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8ªLista-Matriz de uma transformação linear, transformações lineares no plano

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Álgebra Linear - Engenharia Civil
Sétima Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Matriz de uma transformação linear, transformações lineares no plano
Exercício 1: Considere a transformação linear T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) =
(2x+ y− z, x−2y) e as bases A{(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do R2.
Determinar [T ]AB. Resp.:
[ −2 −3 0
3 3 2
]
Exercício 2: Seja [T ] =
 1 −22 0
−1 3

a matriz canônica de uma transformação linear T :
R2 → R3. Se T (v) = (2, 4,−2), calcular v. Resp.: v = (2, 0)
Exercício 3: Seja T : R3 → R2 tal que [T ]B1B2 =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
, sendo
B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2, respectivamente.
a) Encontrar a expressão de T (x, y, z). Resp.: T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y)
b) Determinar Im(T ) e uma base para este subespaço. Resp.: Tm(T ) = R2
c) Determinar N(T ) e uma base para este subespaço. Resp.: N(T ) = [(1, 1, 2)]
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justificar. Resp.: T não é injetora e T é sobrejetora.
Exercício 4: Seja T : R2 → R2 definida por [T ] =
[
1 3
−1 5
]
. Determinar os vetores u, v e
w tais que:
a) T (u) = u. Resp.: u = (0, 0)
b) T (v) = 2v Resp.: v = y(3, 1)
c) T (w) = (4, 4) Resp.: w = (1, 1)
1
Exercício 5: Sejam as transformações lineares T1 : R2 → R3, T1(x, y) = (x−y, 2x+y,−2x)
e T2 : R2 → R3, T2(x, y) = (2x − y, x − 3y, y). Determinar as seguintes transformaçòes lineares
de R2 em R3 :
a) T = T1 − T2 Resp.: T (x, y, z) = (−x, x+ 4y,−2x− y)
b) S = 3T1 − 2T2 Resp.: S(x, y, z) = (−x− y, 4x+ 9y,−6x− 2y)
Exercício 6: Sejam as transformações lineares S : R3 → R4, S(x, y, z) = (x+y, z, x−y, y+z)
e T : R2 → R3, T (x, y) = (2x+ y, x− y, x− 3y).
a) Calcular SoT. (a aplicação composta de S com T - obs: fazer analogamente à compo-
sição de funções reais) Resp.: SoT (x, y, z) = (3x, x− 3y, x+ 2y, 2x− 4y)
b) Determinar a matriz canônica de SoT e mostrar que ela é o produto da matriz canônica
de S pela matriz canônica de T. Resp.: [SoT ] =

3 0
1 −3
1 2
2 −4
 = [S].[T ]
Exercício 7: Os pontos A(2,−1) e B(−1, 4) são vértices consecutivos de um quadrado.
Calcular os outros vértices utilizando matriz de rotação. Resp.: (4, 7) e (7, 2) ou (−6, 1) e
(−3,−4)
Exercício 8: Determinar em cada caso a matriz da transformação linear de R2 em R2 que
representa a sequência de transformações dadas:
a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção
horizontal. Resp.:
[ −1 5
0 1
]
b) Rotação de 30o no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e inversão
dos sentidos. Resp.:
[ −√3 −1
1 −√3
]
c) Reflexão em torno da reta y = −x, seguida d euma dilatação de fator 2 na direção Ox
e, finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direçào vertical. Resp.:
[
0 −2
−1 −6
]
Exercício 9: O vetor v = (3, 2) experimenta sequencialmente:
i) Uma reflexão em torno da reta y = x;
ii) Um cisalhamneto horizontal de fator 2;
iii) Uma contração na direção Oy de fator 13 ;
iv) Uma rotação de 90o no sentido anti-horário.
2
a) Calcular o vetor resultande dessa seguência de operações. Resp.: (−1, 8)
b) Encontrar a expressão da transformação linear T : R2 → R2 que representa a com-
posta das quatro operações. Resp.: T (x, y) = (−13x, 2x+ y)
c) Determinar a matriz canônica da composta das quatro operações.
Resp.: [T ] =
[ −13 0
2 1
]
3

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