Buscar

limite

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

1
�����������	
�
���
�
���������������
� �� ������
�
������������	
�� f ��
����������������������������
���� ��� 
������� ( )f x �� ������� �� 
����
��� x � ���
���������������������a �������
������������������
�������� ���������� �� ���	
�� f � ��������� �����
�������
�������������
�
(3 2)( 1)( ) ( 1)
x xf x
x
+ −
=
−
��
�
 ����	
�� f � ������������������������ x �������������
1x = �� ������ ��� 1x ≠ �� �� ���������� �� ��
������������ ��� f � ������ ���� ��
������� ����
( 1)x − ���
�������!���
�
( ) 3 2, para 1f x x x= + ≠ ��
�
"�������������#���������
���������� ���	
�� ( )f x ��
������� x �����
�����$��������%�������
��!���������
 2
%������������ 
���������������� 
������� ��� x� �����
�&��������$��������%������ 1x < ��������
��������
���� ����� ������������ ���� ( )f x �� ��������� ��
�����������������
�
� 1x < � '�'�()�'�)�'�*)�'�+� '�++�'�+++�'�++++�'�+++++�
( ) 3 2f x x= + �(�(�*)�,�)�-�()�-�*'�-�+*�-�++*�-�+++*�-�++++*�
�
 ������ 
����� ����������� ���� �� 
����
��� x�
��������.��� ����� 
�&� ����� ��� %�� ���� 1x > � ��
�����
������������������������������ ( )f x ��
�
1x > � (�%�*)�%�)�%�()�%�%� %�'%�%�''%�%�''''%�
( ) 3 2f x x= + �/�*�()�0�)�)�*)�)�,'�)�',�)�'',�)�'''',�
�
1����
��������������������������������������x�
���������������%�������	
�� ( )f x ����������������)��
��������������
�����!�����2
������������
����������
( )f x ��
����$���������)������������#�������������
���� �������� x � ���������������� ��$������ ��� %��
3�������������������� ( )f x ���������
�
 3
�
�
����� x � ����� 
�&� ����� ��$����� ��� %�� ( )f x � ���
������������)��������
�.���������������������
���
�
1 1
lim ( ) lim(3 2) 5.
x x
f x x
→ →
= + = �
�
4�.���� �� ������� �	� 
��
��� ( )f x � ��	���� x �
	������	���� ��� �� �� ��� ��� 	���	�� �� ������� ���
( )f x � ��	���� x � ������ 	� �� �� ��� ����� �����
��	�
�������������	�����	�����������3 2x + ��	�	�����
�	���	������	���������	������	���������	������
��� x � ������ 	������	������� ��� ��� �	����
1 , ( ) 5.x f x→ → �
�
 4
�
5�����������������	
�����������
�
0x +→ � '�%� '�'%� '�''%�'�'''%�
3
( )( ) x sen xf x
x
−
= �
'�%000'(�'�%0*)'%� '� '�
�
 ��������������
0
lim ( ) 0
x
f x
+→
= �� ��� ������ 
�������
����� �������� 6��������������� �������������7������
0
1lim ( )
6x
f x
+→
= �
�
5������������ ������ �� ���	
�� f � ��������� �����
�������
��
3 1( )
1
xf x
x
+
=
−
������� 1x ≠ ��
�
8�������� ������������������������� ���	
�� ( )f x �
������� x ������������%�����
!�����
���������� 1x > �
������������������������	
�� ( )f x �������� x �������
�����%�����
!�����
���������� 1x < ��
"�#���������������������� ( )f x �������������������
�������x ������������%�����
!�����
���������� 1x > ��
�
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 5
1x > � ,� (� %�)�%�()�%�%�%�'%�%�''%�%�'''%� ����
3 1( )
1
xf x
x
+
=
−
�)� *� %%� %+� -,� -',� -'',� -''',� ����
�
1����
���������������� x ������������%�� ����
!��
���
���������� 1x > �6�������������������%7�������	
��
( )f x ����������������������������������	
�� f �������
����� 9:� �� ����.��� ��&��� ���� �� ������� ��� ( )f x �
������� x � ������ �� %� ����� �������� !� 9:�� ����.���
�����
1 1
3 1lim ( ) lim .
1x x
xf x
x+ +→ →
+
= = +∞
−
�
�
"�#����� �� ���� ��������� ���� ( )f x �� ��� �������
��������������� x ������������%�����
!�����
�������
��� 1x < ��
�
1x < � .%� '� '�+� '�++� '�+++� '�++++� ����
3 1( )
1
xf x
x
+
=
−
� %� .%� .,*� .,+*� .,++*� .,+++*� ����
�
1����
���������������� x ������� �� %�� ����
!�����
���������� 1x < ���������������������%�����
�������
������������� ���	
�� ( )f x � ������������� �� ���	
��
 6
f ������������ −∞ � ������.�����&�������������������
( )f x � ������� x � ������ �� %� ����� ��������� !� −∞ ��
 ����.�������
�
 1 1
3 1lim ( ) lim
1x x
xf x
x− −→ →
+
= = −∞
−
��
�
 �������������� ������ �� ������	
�� ������� ���
�����������������	
���
�
���
�
�����!�"	������������	�����	�������a I∈ ��� ( )f x �
��	� 
��
��� ��
����	� ��� ������	��� ��� #�������
������	������� ��� 	$�� %������ ���� �� ������� ��� ( )f x �
��	���� x � ������ 	� a � �� L�� �� ����������� lim ( ) ,
x a
f x L
→
= � ���
�	�	������ε �#������$�� 0ε > ������������δ �#����	$�� 0δ > ���
�	������ ( )f x L ε− < ������������0 x a δ< − < ��
�
;�������������
�
 7
�
�
� �����
�����������	
�
����
�
 � ������� �������� �������� �������������
������������ ��� �������� 3����� ������������� ���
��
�����&���������<����������������������������������
�
������
 
��������	
�
���
��
=�� 1lim ( )
x a
f x b
→
= ��� 2lim ( )
x a
f x b
→
= �����
�� 1 2b b= ��
�
 8
�!��=�� m � �� b� �
�� ����������� ����������� ���
��
lim ( )
x a
m x b ma b
→
+ = + ��
�
�"��=�� c � !� ���� ����������� ���
�� ����� ���������
�>�����a �� lim
x a
c c
→
= ��
�
�#� �lim
x a
x a
→
= ��
�
�$��1��������������������������	�������������	?���
!������������������������	��������������� �������
���	?���������!�����
1lim ( )
x a
f x b
→
= ��� 2lim ( )
x a
g x b
→
= ���
���
��
( ) 1 2lim ( ) ( )
x a
f x g x b b
→
± = ± ��
�
%&���'������ !�� 1 1lim ( )
x a
f x b
→
= �� 2 2lim ( )
x a
f x b
→
= ������
lim ( )n n
x a
f x b
→
= ��������
( )1 2 1 2lim ( ) ( ) ... ( ) ...n n
x a
f x f x f x b b b
→
± ± ± = ± ± ± ��
�
�(� 1������������������������������	?���!����������
������������������������������	?���������!�����
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 9
�
1lim ( )
x a
f x b
→
= ���� 2lim ( )
x a
g x b
→
= ���
���
��
�
( ) 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x b b
→ → →
⋅ = ⋅ = ⋅ ��
�
%&���'����)��(����&���	��	�'����	�	�n �
��
(����
�
�*� =�� lim ( )
x a
f x b
→
= ���n �!�������������������������
( )lim ( ) n n
x a
f x b
→
= ��
�+��=�� 1lim ( )
x a
f x b
→
= ��� 2lim ( )
x a
g x b
→
= ��� 2 0b ≠ �����
��
1
2
lim ( )( )lim .( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x b
g x g x b
→
→
→
= = �
�
�,��=�� lim ( )
x a
f x b
→
= �����
��
� lim ( ) lim ( ) .nn n
x a x a
f x f x b
→ →
= = �
�
@����� ������ !� ����������� ���� b� ��#�� 0≥ � �� n �
��������� �������� ������
��� ��� ������� 0b < �� n �
��#�������������������2�����������
���
 10
�
��-���=�� lim ( )
x a
f x b
→
= ����
�� lim ( )
x a
f x b
→
= ��
�
./���	��)�)���	����������	�������	����������������*��
�#�$��
2
32
3 3 15lim
6x
x x
x→
+ −
+
��
#��$�� �
3
3
27lim
3x
x
x→
−
−
���
#���$� 21
1lim
4 3x
x
x x→
−
− +
��
�
0���	1���)��
�
6�7�
2 2
3 32
3 3 15 3 2 3 2 15lim
6 2 6x
x x
x→
+ − ⋅ + ⋅ −
=
+ +
� � � �
� � � � � � � �
12 6 15 3
8 6 14
+ −
= =
+
��
�
6��7�@�����������
� � �
( )3 327
3
xx
x
−
−
=
−
( )
( )
2 3 9
3
x x
x
+ +
−
2 3 9x x= + + �
 11
�
( )3 2
3 3
2
27lim lim 3 9
3
3 3 3 9
27.
x x
x
x x
x→ →
−
� = + +
−
= + ⋅ +
=
�
6���7� @�����������
� � �
( )
2
11
4 3
xx
x x
−
−
=
− + ( )1x − ( ) ( )
1
33 xx
=
−
−
�
� � � ( )21 1
1 1 1lim lim .
3 24 3x x
x
xx x→ →
−
� = = −
−− +
�
�
........�./�� 2 
�������������3���........�
�
� 4
�
����4�����
��
�
� 4
�
���5��
��
���
��
%�����������b������������+�������	���� ( )f x ���������� 0x �
�� ����������� ( )
0
0 lim ( )
x x
b f x f x
+
+→
= = � ��	���� 0x x→ �
�	�	��	�������	���������� 0x ��
�
 12
�
� 4
�
���5���61�����
�
�%�����������b ������������+��������	���� ( )f x ����������
0x �������������� ( )
_
0
0 lim ( )
x x
b f x f x−
→
= = ���	���� 0x x→ �
�	�	��	������������������ 0x ��
�
�
�
./���	��)�
�
6�7�
2, se 1( )
3, se 1
xf x
x
>�
= �
− <�
�
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 13
�
�
A������
1
lim ( ) 2
x
f x
−→
= ���
1
lim ( ) 3.
x
f x
+→
= − �
�
%&���'����)�
0
lim ( )
x x
f x b
→
= � ������� ��� �� �������� ���
_
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
+→ →
= ��
�
6��7�
, se 2( )
1, se 2
x xf x
x x
≤�
= �
+ >�
�
 14
�
@������������
2 2
lim ( ) lim 2
x x
f x x
− −→ →
= = ��
���
( )
2 2
lim ( ) lim 1 3
x x
f x x
+ +→ →
= + = ��
�
%&���'����)�,�
��
������� ������	� ���	�� ��
����	� ���
������ 0x ��	�	�����������������	���	��������	���
�
 15
6���7� =�#�� ( ) xf x
x
= ���������
0
lim ( )
x
f x
→
B�
A�����
1, se 0
1, se 0
x
x
x x
xx
x
x
�
= >��
= �
� = − <
�
−�
�
4�����
0
lim ( ) 1
x
f x
−→
= − ���
0
lim ( ) 1
x
f x
+→
= ��
�
5�����
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
− +→ →
≠ � ∃
0
lim ( )
x
f x
→
��
�
�����#���
0
lim
x
x
x→
��
����������
�
........�./�� 2 
�������������3�!�........�
�
�
� 4
�
����
��
�
������4
�
�������
��
�
���
�
 16
6�7� lim ( )
x
f x
→∞
= ∞ ⇔� �	��� 0k > � 	�'���&����� ������� ���
����������-���	� ��� �.����� 0n > � �	�� ����
( )x n f x k∀ > � > ��
�
�
6��7� lim ( )
x
f x
→−∞
= −∞ ⇔ ��	��� 0k > �	�'���&���������������
����������-���	� ��� �.����� 0n > � �	�� ����
( )x n f x k∀ < � < ��
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 17
�
�
6���7 lim ( )
x
f x
→−∞
= ∞ ⇔� �	��� 0k > � 	�'���&����� ������� ���
����������-���	� ��� �.����� 0n > � �	�� ����
( )x n f x k∀ < � > ��
 18
�
�
6�
7 lim ( )
x
f x
→∞
= −∞ ⇔ ��	��� 0k > � 	�'���&����� ������� ���
����������-���	� ��� �.����� 0n > � �	�� ����
( )x n f x k∀ > � < ��
�
6
7� lim ( )
x
f x b
→∞
= ⇔� �	��� 0ε > � 	�'���&����� ������� ���
����������-���	� ��� �.����� 0n > � �	�� ����
( )x n f x b ε∀ > � − < �� ����� �����	���� x � ������� 	�
�����	�� 0n > �� ( )f x �����������	�	����	����b��
 19
�
�
6
�7 lim ( )
x
f x b
→−∞
= ⇔ � �	��� 0ε > � 	�'���&����� ������� ���
����������-���	� ��� �.����� 0n > � �	�� ����
( )x n f x b ε∀ < � − < ��
�
 20
6
��7� lim ( )
x a
f x
→
= +∞ ⇔ ��	��� 0k > �	�'���&���������������
����������-���	�����.����� 0δ > ��	������ x∀ �������
( )x a f x kδ− < � > �� ����� �����	���� x a→ �� ( )f x �
	�������	�������������	�� 0k > ��
�
�
6
���7� lim ( )
x a
f x
→
= −∞ ⇔ � �	��� 0ε > � 	�'���&����� �������
��� ����������-���	� ����.����� 0δ > � �	������ x∀ �
������ ( )x a f x kδ− < � < ��
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 21
�
�
%&���'��7��)��
�
!�"	�c ���	������	������
���������������������*�
#�$�
0
lim
0x
c c
x→
= = ∞/�
#��$� lim
x
c x c
→∞
⋅ = ⋅∞ = ∞/�
#���$ lim
x
x
c c→∞
∞
= = ∞/�
#��$�lim 0
x
c c
x→∞
= =
∞
��
 22
�
%&���'��7��)�
�
#�$� ,�� ��������	���� ������������ �	�	�� �����	������� ���
1P � 	� 10P � ����	������ ��	����	�	�� ��	����
��'�����0����x a→ ��	�	�x → ∞ ����x → −∞��
�
#��$��� ������	��� 	'	���� �� ������ ������	���� �	�	�
�	����	����������� ����� ��� ��� n � ����� ������������������
�����*�
#	$�
1lim 0
n
x x→∞
= /�
#'$�
1lim 0
nx x→−∞
= ��
�
#���$1�������	�������	��������
0
1lim
n
x x
+→
= +∞ �
�� ��
0
, se é par1lim
, se é ímpar,nx
n
nx
−→
+∞�
= �
−∞�
�
�
�� �����n �������.������������������������	�������
�
 23
� 
�������
���7���
�
@�������	
���
���������������������������
�����
���� C����������	
��� @����� ��#���
�� ����� !�
8��
�����D� ���� �����������	
�� ���� �� ��	�
�������������� ������������ ����'����	�� ����	�� �	����	��
��� �������� 2��� ��������� ��� ����� ��� ��������� ��
�������
( )lim ( )x a
f x
g x→
� ��� ������ E� �������
��
0
0
� ���� �
��
������� ������������� @����� ��������� �����&�������
������������2��������!��������
�
5������������ ( )f x � �� ( )g x � ���	?��� ����� ����
0
lim ( ) 0
x
f x
→
= e 
0
lim ( ) 0.
x
g x
→
= � 3�� �����2����� ����� ���
�����������������������������������	
���
�
0
0
0
lim ( )( ) 0lim ( ) lim ( ) 0
x
x
x
f xf x
g x g x
→
→
→
= = ��
�
����������� ���� ���	?��� f � �� g � �� ������� �����
�����������������
��������������
�������������&.���
 24
���� 0
0
�!����������������	
����������2���������
�����������	
���
�
�2�&�	��� ��� 
�������
������ 3� 3&� �	��	��
�	����	����������
��	����	�����������	
����,��
����� ����	
(��� ��� �0�'����� �	���� 	'	���� ����
������	�����	�	�������
��	����	�����������	
��*�
�
0 00
, , , 0 , 1 , , 0
0
∞∞
∞ − ∞ ⋅∞ ∞
∞
��
�
��������������
�
6�7��=�#��� 4 3( ) e ( ) .f x x g x x= = ��
�
A��.����
4 4
0 0
lim ( ) lim 0 0
x x
f x x
→ →
= = = 
e 
3 3
0 0
lim ( ) lim 0 = 0. 
x x
g x x
→ →
= = �
F �����
4
30 0 0
( )lim lim lim 0.( )x x x
f x x
x
g x x→ → →
= = = �
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 25
�
6��7��=�#��� 3 3( ) e ( ) 4 .f x x g x x= = ��
�
"��������
3 3
0 0
lim ( ) lim 0 0
x x
f x x
→ →
= = = 
e 
3 3
0 0
lim ( ) lim 4 4 0 0. 
x x
g x x
→ →
= = × = �
@�����������
3
30 0 0
( ) 1 1lim lim lim( ) 4 44 x x x
f x x
g x x→ → →
= = = ��
�
!������ ���� ��� �&������ ��� ��� ������� ���-�
�4��	�� 	� ���������� �0�'������ �������� '���	��
	����	�� 	�����	���	�� �	�	� �'���� �� �	���� ���
������� ��	���� 	���
0����� 	���'������� ,� �����
��	'	�4�� �&���� �� ����� ��� �����������	� 
��
������
���
������	���
�
����� ������� �������������� 
�#����� �����
�����������������
�
./���	��)�5	����	���
 26
#�$� 25
5lim
25x
x
x→
−
−
��
�
#��$�
3 2
22
5 6lim
7 10x
x x x
x x→
− +
− +
��
�
#���$
9
3lim
9x
x
x→
−
−
��
�
#��$�
0
3 3lim
x
x
x→
+ −
��
�
0���	1���)�6�7�@��������������������������������E�
�����������	
�� 0
0
��@�����������������2�������!������
�������������
������ �� �����������	
�� ������� !� ��
G���������D��
�
����� �������� �� ������������ 2 25x − � 
�����
�����&�����������������
���
2 2 ( ) ( ).a b a b a b− = − × + �
 �������
2 2 225 5 ( 5) ( 5)x x x x− = − = − × + ��
 27
�
����������������������
�
25
5lim
25x
x
x→
−
−
5
5lim ( 5) ( 5)x
x
x x→
−
=
− × +
�
 
5
1 1 1lim
 5 5 5 25x x→
= = =
+ +
.�
�����������
25
5 1lim
2525x
x
x→
−
=
−
��
�
6��7�@�� �������� ������ ������� ��������� E�
�����������	
�� 0
0
��@�����������������2�������!������
�������������
������ �� �����������	
�� ������� !� ��
��
�������G���������D���
�
�������������
����
�
3 25 6 ( 3)( 2)x x x x x x− + = − − �
��
2 7 10 ( 2)( 5)x x x x− + = − − �
�
4��������������������
 28
3 2
22
5 6lim
7 10x
x x x
x x→
− +
− +
�
������������
2
( 2)( 3)lim ( 2)( 5)x
x x x
x x→
− −
− −
��
�����#���
3 2
22
5 6lim
7 10x
x x x
x x→
− +
− +
�
2
( 2)( 3)lim ( 2)( 5)x
x x x
x x→
− −
=
− −
��
� � �
2
( 3)lim
5x
x x
x→
−
=
−
�
2(2 3) 2 2
.
2 5 3 3
− −
= = =
− −
�
�����������
3 2
225 6 2lim
37 10x
x x x
x x→
− +
=
− +
��
�
6���7� @�� �������� ������ ������� ��������� E�
�����������	
�� 0
0
�� "����� ��
������ �����
�����������	
�� �� ����� ����� 
���� ���� �� �����2����
���!���������������������
����
2 2 ( ) ( ).a b a b a b− = − × + �
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 29
"���� ����������� �� ���������� ��� ���	
��� 3x − ��
����� ���� ���#������� 3,x + � ����� ��������� �� ���&�
������������������������
�
������
���������������	
��
�������������������!��
������������������ 3x + ��
�
5�����
( ) ( ) ( )2 23 3 3 9x x x x− × + = − = − ��
������
9
3lim
9x
x
x→
−
−
�
9
3lim
9x
x
x→
−
=
−
3
3
x
x
+
×
+
� �
9
( 3) ( 3)lim ( 9) ( 3)x
x x
x x→
− × +
=
− × +
��
9
9
( 9)lim ( 9) ( 3)
1 1 1 1lim = = . 
3+3 63 9 3
x
x
x
x x
x
→
→
−
=
− × +
= =
+ +
�
�����������
9
3 1lim
9 6x
x
x→
−
=
−
��
 30
(iv) No cálculo deste limite chegamos à indeterminação 
0
0
. Vamos usar o artifício algébrico da racionalização 
do numerador da função para levantar a 
indeterminação. Vamos multiplicar o numerador da 
função, 3 3x + − , pelo seu conjugado, 3 3x + + e 
aplicar o produto notável 2 2 ( ) ( )a b a b a b− = − × + . 
 
Temos 
( ) ( )
( ) ( )2 2
3 3 3 3
3 3
( 3) 3 .
x x
x
x x
+ − × + +
= + −
= + − =
�
�
����� �
�� �������� �� ���	
�� 
����� ������������
����!����������������������	
������ 3 3x + + ��
 ����������������������������
0
3 3lim
x
x
x→
+ −
�������
�
0
3 3lim
x
x
x→
+ −
�
3 3
3 3
x
x
+ +
×
+ +
���
�����#����
�
 31
0
3 3lim
x
x
x→
+ −
0
3 3lim
x
x
x→
+ −
= �
3 3
3 3
x
x
+ +
×
+ +
��
� � ��
( ) ( )
( )
( )
0
0
3 3 3 3
lim
3 3
lim
3 3
x
x
x x
x x
x
x x
→
→
+ − × + +
=
× + +
=
× + +
�
�
0
1lim
3 3
1 1 1
0 3 3 3 3 2 3
x x→
=
+ +
= = =
+ + +
��
�����������
0
3 3 1lim
2 3x
x
x→
+ −
= ��
�
%&���'������6���	�0���������'���	����	
����	������	�	�
�����	������ ����� 	������� ��� ����������	
���
���	���������	��������	����783�����	���������������	�
������4�����������������	�	��
�
.......�./�� 2 
�������������3�"�.......�
 32
�
� 4
�
����
�����������
�
� 4
�
������1����	
�9�
���
�
�=�#�� 10 1( ) ( ) ...n n nf x P x a x a x a−= = + + + �� 0 0a ≠ ��
�
6�7 8������x c→ �����
��
lim ( ) ( )
x c
P x P c
→
= ��
� �
�������������
3 3
1
lim 3 1 3 1 1 3 1 2.
x
x
→
− = ⋅ − = − = �
�
6��7�� 8������ x → ±∞�� ������ ����� �����������
������������������x → +∞���
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 33
( )
( ) [ ]
( )
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
0
0
lim ( ) lim 1 ...
lim lim 1 ...
lim 1 0 0 ... 0
lim .
n
n n
n nx x
n
n n
n nx x
n
x
n
x
aa xP x a x
a x a x
aa x
a x
a x a x
a x
a x
−
→+∞ →+∞
−
→∞ →+∞
→∞
→∞
� �
= + + +� 	
 �
� �
= ⋅ + + +� 	
 �
= ⋅ + + + +
=
�
 ������ 0lim
n
x
a x
→∞
� ����� +∞ � ��� −∞ �� ����������� ���
������ ��� 0a � �� ����!�� ��� n �� �������� ��#�� ���� ���
2������
 ������������� 0lim
n
x
a x
→−∞
�����!�������+∞����−∞ ��
�������������
6�7� � ( )2 2lim 2 1 lim 2
x x
x x x
→∞ →∞
+ − = = +∞H�
6��7�� ( )4 3 4lim 4 10 lim 4
x x
x x x x
→−∞ →−∞
+ + − = = +∞H�
6���7� ( ) ( )3 2 3lim 7 lim
x x
x x x
→−∞ →−∞
− + + = − = +∞H�
6�
7� ( )5 2 5lim 3 5 lim
x x
x x x x
→−∞ →−∞
− + = = −∞ ��
�
�
� 4
�
������1����1������� 
���	�
 34
�
=�#��
( )( ) ( )
P xf x Q x= �� ( ) 0Q x x≠ ∀ �� ����� ( )P x � �� ( )Q x �
�
�������I��������x ��
�
�6�7� 8������x c→ �����
��
( ) ( )lim , ( ) 0( ) ( )x c
P x P c Q cQ x Q c→ = ≠ ��
�� � �
 �������
( )( ) 0 lim ( )x c
P xQ c Q x→= � = ∞������������ ( ) 0P c ≠ ��
��������������
3 3
2 21
1 1 1 1 1 2 1lim .
1 3 4 23 1 3x
x
x→
+ + +
= = = =
++ +
�
�
6��7� 8������ x → ± ∞�� ���������� ��������������
�������x → + ∞��A�����
 35
�� �
1
0 1
1
0 1
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
...( )lim lim( ) ...
1 ...
lim .
1 ...
n n
n
m mx x
m
n
n n
n n
mx
m m
m m
a x a x aP x
Q x b x b x b
aa x
a x
a x a x
bb xb x
b x b x
−
−→+∞ →+∞
−
−→∞
+ + +
=
+ + +
� 
+ + +� �
� �
=
� 
+ + +� �
� �
�
5�����
1
1
0 0
lim 1 ... 1
n
n
n nx
aa x
a x a x
−
→∞
� 
+ + + =� �
� �
�
���
1
1
0 0
lim 1 ... 1
m
m
m mx
bb x
b x b x
−
→∞
� 
+ + + =� �
� �
��
���
��
0 0
00
( )lim lim lim( )
n
n m
mx x x
a x aP x
xQ x bb x
−
→+∞ →+∞ →∞
= = ��
�
�����!�����������������	
����������� ( )f x �!�����������
������� ��� ��&
�� ���� ������� ��� ������ ����� ����
�����I����� ( )P x ��� ( )Q x ��
�
 �������������������
 36
0
0
( )lim ( )
n m
x
aP x
xQ x b
−
→−∞
= ��
�������������
6�7� �
2 2
2 2
2 1 2 2 2lim lim lim
5 55 3 5x x x
x x
x x→∞ →∞ →∞
+
= = =
−
��
�
6��7��
2 2
3 3
1lim lim lim 0
1x x x
x x
xx x→−∞ →−∞ →−∞
= = =
+
��
�
6���7�
2 21lim lim lim
2 2 2x x x
x x x
x x→∞ →∞ →∞
+
= = = ∞��
�
 � ������� ��������������� ��
������ ��������� ���
�������������������
�
./���	��)�%�������	�����������������������
#�$� �
2 5lim
8x
x
x→∞
−
+
��
#��$��
3
5
2 3 5lim
4 2x
x x
x→−∞
− +
−
��
#���$� #	$�
2
22
3 1lim
6x
x x
x x+→
+ +
+ −
���
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 37
�� � #'$�
2
22
3 1lim
6x
x x
x x
−→
+ +
+ −
��
�� � #�$�
2
22
3 1lim
6x
x x
x x→
+ +
+ −
��
#��$��
2
2 5lim
2 5x
x
x→−∞
+
−
�
�
0���	1���)� 6�7� @����� ������ ������ ����
�����������	
����������
∞� 
� �
∞� �
��A�����
�
52 5 2
2 5 2 0lim lim lim 2.8 88 1 01x x x
x
x xx
xx
x x
→∞ →∞ →∞
� 
−
−� �
− −� �
= = = =
++ +� 
+� �
� �
�
�
6��7�
3
3 5
5 5
5
2 3 5
2 3 5lim lim
4 2 4 2x x
x x
x x x
x x
x
→−∞ →−∞
− +
− +
=
− −
�
 38
 
2 4 5
5
2 3 5
lim 24
0 0 0 0.
4 0
x
x x x
x
→∞
− +
=
−
− +
= =
−
 
�
6���76�7��@�����������������
�� � ( )( )
2 2
22 2
3 1 3 1lim lim ,
2 36x x
x x x x
x xx x+ +→ →
+ + + +
=
− ++ −
��
�������� 2 2 0x x+ +→ � − → �
�� � � � ����
�� � � � � �
4 6 1 11
,
0 5 0+ +
+ +
= = = ∞
⋅
�
�� � � � �
6���76�7��@����������������� �
�� �
�� ( )( )
2 2
22 2
3 1 3 1lim lim ,
2 36x x
x x x x
x xx x
− +→ →
+ + + +
=
− ++ −
��
������� 2 2 0x x− −→ � − → �
�� � � � �
�� � � � � �
4 6 1 11
.
0 5 0− −
+ +
= = = −∞
⋅
�
 39
�
6���76�7��5��������6�7���6�7�����������������������
2
22
3 1lim
6x
x x
x x→
+ +
+ −
��
����������
�
%&���'������ 9���	�� ������� �	����	���� �� ������� ���
��	��	����	���
���	������������������
��
2
22
3 1lim
6x
x x
x x→
+ +
= ∞
+ −
��
�
���� ���� �������	����� ���� �� ���	��� �� ���� ��������
����	��������"	����	������������	������	�����	���������
��������
�
6�
7� 5���� ��� �������� ���������� ��
�������
���������� �� ������������ ���� x �� @����� ������
������ x → −∞�� ��� 
������� ��� x � ������ ����
������������� ������
���� 3��
��� ����� ��
��������������������� 2x x= − ��
�
�=�����������
 40
, se 0
, se 0
x x
x
x x
>�
= �− <�
��
�
�@���������������!��
2
2
, se 0
, se 0
x x
x
x x
� >�
= �
�− <�
��
3��
���������
��
2
2
5lim 22 5lim
52 5 lim 2
x
x
x
x x
x
x
→−∞
→−∞
→−∞
++
=
� 
−
− −� �
� �
�
�� � � �
2 0 2 2
2 0 2
+
= = = −
− − −
�
�
.......�./�� 2 
�������������3�#�.......��
�
� Limites Fundamentais 
 
 Antes de apresentar os limites fundamentais, daremos a 
seguir um teorema, conhecido como Teorema do 
Confronto. 
 
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 41
Teorema: Sejam , , :f g h A → � e A ⊆ � . Se 
( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ , x A∀ ∈ e se 
 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x b
→ →
= = , então lim ( )
x a
g x b
→
= . 
 
 
Agora trabalharemos com três limites fundamentais, 
sendo um trigonométrico, outro exponencial e a terceiro 
logarítmico. 
 
1º Limite Fundamental: Trigonométrico 
 
Vale o seguinte limite 
0
senlim 1
x
x
x→
= . 
 
 42
Demonstração: Consideremos uma circunferência de 
raio 1. 
 
Então temos 
sen tgx x x< < quando 0
2
x
pi
< < 
 ou 
1 1 1
sen tgx x x
< < 
sen sen sen
sen tg
x x x
x x x
� > > , 
pois 
sen 0x > sen1 cosx x
x
� > > . 
 
sen
cos 1xx
x
� < < quando 0
2
x
pi
< < 
 
 43
Agora, quando 0x → temos 
 
 
0 00
senlim cos lim lim 1
x xx
x
x
x→ →→
< < 
 
0
sen1 lim 1
x
x
x→
� < < 
 
Pelo teorema de confronto, temos 
 
0
senlim 1
x
x
x→
= 
 
Exemplos: Calcular 
(i) 
0
sen3lim
x
x
x→
. 
(ii) ( )senlim
x
x
xpi
pi
pi→
−
−
. 
(iii) 
0
tg lim
x
x
x→
. 
Resolução: (i) Fazendo, 3
3
yy x x= � = quando 
0 0x y→ � → 
0 0 0
sen 3 sen senlim lim 3lim 3 1 3
3
x y y
x y y
yx y→ → →
= = = ⋅ = . 
 44
(ii) Fazendo, y x x ypi pi= − � = − quando 
0x ypi→ � → 
( )
0
sen senlim lim 1
x y
x y
x ypi
pi
pi→ →
−
= =
−
. 
 
(iii) Podemos escrever 
0 0
0 0
tg senlim lim
cos
sen 1lim lim 1 1 1.
cos
x x
x x
x x
x x x
x
x x
→ →
→ →
=
= ⋅ = ⋅ =
 
 
2º Limite Fundamental: Exponencial 
 
Vale o seguinte limite 
1lim 1
x
x
e
x→±∞
� 
+ =� �
� �
. 
 Observações: 
 
(i) Não faremos a demonstração do limite agora, pois 
necessita de conhecimento de derivada e a regra de 
L’Hospital, o que estudaremos posteriormente. 
 
(ii) Como conseqüência do limite acima podemos ter o 
seguinte limite fundamental 
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 45
( )1
0
lim 1 x
x
x e
→
+ = . 
 
Exemplos: Calcular os seguintes limites: 
(i) 
21lim 1
x
x x→∞
� 
+� �
� �
. 
(ii) 1lim 1
2
x
x x→∞
� 
+� �
� �
. 
(iii) 1lim
x
x
x
x→−∞
+� 
� �
� �
. 
(iv) 1lim 1
3
x
x x→−∞
� 
+� �
� �
. 
 
Resolução: 
(i) 
221 1lim 1 lim 1
x x
x xx x→∞ →∞
� �� 
 � 
+ = +� 	� � � �
� � � �� 	
 �
 
 
2
21lim 1
x
x
e
x→∞
� �� 
= + =� 	� �
� �� 	
 �
. 
(ii) ( ) 121lim 1 lim 1
2
x
y
x x
y
x→∞ →∞
� 
+ = +� �
� �
 , onde 
 46
 
1 1
2 2
y x
x y
= � = , 0x y→ ∞� → . 
Agora 
( ) ( )
1
1 1 2
2lim 1 lim 1y y
x y
y y e
→∞ →∞
� �
+ = + =� 	
 �
. 
(iii) 1 1lim lim 1
x x
x x
x
e
x x→−∞ →−∞
+� 
 � 
= + =� � � �
� � � �
. 
(iv) ( ) 13
0
1lim 1 lim 1
3
x
y
x y
y
x→−∞ →
� 
+ = +� �
� �
 
 ( )
1
11 3 33
0
lim 1 y
y
y e e
→
� �
= + = =� 	
 �
, 
 onde 1
3
y
x
= , 0x y→ −∞� → . 
3º Limite Fundamental: Logarítmico 
 
Vale o seguinte limite 
0
1lim ln
x
x
a
a
x→
−
= , onde 0a > 
 
Demonstração: Fazendo, 1xy a= − . Agora 
0 0x y→ � → e 
 47
 ( )1 ln ln 1x xa y a y= + � = + 
 ( )ln ln 1x a y� = + 
 
( )ln 1
ln
y
x
a
+
� = . 
Agora, 
 ( ) ( )0 0 0
1 lnlim lim lim
ln 1 ln 1
ln
x
x y y
a y a
y yx
a y
→ → →
−
= =
+ +
 
 
( ) ( )
0
1 10
0
lim lnlnlim
ln 1 lim 1
y
y
y y
y
a
a
y lm y
→
→
→
= =
+ +
 
 
( )1
0
ln ln ln ln .
ln 1ln lim 1 y
y
a a a
a
e
y
→
= = = =
� 
+� �
� �
 
 
Portanto, 
0
1lim ln
x
x
a
a
x→
−
= , 0a > . 
 
Exemplos: Calcular os seguintes limites: 
(i) 
2
7 49lim
2
x
x x→
−
−
. 
 48
(ii) 
3
5
3
4 1lim
3
x
x x
+
→−
−
+
. 
 
Resolução: 
(i) 
2
2
7 49 7 7lim
2 2
x x
x x x→
− −
=
− −
 
 
( )2 2
2
2
2
7 7 1
lim
2
7 149lim
2
x
x
x
x
x
x
−
→
−
→
−
=
−
−
=
−
 
 
0
7 149 lim
y
y y→
−
= , onde 
 2y x= − , 2 0x y→ � → 
 49ln7= 
 
(ii) 
3
5
3 0
4 1 4 1lim lim
3 5
x
y
x yx y
+
→− →
− −
=
+
, onde 
 
3
5
xy += , 3 0x y→ − � → 
 
0
1 4 1 1lim ln 4
5 5
y
y y→
−
= = . 
 
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
 49
 
� ����
�1
��������1����1�����
�
���
�
�����)�	�
��
��� f � �� ����0��	� ������������
( )a D f∈ � ��� �	��� 0ε > �� 0δ∃ > �� �	�� ����
( ) ( )f x f a ε− < ������������ x a δ− < ����������
#�$��������� ( )lim
x a
f x
→
��
#��$�� ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= ��
�
� ����
�7������ ���
�1
�����
�
#�$��� ( )f a ���������	�	� ( )a D f∈ /�
#��$��� ( )lim
x a
f x
→
∃ ���������� ( ) ( )lim lim
x ax a
f x f x
+ → −→
= /�
#���$�� ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= ��
�
� �����6:;� 
���
�
#�$ )�������� " "a � ������� ( )f x � �� �4	�	������������
���������	������ ( )f x /�
�
 50
#��$ ,�
��
��� ( )f x � �� ����0��	������� ������	��� [ ],a b �
���������0��	�����������������������������	��/�
�
#���$ )�� ������ ���� ���� �	���
	�� 	� �����
��� ���
���������	����4	�	�������������������������	����
�
#��$ !�� f ��� g � ������	��
��
(�������0��	����� a ��������
f g+ �� f g− �� f g⋅ �� f
g
�� ( ) 0g a ≠ � �	�'��� ����
����0��	�����a ��
�
#�$ )�	� 
��
��� ��������	�� �� ����0��	� ��� ������ ���
�����������������0�����
�
6
�7 )�	�
��
����	����	��������0��	��������������������
����������0�����
�
./���	��)� :�	���	�� 	� ���������	��� �	�� 
��
(���
	'	�����������������	�	���	������&
�����
#�$� � ( ) xg x
x
= � ��������� 0x = ��
 51
#��$� ( ) , se e 
0, se 
x x xf x
x
∈ ∉�
= �
∈�
� �
�
� ��� ������ 2x = ��
( )D f = � ��
�
0���	1���)�6�7� 1����
������ ( )0 D f∉ �
0 0
lim lim 1
x x
x x
x x+ +→ →
= = �
�����
0 0
lim lim 1
x x
x x
x x− −→ →
−
= = − �
4�����
( )
0
lim
x
f x
→
∃ ��
�
�
4����� ( )f x �!��������2������������� 0x = ��
�
 52
6��7�6�7� ( )2 D f∈ �
�
�� 6�7� ( )
2 2
lim lim 2
x x
f x x
→ →
= = ���
����� ( )
2 2
lim lim 2
x x
f x x
+ −→ →
= = ��
�
�6�7� ( )
2
lim 2
x
x f
→
≠ ��2 0≠ ��
�
4����� f ��
��!�����2������� 2x = ��
�
Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

Outros materiais