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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - Votuporanga Álgebra Linear - Engenharia Civil Sétima Lista de Exercícios 2o semestre - 2014 Professora Elen Cristina Mazucchi . Matriz de uma transformação linear, transformações lineares no plano Exercício 1: Considere a transformação linear T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (2x+ y− z, x−2y) e as bases A{(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do R2. Determinar [T ]AB. Resp.: [ −2 −3 0 3 3 2 ] Exercício 2: Seja [T ] = 1 −22 0 −1 3 a matriz canônica de uma transformação linear T : R2 → R3. Se T (v) = (2, 4,−2), calcular v. Resp.: v = (2, 0) Exercício 3: Seja T : R3 → R2 tal que [T ]B1B2 = [ 1 0 −1 −1 1 1 ] , sendo B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2, respectivamente. a) Encontrar a expressão de T (x, y, z). Resp.: T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y) b) Determinar Im(T ) e uma base para este subespaço. Resp.: Tm(T ) = R2 c) Determinar N(T ) e uma base para este subespaço. Resp.: N(T ) = [(1, 1, 2)] d) T é injetora? T é sobrejetora? Justificar. Resp.: T não é injetora e T é sobrejetora. Exercício 4: Seja T : R2 → R2 definida por [T ] = [ 1 3 −1 5 ] . Determinar os vetores u, v e w tais que: a) T (u) = u. Resp.: u = (0, 0) b) T (v) = 2v Resp.: v = y(3, 1) c) T (w) = (4, 4) Resp.: w = (1, 1) 1 Exercício 5: Sejam as transformações lineares T1 : R2 → R3, T1(x, y) = (x−y, 2x+y,−2x) e T2 : R2 → R3, T2(x, y) = (2x − y, x − 3y, y). Determinar as seguintes transformaçòes lineares de R2 em R3 : a) T = T1 − T2 Resp.: T (x, y, z) = (−x, x+ 4y,−2x− y) b) S = 3T1 − 2T2 Resp.: S(x, y, z) = (−x− y, 4x+ 9y,−6x− 2y) Exercício 6: Sejam as transformações lineares S : R3 → R4, S(x, y, z) = (x+y, z, x−y, y+z) e T : R2 → R3, T (x, y) = (2x+ y, x− y, x− 3y). a) Calcular SoT. (a aplicação composta de S com T - obs: fazer analogamente à compo- sição de funções reais) Resp.: SoT (x, y, z) = (3x, x− 3y, x+ 2y, 2x− 4y) b) Determinar a matriz canônica de SoT e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T. Resp.: [SoT ] = 3 0 1 −3 1 2 2 −4 = [S].[T ] Exercício 7: Os pontos A(2,−1) e B(−1, 4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros vértices utilizando matriz de rotação. Resp.: (4, 7) e (7, 2) ou (−6, 1) e (−3,−4) Exercício 8: Determinar em cada caso a matriz da transformação linear de R2 em R2 que representa a sequência de transformações dadas: a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal. Resp.: [ −1 5 0 1 ] b) Rotação de 30o no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e inversão dos sentidos. Resp.: [ −√3 −1 1 −√3 ] c) Reflexão em torno da reta y = −x, seguida d euma dilatação de fator 2 na direção Ox e, finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direçào vertical. Resp.: [ 0 −2 −1 −6 ] Exercício 9: O vetor v = (3, 2) experimenta sequencialmente: i) Uma reflexão em torno da reta y = x; ii) Um cisalhamneto horizontal de fator 2; iii) Uma contração na direção Oy de fator 13 ; iv) Uma rotação de 90o no sentido anti-horário. 2 a) Calcular o vetor resultande dessa seguência de operações. Resp.: (−1, 8) b) Encontrar a expressão da transformação linear T : R2 → R2 que representa a com- posta das quatro operações. Resp.: T (x, y) = (−13x, 2x+ y) c) Determinar a matriz canônica da composta das quatro operações. Resp.: [T ] = [ −13 0 2 1 ] 3
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