Prova de Fundamentos da Transmissão de Calor

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NÚMERO SEQUENCIAL (LISTA DE PRESENÇA) >> 
DISC: Nº ME4120 - FUND. DA TRANSMISSÃO DE CALOR P1 DATA: 25/09/14 [15h50min] 
NOME: GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: 
 
- Prova SEM consulta; - É PROIBIDO empréstimo de material; 
- Tempo de prova 80 minutos; - Resolva e responda no LOCAL INDICADO; 
- A INTERPRETAÇÃO FAZ PARTE DA PROVA; - Resultados sem justificativa serão ANULADOS; 
- É permitido o uso de UMA calculadora científica SIMPLES (é proibido o uso de alfanuméricas); 2222º º º º SEM/SEM/SEM/SEM/11114444 
 
 
[Ex.1 – valor 3,5 pontos] Uma tubulação horizontal de diâmetro externo de 25 mm transporta vapor 
saturado seco a uma pressão de 198530 Paabs. A tubulação atravessa o interior de um longo galpão 
industrial que tem temperatura do ar e das paredes internas iguais a 20°C. A tubulação conta com 
isolamento térmico em sua superfície externa que, em um acidente foi completamente arrancada em um 
trecho de 25 m de tubo. Estime a vazão em massa condensada de vapor no trecho de 25 m sem 
isolamento. Adote: Regime permanente, coeficiente de transferência de calor por convecção (superfície 
externa do tubo – ar) de 100 W/m²K, emissividade da superfície do tubo igual a unidade, resistência à 
convecção interna e à condução na parede do tubo desprezíveis. De uma tabela de saturação para a água 
sabe-se: 
 
T (ºC) P (MPaabs) vl (m3/kg) vV (m3/kg) hl (kJ/kg) hv (kJ/kg) sl (kJ/kg.K) sv (kJ/kg.K) 
120 0,19853 0,001060 0,8919 503,69 2706,3 5,6020 7,1295 
 
Resolução: 
 
 
Realizando o balanço de energia [ECE ou 1a. Lei da Termodinâmica] na tubulação de 25 mm de 
diâmetro e 25m de comprimento [para regime permanente]: 
( )
_ _
_ _
_ _ _ _
0
:
0
entrada V condensado saida L vapor saida V conv rad
entrada condensado saida vapor saida
condensado saida vapor saida V condensado saida L vapor saida V conv rad
co
m h m h m h q q
Como m m m
m m h m h m h q q
m
− ⋅ − ⋅ − − =
= +
+ − ⋅ − ⋅ − − =
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ( )_
conv rad
ndensado saida
V L
q q
h h
+
=
−
 
 ( )
( )
Wq
q
TTLdhq
conv
conv
Sconv
19635
20120251025100 3
=
−⋅⋅×⋅⋅=
−⋅⋅⋅⋅=
−
∞
pi
pi
 
 ( )
( )
Wq
q
TTLdq
rad
rad
vizSrad
1835
29339312510251067,5 4438
44
=
−⋅⋅⋅×⋅⋅×=
−⋅⋅⋅⋅⋅=
−− pi
εpiσ
 
 
( )
3
_
19635 1835 9,75 10 /
2706300 503690
conv rad
condensado saida
V L
q q
m kg s
h h
−
+ +
= = = ×
− −
ɺ
 
sgm /75,9=ɺ 
 
 
 
Nº 
 
 
[Ex.2 – valor 2,0 item a + 1,5 item b] Um escritório de engenharia foi contratado para determinar a taxa 
de transferência de calor em um dispositivo semelhante a um tronco de cone reto (figura (a)) com 
superfície lateral isolada (superfície curva completamente isolada). Determine, admitindo regime 
permanente, ausência de geração interna de calor e transferência de calor quase-unidimensional: 
a) Qual é a taxa de transferência de calor através da peça em formato de tronco de cone; 
b) Um engenheiro sugeriu em uma simplificação (figura (b)), calcular a taxa de transferência de calor 
considerando o cone como um cilindro de raio médio Rm = (2R + R) / 2 = 1,5 R. Sabendo que 5% de 
erro é um valor aceitável para a determinação desta grandeza, qual é o módulo do erro associado a esta 
simplificação? Grandezas conhecidas: Raio R = 12 cm; condutividade térmica do tronco de cone: k = 3 
W/m.K, comprimento L = 15 cm, T1 = 140°C e T2 = 40°C. Dica: Utilize a integração da lei de 
Fourier. 
 
 
 
Resolução: 
item (a) 
O raio de um tronco de cone em função da 
coordenada x pode ser escrito como: 
baxr += , 



=⇒=
=⇒=
mrmx
mrx
12,015,0
24,00
 
24,08,0 +−= xr 
Aplicando a lei de Fourier: 
dx
dTkAq −= 
dx
dT
xk
dx
dT
rkq 22 )24,08,0( +−⋅⋅−=⋅⋅⋅−= pipi 
∫∫ ⋅⋅−=+−
40
140
15,0
0 2)24,08,0( dTkdxx
q
pi
 
8,0
8,024,08,0 dudx
dx
du
xu −=∴−=⇒+−=
 
∫∫ ⋅⋅−=−
40
14028,0
dTkdu
u
q
pi
 
0,15
0
1 (40 140)
0,8 0,8 0, 24
181A
q k
x
q W
pi
 
= − ⋅ ⋅ − 
− + 
=
 
Resolução: 
item (b) 
 
( )
( )
1 2
23 0,18 140 40 203,6
0,15
B
B
k Aq T T
L
q Wpi
⋅
= −
⋅ ⋅
= − =
 
 
 
100 12,5%A B
A
q qErro
q
−
= = 
 
Simplificação Inaceitável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
item (a)_____________________________ 
 
item (b)_____________________________ 
 simplificação ACEITÁVEL 
 simplificação INACEITÁVEL 
 
 
 
 
 
 
[Ex.3 – valor: 2,0 item a + 1,0 item b] O ar no 
interior de uma câmara Ti = 20°C recebe calor por 
convecção com um coeficiente de transferência de 
calor por convecção de hi = 20 W/m²K, por uma 
parede de 200 mm de espessura e 1 m² de área, 
com condutividade térmica de 4 W/m.K e taxa de 
geração volumétrica de calor uniforme e igual a 
1000 W/m³. Um aquecedor em forma de fita (muito 
fina) é aplicado à face externa da parede, junto a 
um isolamento térmico muito espesso. O 
aquecedor proporciona uma taxa de geração de 
calor uniforme 0q . A temperatura T1 vale 50°C. 
Admitindo regime permanente, desprezando 
efeitos de trocas térmicas por radiação e 
inexistência de resistência de contato, determine: 
 
 
 
(a) Uma expressão para a distribuição de temperatura em função de x [ 0,2 0m x m− ≤ ≤ ] usando o eixo 
indicado no desenho. NÃO MODIFIQUE O EIXO. 
(b) A corrente que percorre o aquecedor elétrico sabendo que a tensão sobre o mesmo é de 10 V. 
 
Resolução: 
Do balanço de energia global: 
0 0 [W]GP convq q q+ − = 
sendo, 
,GPq taxa de transf. de calor gerada na placa. 
1000 1 0,2 200GPq W= ⋅ ⋅ = 
,convq taxa de transf. de calor que deixa a placa por convecção 
( )20 1 50 20 600convq W= ⋅ ⋅ − = 
0 ,q taxa de transf. de calor gerada na resistência elétrica 
0 0200 600 0 400 Wq q+ − = ⇒ = 
b) 0 400 40Pot q I V I A= = = ⋅ → = 
 
2
2
1
2
1 2
0 [eq.1]
[eq.2]
[eq.3]
2
G
G
G
qd T
dx k
qdT
x C
dx k
qT x C x C
k
+ =
= − +
= − + +
ɺ
ɺ
ɺ
 
 
 
1° Condição de Contorno: 
W400
2,0
=−=
−= mxdx
dTkAq , portanto: 
 
100
14
400
2,0
−=
⋅
−=
−= mxdx
dT
, substituindo em (2) 
( ) 12,04
1000100 C+−−=− 
 
1 150C = − 
 
2° Condição de Contorno: 0 50x T C= → = ° 
Substituindo em (3) 
 
2 50C = 
 
2125 150 50T x x= − − + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
q m h= ∆ɺ E m c T= ∆ 
k
dTq k A
dx
= − 
( )4 41 1 1 2rq A T Tε σ= − 
C Cq h A T= ∆ 
Tq
R
∆
=
∑
 
C rh h h= + 
( )
( )
4 4
1 2
1 2
r
T T
h
T T
ε σ −
=
−
 
2 2 2
2 2 2
1GqT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
ɺ
 
2 2
2 2 2
1 1 1GqT T T Tr
r r r r z k tφ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ɺ
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1GqT T T Tr sen
r r r r sen r sen k t
θ
θ θ θ θ φ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
ɺ
 
Constante de Stefan-Boltzmann: 8 82 4 2 45,67.10 0,1714.10 o
W BTU
m K h ft Rσ
− −
= = 
Resistência à Convecção: 1C
C
R
h A
= 
Resistência à Radiação: 1
r
r
R
h A
= 
Resistência à Condução 
Parede plana k
LR
k A
= 
Parede cilíndrica ( )0ln /
2
i
k
r r
R
L kpi
= 
Parede esférica 0
04
i
k
i
r rR
k r rpi
−
= 
Área Superficial da esfera = 24 Rpi 
Volume da esfera = 34
3
RpiRaio crítico de isolamento cilindro = / Ck h 
Raio crítico de isolamento esfera = 2 / Ck h 
 
_ _ _ _q taxa de transferência de calor Q= = ɺ