Fourier transform

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Suma´rio
SUMA´RIO 1
LISTA DE FIGURAS 3
1 Introduc¸a˜o 1
2 Transformada de Fourier 3
2.1 A func¸a˜o Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 A transformada direta de Fourier, ca´lculo de G(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Condic¸a˜o Suficiente para Existeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Propriedade da Linearidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Propriedade do Atraso no Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Propriedade da Modulac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.4 Propriedade da derivac¸a˜o no Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.5 Propriedade da derivac¸a˜o na Frequeˆncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.6 Propriedade da Convoluc¸a˜o no Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.7 Propriedade da Convoluc¸a˜o no domı´nio da Frequeˆncia. . . . . . . . . . . . . 10
2.3.8 Propriedade da Integrac¸a˜o no Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.9 Propriedade do Escalonamento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.10 Propriedade da Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.11 Teorema de Parseval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Transformada da Func¸a˜o Pente 13
4 A se´rie de Fourier 17
1
2 SUMA´RIO
5 O teorema da Amostragem 27
5.1 A DTFT, Discrete time Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Condic¸a˜o de Existeˆncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
.0.2 Propriedade da Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
.0.3 Propriedade do Deslocamento de Amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
.0.4 Propriedade da Modulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
.0.5 Teorema de Parseval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
.0.6 Propriedade da Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A Anexo das integral da func¸a˜o sinc(x). 37
A.1 A integral
∫
1
1+x2
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.1.1 A integral
∫∞
0 e
−xysenx dy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.1.2 A integral
∫∞
x=0
sen(x)
x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.1.3 A integral
∫∞
x=0 T
sen(pifT )
pifT df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Lista de Figuras
2.1 A func¸a˜o b(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 B(f), a transformada de Fourier da func¸a˜o b(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Cosenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Somato´rio dos 20 e dos 50 primeiros termos do somato´rio P (f) = 1+2
∑∞
n=1 cos(2pinf). 15
4.1 g(t) e´ um coseno com per´ıodo 2 T que retificado se torna um sinal perio´dico com
per´ıodo T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 gp(t) so´ possui um u´nico per´ıodo de g(t) centrado em t=0. . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 g(t) e´ um sinal quadrado de per´ıodo de 1 [s] reconstru´ıdo a partir de 10 hamoˆnicos. 21
4.4 g(t) e´ um sinal quadrado de per´ıodo de 1 [s] reconstru´ıdo a partir de 20 hamoˆnicos. . 21
4.5 g(t) e´ um sinal quadrado de per´ıodo de 1 [s] reconstru´ıdo a partir de 50 hamoˆnicos. . 22
4.6 Coseno com retificac¸a˜o completa reconstru´ıdo a partir de 10 hamoˆnicos. . . . . . . . 24
4.7 Coseno com retificac¸a˜o completa reconstru´ıdo a partir de 20 hamoˆnicos. . . . . . . . 24
4.8 Coseno com retificac¸a˜o completa reconstru´ıdo a partir de 50 hamoˆnicos. . . . . . . . 25
5.1 Espectro do sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Espectro do sinal amostrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Espectro do sinal amostrado, figura com escala das frequeˆncias expandida. . . . . . . 29
.4 cos(Ω0n) amostrado e o espectro G(e
jΩ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
.5 g[n] e o espectro G(ejΩ) para N=21 do exemplo 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
4 LISTA DE FIGURAS
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
O objetivo deste texto e´ tentar organizar o estudo da transformada de Fourier de forma a
mostra´-la como uma sequeˆncia lo´gica, assim;
• Primeiro e´ mostrada a transformada de Fourier para sinais cont´ınuos, a Transformada de
Fourier - TF;
• segundo e´ mostrada a transformada de Fourier para sinais con´ınuos, perio´dicos e com espec-
tro discreto, a Se´rie de Fourier - SF;
• terceiro e´ mostrada a transformada de Fourier para sinais discretos e espectro perio´dicos a
Discrete T ime Fourier Transform, DTFT;
• quarto e´ mostrada a transformada de Fourier para sinais discretos e perio´dicos e espectro
discreto e perio´dicos, a Discrete Fourier Transform, DFT.
1
2 Introduc¸a˜o
Cap´ıtulo 2
Transformada de Fourier
O objetivo da Transformada de Fourier e´ a obtenc¸a˜o do espectro, isto e´, a amplitude e a
fase em func¸a˜o da frequeˆncia, logo, o espectro informa como cada sinal senoidal contribui para a
formac¸a˜o do sinal original. Assim, o sinal original pode ser construido integrando-se em frequeˆncia
o espectro multiplicado pela seno´ide, sendo g(t) o sinal e G(f) o espectro do sinal, assim;
g(t) =
∫ ∞
−∞
G(f)ej2piftdf (2.1)
A expressa˜o da equac¸a˜o (2.1) e´ a pro´pria definic¸a˜o da transformada de Fourier e e´ a de-
nominada de transformada inversa de Fourier. Uma forma de se verificar isto pode ser descrita
com espectro de mo´dulo sendo uma func¸a˜o par, M(f) = M(−f), e o espectro de fase sendo uma
func¸a˜o ı´mpar, θ(f) = −θ(−f) em f , G(f) = M(f)eθ(f), pode-se, enta˜o, escrever;
g(t) =
∫ ∞
−∞
M(f)ejθ(f)ej2piftdf =
∫ 0
−∞
M(f)ejθ(f)ej2piftdf +
∫ ∞
0
M(f)eθ(f)ej2piftdf, (2.2)
substituindo f por −α na primeira parte do lado direito da equac¸a˜o, a mesma pode ser reescrita
na forma;
g(t) =
∫ 0
∞
M(−α)ejθ(−α)e−j2piαt(−dα) +
∫ ∞
0
M(f)ejθ(f)ej2piftdf, (2.3)
e´ poss´ıvel inverter os limites da integral do lado primeiro termo do lado direito;
g(t) =
∫ ∞
0
M(−α)ejθ(−α)e−j2piαt(dα) +
∫ ∞
0
M(f)ejθ(f)ej2piftdf, (2.4)
substituindo α por f, e, observamdo-se que M(−f) = M(f) e θ(−f) = −θ(f), pode-se escrever;
g(t) =
∫ ∞
0
M(f)e−jθ(f)e−j2piftdf +
∫ ∞
0
M(f)ejθ(f)ej2piftdf (2.5)
3
4 Transformada de Fourier
assim;
g(t) =
∫ ∞
0
2M(f)
e−j[2pift+θ(f)] + ej2[pift+θ(f)]
2
df, (2.6)
logo;
g(t) =
∫ ∞
−∞
G(f)ej2piftdf =
∫ ∞
0
2M(f)cos(2pift+ θ(f))df, (2.7)
o que demonstra que a frequeˆncia negativa na˜o existe.
2.1 A func¸a˜o Delta de Dirac
A func¸a˜o δ(x) de Dirac e´ definida como sendo;
δ(x) =

∫∞
x=−∞ δ(x)dx = 1
0 para x 6= 0
, (2.8)
como δ( xA) possui a base alargada de A, pode-se dizer que δ(
x
A) = Aδ(x)
2.2 A transformada direta de Fourier, ca´lculo de G(f)
G(f) =
∫ ∞
−∞
g(t)e−j2piftdt (2.9)
A expressa˜o da equac¸a˜o (2.2) e´ a denominada de transformada direta de Fourier. Ainda
na˜o ha´ nenhuma prova de que e´ correta. Ainda assim, acreditando que a expressa˜o e´ verdadeira, a
mesma sera´ utilizada para calcular o espectro da func¸a˜o b(t), Figura 2.1.
2.2 A transformada direta de Fourier, ca´lculo de G(f) 5
Figura 2.1: A func¸a˜o b(t).
B(f) =
∫ ∞
−∞
b(t)e−j2piftdt =
∫ T
2
−T
2
e−j2piftdt =
1
−j2pif
∫ T
2
−T
2
−j2pife−j2piftdt = 1−j2pif[
e−j2pift
]T/2
T/2
,
(2.10)
da´ı;
B(f) =
1
pif
[
e−jpifT − ejpifT ]
−j2 = T
sen(piTf)
piTf
, (2.11)
a func¸a˜o expressa pela Eq. (2.11) e´ mostrada na Figura 2.2.
6 Transformada de Fourier
Figura 2.2: B(f), a transformada de Fourier da func¸a˜o b(t).
Assim, pode-se obter o espectro do sinal cont´ınuo, g(t) = 1, bastando para isto fazer,
lim
T→∞
b(t) = 1. Como B(f) = 0 para f 6= 0, e, sabendo que (anexo A), lim
T→∞
∫∞
−∞
sen(piTf)
piTf df = 1,
pode-se afirmar que para lim
T→∞
B(f) = δ(f) ,logo;
∫ ∞
−∞
e−j2piftdt = δ(f), (2.12)
substituindo t por f e vice versa na equac¸a˜o (2.12), obte´m-se;
∫ ∞
−∞
e−j2piftdf = δ(t). (2.13)
Para mostrar que a equac¸a˜o de ca´lculo do espectro esta´ correta, podemos modificar a
varia´vel de integrac¸a˜o da equac¸a˜o 2.9, ja´ que se trata de uma integral definida, assim;
2.3 Propriedades 7
G(f) =
∫ ∞
α=−∞
g(α)e−j2pifαdα, (2.14)
substituindo-se G(f) da equac¸a˜o (2.14) na equac¸a˜o da definic¸a˜o do espectro, equac¸a˜o (2.1), vem;
g(t) =
∫ ∞
f=−∞
[ ∫ ∞
α=−∞
g(α)e−j2pifαdα
]
ej2piftdf, (2.15)
que pode ser reescrita trocando-se a ordem de integrac¸a˜o como;
g(t) =
∫ ∞
α=−∞
g(α)
∫ ∞
f=−∞
e−j2pif(α−t)dfdα, (2.16)
observando-se a equac¸a˜o (2.13), a integral
∫∞
f=−∞ e
−j2pif(α−t)df = δ(α− t), assim;
g(t) =
∫ ∞
α=−∞
g(α)δ(α− t)dα = g(t)
∫ ∞
α=−∞
δ(α− t)dα, (2.17)
como
∫∞
α=−∞ δ(α− t)dα = 1, a substituic¸a˜o do espectro calculado pela equac¸a˜o (2.9) na equac¸a˜o
da definic¸a˜o do espectro, equac¸a˜o (2.1), resultou na propria func¸a˜o g(t), logo, a transformada de
Fourier direta como mostrada na equac¸a˜o (2.9) e´ verdadeira.
2.2.1 Condic¸a˜o Suficiente para Existeˆncia
Em um intervalo finito, as condic¸o˜es de Dirichlet devem ser satisfeitas:
• g(t) deve ser limitada;
• g(t) deve ter um nu´mero finito de ma´ximos e mı´nimos, e;
• g(t) deve ter um nu´mero finito de descontinuidades.
• g(t) deve ser absolutamente integra´vel, isto e´: ∫∞−∞ |g(t)|dt <∞.
As condic¸o˜es de Dirichlet sa˜o suficientes para que a func¸a˜o possua Transformada de Fourier, no
entanto, na˜o sa˜o necessa´rias.
Isto e´, as condic¸o˜es de Dirichlet GARANTEM a existeˆncia da Transformada de Fourier, mas ha´
func¸o˜es que na˜o as obedecem e, no entanto, possuem Transformada de Fourier, por exemplo:
sen(2pift), cos(2pift), func¸o˜es perio´dicas em geral, o degrau unita´rio, a func¸a˜o constante, etc...
2.3 Propriedades
Tendo-se o conjunto de transformada direta e transformada inversa, pode-se obter algumas
propriedades:
8 Transformada de Fourier
2.3.1 Propriedade da Linearidade.
Se: x(t)
F←→ X(f) e y(t) F←→ Y (f), enta˜o, sendo A e B constantes, Ax(t) + By(t) F←→
AX(f) + BY (f). Esta propriedade e´ consequeˆncia direta do fato que a integral e´ um operador
linear.
2.3.2 Propriedade do Atraso no Tempo.
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o; g(t− T ) F←→ G(f)e−j2pifT , prova:∫ ∞
t=−∞
g(t− T )e−j2piftdt, (2.18)
substituindo x = t− T , t = x+ T , dx = dt e, se, t→∞, x→∞ e t→ −∞, x→ −∞, assim,∫ ∞
x=−∞
g(x)e−j2pif(x+T )dx = e−j2pifT
∫ ∞
x=−∞
g(x)e−j2pifxdx = G(f)e−j2pifT . (2.19)
2.3.3 Propriedade da Modulac¸a˜o.
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o; g(t)ej2pif0t F←→ G(f − f0) , prova:∫ ∞
t=−∞
g(t)ej2pif0te−j2piftdt =
∫ ∞
t=−∞
g(t)e−j2pi(f−f0)tdt = G(f − f0), (2.20)
2.3.4 Propriedade da derivac¸a˜o no Tempo.
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o; ∂g(t)
∂t
F←→ j2pifG(f) , prova:
∂g(t)
∂t
=
∂
∂t
∫ ∞
f=−∞
G(f)ej2piftdf =
∫ ∞
f=−∞
G(f)
∂
∂t
ej2piftdf, (2.21)
assim,
∂g(t)
∂t
=
∫ ∞
f=−∞
[j2pifG(f)]ej2piftdf. (2.22)
2.3.5 Propriedade da derivac¸a˜o na Frequeˆncia.
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o; −j2pitg(t) F←→ ∂
∂f
G(f) , prova:
∂G(f)
∂f
=
∂
∂f
∫ ∞
t=−∞
g(t)e−j2piftdt =
∫ ∞
t=−∞
g(t)
∂
∂f
e−j2piftdt, (2.23)
2.3 Propriedades 9
assim,
∂G(f)
∂f
=
∫ ∞
t=−∞
[−j2pitg(t)]e−j2piftdt. (2.24)
Exemplo 1: Calcular o espectro da func¸a˜o gaussiana, g(t) = e−pit2 . Utilizando a propriedade da
derivac¸a˜o do tempo;
∂g(t)
∂t
= −2pitg(t) F←→ j2pifG(f)
Utilizando a propriedade da linearidade e multiplicando ultiplicando a propriedade da derivac¸a˜o
na frequeˆncia por −j nos dois lados, vem;
−2pitg(t) F←→ −j ∂
∂f
G(f),
comparando as equac¸o˜es acima, pode-se escrever que;
∂
∂f
G(f) = −2pifG(f),
cuja soluc¸a˜o e´G(f) = e−pif2 , logo, a transformada da func¸a˜o gaussiana e´ a pro´pria func¸a˜o gaussiana!
Exemplo 2: Encontrar o espectro da func¸a˜o: g(t) =
e−at para t > 0−eat para t < 0 sendo a > 0.∫ ∞
t=−∞
g(t)e−j2piftdt =
∫ 0
t=−∞
−eate−j2piftdt+
∫ ∞
t=0
e−ate−j2piftdt =
[−e(a−j2pif)t
a− j2pif
]0
t=−∞−
[e−(a+j2pif)t
a+ j2pif
]∞
t=0
,
logo; ∫ ∞
t=−∞
g(t)e−j2piftdt =
−1
a− j2pif +
1
a+ j2pif
.
Exemplo 3: Encontrar o espectro da func¸a˜o sinal: sgn(t) =

1 para t > 0
0 parat = 0
−1 para t < 0
.
∫ ∞
t=−∞
sgn(t)e−j2piftdt = lim
a→0
[ −1
a− j2pif +
1
a+ j2pif
]
=
1
j2pif
+
1
j2pif
=
1
jpif
Exemplo 4: Encontrar o espectro da func¸a˜o sinal: u(t) =
1 para t > 00 para t < 0 .
Pode-se escrever; u(t) = 12 sgn(t) +
1
2 . Assim, com as equac¸a˜o acime e a equac¸a˜o (2.12), conclui-se
que; ∫ ∞
t=−∞
u(t)e−j2piftdt =
1
j2pif
+
δ(f)
2
.
10 Transformada de Fourier
2.3.6 Propriedade da Convoluc¸a˜o no Tempo.
A convoluc¸a˜o e´ definida por; x(t) ∗ y(t) = ∫∞τ=−∞ y(τ) x(t − τ)dτ , assim, fazendo a trans-
formada de Fourier direta vem;∫ ∞
t=−∞
[∫ ∞
τ=−∞
y(τ) x(t− τ)dτ
]
e−j2piftdt =
∫ ∞
τ=−∞
y(τ)
[∫ ∞
t=−∞
x(t− τ)e−j2piftdt
]
dτ, (2.25)
utilizando-se a propriedade do atraso no tempo, equac¸a˜o (2.19 ), vem;∫ ∞
τ=−∞
y(τ)X(f)e−j2pifτdτ = X(f)
∫ ∞
τ=−∞
y(τ)e−j2pifτdτ = X(f)Y (f), (2.26)
logo, a convoluc¸a˜o no tempo implica na multiplicac¸a˜o dos espectros!
2.3.7 Propriedade da Convoluc¸a˜o no domı´nio da Frequeˆncia.
A convoluc¸a˜o no domı´nio da Frequeˆncia e´ definida por; X(f) ∗ Y (f) = ∫∞τ=−∞ Y (τ) X(f −
τ)dτ , assim, fazendo a transformada de Fourier inversa vem;∫ ∞
f=−∞
[∫ ∞
τ=−∞
Y (τ) X(f − τ)dτ
]
ej2piftdf =
∫ ∞
τ=−∞
Y (τ)
[∫ ∞
f=−∞
X(f − τ)ej2piftdf
]
dτ, (2.27)
utilizando-se a propriedade da modulaca˜o, equac¸a˜o (2.20 ), vem;∫ ∞
τ=−∞
Y (τ)x(t)ej2pifτdτ = x(t)
∫ ∞
τ=−∞
Y (τ)ej2pifτdτ = x(t)y(t), (2.28)
logo, a convoluc¸a˜o no domı´nio frequeˆncia implica na multiplicac¸a˜o no domı´nio do tempo!
2.3.8 Propriedade da Integrac¸a˜o no Tempo.
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o;
∫ t
t=−∞
g(t)dt
F←→ G(f)
j2pif
+
G(0)
2
δ(f) .
Pode-se dizer que; ∫ t
t=−∞
g(t) dt =
∫ ∞
τ=−∞
g(τ) u(t− τ)dτ = g(t) ∗ u(t), (2.29)
pois; u(t− τ) =
0 para t− τ < 0, i.e., τ > t1 para t− τ > 0, i.e., τ < t assim,
∫ ∞
t=−∞
[∫ t
t=−∞
g(t) dt
]
e−j2piftdt =
∫ ∞
t=−∞
g(t) ∗ u(t)e−j2piftdt = G(f)U(f) = G(f)
[ 1
j2pif
+
δ(f)
2
]
(2.30)
2.3 Propriedades 11
2.3.9 Propriedade do Escalonamento no Tempo
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o; g(t/T ) F←→ |T |G(Tf) .
Prova; ∫ ∞
t=−∞
g(t/T )e−j2pift dt, (2.31)
substituindo t = Tα, dt = Tfα, para T > 0 pode-se dizer que;
t→ −∞, α→ −∞t→ ∞, α→ ∞ assim,∫ ∞
α=−∞
g(α)e−j2pifTdαTdα = T
∫ ∞
α=−∞
g(α)e−j2pifTαdα = TG(Tf), (2.32)
para T < 0 pode-se dizer que;
t→ −∞, α→ ∞t→ ∞, α→ −∞ assim,∫ −∞
α=∞
g(α)e−j2pifTdαTdα = −T
∫ −∞
α=∞
g(α)e−j2pifTαdα = −TG(Tf), (2.33)
2.3.10 Propriedade da Dualidade
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o; G(t) F←→ g(−f) .
Prova;
a transformada inversa e´;
g(t) =
∫ ∞
f=−∞
G(f)ej2piftdf, (2.34)
fazendo-se a substituic¸a˜o: f ← α, vem;
g(t) =
∫ ∞
α=−∞
G(α)ej2piαtdα, (2.35)
fazendo-se a substituic¸a˜o: t← −f, vem;
g(−f) =
∫ ∞
α=−∞G(α)e−j2piαfdα, (2.36)
fazendo-se a substituic¸a˜o: α← t, vem;
g(−f) =
∫ ∞
t=−∞
G(t)e−j2pitfdt. (2.37)
2.3.11 Teorema de Parseval.
Se: g(t)
F←→ G(f), enta˜o;
∫ ∞
t=−∞
|g(t)|2dt =
∫ ∞
t=−∞
|G(f)|2df .
Pode-se mostrar que a relac¸a˜o e´ verdadeira da seguinte maneira,∫ ∞
t=−∞
|g(t)|2dt =
∫ ∞
t=−∞
g(t)g(t)dt, (2.38)
12 Transformada de Fourier
onde g(t) significa o complexo conjugado de g(t), substituindo a transformada inversa, vem;∫ ∞
t=−∞
g(t)
∫ ∞
f=−∞
G(f)ej2piftdfdt =
∫ ∞
t=−∞
g(t)
∫ ∞
f=−∞
G(f)e−j2piftdfdt (2.39)
∫ ∞
t=−∞
g(t)
∫ ∞
f=−∞
G(f)e−j2piftdfdt =
∫ ∞
f=−∞
G(f)
∫ ∞
t=−∞
g(t)e−j2piftdtdf =
∫ ∞
f=−∞
|G(f)|2df,
(2.40)
Cap´ıtulo 3
Transformada da Func¸a˜o Pente
A func¸a˜o pente e´ definida como;
p(t) =
∞∑
n=−∞
δ(t− n), (3.1)
logo a transformada da func¸a˜o pente;
P (f) =
∫ ∞
t=−∞
[ ∞∑
n=−∞
δ(t− n)
]
e−j2piftdt =
∞∑
n=−∞
∫ ∞
t=−∞
δ(t− n)e−j2piftdt =
∞∑
n=−∞
e−j2pifn, (3.2)
da´ı.
P (f) =
∞∑
n=−∞
e−j2pifn = 1 + 2
∞∑
n=1
cos(2pinf), (3.3)
observa-se nas Figuras 3.1 e 3.2 que P (f) se repete de 1 em 1 [Hz].
Pode-se escrever que a convoluc¸a˜o entre p(t) e b(t) para T = 1;
p(t) ∗ b(t) = 1, (3.4)
logo, pela propriedade da convoluc¸a˜o, pode-se escrever a transformada;
P (f)
sen(pif)
pif
= δ(f), (3.5)
como a func¸a˜o sen(pif)pif vale 1 na origem e 0 de em f = ±1,±2,±3, . . . , Figura (2.2), e, sabendo que
P (f) se repete de 1 em 1 [Hz], pode-se afirmar que;
P (f) =
∞∑
n=−∞
δ(f − n), (3.6)
A func¸a˜o p(t) e´ um impulso de Dirac de 1 em 1 segundo, para que haja um impulso com
intercvalos de Ta, pode-se fazer;
p
( t
Ta
)
=
∞∑
n=−∞
δ
( t
Ta
− n
)
=
∞∑
n=−∞
δ
[(t− nTa)
Ta
]
= Ta
∞∑
n=−∞
δ(t− nTa), (3.7)
13
14 Transformada da Func¸a˜o Pente
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Frequencia
-1
-0,5
0
0,5
1
cos(2 pi 3f)
cos(2 pi 2f)
cos(2 pi f)
Figura 3.1: Cosenos.
da propriedade do escalonamento no tempo, lembramdo que t > 0, vem;
p
( t
Ta
)
F←→ TaP (Taf) = Ta
∞∑
n=−∞
δ(Taf − n) = Ta
∞∑
n=−∞
δ
[(
f − n
Ta
)
Ta
]
, (3.8)
como δ(Ax) = 1Aδ(x), vem;
p
( t
Ta
)
F←→
∞∑
n=−∞
δ(f − n
Ta
), (3.9)
assim, comparando as Eq. (3.7) e (3.9), pode-se escrever;
∞∑
n=−∞
δ(t− nTa) F←→ 1
Ta
∞∑
n=−∞
δ(f − n
Ta
) . (3.10)
A Eq. (3.10) e´ fundamental para trabalhar com sinais discretos no tempo (DTFT, Discrete time
Fourier Transform), na frequeˆncia (Se´rie de Fourier) ou em ambos (DTF, Discrete Fourier trans-
form).
15
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Frequencia
0
10
20
30
40
Somatorio dos 20 primeiro termos.
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Frequencia
-20
0
20
40
60
80
100
Somatorio dos 50 primeiro termos.
Figura 3.2: Somato´rio dos 20 e dos 50 primeiros termos do somato´rio P (f) = 1+2
∑∞
n=1 cos(2pinf).
16 Transformada da Func¸a˜o Pente
Cap´ıtulo 4
A se´rie de Fourier
Um sinal perio´dico, como exemplo tem-se a Figura 4.1, pode ser reescrito;
g(t) = gp(t) ∗
∞∑
n=−∞
δ(t− nT ), (4.1)
onde o s´ımbolo ∗ significa convoluc¸a˜o e gp(t) e´ uma func¸a˜o que e´ igual a g(t) em apenas um per´ıodo
centrado em 0, como exemplo tem-se a Figura 4.2. Utilizando-se a propriedade da convoluc¸a˜o no
domı´nio do tempo, Eq.(2.26), e, a transformada da func¸a˜o pente, Eq. (3.10), pode-se escrever;
G(f) = Gp(f)
1
T
∞∑
n=−∞
δ(f − n
T
), (4.2)
sendo que;
Gp(f) =
∫ ∞
t=−∞
gp(t)e−j2piftdt =
∫ T/2
t=−T/2
g(t)e−j2piftdt, (4.3)
devido a` definic¸a˜o da func¸a˜o delta de Dirac, Eq.(2.8) Eq. (4.2) pode ser reescrita como;
G(f) =
∞∑
n=−∞
Gp(
n
T )
T
δ(f − n
T
), (4.4)
logo, pode-se definir cn como;
cn = Gp(
n
T
) =
1
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)e−j
2pint
T dt, (4.5)
fazendo a transformada inversa da E.(4.4), obte´m-se;
g(t) =
∫ ∞
f=−∞
[ ∞∑
n=−∞
cnδ(f − n
T
)
]
ej2piftdf =
∞∑
n=−∞
cn
∫ ∞
f=−∞
δ(f − n
T
)ej2piftdf, (4.6)
da´ı,
g(t) =
∞∑
n=−∞
cne
j2pint
T , (4.7)
17
18 A se´rie de Fourier
-1,5 T -T -0,5 T 0 0,5 T T 1,5 T 2 T
Tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
g(t
)
Figura 4.1: g(t) e´ um coseno com per´ıodo 2 T que retificado se torna um sinal perio´dico com
per´ıodo T.
-1,5 T -T -0,5 T 0 0,5 T T 1,5 T 2 T
Tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
gp
(t)
Figura 4.2: gp(t) so´ possui um u´nico per´ıodo de g(t) centrado em t=0.
19
que e´ a Se´rie de Fourier, mas, na˜o ao seu formato mais conhecido. Para obter-se a se´rie de Fourier
no seu formato mais conhecido, utilizando-se a identidade de Euler na Eq.(4.5), faz-se;
cn =
1
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)[cos(
2pint
T
)− jsin(2pint
T
)]dt, (4.8)
cn =
1
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)cos(
2pint
T
)dt︸ ︷︷ ︸
par em n, =PAR(n)
−j 1
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)sin(
2pint
T
)dt︸ ︷︷ ︸
ı´mpar em n, =IMP (n)
= PAR(n)− j IMP (n), (4.9)
pois a func¸a˜o coseno e´ uma func¸a˜o par e a func¸a˜o seno e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Utilizando-se a Eq.(4.9) na Eq.(4.7), vem;
g(t) =
∞∑
n=−∞
[PAR(n)− j IMP (n)]e j2pintT =
∞∑
n=−∞
(PAR(n)− j IMP (n))[cos(2pint
T
)+ jcos(
2pint
T
)],
(4.10)
que resulta em;
g(t) =
∞∑
n=−∞
PAR(n)cos(
2pint
T
)+j PAR(n)sin(
2pint
T
)−j IMP (n)ncos(2pint
T
)+IMP (n)sin(
2pint
T
),
(4.11)
a multiplicac¸a˜o de uma func¸a˜o par por uma func¸a˜o par resuta em uma func¸a˜o par, a multiplicac¸a˜o
de uma func¸a˜o par por uma func¸a˜o ı´mpar resuta em uma func¸a˜o ı´mpar e a multiplicac¸a˜o de uma
func¸a˜o ı´mpar por uma func¸a˜o ı´mpar resuta em uma func¸a˜o par, assim,∑∞
n=−∞ PAR(n)cos(
2pint
T ) = PAR(0) + 2
∑∞
n=1 PAR(n) cos(
2pint
T )
∑∞
n=−∞ PAR(n)sin(
2pint
T ) = 0
∑∞
n=−∞ IMP (n)cos(
2pint
T ) = 0
∑∞
n=−∞ IMP (n)sin(
2pint
T ) = IMP (0) + 2
∑∞
n=1 IMP (n) sin(
2pint
T ),
como IMP (0) = 0, e, definindo;
a0 = PAR(0) =
1
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)dt, (4.12)
an = 2 PAR(n) =
2
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)cos(
2pint
T
)dt (4.13)
e
bn = 2 IMP (n) =
2
T
∫ T/2
t=−T/2
g(t)sin(
2pint
T
)dt, (4.14)
aplicando as Equac¸o˜es (4.12), (4.13) e (4.14) na Eq. (4.11), vem;
g(t) = a0
∞∑
n=0
ancos(
2pint
T
) + bnsin(
2pint
T
), (4.15)
20 A se´rie de Fourier
que a forma mais conhecida da se´rie de Fourier.
Exemplo 5: Calcule a se´rie de Fourie de um sinal quadrado ( segueˆncia de bits 0, 1, 0, 1....) com
per´ıodo T.
a0 =
1
T
∫ T/2
t=0
dt =
1
2
;
an =
2
T
∫ T/2
t=0
cos
(2pint
T
)
dt =
sin(pi ∗ n)
pi ∗ n ;
cujo co´digo para ca´lculo no xmaxima e´:
fortran(a(n)=factor(2/T*integrate(cos(2*%pi*n* t /T) ,t,0,T/2)));
bn =
2
T
∫ T/2
t=0
sin
(2pint
T
)
dt =
−(cos(%pi ∗ n)− 1)
pi ∗ n ;
cujo co´digo para ca´lculo no xmaxima e´:
fortran(b(n)=factor(2/T*integrate(sin(2*%pi*n* t /T) ,t,0,T/2)));
21
0 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8
0
1
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
−0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
Tempo em segundos
va
lo
r d
o 
sin
al
 re
co
ns
tru
íd
o 
10
 h
am
ôn
ica
s
Figura 4.3: g(t) e´ um sinal quadrado de per´ıodo de 1 [s] reconstru´ıdo a partir de 10 hamoˆnicos.
0 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8
0
1
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
−0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
Tempo em segundos
va
lo
r d
o 
sin
al
 re
co
ns
tru
íd
o 
20
 h
am
ôn
ica
s
Figura 4.4: g(t) e´ um sinal quadrado de per´ıodo de 1 [s] reconstru´ıdo a partir de 20 hamoˆnicos.
22 A se´rie de Fourier
0 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.80
1
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
−0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
Tempo em segundos
va
lo
r d
o 
sin
al
 re
co
ns
tru
íd
o,
 5
0 
ha
m
ôn
ica
s.
Figura 4.5: g(t) e´ um sinal quadrado de per´ıodo de 1 [s] reconstru´ıdo a partir de 50 hamoˆnicos.
Exemplo 6: Calcule a se´rie de Fourie de cos(2pif0t) sendo f0 =
1
T0
que e´ o coseno com
retificac¸a˜o completa mostrado na Figura 4.1.
Primeiro observamos que o per´ıodo do sinal retificado e´ Tr =
T0
2 , assim;
a0 =
1
Tr
∫ Tr/2
t=−Tr/2
cos(2pif0t)dt =
1
Tr
∫ Tr/2
t=−Tr/2
cos
(2pit
2Tr
)
dt =
2
pi
;
cujo co´digo para ca´lculo no xmaxima e´:
fortran(a0=factor(1/T*integrate(cos(2*%pi*t/(2*T) ) ,t,-T/2,T/2)));
an =
2
Tr
∫ Tr/2
t=−Tr/2
cos
(2pit
2Tr
)
cos
(2pint
Tr
)
dt;
cujo co´digo para ca´lculo no xmaxima e´:
fortran(a(n)=factor(2/T*integrate(cos(2*%pi*t/(2*T) )*cos(2*%pi*n* t /T) ,t,-T/2,T/2))); que
resulta em;
an =
2
(
2n sin
(
pi (2n+1)
2
)
− sin
(
pi (2n+1)
2
)
+ 2n sin
(
pi (2n−1)
2
)
+ sin
(
pi (2n−1)
2
))
pi (2n− 1) (2n+ 1) ;
bn =
2
Tr
∫ Tr/2
t=−Tr/2
cos
(2pit
2Tr
)
sin
(2pint
Tr
)
dt = 0;
Cujo co´digo para ca´lculo no xmaxima e´:
fortran(b(n)=factor(2/T*integrate(cos(2*%pi*t/(2*T) )*sin(2*%pi*n* t /T) ,t,-T/2,T/2))); que
23
resulta em 0.
O co´digo para o scilab e´:
Tr=1/120; //Periodo do sinal retificado, a metade do per´ıodo do sinal original de 60 [Hz];
NT=10; //Nu´mero de harmoˆnicos;
a0=2%pi; //a(0), no scilab na˜o pode haver ı´ndice 0 em um vetor;
a=zeros(NT,1);//preenchimeno de um vetor a com zeros. Reserva de memo´ria;
for n=1:NT //Ca´lculo dos coeficientes da se´rie;
a(n) = 2*(2*n*sin(%pi*(2*n+1)/2.0E+0)-sin(%pi*(2*n+1)/2.0E+0)+...
2*n*sin(%pi*(2*n-1)/2.0E+0)+sin(%pi*(2*n-1)/2.0E+0))/(%pi*(2*n-1)*(2*n+1));
end
t=0:1e-5:1/60;t=t’;//criando um vetor de tempo de 0 a 1/60;
g=zeros(size(t,1),1)+a0;
for i=1:size(t,1); //Varrendo todos os valores de tempo;
for n=1:NT; //Para cada instante, a soma de todas as hamoˆnicas;
g(i)=g(i)+a(n)*cos(2*%pi*t(i)*n/Tr);
end;
end
plot2d(t,g,rect=[0,0,1/60,1]);//Graficando a func¸a˜o reconstruida;
//rect=[0 (in´ıcio da horizontal, 0 (in´ıcio da vertical),
// 1/60 ( valor ma´ximo da horizontal),
// 1 (valor ma´ximo da vertical)];
f=120:120:NT*120;f=f’;//criando um vetor com todas as harmoˆnica;
M=a ** 2;
plot2d3(f,[a0;M],rect=[0,0,max(f),max([a0;M])])//Graficando em barras os coeficientes (espectro).
24 A se´rie de Fourier
0 Tr/2 Tr 3 Tr/2 2 Tr
0 1
0
1
Tempo
Co
se
no
 re
tif
ica
do
 re
co
ns
tru
íd
o 
co
m
 1
0 
ha
m
ôn
ica
s.
Figura 4.6: Coseno com retificac¸a˜o completa reconstru´ıdo a partir de 10 hamoˆnicos.
0 Tr/2 Tr 3 Tr/2 2 Tr
0 1
0
1
Tempo
Co
se
no
 re
tif
ica
do
 re
co
ns
tru
íd
o 
co
m
 2
0 
ha
m
ôn
ica
s.
Figura 4.7: Coseno com retificac¸a˜o completa reconstru´ıdo a partir de 20 hamoˆnicos.
25
0 Tr/2 Tr 3 Tr/2 2 Tr
0 1
0
1
Tempo
Co
se
no
 re
tif
ica
do
 re
co
ns
tru
íd
o 
co
m
 5
0 
ha
m
ôn
ica
s.
Figura 4.8: Coseno com retificac¸a˜o completa reconstru´ıdo a partir de 50 hamoˆnicos.
26 A se´rie de Fourier
Cap´ıtulo 5
O teorema da Amostragem
Um sinal cont´ınuo, como na Figura pode ser amostrado no tempo se transformando em um
sinal discreto no tempo fazendo-se;
ga(t) = g(t)
∞∑
n=−∞
δ(t− nTa), (5.1)
logo, pela propriedade da convoluc¸a˜o,
Ga(t) = G(f) ∗ 1
Ta
∞∑
n=−∞
δ(f − n/Ta) = 1
Ta
∞∑
n=−∞
G(f − n/Ta), (5.2)
isto e´, o espectro da func¸a˜o amostrada o espectro original repetido de 1Ta em
1
Ta
, Figuras 5.1 e 5.2.
27
28 O teorema da Amostragem
G
(f)
−2/Ta −1/Ta 0 1/Ta 2/Ta
1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 9.2
0
1
Frequência
Figura 5.1: Espectro do sinal.
G
a(f
)
−2/Ta −1/Ta 0 1/Ta 2/Ta
1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 9.2
0
1/Ta
Frequência
Figura 5.2: Espectro do sinal amostrado.
Na Figura 5.2 verifica-se que para haver possibilidade de recuperac¸a˜o so sinal original
5.1 A DTFT, Discrete time Fourier Transform 29
a partir do espectro amostrado, deve-se passa´-lo por um filtro passa baixa que corte tudo com
frequeˆncias acima de 12Ta .
G
a(f
)
−1/Ta −1/Ta+fmax
 
−fmax 0 fmax 1/(2 Ta) 1/Ta−fmax 1/Ta
1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 9.2
Frequência
Figura 5.3: Espectro do sinal amostrado, figura com escala das frequeˆncias expandida.
Para na˜o haver superposic¸a˜o dos espectros no sinal amostrado, verifica-se facilmente que;
1
Ta
− fmax > fmax, Figura 5.3. Assim, o teorema da amostragem e´;
fa >= 2fmax . (5.3)
5.1 A DTFT, Discrete time Fourier Transform
A transformada de Fourier do sinal amostrado pode ser tratada de uma forma alternativa
a` mostrada na Eq. (5.2),
ga(t) = g(t)
∞∑
n=−∞
δ(t− nTa) =
∞∑
n=−∞
g(nTa)δ(t− nTa), (5.4)
a transformada de Fourier fica;
Ga(f) =
∫ ∞
t=−∞
[ ∞∑
n=−∞
g(nTa)δ(t− nTa)
]
e−j2piftdt =
∞∑
n=−∞
g(nTa)
∫ ∞
t=−∞
δ(t− nTa)e−j2piftdt,
(5.5)
30 O teorema da Amostragem
assim
Ga(f) =
∞∑
n=−∞
g(nTa)
∫ ∞
t=−∞
δ(t− nTa)e−j2pifnTadt =
∞∑
n=−∞
g(nTa)e
−j2pifnTa
∫ ∞
t=−∞
δ(t− nTa)dt,
(5.6)
como;
∫∞
t=−∞ δ(t− nTa)dt = 1, vem;
Ga(f) =
∞∑
n=−∞
g(nTa)e
−j2pifnTa . (5.7)
A informac¸a˜o do tempo de amostragem pode ser suprimida pois e´ conhecida para o sinal, define-se;
Ω = 2pifTa =
2pif
fa
, (5.8)
que e´ a frequeˆncia angular normalizada em relac¸a˜o a` frequeˆncia de amostragem, fa =
1
Ta
, assim,
G(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
g[n]e−jΩn , (5.9)
que e´ a transfomada direta de Fourier de tempo discreto.
Observa-se que, g[n] = g(nTa), onde os pareˆnteses sa˜o trocados por colchetes. Colchetes signifi-
cam que o sinal e´ discreto . Observa-se na Figura 5.3 que nos limites −fa2 < f < fa2 o espectro
do sinal amostrado e´ o mesmo do sinal original multilicado por 1Ta . Assim, como Ω =
2pif
fa
, os limites
para Ω sa˜o;
−pi < Ω < pi. (5.10)
Para encontrar a transformada inversa podemos comparar a DTFT com a se´rie de Fourier como
mostrado na tabela 5.1.
Se´rie de Fourier DTFT
g(t) =
∑∞
n=−∞ cne
j2pinf0t Ga(f) =
∑∞
n=−∞ g[n]e
−j2pinTaf
cn =
1
T
∫ T
2
t=−T
2
g(t)e−j2pinf0tdt ?
Tabela 5.1: Comparac¸a˜o entre a Transformada e Fourier e a DTFT.
Na comparac¸a˜o, pode-se considerar as equivaleˆncias mostradas na tabela 5.2;
5.1 A DTFT, Discrete time Fourier Transform 31
Se´rie de Fourier −→ DTFT
t −→ −f
f0 −→ Ta
cn −→ g[n]
g(t) −→ Ga(f)
T −→ 1Ta
Tabela 5.2: Troca de varia´veis entre a Transformada e Fourier e a DTFT.
Realizando estas trocas na equac¸a˜o cn =
1
T
∫ T
2
t=−T
2
g(t)e−j2pinf0tdt, encontra-se;
g[n] = Ta
∫ − 1
2Ta
f= 1
2Ta
Ga(f)e
j2pinfTad(−f), (5.11)
que pode ser reescrita com;
g[n] = Ta
∫ 1
2Ta
f=− 1
2Ta
Ga(f)e
j 2pinf
fa df, (5.12)
sabendo que Ω = 2piffa , df =
fa
2pidΩ, e, quando f → 12ta , Ω → 2pifa 12Ta = pi e, quando f → − 12ta ,
Ω→ −pi e Ga(f)→ G(ejΩ), assim;
g[n] = Ta
∫ pi
f=−pi
G(ejΩ)ejΩn
fa
2pi
dΩ =
1
2pi
∫ pi
f=−pi
G(ejΩ)ejΩndΩ, (5.13)
Assim, a transformada inversa e´ dada por;
g[n] =
1
2pi
∫ pi
Ω=−pi
G(ejΩ)ejΩndΩ , (5.14)
A transformada inversa pode ser conferida substituindo-seG(ejΩ) por; G(ejΩ) =
∑∞
k=−∞ g[k]e
−jΩk,
assim;
g[n] =
1
2pi
∫ pi
Ω=−pi
[ ∞∑
k=−∞
g[k]e−jΩk
]
ejΩndΩ =
∞∑
k=−∞
g[k]
1
2pi
∫ pi
Ω=−pi
e−jΩ(n−k), (5.15)
que pode ser manipulada como;
g[n] =
∞∑
k=−∞
g[k]
−1
2pij(n− k)
[
e−jΩ(n−k)
]pi
Ω=−pi=
∞∑
k=−∞
g[k]
ejpi(n−k) − e−jpi(n−k)
2pij(n− k) =
∞∑
k=−∞
g[k]
sen[pi(n− k)]
pi[n− k] ,
(5.16)
como n e k sa˜o nu´meros inteiros, vem;
sen[pi(n− k)]
pi[n− k] =
= 1 para n = k= 0 para n 6= k ,
assim, a Eq. (5.14) realmente e´ a Transformada Inversa de Fourier com o Tempo Discreto.
32 O teorema da Amostragem
5.1.1 Condic¸a˜o de Existeˆncia.
A condic¸a˜o suficiente para a existeˆncia da DTFT de um sinal qualquer g[n] e´ o sinal ser
absolutamente soma´vel. Demonstrac¸a˜o;
|G(ejΩ)| <∞, (5.17)
enta˜o,
|
∞∑
n=−∞
g[n]e−jΩn| <
∞∑
n=−∞
|g[n]e−jΩn| =
∞∑
n=−∞
|g[n]||e−jΩn| <∞, (5.18)
como |e−jΩn| = 1, pode-se dizer que;
|G(ejΩ)| <∞ −→
∞∑
n=−∞
|g[n]| <∞ . (5.19)
Exemplo 8: Verificar a condic¸a˜o de suficieˆncia da existeˆncia da DTFT da sequeˆncia g[n] = αnu[n].
Calcule a DTFT.
Verificando a existeˆncia:∑∞
n=−∞ |αnu[n]| =
∑∞
n=0 |αn| <∞ so´ e´ garantida a existeˆncia para α < 1.
Para α < 1 a DTFT e´;
G(ejΩ) =
∞∑
n=0
αne−jΩn =
∞∑
n=0
(αe−jΩ)n = lim
N→∞
N∑
n=0
(αe−jΩ)n,
que e´ soma de uma PG com raza˜o αe−jΩ, assim;
G(ejΩ) = lim
N→∞
1− (αe−jΩ)N+1
1− (αe−jΩ) =
1
1− (αe−jΩ) , |α| < 1.
Exemplo 9: Calcular a IDTFT da func¸a˜o de transfereˆncia do filtro passa baixa ideal, definido
por:
H(ejΩ) =
= 1 para |Ω| ≤ Ωc= 0 para Ωc < |Ω| < pi,
calculando a Transformada de Fourier Inversa do tempo Discreto tem-se;
h[n] =
1
2pi
∫ pi
Ω=−pi
H(ejΩ)ejΩndΩ =
1
2pi
∫ Ωc
−Ωc
ejΩndΩ =
1
2pijΩ
[
ejΩn
]Ωc
−Ωc
,
da´ı;
h[n] =
1
2pijΩ
[ejnΩc − e−jnΩc ] = 1
piΩ
ejnΩc + e−jnΩc
j2
=
sen(nΩc)
piΩ
Exemplo 10: Calcular a DTFT de g[n] = δ[n].
G(ejΩ) =
∞∑
n=0
δ[n]e−jΩn = e−jΩ0 = 1,
5.1 A DTFT, Discrete time Fourier Transform 33
Exemplo 11: Calcular a DTFT de g[n] = 1. g[n] na˜o satisfaz a condic¸a˜o de suficieˆncia
da existeˆncia. Assim, na˜o da´ para calcular a transformada utilizando-se a Eq. (5.9). No entanto,
pode-se perguntar qual a func¸a˜o G(ejΩ) que satisfaz
1 =
1
2pi
∫ pi
Ω=−pi
G(ejΩ)ejΩndΩ?
Obviamente, 2piδ(Ω), como G(ejΩ) e´ perio´dica com per´ıodo 2pi, pode-se escrever que;
G(ejΩ) = 2pi
∞∑
n=−∞
δ(Ω− 2pin)
.0.2 Propriedade da Linearidade
Sendo A e B constantes arbritra´rias;
Ag1[n] +Bg2[n]
DTFT←→ AG1(ejΩ) +BG2(ejΩ) (.20)
.0.3 Propriedade do Deslocamento de Amostras
g[n− n0] DTFT←→ G(ejΩ)e−jΩn0 (.21)
Demonstrac¸a˜o;
DTFT{g[n− n0]} =
∞∑
n=−∞
g[n− n0]e−jΩn, (.22)
fazendo a troca de varia´veis l = n− n0, vem;
∞∑
l=−∞
g[l]e−jΩ(l+n0) =
∞∑
l=−∞
g[l]e−jΩle−jΩ(n0) = e−jΩ(n0)
∞∑
l=−∞
g[l]e−jΩl = G(ejΩ)e−jΩ(n0). (.23)
.0.4 Propriedade da Modulac¸a˜o
g[n]ejΩ0n
DTFT←→ G(ejΩ−jΩ0) (.24)
Demonstrac¸a˜o;
DTFT{g[n]ejΩ0n} =
∞∑
n=−∞
g[n]ejΩ0ne−jΩn =
∞∑
n=−∞
g[n]e−j(Ω−Ω0)n = G(ejΩ−Ω0). (.25)
34 O teorema da Amostragem
.0.5 Teorema de Parseval.
∞∑
n=−∞
|g[n]|2 = 1
2pi
∫ pi
−pi
|G(ejΩ)|2dΩ .
Pode-se mostrar que a relac¸a˜o e´ verdadeira da seguinte maneira,
∞∑
n=−∞
|g[n]|2 =
∞∑
n=−∞
g[n]g[n], (.26)
onde g[n] significa o complexo conjugado de g[n], substituindo a transformada inversa, vem;
∞∑
n=−∞
g[n]
1
2pi
∫ pi
−pi
G(ejΩ)ejnΩdΩ = 12pi
∑∞
n=−∞ g[n]
∫ pi
−pi G(e
jΩ)e−jnΩdΩ =
1
2pi
∫ pi
−pi
G(ejΩ)
∞∑
n=−∞
g[n]e−jnΩdΩ = 12pi
∫ pi
−pi G(e
jΩ)G(ejΩ)dΩ (.27)
.0.6 Propriedade da Convoluc¸a˜o
x[n] ∗ h[n] DTFT←→ X(ejΩ) ·H(ejΩ) (.28)
Isto e´, a convoluc¸a˜o no tempo discreto, x[n] ∗ h[n] = ∑∞k=−∞ x[k]h[n − k], correponde ao produto
no domı´nio da frequeˆncia. Pode-se demonstrar fazendo;
DTFT{x[n] ∗ h[n]} =
∞∑
n=−∞
[ ∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k]
]
e−jnΩ =
∞∑
k=−∞
x[k]
[ ∞∑
n=−∞
h[n− k]e−jnΩ
]
, (.29)
aplicando a propriedade do deslocamento das amostras no lado direito da Eq.(.29), vem;
DTFT{x[n] ∗ h[n]} =
∞∑
k=−∞
x[k]H(ejΩ)e−jΩk = H(ejΩ)
∞∑
k=−∞
x[k]e−jΩk = X(ejΩ) ·H(ejΩ). (.30)
Exemplo 12: Calcular a DTFT de g[n] = ejΩ0n.
No exemplo 10, 1
DTFT←→ 2pi∑∞n=−∞ δ(Ω− 2pin), com a propriedade da modulac¸a˜o,
ejΩ0n
DTFT←→ 2pi
∞∑
n=−∞
δ(Ω− Ω0 − 2pin)
Exemplo 13: Calcular a DTFT de g[n] = cos(Ω0n) =
ejΩ0n+e−jΩ0n
2 .
Do exemplo 12,
cos(jΩ0n)
DTFT←→
∞∑
n=−∞
[piδ(Ω− Ω0 − 2pin) + piδ(Ω + Ω0 − 2pin)],
mostrado na Figura .4.
5.1 A DTFT, Discrete time Fourier Transform 35
0−10 10−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
0
−1
1
−0.5
0.5
Figura .4: cos(Ω0n) amostrado e o espectro G(e
jΩ).
Exemplo 14: Calcular a DTFT de g[n] =
1, 0 ≤ n ≤ N − 10, alhures .
G(eΩ) =
N−1∑
n=0
e−jΩn =
1− e−jΩN
1− e−jΩ ,
que pode ser reescrita como,
G(eΩ) =
e−jΩN/2
e−jΩ/2
[
ejΩN/2 − e−jΩN/2
e−jΩ/2 − e−jΩ/2
]
2j
2j
= e−jΩ
N−1
2
sin(ΩN2 )
sin(Ω2 )
,
Exemplo 15: Calcular a DTFT de h[n] =
1,
N−1
2 ≤ n ≤ N−12
0, alhures
para N ı´mpar. A func¸a˜o h[n] =
g[n+ N−12 ] do exemplo 14, assim, pela propriedade do deslocamento das amostras, pode-se escrever;
H(eΩ) = ejΩ
N−1
2 G(eΩ)ejΩ
N−1
2
[
e−jΩ
N−1
2
sin(ΩN2 )
sin(Ω2 )
]
=
sin(ΩN2 )
sin(Ω2 )
,
que e´ motrado na Figura .5 para o caso de N=21.
36 O teorema da Amostragem
0−20 20−10 10−25 −15 −5 5 15 25
0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura .5: g[n] e o espectro G(ejΩ) para N=21 do exemplo 14.
Apeˆndice A
Anexo das integral da func¸a˜o sinc(x).
A.1 A integral
∫
1
1+x2dx.
Fazendo x = tan(y), dx = dy
cos2(y)
, assim;
∫
1
1 + x2
dx =
∫
1
1 +
[
sen(y)
cos(y)
]2 dycos(y)2 =
∫
cos2(y)
[cos2(y) + sen2(y)]
dy
cos(y)2
=
∫
dy = y, (A.1)
logo; ∫
1
1 + x2
dx = arctan(x) (A.2)
A.1.1 A integral
∫∞
0
e−xysenx dy.
∫ ∞
0
e−xysenx dy = senx
∫ ∞
0
e−xy dy =
sen(x)
−x
∫ ∞
0
e−xy(−x) dy = sen(x)
x
[−e−xy]∞0 =
sen(x)
x
(A.3)
A.1.2 A integral
∫∞
x=0
sen(x)
x
dx.
∫ ∞
0
[∫ ∞
0
e−xysen(x) dy
]
dx =
∫ ∞
0
[∫ ∞
0
e−xysen(x) dx
]
dy, (A.4)
integrando
∫
e−xysen(x) dx por partes, vem; u = e−xy, du = −ye−xy, dv = sen(x) dx e v =
−cos(x), vem; ∫
e−xysen(x) dx =
[−cos(x)e−xy]− y ∫ cos(x)e−xydx, (A.5)
37
38 Apeˆndice A
integrando
∫
e−xycosx dx por partes, vem; u = e−xy, du = −ye−xy, dv = cos(x) dx e
v = sen(x), vem; ∫
e−xycosx dx =
[
sen(x)e−xy
]
+ y
∫
sen(x)e−xy dx, (A.6)
assim; ∫
e−xysenx dx =
[−cos(x)e−xy]− y{[sen(x)e−xy]+ y ∫ sen(x)e−xydx} , (A.7)
da´ı; ∫
e−xysenx dx = [−cos(x)− ysen(x)] e−xy − y2
∫
sen(x)e−xydx, (A.8)
assim; ∫ ∞
0
e−xysenx dx =
[−cos(x)− ysen(x)
1 + y2
e−xy
]∞
x=0
=
1
1 + y2
, (A.9)
assim,∫ ∞
x=0
senx
x
dx =
∫ ∞
y=0
∫ ∞
x=0
e−xysenx dx dy =
∫ ∞
y=0
1
1 + y2
dy = [arctan(y)]∞y=0 =
pi
2
, (A.10)
A.1.3 A integral
∫∞
x=0
T sen(pifT )
pifT
df .
Fazendo x = pifT e dx = piTdf na integral
∫∞
x=0
sen(x)
x dx =
pi
2 , vem;
∫ ∞
x=0
sen(x)
x
dx =
∫ ∞
x=0
sen(pifT )
pifT
piTdf = pi
∫ ∞
x=0
T
sen(pifT )
pifT
df =
pi
2
, (A.11)
logo; ∫ ∞
x=0
T
sen(pifT )
pifT
df =
1
2
, (A.12)
como a func¸a˜o sen(x)x e´ par, pode-se dizer que;∫ ∞
x=−∞
T
sen(pifT )
pifT
df = 1. (A.13)