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Apostila   Madeira   UFPR   Cap. 4   Solicitações nas Barras das Estruturas de Madeira   Exercícios

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EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP444 
SSSOOOLLLIIICCCIIITTTAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS NNNAAASSS BBBAAARRRRRRAAASSS DDDAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
 
EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: 
Exercício 4.1 : Elemento tracionado : Verificar a condição de segurança da barra tracionada 
de uma tesoura de madeira indicada nas figuras : 
1- Conífera pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Parafusos = 3/8”, com furo prévio de 10 mm de 
diâmetro. 
3- Dimensões indicadas em centímetros. 
4- Critério da NBR-7190 / 1997. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 3 kN (permanente), e NQk = 8 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Td = 1,4 x (TGk + TQk) = 
1,4 x (3 + 8) = 15,4 kN 
Determinação da área livre : 
Aliv =     2cm400,1.210.5,2.2  
c) Verificação da condição de segurança : 
d,0t
*
livre
d
d,0t f5,1.A
T
 ; 2d,0t
*
d,0t cm
kN2,1f58,05,1.
40
4,15
 Verifica ! 
* Considera-se, na prática, em casos correntes, uma majoração de 50% no valor do 
esforço normal, ao invés de considerar a excentricidade atuante, por conta do fato de 
Seção Elevação 
5 2,5 2,5 4 3 3 
Nk Nk 
Planta 
10 
Elevação 10 
1 
1 
2,5 
2,5 
5 
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que a peça é dupla. A consideração da excentricidade levaria a verificação para o caso 
de flexo-tração. Isto é desnecessário nas aplicações correntes, visto que os efeitos da 
mesma são de pequena intensidade. 
Se, no entanto, ao fazer a verificação da condição de segurança, são atingidos valores 
próximos do limite, convém refazê-la, através do critério de flexo-tração. 
 
 Exercício 4.2 : Elemento comprimido (peça curta) e Compressão normal às fibras : 
Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras : 
1- Dicotiledônea, pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Reação de apoio : R ; Rk = RGk + RQk ; 
 RGk = 2 kN (permanente), e RQk = 15 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 1,2 kN/cm2 ; 
fc90,d = 0,25 . fc0,d = 0,25 . 1,2 = 0,3 kN/cm2 ; 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Rd = Nd = 1,4 x (RGk + RQk) = 1,4 x (2 + 15) = 23,8 kN ; 
 
c) Verificação da peça vertical (elemento comprimido : peça curta) : 
c.1) grau de esbeltez : 
imin = iX = iY = cm44,15.5
12
5.5
A
I
3
X  ; 35
44,1
50
i
L
MIN
0
MAX  ; 
a peça é curta : 40 . 
c.2) verificação da segurança : 
d,0c
d
Ndd,0c fA
N
 (equação 4.3) : 
R 
peça 5x5 
50 5 10 
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2
d,0c
2
d,0c cm/kN2,1fcm/kN95,05.5
8,23
 verifica ! 
 
d) Verificação da peça horizontal (compressão normal às fibras) : 
d,90c
d
d,90c fA
N
 e nd,0cd90,c .f.25,0f  (equações 4.17 e 4.18) : 
 n = 1,3 para c = 5 cm (tabela 19) 
2d
d,90c cm/kN39,03,1.2,1.25,095,0A
R  Não verifica ! 
Solução : aumentar a seção da peça vertical para diminuir as tensões de contato. (ver 
exercício proposto 4.29. 
 
 Exercício 4.3 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) : Verificar a condição 
de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras, submetida ao esforço 
de compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Normal : Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 8 kN (permanente), e NQk = 20 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = 1,37 kN/cm2 , e Ec0,ef = 1.009,6 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (8 + 20) = 39,2 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
IX = 12
10.5,7 3 = 625 cm4 ; 
Y 
X 
 Seção 
 Transversal 
10 
7,5 
S S 
Nk 
Nk 
L = L0 = 150 cm 
c = 5 
R 
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IY = 12
5,7.10 3 = 352 cm4 ; 
IMIN = IY ; 
imin = iY = cm17,210.5,7
352
A
IY  ; 
69
17,2
150
i
L
MIN
0
MAX   a peça é medianamente esbelta : 8040   . 
 
d) Determinação de Md (equações 4.6 a 4.11) : 
cm25,0
30
5,7
30
h0
2,39
0
N
Me Y
d
d1
i  ; 
cm5,0
300
150
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 0,25 + 0,50 = 0,75 cm ; 
kN156
150
352.6,1009.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 
 ; 
002,1
2,39156
156.75,0
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
Md = Nd . ed = 39,2 . 1,002 = 39,3 kN.cm . 
 
e) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN52,010.5,7
2,39
A
N
 ; 
2
22
d
Md cm/kN42,0
6
5,7.10
3,39
6
h.bW
M





 
 . 
 
f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
0,169,0
37,1
42,0
37,1
52,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 
 Verifica ! 
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 Exercício 4.4 : Elemento comprimido (peça esbelta) : Verificar a condição de segurança do 
pilar de madeira indicado nas figuras, submetido ao esforço de compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, de Itaúba. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 5 kN (permanente), 
e NQk = 15 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 2,21 kN/cm2 , e 
Ec0,ef = 1.266,3 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 15) = 28 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = 280 cm) : 
IX = 12
10.5 3 = 417 cm4 ; iX = cm89,210.5
417
A
IX  ; 97
89,2
280
i
L
X
X
X  . 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 160 cm) : 
IY = 12
5.10 3 = 104 cm4 ; iY = cm44,110.5
104
A
IY  ; 111
44,1
160
i
L
Y
Y
Y  . 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
111YMAX   ; a peça é esbelta : 14080   . 
Apesar de que relativamente ao eixo Y, o comprimento de referência é menor 
(160 cm), seu grau de esbeltez é superior. 
 
d) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
10 
5 
160 
120 
Y 
X 
 Seção 
 Transversal 
10 
5 
Nk 
L = 280 
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cm17,0
30
5
30
h0
28
0
N
Me Y
d
d1
i  ; cm53,0300
160
300
Le 0a  ; 
kN8,50
160
104.3,1266.
L
I.E.
F 2
2
2
0
Yef,0c
2
E 
 ; = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 5 kN ; NQk = 15 kN ;  1 = 0,3 ;  2 = 0,2  
  
  qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c




 = 
  
   261,015.2,03,058,50
15.2,03,05.8,0


 ; 
  