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2a Prova de SMA301 - Ca´lculo I Prof.: Alexandre Nolasco de Carvalho 18/05/2007 Nome: No. USP: Questo˜es Notas 1.a 2.a 3.a 4.a Total 1.a Questa˜o. (Valor: 2.0) Mostre que a) Um polinoˆmio de grau ı´mpar e´ uma func¸a˜o sobrejetora. b) A func¸a˜o f(x) = { x2 sen ( 1 x ) , x 6= 0 0, x = 0 e´ differencia´vel em todo R. 2.a Questa˜o. (Valor: 3.0) Sejam f, g : R→ R func¸o˜es que satisfazem f(x)2 + g(x)4 = 16, ∀x ∈ R. Calcule a) limx→3 f(x)(x2 + x− 12) b) limx→∞ f(x)6+g(x)2+x2+1 x2 c) limx→∞ [√ x2 + x−√x2 − 2] 3.a Questa˜o: (Valor 3.0) Seja f(x) = x 3 √ x2 − 8 . Encontre: • O domı´nio de f , • Os conjuntos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente, • Os pontos onde f tem um ma´ximo ou um mı´nimo local, • Os conjuntos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo e • Os pontos de inflexa˜o. Esboce o gra´fico de f . 4.a Questa˜o. (Valor: 2.0) Resolva um dos ı´tens abaixo a) Aproxime a func¸a˜o f(x) = cos(x)sen(x) por um polinoˆmio p7 de grau 7 em [−12 , 12 ] e estime o erro ma´ximo cometido na aproximac¸a˜o de f por p7. b) Encontre o Polinoˆmio de Taylor de grau n da func¸a˜o f(x) = (x+ b)n em torno de x = 0 e use isto para mostrar (a+ b)n = n∑ k=0 ( n k ) an−kbk
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