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2a Prova de SMA301 - Ca´lculo I
Prof.: Alexandre Nolasco de Carvalho 18/05/2007
Nome:
No. USP:
Questo˜es Notas
1.a
2.a
3.a
4.a
Total
1.a Questa˜o. (Valor: 2.0) Mostre que
a) Um polinoˆmio de grau ı´mpar e´ uma func¸a˜o sobrejetora.
b) A func¸a˜o
f(x) =
{
x2 sen
(
1
x
)
, x 6= 0
0, x = 0
e´ differencia´vel em todo R.
2.a Questa˜o. (Valor: 3.0) Sejam f, g : R→ R func¸o˜es que satisfazem
f(x)2 + g(x)4 = 16, ∀x ∈ R.
Calcule
a) limx→3 f(x)(x2 + x− 12)
b) limx→∞
f(x)6+g(x)2+x2+1
x2
c) limx→∞
[√
x2 + x−√x2 − 2]
3.a Questa˜o: (Valor 3.0) Seja
f(x) =
x
3
√
x2 − 8 .
Encontre:
• O domı´nio de f ,
• Os conjuntos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente,
• Os pontos onde f tem um ma´ximo ou um mı´nimo local,
• Os conjuntos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo e
• Os pontos de inflexa˜o.
Esboce o gra´fico de f .
4.a Questa˜o. (Valor: 2.0) Resolva um dos ı´tens abaixo
a) Aproxime a func¸a˜o f(x) = cos(x)sen(x) por um polinoˆmio p7 de grau 7 em [−12 , 12 ] e
estime o erro ma´ximo cometido na aproximac¸a˜o de f por p7.
b) Encontre o Polinoˆmio de Taylor de grau n da func¸a˜o f(x) = (x+ b)n em torno de x = 0
e use isto para mostrar
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk

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