Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 ����������� � ��� � ��������������� � �� ������ � ������������ �� f �� ���������������������������� ���� ��� ������� ( )f x �� ������� �� ���� ��� x � ��� ���������������������a ������� ������������������ �������� ���������� �� ��� �� f � ��������� ����� ������� ������������� � (3 2)( 1)( ) ( 1) x xf x x + − = − �� � ���� �� f � ������������������������ x ������������� 1x = �� ������ ��� 1x ≠ �� �� ���������� �� �� ������������ ��� f � ������ ���� �� ������� ���� ( 1)x − ��� �������!��� � ( ) 3 2, para 1f x x x= + ≠ �� � "�������������#��������� ���������� ��� �� ( )f x �� ������� x ����� �����$��������%������� ��!��������� 2 %������������ ���������������� ������� ��� x� ����� �&��������$��������%������ 1x < �������� �������� ���� ����� ������������ ���� ( )f x �� ��������� �� ����������������� � � 1x < � '�'�()�'�)�'�*)�'�+� '�++�'�+++�'�++++�'�+++++� ( ) 3 2f x x= + �(�(�*)�,�)�-�()�-�*'�-�+*�-�++*�-�+++*�-�++++*� � ������ ����� ����������� ���� �� ���� ��� x� ��������.��� ����� �&� ����� ��� %�� ���� 1x > � �� ����� ������������������������������ ( )f x �� � 1x > � (�%�*)�%�)�%�()�%�%� %�'%�%�''%�%�''''%� ( ) 3 2f x x= + �/�*�()�0�)�)�*)�)�,'�)�',�)�'',�)�'''',� � 1���� ��������������������������������������x� ���������������%������� �� ( )f x ����������������)�� �������������� �����!�����2 ������������ ���������� ( )f x �� ����$���������)������������#������������� ���� �������� x � ���������������� ��$������ ��� %�� 3�������������������� ( )f x ��������� � 3 � � ����� x � ����� �&� ����� ��$����� ��� %�� ( )f x � ��� ������������)�������� �.��������������������� ��� � 1 1 lim ( ) lim(3 2) 5. x x f x x → → = + = � � 4�.���� �� ������� � � �� ��� ( )f x � �� ���� x � ������ ���� ��� �� �� ��� ��� ��� �� �� ������� ��� ( )f x � �� ���� x � ������ � �� �� ��� ����� ����� �� � ������������� ����� �����������3 2x + �� � ����� � ��� ������ ��������� ������ ��������� ������ ��� x � ������ ������ ������� ��� ��� � ���� 1 , ( ) 5.x f x→ → � � 4 � 5����������������� ����������� � 0x +→ � '�%� '�'%� '�''%�'�'''%� 3 ( )( ) x sen xf x x − = � '�%000'(�'�%0*)'%� '� '� � �������������� 0 lim ( ) 0 x f x +→ = �� ��� ������ ������� ����� �������� 6��������������� �������������7������ 0 1lim ( ) 6x f x +→ = � � 5������������ ������ �� ��� �� f � ��������� ����� ������� �� 3 1( ) 1 xf x x + = − ������� 1x ≠ �� � 8�������� ������������������������� ��� �� ( )f x � ������� x ������������%����� !����� ���������� 1x > � ������������������������ �� ( )f x �������� x ������� �����%����� !����� ���������� 1x < �� "�#���������������������� ( )f x ������������������� �������x ������������%����� !����� ���������� 1x > �� � Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 5 1x > � ,� (� %�)�%�()�%�%�%�'%�%�''%�%�'''%� ���� 3 1( ) 1 xf x x + = − �)� *� %%� %+� -,� -',� -'',� -''',� ���� � 1���� ���������������� x ������������%�� ���� !�� ��� ���������� 1x > �6�������������������%7������� �� ( )f x ���������������������������������� �� f ������� ����� 9:� �� ����.��� ��&��� ���� �� ������� ��� ( )f x � ������� x � ������ �� %� ����� �������� !� 9:�� ����.��� ����� 1 1 3 1lim ( ) lim . 1x x xf x x+ +→ → + = = +∞ − � � "�#����� �� ���� ��������� ���� ( )f x �� ��� ������� ��������������� x ������������%����� !����� ������� ��� 1x < �� � 1x < � .%� '� '�+� '�++� '�+++� '�++++� ���� 3 1( ) 1 xf x x + = − � %� .%� .,*� .,+*� .,++*� .,+++*� ���� � 1���� ���������������� x ������� �� %�� ���� !����� ���������� 1x < ���������������������%����� ������� ������������� ��� �� ( )f x � ������������� �� ��� �� 6 f ������������ −∞ � ������.�����&������������������� ( )f x � ������� x � ������ �� %� ����� ��������� !� −∞ �� ����.������� � 1 1 3 1lim ( ) lim 1x x xf x x− −→ → + = = −∞ − �� � �������������� ������ �� ������ �� ������� ��� ����������������� ��� � ��� � �����!�" ������������ ����� �������a I∈ ��� ( )f x � �� � �� ��� �� ���� � ��� ������ ��� ��� #������� ������ ������� ��� $�� %������ ���� �� ������� ��� ( )f x � �� ���� x � ������ � a � �� L�� �� ����������� lim ( ) , x a f x L → = � ��� � � ������ε �#������$�� 0ε > ������������δ �#���� $�� 0δ > ��� � ������ ( )f x L ε− < ������������0 x a δ< − < �� � ;������������� � 7 � � � ����� ����������� � ���� � � ������� �������� �������� ������������� ������������ ��� �������� 3����� ������������� ��� �� �����&���������<���������������������������������� � ������ �������� � ��� �� =�� 1lim ( ) x a f x b → = ��� 2lim ( ) x a f x b → = ����� �� 1 2b b= �� � 8 �!��=�� m � �� b� � �� ����������� ����������� ��� �� lim ( ) x a m x b ma b → + = + �� � �"��=�� c � !� ���� ����������� ��� �� ����� ��������� �>�����a �� lim x a c c → = �� � �#� �lim x a x a → = �� � �$��1�������������������������� ������������� ?��� !������������������������ ��������������� ������� ��� ?���������!����� 1lim ( ) x a f x b → = ��� 2lim ( ) x a g x b → = ��� ��� �� ( ) 1 2lim ( ) ( ) x a f x g x b b → ± = ± �� � %&���'������ !�� 1 1lim ( ) x a f x b → = �� 2 2lim ( ) x a f x b → = ������ lim ( )n n x a f x b → = �������� ( )1 2 1 2lim ( ) ( ) ... ( ) ...n n x a f x f x f x b b b → ± ± ± = ± ± ± �� � �(� 1������������������������������ ?���!���������� ������������������������������ ?���������!����� Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 9 � 1lim ( ) x a f x b → = ���� 2lim ( ) x a g x b → = ��� ��� �� � ( ) 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x b b → → → ⋅ = ⋅ = ⋅ �� � %&���'����)��(����&��� �� �'���� � �n � �� (���� � �*� =�� lim ( ) x a f x b → = ���n �!������������������������� ( )lim ( ) n n x a f x b → = �� �+��=�� 1lim ( ) x a f x b → = ��� 2lim ( ) x a g x b → = ��� 2 0b ≠ ����� �� 1 2 lim ( )( )lim .( ) lim ( ) x a x a x a f xf x b g x g x b → → → = = � � �,��=�� lim ( ) x a f x b → = ����� �� � lim ( ) lim ( ) .nn n x a x a f x f x b → → = = � � @����� ������ !� ����������� ���� b� ��#�� 0≥ � �� n � ��������� �������� ������ ��� ��� ������� 0b < �� n � ��#�������������������2����������� ��� 10 � ��-���=�� lim ( ) x a f x b → = ���� �� lim ( ) x a f x b → = �� � ./��� ��)�)��� ���������� ������� ����������������*�� �#�$�� 2 32 3 3 15lim 6x x x x→ + − + �� #��$�� � 3 3 27lim 3x x x→ − − ��� #���$� 21 1lim 4 3x x x x→ − − + �� � 0��� 1���)�� � 6�7� 2 2 3 32 3 3 15 3 2 3 2 15lim 6 2 6x x x x→ + − ⋅ + ⋅ − = + + � � � � � � � � � � � � 12 6 15 3 8 6 14 + − = = + �� � 6��7�@����������� � � � ( )3 327 3 xx x − − = − ( ) ( ) 2 3 9 3 x x x + + − 2 3 9x x= + + � 11 � ( )3 2 3 3 2 27lim lim 3 9 3 3 3 3 9 27. x x x x x x→ → − � = + + − = + ⋅ + = � 6���7� @����������� � � � ( ) 2 11 4 3 xx x x − − = − + ( )1x − ( ) ( ) 1 33 xx = − − � � � � ( )21 1 1 1 1lim lim . 3 24 3x x x xx x→ → − � = = − −− + � � ........�./�� 2 �������������3���........� � � 4 � ����4����� �� � � 4 � ���5�� �� ��� �� %�����������b������������+������� ���� ( )f x ���������� 0x � �� ����������� ( ) 0 0 lim ( ) x x b f x f x + +→ = = � �� ���� 0x x→ � � � �� ������� ���������� 0x �� � 12 � � 4 � ���5���61����� � �%�����������b ������������+�������� ���� ( )f x ���������� 0x �������������� ( ) _ 0 0 lim ( ) x x b f x f x− → = = ��� ���� 0x x→ � � � �� ������������������ 0x �� � � � ./��� ��)� � 6�7� 2, se 1( ) 3, se 1 xf x x >� = � − <� � Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 13 � � A������ 1 lim ( ) 2 x f x −→ = ��� 1 lim ( ) 3. x f x +→ = − � � %&���'����)� 0 lim ( ) x x f x b → = � ������� ��� �� �������� ��� _ 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x +→ → = �� � 6��7� , se 2( ) 1, se 2 x xf x x x ≤� = � + >� � 14 � @������������ 2 2 lim ( ) lim 2 x x f x x − −→ → = = �� ��� ( ) 2 2 lim ( ) lim 1 3 x x f x x + +→ → = + = �� � %&���'����)�,� �� ������� ������ � ��� �� �� ���� � ��� ������ 0x �� � ����������������� ��� �������� ��� � 15 6���7� =�#�� ( ) xf x x = ��������� 0 lim ( ) x f x → B� A����� 1, se 0 1, se 0 x x x x xx x x � = >�� = � � = − < � −� � 4����� 0 lim ( ) 1 x f x −→ = − ��� 0 lim ( ) 1 x f x +→ = �� � 5����� 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x − +→ → ≠ � ∃ 0 lim ( ) x f x → �� � �����#��� 0 lim x x x→ �� ���������� � ........�./�� 2 �������������3�!�........� � � � 4 � ���� �� � ������4 � ������� �� � ��� � 16 6�7� lim ( ) x f x →∞ = ∞ ⇔� � ��� 0k > � �'���&����� ������� ��� ����������-��� � ��� �.����� 0n > � � �� ���� ( )x n f x k∀ > � > �� � � 6��7� lim ( ) x f x →−∞ = −∞ ⇔ �� ��� 0k > � �'���&��������������� ����������-��� � ��� �.����� 0n > � � �� ���� ( )x n f x k∀ < � < �� Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 17 � � 6���7 lim ( ) x f x →−∞ = ∞ ⇔� � ��� 0k > � �'���&����� ������� ��� ����������-��� � ��� �.����� 0n > � � �� ���� ( )x n f x k∀ < � > �� 18 � � 6� 7 lim ( ) x f x →∞ = −∞ ⇔ �� ��� 0k > � �'���&����� ������� ��� ����������-��� � ��� �.����� 0n > � � �� ���� ( )x n f x k∀ > � < �� � 6 7� lim ( ) x f x b →∞ = ⇔� � ��� 0ε > � �'���&����� ������� ��� ����������-��� � ��� �.����� 0n > � � �� ���� ( )x n f x b ε∀ > � − < �� ����� ����� ���� x � ������� � ����� �� 0n > �� ( )f x ����������� � ���� ����b�� 19 � � 6 �7 lim ( ) x f x b →−∞ = ⇔ � � ��� 0ε > � �'���&����� ������� ��� ����������-��� � ��� �.����� 0n > � � �� ���� ( )x n f x b ε∀ < � − < �� � 20 6 ��7� lim ( ) x a f x → = +∞ ⇔ �� ��� 0k > � �'���&��������������� ����������-��� �����.����� 0δ > �� ������ x∀ ������� ( )x a f x kδ− < � > �� ����� ����� ���� x a→ �� ( )f x � ������� ������������� �� 0k > �� � � 6 ���7� lim ( ) x a f x → = −∞ ⇔ � � ��� 0ε > � �'���&����� ������� ��� ����������-��� � ����.����� 0δ > � � ������ x∀ � ������ ( )x a f x kδ− < � < �� Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 21 � � %&���'��7��)�� � !�" �c ��� ������ ������ ���������������������*� #�$� 0 lim 0x c c x→ = = ∞/� #��$� lim x c x c →∞ ⋅ = ⋅∞ = ∞/� #���$ lim x x c c→∞ ∞ = = ∞/� #��$�lim 0 x c c x→∞ = = ∞ �� 22 � %&���'��7��)� � #�$� ,�� �������� ���� ������������ � � �� ����� ������� ��� 1P � � 10P � ���� ������ �� ���� � �� �� ���� ��'�����0����x a→ �� � �x → ∞ ����x → −∞�� � #��$��� ������ ��� ' ���� �� ������ ������ ���� � � � � ���� ����������� ����� ��� ��� n � ����� ������������������ �����*� # $� 1lim 0 n x x→∞ = /� #'$� 1lim 0 nx x→−∞ = �� � #���$1������� ������� �������� 0 1lim n x x +→ = +∞ � �� �� 0 , se é par1lim , se é ímpar,nx n nx −→ +∞� = � −∞� � � �� �����n �������.������������������������ ������� � 23 � ������� ���7��� � @������� ��� ��������������������������� ����� ���� C���������� ��� @����� ��#��� �� ����� !� 8�� �����D� ���� ����������� �� ���� �� �� � �������������� ������������ ����'���� �� ���� �� � ���� �� ��� �������� 2��� ��������� ��� ����� ��� ��������� �� ������� ( )lim ( )x a f x g x→ � ��� ������ E� ������� �� 0 0 � ���� � �� ������� ������������� @����� ��������� �����&������� ������������2��������!�������� � 5������������ ( )f x � �� ( )g x � ��� ?��� ����� ���� 0 lim ( ) 0 x f x → = e 0 lim ( ) 0. x g x → = � 3�� �����2����� ����� ��� ����������������������������������� ��� � 0 0 0 lim ( )( ) 0lim ( ) lim ( ) 0 x x x f xf x g x g x → → → = = �� � ����������� ���� ��� ?��� f � �� g � �� ������� ����� ����������������� �������������� �������������&.��� 24 ���� 0 0 �!���������������� ����������2��������� ����������� ��� � �2�&� ��� ��� ������� ������ 3� 3&� � �� �� � ���� ���������� �� ���� ����������� ����,�� ����� ���� (��� ��� �0�'����� � ���� ' ���� ���� ������ ����� � ������� �� ���� ����������� ��*� � 0 00 , , , 0 , 1 , , 0 0 ∞∞ ∞ − ∞ ⋅∞ ∞ ∞ �� � �������������� � 6�7��=�#��� 4 3( ) e ( ) .f x x g x x= = �� � A��.���� 4 4 0 0 lim ( ) lim 0 0 x x f x x → → = = = e 3 3 0 0 lim ( ) lim 0 = 0. x x g x x → → = = � F ����� 4 30 0 0 ( )lim lim lim 0.( )x x x f x x x g x x→ → → = = = � Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 25 � 6��7��=�#��� 3 3( ) e ( ) 4 .f x x g x x= = �� � "�������� 3 3 0 0 lim ( ) lim 0 0 x x f x x → → = = = e 3 3 0 0 lim ( ) lim 4 4 0 0. x x g x x → → = = × = � @����������� 3 30 0 0 ( ) 1 1lim lim lim( ) 4 44 x x x f x x g x x→ → → = = = �� � !������ ���� ��� �&������ ��� ��� ������� ���-� �4�� �� � ���������� �0�'������ �������� '��� �� ���� �� ����� ��� �� � � � �'���� �� � ���� ��� ������� �� ���� ��� 0����� ���'������� ,� ����� �� ' �4�� �&���� �� ����� ��� ����������� � �� ������ ��� ������ ��� � ����� ������� �������������� �#����� ����� ����������������� � ./��� ��)�5 ���� ��� 26 #�$� 25 5lim 25x x x→ − − �� � #��$� 3 2 22 5 6lim 7 10x x x x x x→ − + − + �� � #���$ 9 3lim 9x x x→ − − �� � #��$� 0 3 3lim x x x→ + − �� � 0��� 1���)�6�7�@��������������������������������E� ����������� �� 0 0 ��@�����������������2�������!������ ������������� ������ �� ����������� �� ������� !� �� G���������D�� � ����� �������� �� ������������ 2 25x − � ����� �����&����������������� ��� 2 2 ( ) ( ).a b a b a b− = − × + � ������� 2 2 225 5 ( 5) ( 5)x x x x− = − = − × + �� 27 � ���������������������� � 25 5lim 25x x x→ − − 5 5lim ( 5) ( 5)x x x x→ − = − × + � 5 1 1 1lim 5 5 5 25x x→ = = = + + .� ����������� 25 5 1lim 2525x x x→ − = − �� � 6��7�@�� �������� ������ ������� ��������� E� ����������� �� 0 0 ��@�����������������2�������!������ ������������� ������ �� ����������� �� ������� !� �� �� �������G���������D��� � ������������� ���� � 3 25 6 ( 3)( 2)x x x x x x− + = − − � �� 2 7 10 ( 2)( 5)x x x x− + = − − � � 4�������������������� 28 3 2 22 5 6lim 7 10x x x x x x→ − + − + � ������������ 2 ( 2)( 3)lim ( 2)( 5)x x x x x x→ − − − − �� �����#��� 3 2 22 5 6lim 7 10x x x x x x→ − + − + � 2 ( 2)( 3)lim ( 2)( 5)x x x x x x→ − − = − − �� � � � 2 ( 3)lim 5x x x x→ − = − � 2(2 3) 2 2 . 2 5 3 3 − − = = = − − � ����������� 3 2 225 6 2lim 37 10x x x x x x→ − + = − + �� � 6���7� @�� �������� ������ ������� ��������� E� ����������� �� 0 0 �� "����� �� ������ ����� ����������� �� �� ����� ����� ���� ���� �� �����2���� ���!��������������������� ���� 2 2 ( ) ( ).a b a b a b− = − × + � Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 29 "���� ����������� �� ���������� ��� ��� ��� 3x − �� ����� ���� ���#������� 3,x + � ����� ��������� �� ���&� ������������������������ � ������ ��������������� �� �������������������!�� ������������������ 3x + �� � 5����� ( ) ( ) ( )2 23 3 3 9x x x x− × + = − = − �� ������ 9 3lim 9x x x→ − − � 9 3lim 9x x x→ − = − 3 3 x x + × + � � 9 ( 3) ( 3)lim ( 9) ( 3)x x x x x→ − × + = − × + �� 9 9 ( 9)lim ( 9) ( 3) 1 1 1 1lim = = . 3+3 63 9 3 x x x x x x → → − = − × + = = + + � ����������� 9 3 1lim 9 6x x x→ − = − �� 30 (iv) No cálculo deste limite chegamos à indeterminação 0 0 . Vamos usar o artifício algébrico da racionalização do numerador da função para levantar a indeterminação. Vamos multiplicar o numerador da função, 3 3x + − , pelo seu conjugado, 3 3x + + e aplicar o produto notável 2 2 ( ) ( )a b a b a b− = − × + . Temos ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 3 3 3 3 ( 3) 3 . x x x x x + − × + + = + − = + − = � � ����� � �� �������� �� ��� �� ����� ������������ ����!���������������������� ������ 3 3x + + �� ���������������������������� 0 3 3lim x x x→ + − ������� � 0 3 3lim x x x→ + − � 3 3 3 3 x x + + × + + ��� �����#���� � 31 0 3 3lim x x x→ + − 0 3 3lim x x x→ + − = � 3 3 3 3 x x + + × + + �� � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 3 3 3 3 lim 3 3 lim 3 3 x x x x x x x x x → → + − × + + = × + + = × + + � � 0 1lim 3 3 1 1 1 0 3 3 3 3 2 3 x x→ = + + = = = + + + �� ����������� 0 3 3 1lim 2 3x x x→ + − = �� � %&���'������6��� �0���������'��� ���� ���� ������ � � ����� ������ ����� ������� ��� ���������� ��� ��� ��������� �������� ����783����� ��������������� � ������4����������������� � �� � .......�./�� 2 �������������3�"�.......� 32 � � 4 � ���� ����������� � � 4 � ������1���� �9� ��� � �=�#�� 10 1( ) ( ) ...n n nf x P x a x a x a−= = + + + �� 0 0a ≠ �� � 6�7 8������x c→ ����� �� lim ( ) ( ) x c P x P c → = �� � � ������������� 3 3 1 lim 3 1 3 1 1 3 1 2. x x → − = ⋅ − = − = � � 6��7�� 8������ x → ±∞�� ������ ����� ����������� ������������������x → +∞��� Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 33 ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 lim ( ) lim 1 ... lim lim 1 ... lim 1 0 0 ... 0 lim . n n n n nx x n n n n nx x n x n x aa xP x a x a x a x aa x a x a x a x a x a x − →+∞ →+∞ − →∞ →+∞ →∞ →∞ � � = + + +� � � � = ⋅ + + +� � = ⋅ + + + + = � ������ 0lim n x a x →∞ � ����� +∞ � ��� −∞ �� ����������� ��� ������ ��� 0a � �� ����!�� ��� n �� �������� ��#�� ���� ��� 2������ ������������� 0lim n x a x →−∞ �����!�������+∞����−∞ �� ������������� 6�7� � ( )2 2lim 2 1 lim 2 x x x x x →∞ →∞ + − = = +∞H� 6��7�� ( )4 3 4lim 4 10 lim 4 x x x x x x →−∞ →−∞ + + − = = +∞H� 6���7� ( ) ( )3 2 3lim 7 lim x x x x x →−∞ →−∞ − + + = − = +∞H� 6� 7� ( )5 2 5lim 3 5 lim x x x x x x →−∞ →−∞ − + = = −∞ �� � � � 4 � ������1����1������� ��� � 34 � =�#�� ( )( ) ( ) P xf x Q x= �� ( ) 0Q x x≠ ∀ �� ����� ( )P x � �� ( )Q x � � �������I��������x �� � �6�7� 8������x c→ ����� �� ( ) ( )lim , ( ) 0( ) ( )x c P x P c Q cQ x Q c→ = ≠ �� �� � � ������� ( )( ) 0 lim ( )x c P xQ c Q x→= � = ∞������������ ( ) 0P c ≠ �� �������������� 3 3 2 21 1 1 1 1 1 2 1lim . 1 3 4 23 1 3x x x→ + + + = = = = ++ + � � 6��7� 8������ x → ± ∞�� ���������� �������������� �������x → + ∞��A����� 35 �� � 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 ...( )lim lim( ) ... 1 ... lim . 1 ... n n n m mx x m n n n n n mx m m m m a x a x aP x Q x b x b x b aa x a x a x a x bb xb x b x b x − −→+∞ →+∞ − −→∞ + + + = + + + � + + +� � � � = � + + +� � � � � 5����� 1 1 0 0 lim 1 ... 1 n n n nx aa x a x a x − →∞ � + + + =� � � � � ��� 1 1 0 0 lim 1 ... 1 m m m mx bb x b x b x − →∞ � + + + =� � � � �� ��� �� 0 0 00 ( )lim lim lim( ) n n m mx x x a x aP x xQ x bb x − →+∞ →+∞ →∞ = = �� � �����!����������������� ����������� ( )f x �!����������� ������� ��� ��& �� ���� ������� ��� ������ ����� ���� �����I����� ( )P x ��� ( )Q x �� � ������������������� 36 0 0 ( )lim ( ) n m x aP x xQ x b − →−∞ = �� ������������� 6�7� � 2 2 2 2 2 1 2 2 2lim lim lim 5 55 3 5x x x x x x x→∞ →∞ →∞ + = = = − �� � 6��7�� 2 2 3 3 1lim lim lim 0 1x x x x x xx x→−∞ →−∞ →−∞ = = = + �� � 6���7� 2 21lim lim lim 2 2 2x x x x x x x x→∞ →∞ →∞ + = = = ∞�� � � ������� ��������������� �� ������ ��������� ��� ������������������� � ./��� ��)�%������� ����������������������� #�$� � 2 5lim 8x x x→∞ − + �� #��$�� 3 5 2 3 5lim 4 2x x x x→−∞ − + − �� #���$� # $� 2 22 3 1lim 6x x x x x+→ + + + − ��� Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 37 �� � #'$� 2 22 3 1lim 6x x x x x −→ + + + − �� �� � #�$� 2 22 3 1lim 6x x x x x→ + + + − �� #��$�� 2 2 5lim 2 5x x x→−∞ + − � � 0��� 1���)� 6�7� @����� ������ ������ ���� ����������� ���������� ∞� � � ∞� � ��A����� � 52 5 2 2 5 2 0lim lim lim 2.8 88 1 01x x x x x xx xx x x →∞ →∞ →∞ � − −� � − −� � = = = = ++ +� +� � � � � � 6��7� 3 3 5 5 5 5 2 3 5 2 3 5lim lim 4 2 4 2x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − + = − − � 38 2 4 5 5 2 3 5 lim 24 0 0 0 0. 4 0 x x x x x →∞ − + = − − + = = − � 6���76�7��@����������������� �� � ( )( ) 2 2 22 2 3 1 3 1lim lim , 2 36x x x x x x x xx x+ +→ → + + + + = − ++ − �� �������� 2 2 0x x+ +→ � − → � �� � � � ���� �� � � � � � 4 6 1 11 , 0 5 0+ + + + = = = ∞ ⋅ � �� � � � � 6���76�7��@����������������� � �� � �� ( )( ) 2 2 22 2 3 1 3 1lim lim , 2 36x x x x x x x xx x − +→ → + + + + = − ++ − �� ������� 2 2 0x x− −→ � − → � �� � � � � �� � � � � � 4 6 1 11 . 0 5 0− − + + = = = −∞ ⋅ � 39 � 6���76�7��5��������6�7���6�7����������������������� 2 22 3 1lim 6x x x x x→ + + + − �� ���������� � %&���'������ 9��� �� ������� � ���� ���� �� ������� ��� �� �� ���� ��� ��� ������������������ �� 2 22 3 1lim 6x x x x x→ + + = ∞ + − �� � ���� ���� ������� ����� ���� �� ��� ��� �� ���� �������� ���� ��������" ���� ������������ ������ ����� ��������� �������� � 6� 7� 5���� ��� �������� ���������� �� ������� ���������� �� ������������ ���� x �� @����� ������ ������ x → −∞�� ��� ������� ��� x � ������ ���� ������������� ������ ���� 3�� ��� ����� �� ��������������������� 2x x= − �� � �=����������� 40 , se 0 , se 0 x x x x x >� = �− <� �� � �@���������������!�� 2 2 , se 0 , se 0 x x x x x � >� = � �− <� �� 3�� ��������� �� 2 2 5lim 22 5lim 52 5 lim 2 x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ ++ = � − − −� � � � � �� � � � 2 0 2 2 2 0 2 + = = = − − − − � � .......�./�� 2 �������������3�#�.......�� � � Limites Fundamentais Antes de apresentar os limites fundamentais, daremos a seguir um teorema, conhecido como Teorema do Confronto. Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 41 Teorema: Sejam , , :f g h A → � e A ⊆ � . Se ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ , x A∀ ∈ e se lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x b → → = = , então lim ( ) x a g x b → = . Agora trabalharemos com três limites fundamentais, sendo um trigonométrico, outro exponencial e a terceiro logarítmico. 1º Limite Fundamental: Trigonométrico Vale o seguinte limite 0 senlim 1 x x x→ = . 42 Demonstração: Consideremos uma circunferência de raio 1. Então temos sen tgx x x< < quando 0 2 x pi < < ou 1 1 1 sen tgx x x < < sen sen sen sen tg x x x x x x � > > , pois sen 0x > sen1 cosx x x � > > . sen cos 1xx x � < < quando 0 2 x pi < < 43 Agora, quando 0x → temos 0 00 senlim cos lim lim 1 x xx x x x→ →→ < < 0 sen1 lim 1 x x x→ � < < Pelo teorema de confronto, temos 0 senlim 1 x x x→ = Exemplos: Calcular (i) 0 sen3lim x x x→ . (ii) ( )senlim x x xpi pi pi→ − − . (iii) 0 tg lim x x x→ . Resolução: (i) Fazendo, 3 3 yy x x= � = quando 0 0x y→ � → 0 0 0 sen 3 sen senlim lim 3lim 3 1 3 3 x y y x y y yx y→ → → = = = ⋅ = . 44 (ii) Fazendo, y x x ypi pi= − � = − quando 0x ypi→ � → ( ) 0 sen senlim lim 1 x y x y x ypi pi pi→ → − = = − . (iii) Podemos escrever 0 0 0 0 tg senlim lim cos sen 1lim lim 1 1 1. cos x x x x x x x x x x x x → → → → = = ⋅ = ⋅ = 2º Limite Fundamental: Exponencial Vale o seguinte limite 1lim 1 x x e x→±∞ � + =� � � � . Observações: (i) Não faremos a demonstração do limite agora, pois necessita de conhecimento de derivada e a regra de L’Hospital, o que estudaremos posteriormente. (ii) Como conseqüência do limite acima podemos ter o seguinte limite fundamental Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 45 ( )1 0 lim 1 x x x e → + = . Exemplos: Calcular os seguintes limites: (i) 21lim 1 x x x→∞ � +� � � � . (ii) 1lim 1 2 x x x→∞ � +� � � � . (iii) 1lim x x x x→−∞ +� � � � � . (iv) 1lim 1 3 x x x→−∞ � +� � � � . Resolução: (i) 221 1lim 1 lim 1 x x x xx x→∞ →∞ � �� � + = +� � � � � � � � �� � 2 21lim 1 x x e x→∞ � �� = + =� � � � �� � . (ii) ( ) 121lim 1 lim 1 2 x y x x y x→∞ →∞ � + = +� � � � , onde 46 1 1 2 2 y x x y = � = , 0x y→ ∞� → . Agora ( ) ( ) 1 1 1 2 2lim 1 lim 1y y x y y y e →∞ →∞ � � + = + =� � . (iii) 1 1lim lim 1 x x x x x e x x→−∞ →−∞ +� � = + =� � � � � � � � . (iv) ( ) 13 0 1lim 1 lim 1 3 x y x y y x→−∞ → � + = +� � � � ( ) 1 11 3 33 0 lim 1 y y y e e → � � = + = =� � , onde 1 3 y x = , 0x y→ −∞� → . 3º Limite Fundamental: Logarítmico Vale o seguinte limite 0 1lim ln x x a a x→ − = , onde 0a > Demonstração: Fazendo, 1xy a= − . Agora 0 0x y→ � → e 47 ( )1 ln ln 1x xa y a y= + � = + ( )ln ln 1x a y� = + ( )ln 1 ln y x a + � = . Agora, ( ) ( )0 0 0 1 lnlim lim lim ln 1 ln 1 ln x x y y a y a y yx a y → → → − = = + + ( ) ( ) 0 1 10 0 lim lnlnlim ln 1 lim 1 y y y y y a a y lm y → → → = = + + ( )1 0 ln ln ln ln . ln 1ln lim 1 y y a a a a e y → = = = = � +� � � � Portanto, 0 1lim ln x x a a x→ − = , 0a > . Exemplos: Calcular os seguintes limites: (i) 2 7 49lim 2 x x x→ − − . 48 (ii) 3 5 3 4 1lim 3 x x x + →− − + . Resolução: (i) 2 2 7 49 7 7lim 2 2 x x x x x→ − − = − − ( )2 2 2 2 2 7 7 1 lim 2 7 149lim 2 x x x x x x − → − → − = − − = − 0 7 149 lim y y y→ − = , onde 2y x= − , 2 0x y→ � → 49ln7= (ii) 3 5 3 0 4 1 4 1lim lim 3 5 x y x yx y + →− → − − = + , onde 3 5 xy += , 3 0x y→ − � → 0 1 4 1 1lim ln 4 5 5 y y y→ − = = . Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com 49 � ���� �1 ��������1����1����� � ��� � �����)� � �� ��� f � �� ����0�� � ������������ ( )a D f∈ � ��� � ��� 0ε > �� 0δ∃ > �� � �� ���� ( ) ( )f x f a ε− < ������������ x a δ− < ���������� #�$��������� ( )lim x a f x → �� #��$�� ( ) ( )lim x a f x f a → = �� � � ���� �7������ ��� �1 ����� � #�$��� ( )f a ��������� � � ( )a D f∈ /� #��$��� ( )lim x a f x → ∃ ���������� ( ) ( )lim lim x ax a f x f x + → −→ = /� #���$�� ( ) ( )lim x a f x f a → = �� � � �����6:;� ��� � #�$ )�������� " "a � ������� ( )f x � �� �4 � ������������ ��������� ������ ( )f x /� � 50 #��$ ,� �� ��� ( )f x � �� ����0�� ������� ������ ��� [ ],a b � ���������0�� ����������������������������� ��/� � #���$ )�� ������ ���� ���� � ��� �� � ����� ��� ��� ��������� ����4 � ������������������������� ���� � #��$ !�� f ��� g � ������ �� �� (�������0�� ����� a �������� f g+ �� f g− �� f g⋅ �� f g �� ( ) 0g a ≠ � � �'��� ���� ����0�� �����a �� � #�$ )� � �� ��� �������� �� �� ����0�� � ��� ������ ��� �����������������0����� � 6 �7 )� � �� ���� ���� ��������0�� �������������������� ����������0����� � ./��� ��)� :� ��� �� � ��������� ��� � �� �� (��� ' ����������������� � ��� ������& ����� #�$� � ( ) xg x x = � ��������� 0x = �� 51 #��$� ( ) , se e 0, se x x xf x x ∈ ∉� = � ∈� � � � � ��� ������ 2x = �� ( )D f = � �� � 0��� 1���)�6�7� 1���� ������ ( )0 D f∉ � 0 0 lim lim 1 x x x x x x+ +→ → = = � ����� 0 0 lim lim 1 x x x x x x− −→ → − = = − � 4����� ( ) 0 lim x f x → ∃ �� � � 4����� ( )f x �!��������2������������� 0x = �� � 52 6��7�6�7� ( )2 D f∈ � � �� 6�7� ( ) 2 2 lim lim 2 x x f x x → → = = ��� ����� ( ) 2 2 lim lim 2 x x f x x + −→ → = = �� � �6�7� ( ) 2 lim 2 x x f → ≠ ��2 0≠ �� � 4����� f �� ��!�����2������� 2x = �� � Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com
Compartilhar