENTO DA ÁGUA 157
turado e, portanto, uma característica da amos-
tra, não dependendo do arranjo experimental. Por
exemplo, se a altura da vasilha superior for redu-
zida para 100 em, o gradiente diminui, mas a
densidade de fluxo de água diminui propor-
cionalmente e, como resultado, obtém-se o mes-
mo K; Nessa nova situação coletou-se 488 em"
em um dia. Assim:
50 - 100
grad H = = - 1em /cm
50
488 488 d· -1q = --- =, cm· Ia
100 x i
K -_ 4,88 4 88 d· -1o -- =, cm· Ia
1
--- ---~.::::::::. ~~
I
1..-
I
I
L = 50 cm ---+-:
Figura 7.9. Fluxo saturado de água no solo, com coluna horizontal.
158 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
que é muito próximo ao valor 4,91 obtido no caso
anterior. A diferença, no caso, está no erro experi-
mental de medida do volume de 488 em" coleta-
do em um dia.
No esquema da Figura 7.8 poderíamos colo-
car a coluna de solo em outra posição, na hori-
zontal, por exemplo (Figura 7.9):
HA = ZA + h, = O+ 80 = 80 cm H20
20- 80
VH = = - 1,2 em fcm
50
q = ~ = 5,88 cm . dia" (medido na proveta)
100xl
K = 5,88 - 4 90 di -Io -- -, cm· Ia1,2
Nesse caso, vê-se que novamente foi obtido
um resultado semelhante. Ressaltando, K, é uma
propriedade da amostra e independe do arranjo
experimental de medida.
Os três exemplos anteriores tratam de solo sa-
turado e, por isso, obtivemos K,Todos são casos
de equilíbrio dinâmico (steady-state), em que a
quantidade de água que passa por A é igual àquela
que passa por B. Poderíamos, ainda, ter uma con-
dição de solo não saturado, se aplicássemos suc-
ções em A e B, como mostra a Figura 7.10, também
com o mesmo solo da Figura 7.4.Esse experimento
é difícil de ser executado, pois o solo fica aerado e a
evaporação precisa ser controlada. Inicialmente, a
vasilha do lado direito é elevada para que haja uma
pressão positiva em A e a vasilha esquerda é man-
tida praticamente na altura de B. Assim o solo é
molhado, quasesaturado e o fluxo de água se esta-
belece. Em seguida, as vasilhas são levadas para
as posições indicadas na Figura 7.10.
Como o solo não está satura do, o fluxo de
água (agora de B para A) é muito mais lento. Nesse
tipo de experimento o equilíbrio é atingido so-
mente após longo tempo (semanas, meses) e é
preciso controlar perdas -por evaporação e o de-
senvolvimento de microrganismos. De qualquer
forma, também evolui para um caso de equilíbrio
dinâmico. O solo não está saturado porque se
aplicou sucções em ambos os lados. Como a sucção
em A é maior do que em B, a água se move de B
para A. A gravidade não afeta o processo. Caso a
coluna estivesse na vertical, a gravidade atuaria
no transporte de água. Como h,= -120 cm H20
e hB = -100 cm H20, o solo deve estar um pouco
mais úmido em B do que em A. Para efeito de
cálculo utilizaremos a umidade média 8, que
foi medida no fim do experimento, obtendo-se
8 = 0,481 em"- em". Nesse caso, teremos:
HB = O- 100 = - 100 em H20
[-120 - (-100)] 20
grad H = = - - = - O4 cm f cm
50 50'
Como o movimento de água é muito mais
lento, foram coletados apenas 420 em" em uma
semana. A densidade de fluxo é, então:
420 . ~I
q= = O6 cm . dia
100 x 7 '
e
K (8) = K (0,481) = 0,6 = 1,5 cm . dia"
0,4
valor muito semelhante ao obtido quando se
substitui 8 = 0,481 nas equações 7.10 ou 7.11 ou
ainda 7.12.
Outro exemplo interessante de aplicação da
equação de Darcy, em um caso de equilíbrio di-
nâmico, é o esquematizado na Figura 6.18 do
Capítulo 6. Para este caso, consideremos uma
condição de equilíbrio dinâmico de evaporação
igual a 5 mm . dia:', na qual se verificaram os se-
guintes dados:
Tiago
Realce
Tiago
Realce
~ contr~le de evaporação
r--//- ~eraç~~
-------~- II -}/_-7/;Z7_77//_72 I 11-- ------- referênciaT/ililJ2 gravitacional
-,--------, ,
~ ~
, L= 50 cm ,
Figura 7.10. Fluxo não saturado de água no solo, com coluna horizontal.
120 cm
No Ponto A (localizado no solo, ao nível de
interface água-ar):
8A = 80 = 0,52 em' . cm' (saturação)
grad H = -1,0 em / cm (só gravidade atua)
K(8A) = K, = 5 mm . dia-I
ClA = -5mm· dia-I x (-1,0 cm / em) = 5 mm· dia-I
No Ponto B (localizado no centro da coluna
de solo):
grad H = -1,4 cm / cm
K (8B) = 3,57 mm . dia-I
qB= -3,57 mm- dia-Ix (-1,40 em/em) = 5mm- dia-I
100 cm
o MOVIMENTO DA ÁGUA 159
No Ponto C (localizado 5 cm abaixo da su-
perfície do solo):
grad H = -5,38 em/em
K (8c) = 0,93 mm· dia-I
qc = -0,93 mm . dia-I x (-5,38 cm / em) =
= 5 mm· dia-I
Vê-se, assim, que em qualquer ponto o fluxo
é constante (5 mm . dia-I) e que com a diminuição
da umidade 8, a condutividade hidráulica cai
bruscamente. A queda de K é compensada por
um aumento do gradiente de H e, como resultado,
o fluxo permanece constante.
Poderíamos, ainda, considerar a situação do
solo mostrado na Figura 7.11, em que se vê dois
160 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
-r
30 cm Hg
Figura 7.11. Tensiômetros indicando fluxo horizontal em coluna de solo.
-500
,.......
-400O hB = -333N
I
E
~
ro -300·u.;::.•....
h, = -212<ti
E
<ti -200·u
c
Q).•....
oQ.. eh) =tg <X= MN-100 PàS A NP
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
3 -3S (cm . cm )
Figura 7.12. Curva característica do solo da Figura 7.11 _
tensiômetros instalados nos pontos A e B, de uma
coluna de solo horizontal. Deseja-se saber o fluxo
de água entre A e B.O solo é o mesmo cuja curva
de K é apresentada nas equações 7.10, 7.11 ou
7.12, e cuja curva característica é apresentada na
Figura 7.12.
Solução: O potencial matricial h da água nos
pontos A e Bpode ser calculado pela equação 6.20
dos tensiômetros (atenção!, nela o símbolo h tem
outro significado):
h(A) = -13,6 x h + h + h, + h,= -212 cm H20
h(B) = -13,6 x 30 + 30 + 15+ 30 = -333 cm H20
O potencial hidráulico nos pontos A e B,
utilizando como referência para gravidade a linha
que une esses pontos, será:
HA = h; + ° = -212 cm H20
HB = hB + ° = -333 cm H20
Pela curva característica do solo (Figura 7.12),
verifica-se que os valores da umidade nos pontos
A e B, correspondentes a h; e hB, são:
8A = 0,50 em' . crrr"
e
Para esses valores de 8, os correspondentes
valores de condutividade hidráulica (aplicar equa-
ções 7.10 ou 7.11 ou 7.12) são:
K(8A) = K(0,50) = 4,91· exp [16,8(0,50 - 0,55)]
= 2,12 cm . dia-I
K(8B) = K(0,45) = 4,91· exp [16,8(0,45 - 0,55)]
= 0,92 cm . dia-I
o MOVIMENTO DA ÁGUA 161
O valor médio é:
K- - [K(8A) + K(8B)] - 1 52 di -I- - cm· ill
1 2 '
É importante notar que o valor médio de K
poderia ser calculado de outra forma, primeiro
calculando o valor médio de 8 e depois o de K:
8_- 8A + 8B 3 3--'-'---"- = 0,475 cm . em
2
e
K2 = K(8) = 4,91· exp [16,8 (0,475 - 0,55)] =
= 1,39 em- dia-I
Como se vê RI ;f- 1<2e essa diferença torna-se
maior com o aumento da diferença em 8. A
escolha de cada um dos procedimentos dependerá
do julgamento de cada pesquisador.
Dessa forma, o fluxo médio de água entre os
dois tensiômetros fica:
q = _ 1,52 x [- 212 - (- 333)] = 0,92 em- dia-I
200
Além da condutividade hidráulica, há outro
parâmetro hídrico do solo, denominado difusivi-
dade da água no solo. Esse novo parâmetro foi
introduzido da seguinte forma: para fluxo hori-
zontal H = h, uma vez que a componente gravi-
tacional não entra em jogo. Assim, a equação de
Darcy-Buckingham (equação 7.13) fica:
e como h = h(8) (curva característica), podemos
reescrever esta equação introduzindo a derivada
da curva característica, baseando-se no conceito
de função de função. Como h = h(8) e 8 = 8(x), a
162 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
derivada ah/ax passa a ser [ah/ae] . [ae/ax] e,
assim:
(7.13a)
em que:
(7.14)
pois sendo h(e) característica de um solo, sua
derivada ah/ae, também o é. D é a difusividade
da água no solo, às vezes denominada, erronea-
mente, de difusividade hidráulica, definida por
7.14. Ela é, então, o produto de K (a um dado valor
de e) pela tangente à curva característica (no
ponto correspondente ao mesmo valor de e).
A equação de Darcy-Buckingham na forma
7.13a é, muitas vezes, preferível porque o gradien-
te de umidade ae/ax é mais facilmente determi-
nado que o gradiente de potencial ah/ax. O
problema é que a equação 7.13a envolve histerese
(ver capítulo 6) e ah/ae não é único para um de-
terminado valor de e. Em geral, a histerese é des-
prezada ou, na melhor das hipóteses, utiliza-se a
curva de "molhamento" em casos de molhamento
e a curva de "secamente" em casos de secamento.
O parâmetro D foi denominado difusividade
porque a equação de Darcy-Buckingham, na
forma 7.13, fica idêntica à equação de Fick para
difusão de calor ou íons.
No caso de fluxo vertical, D também pode ser
introduzido nas equações:
aH a ah
q =-K- =-K- (h + z)=-K--K=
az az az
ah ae ao
=-K---K=-D--K
ae az az
isto é, para o caso de fluxo vertical, pode-se em-
pregar a equação de Darcy- Buckingham nas duas
formas:
(7.15)
ae
q=-D--K
az
(7.16)
Para o caso do exemplo da Figura 7.11, temos:
D(e) =K(e )(ah) ::::212x 150 =
A A ae A ' 0,05
= 6360 em' . min'
D(e ) = K(e ) (ah) ::::° 92 x 108 =
B B ae B ' 0,05
= 1987 em' . min'
O valor médio da difusividade é:
e o fluxo, pela equação 7.13:
que é um valor 7,5 vezes maior que o obtido no
exemplo utilizando condutividades. Teoricamente
os valores deveriam ser iguais (na prática, seme-
lhantes) mas, como se pôde verificar, a maior
fonte de erros nesses cálculos, com a equação de
Darcy-Buckingham, está nas estimativas de K, D
e dh/dê, e esse erro aumenta com o aumento do
gradiente.
Voltando a comentar a equação de Darcy
(equação 7.3), é importante frisar que o fluxo de
água no solo, sendo o produto da condutividade
hidráulica do solo pelo gradiente de potencial
hidráulico, depende da combinação dessas duas
Tiago
Realce
TiagoRealce
Tiago
Nota
variação de h em relação a teta;nullvariação de teta em relação a x
grandezas. Uma condutividade muito pequena na
presença de um gradiente grande pode dar como
resultado um fluxo razoável. Uma alta conduti-
vida de e um gradiente pequeno, também pode
permitir um fluxo razoável. Quando os dois são
relativamente grandes, o fluxo assume grandes
proporções e quando ambos são pequenos, o flu-
xo se torna desprezível. Uma camada de solo
impermeável possui K = O e, nessas condições,
sempre q = O, mesmo na presença de um
gradiente. Por outro lado, um gradiente nulo
também implica q =O,mesmo que K seja grande.
Como K e D diminuem drasticamente com
8, para um mesmo gradiente o8/ox, o fluxo é tanto
menor quanto menor 8. Por isso, o movimento
de água em um solo seco é geralmente bem menor
que em solo úmido.
Quando a água infiltra em um solo seco, a
camada superior fica quase saturada e K é máxi-
mo (K = Ko). Além disso, o gradiente de potencial
entre a parte seca e a úmida é enorme. Resulta,
então, um fluxo muito grande. Daí pensar-se que
a água se move mais rapidamente em solo seco.
Quando a água infiltra em solo úmido, K é grande,
mas o gradiente é pequeno e a infiltração (fluxo)
é pequena quando comparada com o solo seco.
Equação da
Continuidade
Apenas o conhecimento do fluxo q pela apli-
cação da equação de Darcy não é o suficiente em
estudos dinâmicos da água no solo. Na realidade,
o que mais nos interessa é saber, em um dado
ponto M, no perfil do solo, como a umidade va-
ria em função do tempo. Em síntese, para qual-
quer situação, gostaríamos de possuir uma
equação do tipo 8 = e (x, y, z, t), isto é, uma equa-
ção que nos permita determinar 8 (umidade do
o MOVIMENTO DA ÁGUA I 163
solo), para qualquer valor de x, y e z (em qual-
quer posição) e para qualquer valor de t (em qual-
quer tempo). A equação da continuidade nos dará
meios para estabelecer uma equação diferencial
de 8 (variável dependente), cuja solução para cada
problema particular é a função 8 = 8 (x, y, z, t).
Seja um elemento de volume (~V) de solo
em ~orno do ponto genérico M, situado no p~rfil
de solo, no qual desejamos estudar as variações
de umidade como indica a Figura 7.13. A densi-
dade de fluxo q que entra no elemento de volume,
por ser um vetor, pode ser decomposta nas três
direções ortogonais x, y e z, resultando os
módulos qx' qy e qz. Seja, então, qx a densidade
de fluxo de água entrando no elemento de volume,
na direção x (volume de água por unidade de
tempo e de área).
A quantidade de água Ox (vazão) que entra
pela face ~y . ~z (perpendicular à x) na unidade
de tempo ~t, é, então, qx·Ay- ~z (volume de água
por unidade de tempo; veja definição de fluxo,
equação 7.4). Portanto:
Considerando que ao longo da direção x pode
haver uma variação na densidade de fluxo qx'igual
a oqJox, a densidade de fluxo q'xque sai pela face
oposta do elemento de volume, na direção x, será:
q' = ~ +(o~)&
x ox
É fácil perceber que oqJox é a variação de qx
por unidade de x e que a variação total ao longo
de & é o produto (oqJox) .&.Se, por exemplo,
oqJox = 0,01 em . dia-I. cm' e ~x = 5 em, a
variação total é 0,05 em . dia-I.
A quantidade de água Q'x que sai pela face
oposta, também de área ~y . ~z, na unidade de
tempo ~t, é então:
Tiago
Realce
Tiago
Realce
164 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
q +~ y
y oy
z
y
x
Figura 7.13. Elemento de volume de solo situado em torno de um ponto genérico M no perfil do solo.
A variação da quantidade de água no elemen-
to de volume por unidade de tempo dQJdt = I1QJ
I1t, na direção x é a diferença entre a quantidade
que entra e a quantidade que sai (balanço):
Q'x = ('1+ dqx)I1Y·I1Z
I1t dx
aSSIm:
so, (d'1 )- = '1 .l1y ·l1z - '1 + -11x l1y -éa.
dt dx
ou simplificando:
dQx d'1 dq,- =- -11x ·l1y·l1z =- -I1V
dt dx dx
pois 11x.Ay- l1z= 11V,volume do elemento esco-
lhido em torno do ponto M.
Por raciocínio análogo para as direções y e z,
teremos equações semelhantes:
dQy = _ dqy l1y.11x .l1z = _ dqy I1V
dt dy dy
dQz = _ dq, I1z. l1x .l1y = _ dqz I1V
dt dz dz
e a variação total dQ/dt, no elemento 11V, será a
soma das variações nas três direções:
Como o tamanho de 11V não foi definido, é
oportuno calcular a variação da quantidade de
água por unidade de volume, dividindo ambos
os lados da equação por 11V e, assim, o primeiro
membro passa a ser 08/ot, pois 8 é a quantidade
de água por unidade de volume. Assim:
(7.17)
Essa é a equação da continuidade que pode
ser aplicada para o caso da água movendo-se em
um material poroso. Vejamos como se pode
entendê-Ia. Para isso vamos reescrevê-Ia em uma
dimensão apenas:
(7.17a)
Ela nos diz que, no ponto M do solo, a varia-
ção da umidade 8 com o tempo t é igual à variação
do fluxo <Ix na direção x. Isso significa que apenas
quando o fluxo varia ao longo de x, 8 varia com o
tempo. Lógico, se qx varia em x, ou entra mais
água em I1V do que sai (e 8 aumenta) ou entra
menos água em 11V do que sai (e 8 diminui). Se a
mesma quantidade que entra também sai, é por-
que <Ix não variou ao longo de x, isto é, <Ix = cons-
tante e oqJox = Oe 08/ot = O,não há variação da
umidade com o tempo. Este último caso é o de
equilíbrio dinâmico (steady-state).
Pela equação de Darcy (equação 7.3), sabe-
mos que:
oH
~=-K(8) -
x ox
oH
qy = - K(8)y oy
oH
Clz = - K(8), oz
em que os índices x, y e z na função K(8) indicam
que K pode ser diferente nas três direções.
Substituindo esses valores na equação 7.17,
temos:
o MOVIMENTO DA ÁGUA I 165
08 = _{-ª-- [K (8) oH ]+-ª-- [K (8) OH]+
ot OX xox oy Yoy
(7.17b)
que é a equação diferencial mais geral do movi-
mento da água no solo. Prevedello & Reichardt
(1991) é um ótimo exemplo de aplicação da
equação 7.17b.
Esta equação é, muitas vezes, escrita como:
~~ = Y' . KY'H = div (K . grad H) = div q
em que div representa o divergente, que é um
operador vetorial. Quando o operador Y' opera
sobre um valor na forma de produto escalar de
vetores, o resultado é o divergente. Seja, por
exemplo, v = velocidade. Então Y' . v é o diver-
gente da velocidade.
-> -> ->
Y' . v = divv
em que o ponto (.) indica produto escalar de dois
vetores.
Para efetuar a operação, basta fazer o produ-
to escalar de Y' e v. Para isso, vamos desdobrá-los
em suas componentes:
Como i . i = j . j = k . k = 1 (produto de vetores
unitários de mesmo sentido e direção), e como
i . j = i . k = k . j = ..... = O (produto de vetores
perpendiculares), o resultado é:
Tiago
Nota
substituindo q pela equação de darcy
166 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
Vê-se, então, que o divergente é o resultado
da operação de V' sobre uma grandeza vetorial e
é uma grandeza escalar. Para o exemplo da veloci-
dade, o seu divergente é uma medida da soma das
variações de suas componentes ao longo das di-
reções x, y e z.
Como o gradiente de um escalar é um vetor,
podemos obter o divergente do gradiente de um
escalar. Por exemplo:
T = escalar
grad T = vetor
div (grad T) = escalar
o divergente da densidade de fluxo de água q
é a variação da umidade do solo com o tempo
como indica a equação 7.17b.
Um material é denominado isotrópico quan-
do K(e)x = K(e)y = K(e)z, isto é, suas caracterís-
ticas de condução não variam com a direção.
Caso contrário, o material é anisotrópico. So-
los estratificados são exemplos de materiais
anisotrópicos.
Em uma dimensão, 7.17 fica:
ae = l [K (e). aH ]
at ax ax (7.17c)
Três casos particulares podem agora ser dis-
tinguidos:
a) fluxo em equilíbrio dinâmico (steady-
state), ou também denominado de regime
permanente, no qual o fluxo q é uma
constante, conseqüentemente, suas com-
ponentes qx' qy e qz também são. Nesse
caso, ae/at = o. O regime permanente
caracteriza-se pela invariabilidade do sis-
tema com respeito ao tempo e uma varia-
bilidade com respeitoà posição. e não
varia com t (ae/at = O,mas varia com x,
ae/ax"* O) e este gradiente de umidade
determina o fluxo q constante. Na Figura
7.8 é mostrado um sistema em regime
permanente. A quantidade de água que
entra no solo por A, sai por B e a umidade
do solo não varia com o tempo.
Em regime permanente, a equação 7.17
fica:
l[K(e) aH]=o
ax ax
No caso particular de K(e ) constante =
o
Ko(o solo está saturado), ela se simplifica
ainda mais:
(7.18)
É oportuno lembrar que a equação 7.18 é
independente do tempo, daí as diferenci-
ais totais d e não as parciais a, pois H é só
função de x. A umidade do solo e ou o
potencial H variam no espaço, mas não no
tempo. Como há fluxo, é necessário que e
e H variem com a distância, pois essa
variação é o gradiente responsável pelo
fluxo. Daí o nome: equilíbrio dinâmico.
Em três dimensões, H = H (x, y, z) e a
equação 7.18 fica:
ou
V'2H = O; div q = O
sendo estas últimas equações denomina-
das equações de Laplace.
b) fluxo variável ou regime transiente: é o
caso mais geral do qual os potenciais po-
dem variar com o tempo e, logicamente
Tiago
Realce
com a posição. Nesse caso, as equações dife-
renciais utilizadas são asequações 7.17bpara
três dimensões e 7.17c para uma dimensão.
c) sem fluxo, equilíbrio termo dinâmico:
neste caso o sistema é estático, a8/at = O,
ou o gradiente ou, ainda, K(8) é nulo.
Fluxo Saturado de Água
no Solo
Ao estudar o fluxo de água no solo, é conve-
niente fazer a distinção entre fluxo de água em
solo saturado, que simplesmente chamaremos de
fluxo saturado, e fluxo de água em solo não
saturado. No primeiro caso, 8 não é variável, é
constante e igual à porosidade a (80 = a),e K tam-
bém é constante, assumindo o valor K;Para o caso
de fluxo de água em solo não saturado, isso não
acontece.B e K variam e tudo se complica. No flu-
xo saturado, apenas as componentes gravitacional
e de pressão do potencial total são consideradas.
Estando o solo saturado, a água sempre estará sob
pressões positivas ou nulas, nunca negativas.
Como o solo está saturado:
a = 8 = 80 (saturação) = constante
ae = Oat
K = K, (condutividade hidráulica saturada)
= constante
H = \{Ig + \{Ip ou H = z + h
dH
q=Kodz
(fluxo vertical)
d2H
-2 =0
dx
d2H
-2 =0
dz
(fluxo horizontal)
(fluxo vertical)
o MOVIMENTO DA ÁGUA 167
Exemplo 1: Consideremos o solo saturado
apresentado na Figura 7.9. A equação diferencial
que rege o fluxo é:
Naquele exemplo conseguimos calcular q eK;
Não temos, porém, nenhuma informação sobre
o que acontece com o potencial H na coluna de
solo. Nas extremidades A e B, denominadas con-
tornos, conhecemos HA e HB• Nosso problema é
unidimensional, na direção x. O eixo x está, por-
tanto, passando por A e B. Sejam, então, os valo-
res de x em A igual a zero e em B igual a 50 cm.
Portanto, H = +80 cm H20 em x = O e H = +20
cm H20 em x = 50. Qual seria o valor de H em
qualquer ponto entre A e B? Não temos essa in-
formação. Ela nos será dada pela solução do pro-
blema, que é a solução da equação diferencial de
H, que, no caso, é a equação d2H/dx2 = O. Essa é a
forma genérica da equação da continuidade apli-
cada ao nosso problema, que é um caso particu-
lar de equilíbrio dinâmico. Nosso problema é,
portanto, encontrar sua solução, isto é, uma fun-
ção H = H(x), que satisfaça à condição de que
sua derivada segunda seja nula. Essa função nos
permitirá determinar H para qualquer x, ou seja,
para qualquer ponto entre A e B.
O leitor deve recordar-se de que a solução de
equações diferenciais (Churchill, 1963) é sempre
feita por tentativa. Vários métodos são utilizados
até que se encontre a solução. Muitas vezes não
se encontra a solução e o problema fica insolúvel.
Nosso caso, porém, é um dos mais simples. Sabe-
mos que a função cuja derivada segunda é nula é
uma reta. Assim, nossa solução deve ser:
H=ax+b (7.19)
Este exemplo, apesar de simples, é um exem-
plo típico de Problemas de Valor de Contorno
(PVC), em inglês denominados Boundary Value
Problems (BVP). Eles se constituem de uma equa-
ção diferencial (no caso equação 7.18), de condi-
ções de contorno (condições que envolvem a
coordenada de posição nas "extremidades" do sis-
tema em análise) e de condições no tempo inici-
ais, intermediárias ou finais (não presentes, neste
caso, por se tratar de equilíbrio dinâmico, um caso
sem início e sem fim). A solução do PVC é uma
equação matemática que indica como a variável
de interesse, tomada como dependente, é uma
função das variáveis independentes, espaço e tem-
po. No caso do problema em questão é a equação
7.19.
De maneira bastante geral, o número de con-
dições necessárias para a solução de um PVC de-
(7.19a) pende da ordem da maior derivada parcial. No
168 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
É fácil verificar que:
dH
- =a edx
Se o leitor quiser testar se 7.19a está correta,
basta aplicar nela as condições de contorno e ve-
rificar se dá certo. Assim, para x = Oindica H =
80; para x = 50 indica H = 20, portanto, está cor-
reta.
A equação 7.19a é a solução particular do
nosso problema. Com ela podemos calcular H em
qualquer ponto no solo, sem. fazer uma-medida
direta. Por exemplo, qual o valor de H em x = 10
cm? Aplicando 7.19a temos H = 68 cm H20.
Quanto valerá a densidade de fluxo de água?
dH d
dx = dx (-1,2· x + 80) =
= -1,2 cm H20/cm de solo
Ko' já calculado anteriormente, vale 4,91
cm . dia-I, portanto:
q = - 4,91 x (-1,2) = 5,89 cm· dia:'
A equação 7.19 é denominada de solução ge-
ral. Geral porque os valores de a e b não foram
definidos. Ela, na verdade, representa infinitas
retas e apenas nos diz que Hvaria linearmente ao
longo de x. Já é alguma coisa.
As constantes a e b apareceram em 7.19 por-
que, apesar de escolhida por tentativa, sua origem
está na integração da equação 7.18. Como 7.18 é
uma derivada segunda, foram necessárias duas
integrações e em cada uma delas aparece uma
constante indefinida. Na primeira integração
aparece a e na segunda aparece b.
A determinação das constantes a e b, para
nosso problema particular, transformam a so-
lução geral na solução particular, que é uma reta
bem definida, válida só para o problema da Figu-
ra 7.9. Para isso precisamos das condições de
contorno, já mencionadas:
EmA: x = O cm; H = 80 em H20 (1ª condição)
Em B: x = 50 cm; H = 20 cm H20 (2ª condição)
Como a solução geral é válida para qualquer
x, ela é, também, válida em A e B.Aplicando 7.19
em A e B, temos:
Em A: 80 = a . O + b
Em B: 20 = a . 50 + b
e resolvendo esse sistema de duas equações e duas
incógnitas, temos:
a = -1,2 e b = 80
portanto, a solução particular é:
H = -1,2 . x + 80
Tiago
Realce
o MOVIMENTO DA ÁGUA 169
t h, + Lgo:=--
L
L (L + h.)
potenciais
B
Figura 7.14. Fluxo vertical em solo saturado.
nosso exemplo (equação 7.18) só temos uma de-
rivada parcial de segunda ordem em relação ao
espaço, por isso foram necessárias duas condições
de contorno. Já uma equação do tipo:
A fim de determinar a e b, necessitamos dos
valores HA e HB (condições de contorno):
~ = ---ª- [D (8) ~ 1
éh dX dX
exige uma condição em t (condição inicial) e duas
condições em x (condições de contorno), pois,
apesar de não estar explicito na equação anterior,
eu segundo membro é uma derivada segunda de
8 em relação a x.
Então, substituindo esses valores na solução
geral, teremos:
h, + L = aL + b
O=a·O+b
de onde:
Exemplo 2: Seja agora o caso de fluxo satu-
rado em uma coluna vertical do solo, como indi-
ca a Figura 7.14. A equação diferencial será a
mesma do problema anterior:
b=O
(h, + L)
a=---
L
e a solução particular fica:
ruja solução geral é:
H=a·z+b
H = (hj + L) . z
L
(7.20)
170 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
o gráfico da distribuição de potenciais é
esquematizado na própria Figura 7.14b. Esses grá-
ficos sãodiscutidos no Capítulo 6. O fluxo será:
q = -K oH = -K (h] + L) = -K ~ -K (7.21)
o oz o L o L o
O sinal negativo indica (pela nossa conven-
ção) que o fluxo é de cima para baixo.
Imagine, agora, que com este solo se fez um
experimento variando h, e medindo q na prove-
ta. Os valores obtidos foram para L = 50 em,
mostrados na tabela seguinte.
Logicamente, quanto maior a carga h., maior
o fluxo. Se fizermos o gráfico de q em função de
h, (que, nesse experimento, é uma variável),
obtemos uma linha reta (ver equação 7.21), cujo
coeficiente angular deve ser igual a K.,/L e cujo
coeficiente linear é K; Esse gráfico se acha na
Figura 7.15.
Nessa figura, verifica-se que o coe~ciente li-
near é 0,5 e o angular é:
0,3
tana=- =001
30 '
que é Ko/L= 0,5/50 = 0,0l.
h, (em) q (cm/rnln)
10
20
30
40
1,0
-0,60
-0,71
-0,79
-0,90
._._._._._._._._._._._._._._.;.A- "",._._._._._~
!
!
!
!,
I a. I i
-_._._.- .~.----J --~. o _.-. --i
! ! !
Ko i i
i i
; i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
! !
0,8
Ê
·E 0,6--E
u
'-"
rr 0,4
0,2
10 50° 20 30 40
h. (cm)
Figura 7.15. Determinação de Ko em fluxo saturado vertical.
solo arenoso
-1
~ K, = 0,01 em - s
Figura 7_16_ Dependência linear entre o fluxo e o gradiente dH/dX, em sistema horizontal saturado.
Esse é um método mais preciso de determi-
nar K; O mesmo pode ser feito com uma coluna
horizontal, tal como foi visto no exemplo ante-
rior. Pode-se, também, fazer o gráfico do fluxo q
em função do gradiente de H e, nesse caso, o coe-
ficiente angular é o próprio K; Na Figura 7.16
esse gráfico é apresentado para texturas extremas:
solo arenoso e solo argiloso.
Em um solo de estrutura estável (rígido) a
condutividade hidráulica K, é uma característica
constante do material. A condutividade hidráulica
é, obviamente, afetada pela estrutura e textura do
solo, sendo maior em solo altamente poroso, fra-
turado ou agregado e menor em solos densos e
compactados. A condutividade não depende ape-
nas da porosidade total (a) mas, em especial, das
dimensões dos poros e da atividade das argilas
que os formam.
Por exemplo, um solo arenoso, em geral, tem
condutividade hidráulica maior do que um argi-
loso, apesar do primeiro ter porosidade total me-
nor que o último.
0,01
cr-
o
X
::J
u..
0,005
°
o MOVIMENTO DA ÁGUA 171
Se, para o caso do exemplo da Figura 7.14 ti-
vermos um solo estratificado, com camadas de
diferentes condutividades hidráulicas, logica-
mente a de menor K, limitará o fluxo. Seja o caso
da Figura 7.17.
Como se trata de fluxo em equilíbrio dinâ-
mico, temos:
Se, por exemplo, Kol = Ko2/3, então, oH/oz no
solo 1 tem de ser 3 vezes maior que no solo 2. É o
caso da Figura 7.17,.de um solo mais permeável
(solo 1) acima de um solo menos permeável (solo
2). Invertendo-se a situação, como na Figura 7.18,
na qual o solo menos permeável fica acima, pode
até ocorrer uma sucção (valores negativos de h)
no solo mais permeável situado abaixo.
A maior condutividade do solo 1permite um
fluxo maior que acarreta uma sucção na interface
do solo 2, que pode se estender alguns centíme-
solo argiloso
-4 -1
Ko= 2,5 x 10 em· s,
2 3 4
grad H (em/em)
5
Tiago
Realce
172 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
f--L. --:-.---1--------- ------------------- --------------------.-------.---------
!
!
!
I
I
I
I
I
I
-----------i
!
I
I
I
I
!
:::. .:.. O h,.. . ..
: .. . : . .- Potenciais
Figura 7.17. Fluxo saturado em solo estratificado, sendo a camada superior de condutividade hidráulica
três vezes maior que a camada inferior .
..
...H·2~::";. h,
(- ) (+)O Potenciais
Figura 7.18. Fluxo "saturado" em solo estratificado, sendo a camada superior de condutividade hidráulica
três vezes menor que a camada inferior.
tros no solo 2. Como resultado não se consegue
saturar o solo 1. O gráfico correto de h e, conse-
qüentemente, de H, dependerá de cada arranjo
experimental.
A equação de Darcy não é universalmente
válida para todas as condições de movimento de
fluidos em materiais porosos. Há muito tempo
reconheceu-se que a linearidade das relações flu-
xo-gradiente (Figuras 7.15 e 7.16) falha para va-
lores muito baixos e muito altos de gradiente de
H. Detalhes das limitações da equação de Darcy
podem ser encontrados, entre outros, em Hubert
Ô
6
nível constante
ó \
Figura 7.19. Medida da condutividade hidráulica saturada com piezômetros [ver Klute (1986)].
6
Ó
Ó
a. piezômetro de diferença de
potencial constante
V·L
K, = A. t· i1H
o MOVIMENTO DA ÁGUA 173
(1956), Swartzendruber (1962), Miller & Low
(1963) e Klute (1986).
Os métodos de medida da condutividade hi-
dráulica de solos foram revistos por Klute (1986)
e Reichardt (1996). No laboratório, a condu-
tividade hidráulica saturada émedida em perrneâ-
metros, esquematizados na Figura 7.19, e no
campo, os métodos mais convenientes são os da
cavidade de Luthin (1957) e do piezômetro 'de
Iohnson et al. (1952).
Mais adiante, nos capítulos de aplicações, o
assunto será abordado novamente.
seção
transversal ª
H2 em t2
b. piezômetro de diferença de
potencial variável
K [2,3 a L 1 (I H,)
o = A(t
2
- t,) og H,
1741 SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
Fluxo Não Saturado de
Água no Solo
o fluxo de água denomina-se não saturado
quando ocorre no solo em qualquer condição de
umidade 8 abaixo do valor de saturação (80), A
maioria dos processos que envolvem o movimento
de água no solo, dentro ou fora de uma cultura,
ocorre com o solo em condições não saturadas.
Esses processos de fluxo não saturado são, de ma-
neira geral, complicados e de difícil descrição quan-
titativa. Variações da umidade do solo durante seu
movimento envolvem funções complexas entre as
variáveis 8, H e K ou D, que podem ser afetadas
pela histerese. A formulação e a solução de proble-
mas de fluxo não saturado, muitas vezes, reque-
rem o uso de métodos complexos de análise
matemática e, muitas vezes, requerem técnicas
numéricas aproximadas de computação.
Para o caso do fluxo não saturado, sem a pre-
sença de membranas semipermeáveis, apenas a
componente matricial h e a gravitacional z são
de importância. As equações utilizadas para o
fluxo não saturado são:
80> 8 > O
H=h+z
h = h(8), curva de retenção experimental
com ajuste de modelo
K K(8) ou K(h) experimental com
ajuste de modelo
D = D(8) experimental com ajuste de
modelo
No caso de fluxos horizontais, considerando
como coordenada de posição a variável x, temos:
H=h
ahq =-K(8)-
ax
a8q =-D(8)-
ax
~=~[K(8)~]
at ax ax
~=~[D(8)~]
at ax ax
e para fluxo vertical, temos:
H=h+z
q = -K(8) aH = -K(8) ~ -K(8) =
az az
= -K(8) (~~ + 1)
q = -D(8) aH -K(8)
az
~=~ [K(8) aH]
at az az
~=~[D(8)~+ aK.~]
at az az a8 az
Nas equações anteriores, sempre que conve-
niente, K(8) pode ser substituído por K(h).
Exemplo 1: Consideramos o fluxo não satu-
rado em equilíbrio dinâmico (steady-state), como
o indicado na Figura 7.20. Ele não é saturado
porque o solo encontra-se, em ambas as extre-
midades, sujeito a tensões (sucção ou pressão
negativa). Para iniciar um experimento desse tipo,
o recipiente de água C é levantado acima do ponto
A e, daí, o solo satura-se e tem-se o fluxo saturado.
Em seguida, o recipiente C é abaixado e espera-
se o equilíbrio. A coluna precisa ser perfurada para
permitir a aeração e a evaporação deve ser contro-
lada. No equilíbrio, que demora a ser atingido:
~=O=~[K(h)~]
at ax ax (7.22)
proteção contra evaporação
/". aeração
r;;-=--~-l
~-~~ . ----·-·-·-~z=o
l!!:------~
:.. L ••:
t X!Lx=O
Figura 7.20. Fluxo horizontal não saturado.
Para resolver essa equação, é necessário conhe-
cer K(h) que, normalmente, é determinada de for-
ma experimental. No início do capítulo vimos tipos
exponenciais de K(8) e que podemos, também, terK(h). Imagine, a título de exemplo, que para o solo
em consideração, no intervalo -30 > h > -100 cm
de água, a relação K versus h é dada por:
K(h) = (1-~) cm. h-I
200 (7.23)
Por exemplo, no ponto A, K(-30) = 1 - 30/
200 = 0,85 cm . h-I; no ponto B, K(-100) =
1-100/200 = O,5 cm· h-I e em um ponto onde
h = -70, K(-70) = 1 -70/200 = 0,65 cm . h-I.
Na prática, faz-se um experimento à parte
para determinar K(h). Tendo-se vários valores de
K referentes a cada h, pode-se fazer o gráfico de K
versus h. Por técnicas numéricas pode-se, ainda,
adaptar uma equação aos pontos experimentais
o MOVIMENTO DA ÁGUA 175
100 cm
do gráfico. Esse é o caso da equação 7.23. Subs-
tituindo 7.23 em 7.22, temos:
-ª-- [(1+~) dh] = O
dx 200 dx (7.24)
As derivadas parciais a foram substituídas pe-
las totais (d) porque h é só função de x e não de t.
Precisamos, agora, encontrar a solução de
7.24, observando as condições do problema. Ele
é um pouco mais complicado que no caso do flu-
xo saturado, em que K era uma constante e a equa-
ção diferencial se simplificou em d2H/dx2 =O,cuja
solução é uma linha reta. De qualquer forma,
como 7.24 é uma equação diferencial de segunda
ordem, serão necessárias duas integrações com
relação ax.
J-ª-- [(1+~) dh] dx = Cdx 200 dx I
176 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
em que CI é a 1ª constante de integração. Assim, co-
mo a integral de uma derivada é a própria função:
[(1+~) dh] = C200 dx '
Separando as variáveis, tem-se:
(1+~)dh=C.dx200 '
e, integrando mais uma vez:
J (1 + 2~0) dh = C, f dx + C2
em que C2 é a segunda constante de integração.
f dh + _1_ fhdh=C,f dx +C,
200
h2h+ - =Cx+C
400 ' 2
multiplicando ambos os membros por 400 e adi-
cionando a cada membro (200)2, temos:
Como 400CI e 400C2 são constantes também
e CI e C2 foram incluídas arbitrariamente, elas
podem ser consideradas novas constantes:
Tirando a raiz quadrada de ambos os mem-
bros e rearranjando-a:
(7.25)
A equação 7.25 é a solução geral do proble-
ma. A solução particular é obtida determinando-
se os valores de CI e C2,utilizando as condições de
contorno. Para x = O,h = -30 e para x = L,h = -100,
então:
-30 = - 200 + -/2002 + C, .O+ C2
-100 = - 200 + -/2002 + C,· L + C2
donde:
-18900
C1 = L e C2 = - 11100
e a solução particular fica:
-'-l 18900h = -200 + 40000 - -- - 11100
L
(7.26)
Essa equação nos permite determinar h em
qualquer ponto da coluna (L> x > O). Seu gráfi-
co é apresentado na Figura 7.21 para uma coluna
de solo L = 100 cm. Nessa figura verifica-se que o
gradiente de potencial matricial (dh/ dx) varia ao
longo de x. Pela equação 7.23, verifica-se, também,
que K varia de 0,85 em . h-I a 0,5 cm . h-I ao longo
da coluna. Apesar disso, o fluxo q é uma constan-
te. Isso porque o decréscimo da condutividade é
contrabalanceado por um acréscimo no gradien-
te. Devido a isso, o fluxo q tem de ser calculado
levando-se em conta a coluna toda:
dh
q =-K(h)- dx
Separando as variáveis e integrando:
IL J-lOO ( h)q o dx = - -30 1 + 200 dh
h2 ]-100
q[xl~ = [h + 400 -30
[
(-100)2] [ (_30)2]qL=--100+-- +-30+-- =47,25
400 400
onde q = 0,4725 cm· h-I, para L = 100 cm.
Tiago
Realce
coordenada de posição x (cm)
25 50 75 100o
-30
-40
,-..
O
I
N -50
E
u
'-'
s: -60~
'u
'C.....,
~ -70E
~
'uc -80Q).....,
oc,
-90
-100
Figura 7.21. Distribuição do potencial matricial na coluna de solo do Exemplo 1.
Exemplo 2: Um solo possui condutividade
hidráulica que segue a seguinte equação:
K(h) = 2 . eO,OI.h (em· dia-I) (7.27)
em que e é a base dos logaritmos neperianos. Dois
tensiômetros instalados à mesma profundidade
e distantes entre si 20 em registram: h; = -350
em H20 e hB = -300 em H20. Qual o fluxo de
água entre os tensiômetros?
dh
q =-K(h)-
dx
Substituindo o valor de K (equação 7.27) e
separando as variáveis:
q . dx = -2 . eo,ol' h
e, integrando nos respectivos limites:
o MOVIMENTO DA ÁGUA I 177
120 J-300q dx = - 2 eO.01hdh° -350
20 [ O,Olh ]-300
q[x] = - 2 0,01x e -350
o
em que: q = 3,96 X 10-4 em· dia-I.
Já dissemos que K varia de solo para solo e
que seus valores são determinados experimental-
mente. A solução de problemas do tipo visto nos
dois últimos exemplos depende da função analí-
tica K = K(h). Se esta for muito complicada ou
de determinado tipo, a integração não poderá ser
realizada. Nesse caso, não há solução teórica para
o problema.
As funções K(h), K(8) ou D(8) são, geral-
mente, exponenciais para a maioria dos solos; daí
a integração é possível na maioria dos casos.
Quando não se possui a expressão analítica des-
178 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
sas funções, métodos de análise numérica podem,
ainda, resolver o problema. Uma introdução a mé-
todos numéricos é dada por Reichardt & Godoy
(1972), aplicada à equação de fluxo de água no
solo. Uma análise mais profunda de métodos nu-
méricos pode ser vista em Carnaham et aI. (1969).
Prevedello (1996) apresenta um texto detalhado
em relação à solução de PVc.
Nos dois exemplos vistos anteriormente, o
fluxo é constante, pois tratam-se de casos de equi-
líbrio dinâmico. Apesar de 8 variar com x, 8 não
varia com t (a8/at = O).O caso mais geral é o de
regime transiente, quando o fluxo varia e daí
a8/at *O.Daí, a equação diferencial a ser utiliza-
da ser do tipo da equação 7.17b, cuja solução será
do tipo 8 = 8 (x, t). Esses problemas são, em ge-
ral, muito mais difíceis do ponto de vista mate-
mático e, na maioria das vezes, não é possível
determinar a função de 8 = 8 (x.t). Alguns exem-
plos desse tipo de solução serão abordados, com
detalhe, no Capítulo 11 da parte aplicada deste
volume.
Métodos de laboratório de determinação da
condutividade hidráulica e difusividade foram
descritos e discutidos por Klute (1986). Entre esses
métodos, destaca -se o de Gardner (1956), que es-
tudaremos com mais detalhe a seguir, pois se tra-
ta de um ótimo exemplo de aplicação das
equações vistas até o momento e nos dá uma idéia
do quão complicado pode ser o tratamento ana-
lítico desses problemas.
Nesse momento, é oportuno que o leitor tome
diante de si o trabalho de Gardner (1956). Gard-
ner utiliza-se de uma simbologia pouco diferen-
te nas equações que vimos aqui, mas o leitor deve
reconhecer, imediatamente, suas primeiras equa-
ções. Seu método de determinação de K baseia-
se na câmara de pressão descrita no Capítulo 6.
Consideremos uma amostra de solo de volume
V, seção transversal S e altura L, situada sobre a
placa porosa (ver Figura 6.25). Com uma pressão
P, o sistema encontra-se em equilíbrio e, em se-
guida, no instante t = 0, a pressão na câmara é
elevada de um valor llP e a pressão final será
P, = P, + llP. Esse aumento causa a saída de parte
da água do solo até que um novo equilíbrio seja
estabelecido. Esse é o procedimento adotado para
a determinação da curva de retenção de água no
solo e Gardner teve a idéia de utilizar o mesmo
procedimento para determinar a condutividade
hidráulica, baseando-se no fato de solos mais per-
meáveis atingirem o equilíbrio mais rapidamen-
te. Para esse processo de fluxo transiente de água
que sai do solo por ação de llP, no qual 8 varia no
espaço e no tempo, temos:
a8 =~[K(8) aH]
at az az (7.28)
em que o potencial H é dado por:
H=h+z
Gardner despreza a componente gravitacional
z do potencial da água porque a altura L da amos-
tra é poucos centímetros e, portanto, desprezível.
Isso não quer dizer que z desaparece como coor-
denada de posição. Como h é a própria pressão P,
a equação 7.28 fica:
a8 =~[K(8) ap]
at az az (7.29)
que é a equação (4) do trabalho de Gardner. Essa
equação é não linear e de difícil solução analítica,
pois depende da forma de K(8). Sob certas con-
dições experimentais, pode-se assumir simplifi-
cações que linearizam a equação e tornam possível
uma solução. Gardnerassume que para llP pe-
queno, K pode ser considerado constante duran-
te o processo de extração de água do solo e que a
curva de retenção (característica) do solo pode
ser considerada linear no mesmo intervalo ~P
(Figura 7.22):
K = constante para o intervalo Pf- Pi = M (7.30)
8 (P) = a + b . P,
curva de retenção no intervalo Pf- Pi (7.31)
Nessas condições, diferenciando 7.31 para
obter a8/êh:
ae = -ª- (a + bP) = b ap
at at at
e fazendo as substituições na equação 7.29, tere-
mos:
(7.32)
na qual K é o valor constante médio da curva K(8)
(ver Figura 7.22) no intervalo ~P e que inclui a
constante b, isto é, é um novo K, também cons-
tante, uma vez que b é constante.
O próximo passo é resolver 7.32. A solução
obtida por Gardner foi pelo método clássico das
variáveis separáveis (Prevedello, 1996). Como a
e
linear e = a + bP
I
~P :
~
!
!
!
!
!
I
i
Figura 7.22. Simplificações em Gardner (1956).
o MOVIMENTO DA ÁGUA 179
equação 7.32 possui uma derivada com relação a
t e duas com relação a z, três constantes de inte-
gração aparecerão e, com sua determinação, a so-
lução particular do problema é obtida.
Precisamos, então, de três condições parti-
culares do problema, uma com relação ao tempo
e duas com relação a z; a de condição inicial e as
condições de contorno. A solução de 7.32 será
uma equação do tipo P = P(z, t) e, em razão dis-
so, escreveremos as condições na mesma forma:
lª condição (condição inicial): no início do
experimento (t = O),aplica-se ~P, portanto, para
t = 0, P = ~p.
Assim:
P(z,O) = ~P
ou, há quem escreva essa condição na forma:
P=~P ;z>O;t=O (7.33)
que se lê da seguinte forma: P igual a ~p para
qualquer z maior que zero, no início do experi-
mento.
K
I
I
I
I
I____________.1. i
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
i
i
i1P i
~i
I
i
i
!
!
!
I
P
Tiago
Realce
180 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
2i! condição (condição de contorno): a pres-
são da água do solo na sua superfície inferior (z = O)
é atmosférica, pois está sempre em contato com
a água livre da câmara inferior (ver Figura 6.25).
Assim:
P (O, t) = O
o que significa que P = Opara z = Oem qualquer
tempo t:
P=O ;z=O;t>O (7.34)
3ª condição (condição de contorno): na par-
te superior da amostra do solo (z = L) não há
fluxo de água q, como K não é zero, resta o gra-
diente ser nulo:
e:) =0 (7.35)
Como já dissemos, a equação diferencial 7.32
e as condições 7.33, 7.34 e 7.35 constituem um
PVC que precisa ser resolvido, definindo-se, as-
sim, a solução do problema, que deve ser do tipo
P = P (z, t). Gardner (1956) não apresenta os deta-
lhes dessa solução. Estes podem ser vistos em
Reichardt (1985) e não serão repetidos aqui. É
importante, porém, que o leitor estude os detalhes
matemáticos dessa solução. O resultado final é:
p (z, t) =
4~P ce 1 [ (2n-l;'n' kt ]
=- L --- e 4L .
1t n=I (2n - 1)
pies mente uma função do tipo variáveis separa-
das que nos permite calcular P em qualquer z (ou
ponto na amostra de solo na câmara de Richards)
em qualquer instante t. Por exemplo: se L = 0,4 cm
e quisermos determinar P para z = 0,2 cm e t = 10 s,
isto é, calcular P (0,2; 10), é necessário aplicar es-
ses valores de z e t em 7.36, para n variando de 1
a 00 e, depois, somar todos os resultados. É um
trabalho enorme, possível, apenas, com compu-
tadores. Acontece, porém, que o somatório da
equação 7.36 é rapidamente convergente e não é
necessário variar n bastante. Em alguns casos, dois
a três valores de n são suficientes, isto é, n = 1,2 e
3. Isso significa que a contribuição no somatório
é desprezível para termos de n > 4 e o problema
se simplifica. Nem sempre isso é verdade.
Entendida a equação 7.36, vamos substituí-Ia
em 7.31 para obter a variação da umidade do solo
em função de tez:
8=a+
4~P ~ 1 [ (2n - l),'n' kt ]
+- b L e 4L' .
rt n=I(2n-1)
[
(2n-l)1tZ]
. sen 2L
(7.37)
que é uma função do tipo 8 = 8(z, t).
O conteúdo total de água da amostra W(t) é o
produto do armazenamento de água AL(t), visto
no Capítulo 3, pela seção transversal S da amostra:
W(t) = Sr 8 dz
[
(2n - 1) 1tZ]
. sen 2L
(7.36) pois a integral de 8.dz dá em H20, que multi-
plicada por S em', resulta em W crrr' de água .
Assim:
em que n é um número inteiro que varia de 1 a
00, isto é, n = 1,2,3, ,00.
A equação 7.36 é a equação (9) em Gardner
(1956). Façamos uma discussão sobre ela. A equa-
ção parece complicada, mas, na realidade, é sim-
IL{ 4M ee 1W(t) = S a + - b L (2 -1)'o 1t n=I n
[
(2n-l;'n'kt][ (2n -1) 1tZ]}
. e 4L sen dz
2L
Tiago
Realce
Tiago
Realce
o resultado dessa integral é:
_ 8b~PV = 1 [ -(2n~~;'n'kt1
W(t)-aV+~ ~l (2n-1)2 e
o conteúdo inicial de água em t = O,será:
W(O) = aV + bV~P
pois e = 1 e
= 2L (2n-1)-2 == ~
n=I 8
o volume final de água em t = 00,isto é, no
equilíbrio final, será:
W(oo)=aV
pois e-== O.
A quantidade total ~W (00)de água que sai do
solo ao se aplicar ~P e esperar o novo equilíbrio é:
~W(oo) = W(O) - W(oo) = bV~P
e, então, podemos determinar o valor de b, pois a
curva de retenção assumida no início não é co-
nhecida ainda.
b= fJ.W(oo)
VfJ.P
Por outro lado, a quantidade de água que saiu
até um instante t, igual à ~W(t), será:
~W(t) = W(O) - W(t)
ou então:
= 1 -(2n - l)'n' kt
W(t) = W(oo) [1- :2 ~l (2n _1)2 e 4L' 1
Como este somatório também é rapidamente
convergente, Gardner desprezou a contribuição dos
termos com n > 1 e a equação se simplificou em:
o MOVIMENTO DA ÁGUA 181
W(t)=W(00)[1-:2 e-:~:tl
que rearranjando e aplicando logaritmo natural
a ambos os membros, resulta em:
ln [W(t) _ W( 00)1 = ln 8W (00) _ n
2
Kt
n2 4e (7.38)
A equação 7.38 mostra-nos que o gráfico do
logaritmo da diferença W(t) - W( 00),em função
do tempo, é linear e que K pode ser calculado a
partir do coeficiente angular ~. Basta, então, me-
dir W de, tempos em tempos, W( 00)que, na prá-
tica, é obtido entre dois e sete dias e fazer o gráfico
na Figura 7.23.
Lembrando que em 7.32, K inclui b, que é
igual a ~W( oo)/V . ~P, temos:
K= 4L'~W(oo)tan~
«» fJ.p
Este valor de K é para um intervalo ~P (veja
Figura 7.22) e a mesma operação é repetida para
os demais intervalos, obtendo-se assim a curva
completa.
Gardner (1956) obteve bons valores de K por
esse método. Já Bruce & Klute (1956) apresentam,
também, um importante método de determinação
de difusividade hidráulica no laboratório. Esse
método será apresentado nos capítulos da parte
aplicada, porque ele depende da teoria do processo
de infiltração de água no solo, que será visto com
detalhe naqueles capítulos. Isso também acontece
com os métodos de determinação da condutivi-
dade hidráulica no campo, propostos por Rose et
al. (1965), Gardner (1970), Hillel et al. (1972),
Libardi et al. (1980) e Sisson et al. (1980).
Esse exemplo detalhado do método de Gard-
ner foi aqui apresentado com o propósito de
mostrar ao leitor que a solução de equações dife-
renciais é assunto complicado para quem não é
182 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
In[W(t) - W (-)] /
8 W (00)
2
Te
Figura 7.23. Cálculo de K, segundo Gardner (1956).
matemático. A solução dada pela equação 7.36,
apresentada com mais detalhe em Reichardt
(1985), exige conhecimento profundo sobre
equações diferenciais e, na maioria dos casos, é
preciso procurar ajuda com colegas dessa área
de ciências exatas. O importante é que o interes-
sado em ciência do solo entenda a "filosofia" do
processo e não se preocupe com os detalhes ma-
temáticos. Ele deve reconhecer o "problema de va-
lor de contorno PVC", que no presente caso
constitui-se da equação diferencial 7.32, sujeita
às condições 7.33, 7.34 e 7.35, com sua solução
7.36. A maioria dos trabalhos científicos publica-dos não apresenta detalhes de solução, mas o lei-
tor precisa compreendê-Ias. Um livro texto mais
voltado para a matemática das soluções é o de
Prevedello (1996), cuja leitura é recomendada.
Com o avanço da informática, atualmente há pro-
gramas que resolvem equações diferenciais. Eles
têm um banco das soluções clássicas, já conheci-
das, de um grande número de equações diferen-
ciais e, caso nenhuma sirva, ele procura uma
solução via processos numéricos. O interessado
entra com a equação diferencial e o computador
t
apresenta a solução ou indica a impossibilidade
de sua obtenção. Um programa desse tipo é o
"Maple V" que, freqüentemente, é apresentado em
novas versões.
MOVIMENTO DA ÁGUA NA
PLANTA E NA ATMOSFERA
Da mesma forma como discutimos para o
caso da água do solo, a água na planta encontra-
se em equilíbrio quando seu potencial total 'I' for
o mesmo em todos os pontos do sistema:
Aqui, como há membranas semipermeáveis,
utiliza-se 'I', que inclui a componente osmótica e
não H, que não a inclui.
Quando há diferença de potencial entre dois
pontos, haverá movimento de água. O fluxo de água
pode também ser descrito pela equação de Darcy
(equação 7.3), substituindo H por 'I'.Os fisiologistas
vegetais, porém, apresentam essa equação de forma
diferente, dada a dificuldade de medir gradientes
de potencial dentro da planta e, também, no siste-
ma solo-planta-atmosfera como um todo.
Se na equação 7.13 substituirmos H por 'I' e
K por 1/r, em que r é uma resistividade hidráuli-
ca, teremos:
o'I' 1 o'I'q=-K-=---ox r ox (7.39)
As dimensões de K e r dependem das unida-
des utilizadas para q e 'I'. A densidade de fluxo é,
em geral, expressa em volume por unidade de área
e unidade de tempo, resultando m/s, cm/s, mml
dia, etc. Se 'I' for expresso em carga hidráulica,
em de H20, o grad 'I' fica adimensional e K terá
as mesmas unidades de q, isto é,m/s, cm/s ou mml
dia. Logicamente, a resistividade terá unidades
inversas, sim, s/cm ou dia/mm.
Se escrevermos 7.13 em forma de diferenças
finitas, teremos:
e, como Ax (caminho percorrido pela água den-
tro da planta) é tortuoso e difícil de ser medido,
ele pode ser incorporado em K ou r, resultando
uma condutância ou uma resistência. Assim, os
fisiologistas utilizam a equação 7.13 na forma:
~'I'
q=--
R
sendo R = r . Ax
Logicamente, as unidades de R serão
(sim). m = s.
Na literatura, este assunto de unidades de re-
sistência é confuso. Um texto de referência para
a questão é o de Nobel (1983). Angelocci (2002)
também discute essas equações.
Em essência, a resistividade r (s . m') é uma
propriedade pontual do meio que está transmi-
tindo a água (da mesma forma como a resisti-
o MOVIMENTO DA ÁGUA I 183
vida de do cobre é uma propriedade pontual do
meio cobre, para a transmissão de eletricidade).
A resistência R (s) é uma propriedade de uma "ca-
mada" de espessura fuc (assim como a resistência
elétrica de um condutor depende de suas dimen-
sões, mesmo que seja de cobre).
A combinação da equação de Darcy com a
equação da continuidade a fim de estudar varia- _
ções no teor de água na planta, como foi feito para
o caso do solo, em geral não é feita. Isso porque
as variações do teor de água na planta são relativa-
mente pequenas, podendo-se considerar o fluxo
saturado, isto é, oS/ot =o. A água perdida por
transpiração é reposta pela absorção radicular.
O fluxo de vapor na atmosfera é descrito, tam-
bém, por equação semelhante à de Darcy. O fe-
nômeno, porém, é mais complicado, pois o
vapor move-se em decorrência dos gradientes de
potencial 'I' e, também, devido à turbulência at-
mosférica (ventos). Na verdade, a equação se tor-
na empírica e utiliza-se um coeficiente K, que
inclui todos os processos de transferência do va-
por. Neste caso a equação é:
para a direção vertical, q vem a ser um fluxo mé-
dio.
O estudo da transferência de vapor na atmos-
fera é bastante complexo e não será visto em de-
talhe aqui. Rose (1966) apresenta um bom resumo
desse estudo. Na atmosfera, os movimentos são
turbulentos em virtude da presença do vento e o
transporte de água na forma de vapor se torna
bastante complexo, envolvendo a definição de
perfis de vento, que são gráficos da velocidade do
vento u em função do logaritmo da altura z, den-
tro e acima de um dossel vegetal. Rosenberg et al.
(1983) abordam o assunto em detalhe. No Capí-
tulo 14 voltaremos ao estudo desses fluxos no sis-
tema solo-planta-atmosfera.
184 I SOLO, PLANTA EATMOSFERA
MOVIMENTO DE ÁGUA
EM CANAIS ABERTOS
E TUBULAÇÕES
Esse tema é mais voltado para a Hidráulica,
mas como ele faz parte do manejo da água em
agricultura, sobretudo na irrigação, faremos uma
introdução ao assunto. Nos casos anteriores, de
movimento da água no solo e na planta, a ve-
locidade v da água, isto é, sua energia cinética
E, = mv2/2, não foi levada em conta pelo fato de v
ser muito pequeno. Já em canais abertos e tu-
bulações, E, não pode ser desprezada.
Da mesma forma como fizemos para o poten-
cial da água (Capítulo 6), vamos expressar as ener-
gias em termos de alturas ou cargas hidráulicas,
isto é, energia por unidade de peso. Nesse caso,
três energias são as mais importantes:
Energia potencial =
mgh = h, (rn): altura geométrica;
mg
Energia de pressão =
PV P h ( ) 1 . "-- = -y = m : atura píezométríca,
mg P
Energia cinética =
2 2
mv v h ( ) ai ., .-- = - = em: tura cmetíca,
2mg 2g
em que y é o peso específico da água.
Na tubulação esquematizada na Figura 7.24,
a energia total precisa ser conservada, mas uma
forma de energia pode ser transformada em ou-
tra. A equação de Bernouille expressa essa conser-
vação para quaisquer pontos no sistema:
Exemplo: Ponto 1 com coordenadas h., PI e VIe
Ponto 2 (h2, P2, v2).
Já vimos no início deste capítulo que nessa si-
tuação as vazões são iguais QI = Oz e que, quando a
seçãotransversalvaria, asvelocidadesda água sãodife-
rentes.Assim,em termos de energia por peso, temos:
h Pi v~ h P2 vi+-+-= +-+-
i Y 2g 2 Y 2g
(7.40)
Exemplo 1: Se PI = 200.000 Pa; h, = 100 m; VI=
5 m/s; P2 = 300.000 Pa; h, = 10 m, qual a veloci-
dade V2considerando y = 1000 kg· m? x 10m . S-2
= 10.000 N . m' e g = 10 m· S-2.
Solução
200.000 (5)2 300.000 vi
100+ +--= 10+ +--
10.000 2 x 10 10.000 2 x 10
2donde V2 = 1625 e V2= 40,3 m/s.
Exemplo 2: Qual a velocidade da água que sai de
um orifício no fundo de um recipiente com altu-
ra de água h? (Ver Figura 7.25)
Solução:
Ponto 1: h, = h; PI = Patm; VI= O;
Ponto 2: h, = O; P2 = Patm; v2 =?
P P v2h +~ +0=0+~+_2
i Y Y 2g
vi = 2gh e V2= ~ 2gh
Os pontos 3 e 4 foram incluídos na Figura
7.25 para que se pudesse visualizar melhor o con-
ceito de altura piezométrica, que em 3 é igual à
coluna de água h, - h, e em 4, h, - h.,
As aplicações da equação de Bernoulli são nu-
merosas e seu estudo é parte da Mecânica dos Fluí-
dos, abordada pela Hidráulica ou Hidrodinâmica.
Assim, no aproveitamento da água de uma bar-
ragem para produção de energia elétrica, a velo-
o MOVIMENTO DA ÁGUA 185
cidade da água e a vazão são de importância fun-
damental para a rotação da turbina. É o caso clás-
sico de transformação de energia potencial em
energia elétrica, passando pela cinética. Na prá-
tica, entram as forças dissipativas de atrito, entre
a água e as paredes do tubo e entre as próprias
moléculas de água, o que é medido pela visco-
sidade. Há, portanto, perdas de carga ao longo de
tubulações, como é o caso da irrigação por asper-
são, que precisam ser consideradas.
h2
_._.~._.- referência
gravitacional
Figura 7.24. Esquema de tubulação com água.
~
.4: l'·-"·~-·--~-r-
h, h3 h,
v
2
-;;(14:;....-- _&_2_·_~_1_1_J__referência
4
6
gravitacional
Figura 7.25. Recipiente com orifício no fundo.
186 I SOLO, PLANTA E ATMOSFERA
EXERCíCIOS
7.1. Por meio de uma seção transversal de

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