7ª Lista-Transformações Lineares, Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Álgebra Linear - Engenharia Civil
Sétima Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Transformações Lineares, Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
Exercício 1: Dentre as transformações lineraes definidas abaixo, verifique quais delas é
transformação linear.
a) T : R2 → R2; T (x, y) = (y − x, 0) (Resp.: Sim)
b) T : R2 → R2; T (x, y) = (senx, y) (Resp.: Não)
c) T : R→ R2; T (x, y) = (x, 2) (Resp.: Não)
d) T : R3 → R; T (x, y, z) = −3x+ y − z (Resp.: Sim)
e) T : M(2, 2)→ R2; T
([
a b
c d
])
= (a− c, b+ c). (Resp.: Sim)
Exercício 2:
a) Determinar a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1,−1, 0) = (1, 1),
T (0, 0, 1) = (2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3). (Resp.: T (x, y, z) = (−y + 3z,−y + 3z))
b) Achar T (1, 0, 0) e T (0, 1, 0). (Resp.: T (1, 0, 0) = (0, 0) e T (0, 1, 0) = (−1,−1))
Exercício 3: Determinar a transformação linear T : P2 → P2 tal que T (1) = x, T (x) = 1−x2
e T (x2) = x+ 2x2. Resp.: T (a+ bx+ cx2) = b+ (a+ c)x+ (2c− b)x2
Exercício 4: Em cada item determinar:
I) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão. T é injetora?
II) a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
a) T : R2 → R2; T (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
Resp.: I) N(T ) = (x, 3x)/x ∈ R, dimN(T ) = 1; T não é injetora;
II) Im(T ) = {(−y, y)/y ∈ R}, dimIm(T ) = 1; T não é sobrejetora
b) T : R3 → R3; T (x, y, z) = (x− y − 2z,−x+ 2y + z, x− 3z)
Resp.: I) N(T ) = (3z, z, z)/z ∈ R, dimN(T ) = 1; T não é injetora;
II) Im(T ) = {(x, y, z) ∈ R3/2x+ y − z = 0}, dimIm(T ) = 2; T não é sobrejetora
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c) T : P1 → R3; T (a+ bt) = (a, 2a, a− b)
Resp.: I) N(T ) = 0, dimN(T ) = 0; T é injetora;
II) Im(T ) = {(a, 2a, c)/a, c ∈ R}, dimIm(T ) = 2; T não é sobrejetora
d) T : R2 → R2; T (x, y) = (x− 2y, x+ y)
Resp.: I) N(T ) = 0, dimN(T ) = 0; T é injetora;
II) Im(T ) = R2 dimIm(T ) = 2; T é sobrejetora
Exercício 5: Seja T : R4 → R3 a transformação linear tal que T (e1) = (1,−2, 1), T (e2) =
(−1, 0,−1), T (e3) = (0,−1, 2), e T (e4) = (1,−3, 1), sendo {e1, e2, e3, e4} a base canônica do R4.
a) Determinar o núcleo e a imagem de T.
(Resp.:N(T ) = {(3y, y, 0,−2y)/y ∈ R e Im(T)=R3)
b) Determinar bases para o núcleo e a imagem.
c) Verificar o Teorema da dimensão.
Exercício 6: Seja T : V →W linear. Mostrar que:
a) T (−u) = −T (u)
b) T (u− v) = T (u)− T (v)
Exercício 7: Consideremos o operador linear T : R3 → R3 definido por: T (x, y, z) =
(x+ 2y + 2z, x+ 2y − z,−x+ y + 4z).
a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T (u) = (−1, 8,−11). (Resp.:u = (1, 2,−3))
b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = v. (Resp.:v = (2z,−z, z), z ∈ R)
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