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3.a Prova de SMA-301 Ca´lculo I
Professor: Alexandre Nolasco de Carvalho
Nome:
N.o USP: 22.06.2007
Questo˜es Valor Notas
1.a 3.0
2.a 3.0
3.a 3.0
4.a 2.0
Total 11.0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.a Questa˜o: Considere o polinoˆmio do segundo grau f(x) = x2 + 2px+ q.
a) Suponha que f tem duas ra´ızes reais distintas α e β. Enta˜o f(x) = (x−α)(x− β). Mostre que existem
constantes a, b tais que 1f(x) =
a
x−α +
b
x−β e calcule a integral∫
1
f(x)
dx
b) Suponha que f(x) na˜o possui ra´ızes reais. Enta˜o f(x) = (x+ p)2 + (q − p2) com q − p2 > 0. Calcule a
integral ∫
1√
f(x)
dx
c) Calcule a integral ∫
x+ 3√
x2 + 4x+ 13
2.a Questa˜o: Suponha que um fio meta´lico tem o formato do gra´fico de uma func¸a˜o f : [a, b] → R. Assuma
que a densidade linear varia de ponto para ponto e e´ dada pela func¸a˜o ρ : [a, b] → R (a densidade linear no
ponto x e´ ρ(x)).
a) Encontre uma fo´rmula para calcular a massa do fio.
b) Especifique as hipo´teses que f e ρ devem satisfazer para que a fo´rmula seja va´lida.
c) Calcule a massa do fio que tem o formato do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2, x ∈ [−1, 1], e que tem
densidade linear dada por ρ(x) = 4x.
3.a Questa˜o:
a) Encontre a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da circungereˆncia x2 + (y − a)2 = r2, a > r > 0 em
torno do eixo x. Desenhe a superf´ıcie.
b) Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o em torno do eixo x, do conjunto limitado
do plano determinado pela para´bola x2 = y − 1 e pela reta x− 1 = 2(y − 2).
4.a Questa˜o: Calcule as integrais
a)
∫ 5
2
dx√
x2 − 1
b)
∫
sec3xdx
c)
∫
sen3x cos 2xdx
d)
∫
ex cosxdx